圣彼得堡悖论

圣彼得堡悖论(矛盾)

圣彼得堡悖论概述

圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖

论。

圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努

利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努

利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的

一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。

圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的“近似的”模型。在实际问题涉及到无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。

实验的论文解释

丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在１７３８年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：

１、边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。

２、最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。

圣彼得堡悖论的消解历史

圣彼得堡悖论的提出已有２００多年了，所提出的消解方法大致可以归纳为以下几种观点：

（一）边际效用递减论

Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办法。他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用测度函数用货币值的对数来表示：效用=log（货币值）。所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元为界。这一解释其实并不能令人满意。姑且假定“效用递减律”是对的，金钱的效用可以用货币值的对数来表示。但是如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为l0的2n次方(n=3时，奖金为108)，则其效用的期望值仍为无穷大，新的悖论又出现了当然，我们并不清楚效用值与货币值之间究竟有什么样的关系，不过只要我们按照效用的2n倍增加奖金，悖论就总是存在。

（二）风险厌恶论

圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制，比如连续投掷４０次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏有一半的机会，其奖金为２元，四分之三的机会得奖4元和2元。奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。如果以前面Hacking所说。花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加入一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。

但是这种方法也并不十分完美。首先，并非所有人都是风险厌恶的，相反有很多人喜欢冒险。如每期必买的彩票，以及Casino（卡西诺）纸牌游戏，其价格都高于得奖的期望值。你也可以说这些喜欢冒险买彩票和赌博的人是非理性的，可他们自有乐趣，喜欢这样的风险刺激。总之，风险厌恶的观点很难解释清楚实际游戏平均值非常有限的问题。退一步说，即便承认风险厌恶的观点，矛盾仍然不能消除。我们仍然可以调整奖金额，最后，考虑风险厌恶情况的期望值仍然是无穷大而与实际情况不符。

（三）效用上限论

对前两种观点的反驳，我们采用了增加奖金额的方法来补偿效用的递减和风险厌恶，两者均是假定效用可以无限增加。也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用之和就有了一个极限值。Menger认为效用上限是惟一能消解该悖论的方法。设效用值等于货币值，上限为１００单位，则游戏的期望效用为7.56l25，如表3所示。也许这里的效用上限太小了，不过我们可以任意选定一个更大的值比如225 。有多人如Russell Har—din (1982)，W illiam G uNtaNon (1994)，Richar

d Jeffrey(1983)等都赞成这样的观点。不过这种效用上限的观点似乎不太令人信服。效用上限与效用递减不同，或许你认为有２２５的钱够自己花的了，可是钱并不能给我们带来所有的效用，有些东西不是钱所能买来的。效用上限意味着再也没有价值可以添加了。但是一个人有了钱，还希望他的朋友、亲戚也像他一样富有；同一个城市里的人和他一样富有。而效用上限论认为到了这一上限他们就不用再做任何交易了，看起来这并不能成立。对有些人来讲，似乎期望和需求并不是无限增加的，对于现有的有限需求他们已经满足了。他们觉得这里的游戏期望效用值确实是有限的。不过是不是确实有这样的人还是一个不确定的问题，或者是个经验性的问题。但认为“越多越好”的人确实是存在的。对于决策准则这样的理性选择的理论，不能基于可疑的和经验性的判断而加以限制，因而期望有限论不足以消解这里的矛盾。

（四）结果有限论

Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果值的大小限制在一定的范围内。这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。比如对游戏设定某一个投掷的上限数Ｌ，在投掷到这个数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你还能再投多少，就按照Ｌ付钱。因为你即便不设定Ｌ，实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的，任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期望值自然也就可以计算了。

问题是，这已经不是原来的那种游戏了！同时也并没有证明原来的游戏期望值不是无限大。原来的游戏到底存在吗？Jeffrey说：“任何提供这一游戏的人都是一个骗子，谁也没有无限大的银行！”是说实际上没有这种游戏吗？恐怕这也不见的。如果我邀请你玩这种游戏，你说我实际上不是在这样做吗? 或者说我实际上邀请你玩的不是这种游戏而是另外的什么游戏? 很多游戏场提供许多概率极小、奖金额极大几乎不可能的游戏，他们仍然在经营、在赚钱，照样吃饭睡觉，一点儿也不担心哪一天会欠下一屁股债，崩盘倒闭。

Jeffrey在这样说的时候，实际上是承认了圣彼得堡游戏的期望值是无穷大了。认为游戏厅不提供这样的游戏，正是因为他们认为其期望值是无穷大，迟早他们会因此而破产倒闭。这正是用了常规的决策理论，而反过来又说这种游戏实际上不存在，应该排除在期望值概念之外。因此，用限制期望值概念的方法并不能消解悖论。

不能限制期望值概念的原因还有很多。比如，我们不能用限制期望值概念的方法仅把圣彼得堡游戏排除在外，而应该是通用的。在人寿保险中，有一个险种根据保险人的年龄，每长一岁给付一定的赔付金额。采用人类寿命的经验曲线给出每个年龄的生存机会。大于１４０岁的生存率已经没有经验可以借鉴，但可以采用一定的函数将生存年龄扩展至无穷大，当然其生存率趋向于零。注意到这里的给付金额也是无限的，但是其在期望值计算方面并没有出现什么问题。

问题的本质与悖论的消解

所谓悖论，《辞海》中的定义是：“一命题Ｂ，如果承认Ｂ，可推得非Ｂ，反之，如果承认非Ｂ，又可推得Ｂ，称命题Ｂ为一悖论。”可见，作为一种推理的矛盾现象，