等和线解决的平面向量专题.

1、【2014宁波二模理17】已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非．零实数．．．x 、y ，使得AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC = ．

O

D

B

C

A

解答：取AC 中点D ，则有2AO xAB y AC xAB y AD =+=+，而21x y +=，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，故有BC=AB=3，AC=4，求得

2

cos 3

BAC ∠=

. 2、【2014杭州二模文8理6】设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若

AC AB AO 3

1

31+=

，则BAC ∠的度数为（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°

O

D

B

C

A

解答：取AC 中点D ，则有12

33

AO AB AD =

+，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，即有AO=BO=2DO ，故可求得60BAC ∠=?.

3、【2009浙江理样卷6】已知AOB ?，点P 在直线AB 上，且满足()2OP tPA tOB t R =+∈，则

PA PB

=（ ） A.

13 B.1

2

C.2

D.3 解答：由已知212t OP OA tOB t =

++，点P 在直线AB 上，得2112t t t

+=+，解得1t =-或12t =. 当1t =-时，可得11

22OA OP OB =+，此时A 为PB 中点，PA PB =12；当12t =时，可得11

22OP OA OB =+，此时P 为AB 中点，

PA PB

=1.

4、【2014浙江省六校联考理17】已知O 为ABC ?的外心，2AB a =，2

(0)AC a a

=

>，120BAC ∠=，若AO xAB yAC =+(x ,y 为实数)，则x y +的最小值为_____．

E O

B

C

A

解答：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，则易知

()

11R R AO AE x AB y AC R m R m =

=+--，其中111x y +=，,2R m R ??

∈????

，故由已知可得R

x y R m

+=-，所求取值范围是[)2,+∞.

5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O 为ABC ?的外心，

120,2,4=∠==BAC AC AB 。若AC AB AO 21λλ+=，则=+21λλ__________.

E

G F

O

B

C A

解法1：如图，设AO

BC E =，EO m =，AO R =，AF BC ⊥于F 点，OG BC ⊥于G 点，则易知()

11R R

AO AE x AB y AC R m R m

==+--，其中111x y +=，由已知可求

得213OG =

，2217

AF =，故可求得121316R AF OG OG R m AF AF λλ++=

==+=-. 解法2：212

2

12AO AB AB AC AB

AO AC AB AC AC

λλλλ??=+?????=?+?，得12128164244λλλλ=-??

=-+?，解得1256

8

6λλ?

=????=??

，故1213

6

λλ+=

. 解法3：设()0,0A ，()4,0B ，()

1,3C -，外心O 是AB 中垂线2x =和AC 中垂线

323

33y x =+的交点432,3O ?? ? ???，得432,3AO ??= ? ???

，()4,0AB =，()

1,3AC =-，得121224434333

3λλλλ=-??

?=+?

?，有误，重解

【变式1】、已知向量a,b 的夹角为

23π，且|a |=4，|b|=2，|a-c |=|b-c |=|c |，若c=x a +y b ，则x+y=13

6

.

6、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()λc +a=c +b (∈λ)R ， 则|c |的最小值为

B

O

A

C

解答：如图，由已知1

1

1

c b a λλλ--=

+

--，设a OA =，b OB =，c OC -=，则点C 在直线AB 上，得c OC =有最小值

22

. 7、【2012年稽阳联考15】A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若

(23),()OP mAP m OB m R =+-∈，则

||

||

PB PA = 2 。 解答： 8、【2013杭二中高三适应考理17】如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，AB ∥DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+取值范围是 .

E A

B

D

C

P

解答：设AP

BD E =，AE m =，AP n =，则()

n n AP AE xAB yAC m m

=

=+，其中1x y +=，得25

551225

5k

n k m λμ++===+，k 表示点P 到BC 边的距离，250,5k ??∈????

，得所求取值范围是[]1,2.

9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,20092OC a OB a OA ?+?=且A,B,C 三点共线(该

直线不过点O),则2010S 等于（D ）

A ．2010

B ．2008

C ．1010

D ．1005

10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22013,OA a OB a OC =?+?且A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则2014S 等于（D ）

A.2014

B.2012

C.1012

D.1007

11、如图,在扇形OAB 中,60AOB ?∠=,C 为弧AB 上的一个动点.若OC -→

x OA y OB -→

-→

=+，则

3x y +的取值范围是 [1,3] ．

E D

O

C A

B

解答：如图，在OB 上取一点D ，使OB=3OD ，设OC AD E =，OE m =，EC n =，

则有()

11m n m n

OC OE x OA y OD m m

++=

=+，其中111x y +=，另有3OC xOA yOB xOA yOD =+=+，得31m n n

x y m m

++==+，易知当点C 和点A 重合时n m 达最小值0，当点C 和点B 重合时n

m

达最大值2，故[]31,3x y +∈.

