2010广东高考数学试题

2010广东高考数学试题
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集，集合，则.
2．若复数满足（是虚数单位），则.
3．已知直线的倾斜角大小是，则.
4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围
是.
5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为.
6．已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为.
7．函数的最小正周期.
8．若展开式中含项的系数等于含项系数的8倍，则正整数.
9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.
10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．
11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙名学生，这名学生选择的选修课互不相同的概率是(结果用最简分数表示)．
12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是. 13．已知两个不相等的平面向量，( )满足| |＝2，且与－的夹角为120°，则| |的最大值是.
14．给出30行30列的数表：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．已知，，则的值等于………………………（）（A）．（B）．（C）．（D）．
16．已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的………………………………………………………………………………（）
（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充要条件．（D）既不充分又不必要条件．
17．若直线经过点，则…………………………（）（A）．（B）．（C）．（D）．
18．已知集合，若对于任意，存在，使
得成立，则称集合是“集合”. 给出下列4个集合：
①②
③④
其中所有“集合”的序号是……………………………………………………（）（A）②③．（B）③④．（C）①②④．（D）①③④．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
在棱长为的正方体中，分别为的中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小．
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．
（1）若是半径的中点，求线段的大小；
（2）设，求△面积的最大值及此时的值．
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数．
（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知点，、、是平面直角坐标系上的三点，且、、成等差数列，公差为，．（1）若坐标为，，点在直线上时，求点的坐标；
（2）已知圆的方程是，过点的直线交圆于两点，是圆上另外一点，求实数的取值范围；
（3）若、、都在抛物线上，点的横坐标为，求证：线段的垂直平分线与轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列的前项和为，且满足( )，，设，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若≥，，求实数的最小值；
（3）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成( 且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．
2013年静安、杨浦、青浦宝山区高三二模卷(理科)
参考答案及评分标准2013.04
说明
1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．4．给分或扣分均以1分为单位．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．；2．；3．；4．；5．；6．；
7．（文、理）；8．（文）4（理）；9．；10．；11．（文）（理）；12．；13．（文）（理）；14．（文）②③⑤（理）．②
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15． D ；16．（文）B （理）A；17．B ；18．（文）C（理）A
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
(文)解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米
所以这个四棱锥冷水塔的容积是．
(2)如图，取底面边长的中点，连接，
答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．
（理）
19．（1）（理）解法一：建立坐标系如图
平面的一个法向量为
因为，，
可知直线的一个方向向量为．
设直线与平面成角为，与所成角为，则
19（1）解法二：平面，即为在平面内的射影，故为直线与平面所成角，
在中，,
19（2）（理科）
解法一：建立坐标系如图．平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，因为，
所以，令，则
由图知二面角为锐二面角，故其大小为．
19（2）解法二：过作平面的垂线，垂足为，即为所求
，过作的垂线设垂足为，∽
即
在中
所以二面角的大小为．
20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解:（1）在△中，，
由
得，解得．
（2）∵∥，∴，
在△中，由正弦定理得，即
∴,又．
（文）记△的周长为，则
=
∴时，取得最大值为.
（理）解法一：记△的面积为，则，
∴时，取得最大值为.
解法二：
即，又即
当且仅当时等号成立,
所以
∴时，取得最大值为.
21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（文）解：(1)依题意，，，
由，得，
设，
∴；
(2)如图，由得，
依题意，，设，线段的中点，
则，，，
由，得，∴
（理）解:（1）是偶函数，
即，
又恒成立即
当时
当时，，
当时，，
综上：
（2）
是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．
令，当时；时，由于时，
是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
（文）解:（1）过原点，
得或
(2)(3)同理21
（理）解（1），所以，设
则，消去，得，…（2分）
解得，,所以的坐标为或
（2）由题意可知点到圆心的距离为…（6分）
（ⅰ）当时，点在圆上或圆外，，
又已知，，所以或
（ⅱ）当时，点在圆内，所以，
又已知，，即或
结论：当时，或；当时，或
（3）因为抛物线方程为，所以是它的焦点坐标，
点的横坐标为，即
设，，则，，，
所以
直线的斜率，则线段的垂直平分线的斜率
则线段的垂直平分线的方程为
直线与轴的交点为定点
23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
（文）解：（1）令得，即；
又
（2）由和
，
所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．
解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）
解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即
因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．
，
所以
（理）解：（1），，，当时，
=2，所以为等比数列．
，．
（2）由（1）可得
；
，，
所以，且．所以的最小值为
（3）由（1）当时，
当时，，，
所以对正整数都有．
由，，( 且)，只能是不小于3的奇数．
①当为偶数时，，
因为和都是大于1的正整数，
所以存在正整数，使得，，
, ，所以且，相应的，即有，为“指数型和”；
②当为奇数时，，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以不成立，此时没有“指数型和”．。