12、如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，点P 为△BCD 内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于

43

13、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B 满足2=?==OB OA OB OA ，

则点集{

}

R ,,2,|∈≤++=μλμλμλOB OA OP P 所表示的区域的面积是316.

14、若等边ABC ?的边长为2，平面内一点M 满足CA CB CM 2

1

31+=，则=?MB MA （C ）

A.98

B.913

C.98-

D.9

13-

15、若等边ABC ?的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3

2

61+=

，则

=?MB MA -2．

16、若M 为ABC ?内一点，且满足31

44

AM AB AC =+，则ABM ?与ABC ?的面积之比为1:4．

17、设O 是ABC ?的外心，AO xAB yAC =+，4AB =，6AC =，1

212

x y +

=，则AB AC ?=4

18、已知O 为△ABC 的外心，210||,16||==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且32x +25y =25，则OA = 10 .

19

、已知是单位圆上的两点，为圆心，且0

120，是圆的一条直

径，点在圆内，且满足，则的取值

范围是（C ） A ．1[,1)2

- B ．[1,1)- C ．3[,0)4

-

D ．[1,0)-

20、已知圆O 的半径为2，A B 、是圆上两点且AOB ∠=

23

π

，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)OC OA OB λλ=+-(01)λ<<，则CM CN ?的最小值为（C ） A ．－2 B ．－1 C ．－3 D ．－4

A B 、O AOB ∠=MN O C (1)OC OA OB λλ=+-(01)λ<

21、已知(0,0O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若

(2)0k O A k O B O C +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 ．

22、【2014稽阳联谊理16】在ABC ?中，90BAC ∠=?，以AB 为一边向ABC ?外作等边

ABD ?,若2BCD ACD ∠=∠，AD AB AC λμ=+,则λμ+=

.

E 150°-3θm

m m

90°-θ

D'

θ

2θ

θ

D C

B A

解：如图，设点D 关于AC 的对称点为'D ，且'DD 交AC 于点E .设DCA θ∠=，则

2,'90,1503,BCD CD D CBD θθθ∠=∠=?-∠=?-在',DCD BCD ??中利用正弦定理得

'sin(1503)sin 2sin 2sin(90)

CD BD DD CD

θθθθ??===--从而得

sin(1503)sin(90)θθ??-=-，从而1503θ?-=90θ?-或150390180θθ???-+-=从

而得15θ?=.显然13

,22

DE AE AB AC λμ===-=-,故132λμ-+=.

23、已知ABC ?中，AB=4，AC=2，若()22AB AC λλ+-的最小值是2，则对于ABC ?内一点P ，()

PA PB PC ?+的最小值是______.

G F C

E D

A

B P

解：()()()22121AB AC AB AC AB AD λλλλλλ+-=+-?=+-的最小值是2， 设()1AE AB AD λλ=+-，则点E 在直线AD 上，

AB=4，AC=2，AD=4，故当AE 长度最小为2时，E 为BD 中点，AE BD ⊥， 得120BAC ∠=?，取BC 中点F ，连结AF ，取AF 中点G ，则有：

()

(

)

22

2

21

2222P A P B P C P A P F P G G A P G A F

?+=?=-=- 当点P 与点G 重合时，有最小值()

22113

282

AF AB AC -=-+=-.

1、ABC ?内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则O

C A B ?=___. 解：345OA OB OC +=-，两边平方得0OA OB ?=.

故()

3

411155555OC AB OA OB OB OA OA OB ??

?=--?-=-+?=- ???

.

2、在ABC ?中，AC=2，BC=6，O 是ABC ?内一点，且340OA OB OC ++=，则

()

2OC BA BC ?+=_______.

解法1：设()3,0B -，()3,0C ，(),A x y ，则由AC=2得()2

2

34x y -+=，

由340OA OB OC ++=得3,88x y O +??

??

?， 得21,8

8x y OC --??

=

???，()215,BA BC x y +=+，

故()

()()22221151631528

8

8

x x x x y OC BA BC

y -+-++-?+=-=

()2

2

3324408

x y ---+==.

O E

D C

B

A

解法2：如图，取AC 中点D ，取BC 中点E ，

(

)(

)

343260O A O B

O C O A

O C O B

O C O D O E ++=+++=+=，

故3131

4488

OC CE CD CB CA =--=--， 22

3B A B C B C C A B C

C A C B

+=

+

+=-， 得()

()

221

29408

OC BA BC CA CB ?+=--=.