数学(全本)中等职业技术学校
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因式分解、分式与数的乘方开方运算
.
3
有理数 整数和分数统称为有理数。
无理数 无限不循环小数叫做无理数。
实数 有理数和无理数统称为实数。
数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
倒数 乘积是1的两个数叫做互为倒数。
相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
绝对值
几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的 点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|。
2．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
的值为0。
3．计算：
（1）
31 1 a2b ab a3b3
（2）
3x (x2 5 )
2x4
x2
.
14
数的乘方和开方运算
正整数指数幂 a 14 a4 a4a2 4 4 a 43 an （n是正整数） n个 a
零指数幂 a0 1(a0) 负整数指数幂 ana1n(a0,n是 正 整 数 ) 平方根 若x2＝a (a≥0)，则称x为a的平方根
.
16
例题解析
例1 解
计算：( 3 ) 0 、( 1 ) 3 2 ( 3)0 1
、( 3 ) 3
2
、0.013
(1)3 1 1 8
2
(1)3 1
28
(3 2)3 (2 3)1 3(2 3)(1)(3)(2 3)32 8 7
0 .0 1 3 (1 0 2 ) 3 1 0 ( 2 )( 3 ) 1 0 6
解 原式
ax
ax
2 a
(ax)(ax)(ax)(ax)a 2x2
原式 (a1 b )(a b b )2a (a b b )2 b(a a b )2
原式 a(ab 2b)2(ab (b a) (ab ). b)a(abb)
13
课堂练习：
1．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
没有意义。
（3） x2 2x15
解 原式= 5a2b(3ab4b21) 原式= x 2 (y 2 2 y 1 ) x 2 (y 1 )2 原式= (x3)(x5)
=(xy1)(xy1)
.
10
课堂练习：
1．计算
( x 2 x 2 5 ) ( 3 4 x 2 6 x )
2. 计算
(3 a b7 )( 4 a26 a b7 )
MATHS
全国中等职业技术学校通用教材
数学
.
1
第1章 方程与不等式
1.1 数（式）的运算 1.2 解方程（组）
.
2
1.1 数（式）的运算
教学目的： 理解有理数、无理数、实数、数轴、倒数、
相反数绝对值的概念，能够进行相关运算。 教学重点:
理解整式、分式、数的乘方和开方的概念； 掌握它们的性质和运算法则。 教学难点:
代数定义：
a
(a 0)
|
a
|
0
(a 0)
. a ( a 0 )
4
例题解析 例1 求下列数的绝对值：
（1）3.4 解
（1）因为3.4>0，所以|3.4|＝3.4。
.
5
课堂练习：
1．__在__－_2_、__34 _、，94 分、数2有、_2 _5 __这__些__数__中__，_整__数__有， 有
分式的基本性质 ： 分式的分子和分母都乘以（或除 以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个 性质叫做分式的基本性质，即
A A M B BM
A AM B BM
，（M为不等于零的整式） 分式的运算 ： 分式的加减运算是使用通分进行的；
分式的乘除运算是使用约分进行的。
.
12
例题解析
例Fra Baidu bibliotek计算：
(1) （2） （3） 1 1 ax ax
3．分解因式：
（1） 3 6 a 2 b c 4 8 a b 2 c 2 4 a b c 2 1 2 a b c
（2） a2aczbbc= （3） x2 6x8 =
（4） 2x23x5
.
11
分式的运算
分式 ： A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的 形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
理数有_______________，无理数有
_______________________。
2.
4 5
的相反数为______，倒数为______；0的相
反数___，0有倒数吗？
3．求下列各式中x的值：
（1）x<0，| x |＝2
（2）x>0，|x|＝0.1
（3）|x|＝ 3 4．已知a≠0，x
当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只 有一个n次方根，表示n为a 。
当a ＞0时，＞0；当a＜0时n ，a ＜0。
０的n次方根是０。
n次根式 我们把形如n a （有意义时）的式子称为n次根式，其
中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方n 根a 称为 a的n次算术根，(并n a且)n a （n>1，n是正整数）
x2axbxab
(xa)(xb)
.
8
例题解析
例1 计算： （1） （2）
解
(2x23x)4(x1)2
(3a2bc)(3ab)(7abc) 4
（1）原式= 2 x 2 3 x 4 x 2 8 x 4 2 x 2 1 1 x 4
（2）原式= 1ab(7abc)7a2bc2
4
4
.
9
例2 把下列各式分解因式 （1） 1 5 a 3 b 2 2 0 a 2 b 3 5 a 2 b （2） x2 y22y1
（二次方根）
立方根 若x3＝a (a≥0)，则称x为a的立方根 （三次方根）
.
15
n次方根
若 ＝x n a （a是一个实数，n是大于1的正整数），
则称数x为a的一个n次方根。
当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里 有两个n次方根，互为相反数，分别表示n为a 和n a ； 而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。
a1ba2
1 2abb2
b2
abb2
a32a2bab2 a2b2
分
析：分式的加、减法关键是求最小公分母，基本
方法：①先将各分母分解因式；②将所有因式全
部取出，公因式应取次数最高的；③将取出的因
式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，
先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时
约去分子分母的公因式，再化简。
a
，求x。
a
.
6
整式的运算
幂的运算法则（a、b≠0，m、n是整数）
an•amanm
(am)n am•n
(ab)n anbn
常用乘法公式
(ab)(ab)a2b2
a2b2a22abb2
a 2 b 2 a 2 . 2 a b b 2
7
因式分解
多项式的因式分解就是把一个多项式化为几 个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是 相反方向的变换
.
3
有理数 整数和分数统称为有理数。
无理数 无限不循环小数叫做无理数。
实数 有理数和无理数统称为实数。
数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
倒数 乘积是1的两个数叫做互为倒数。
相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
绝对值
几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的 点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|。
2．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
的值为0。
3．计算：
（1）
31 1 a2b ab a3b3
（2）
3x (x2 5 )
2x4
x2
.
14
数的乘方和开方运算
正整数指数幂 a 14 a4 a4a2 4 4 a 43 an （n是正整数） n个 a
零指数幂 a0 1(a0) 负整数指数幂 ana1n(a0,n是 正 整 数 ) 平方根 若x2＝a (a≥0)，则称x为a的平方根
.
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例题解析
例1 解
计算：( 3 ) 0 、( 1 ) 3 2 ( 3)0 1
、( 3 ) 3
2
、0.013
(1)3 1 1 8
2
(1)3 1
28
(3 2)3 (2 3)1 3(2 3)(1)(3)(2 3)32 8 7
0 .0 1 3 (1 0 2 ) 3 1 0 ( 2 )( 3 ) 1 0 6
解 原式
ax
ax
2 a
(ax)(ax)(ax)(ax)a 2x2
原式 (a1 b )(a b b )2a (a b b )2 b(a a b )2
原式 a(ab 2b)2(ab (b a) (ab ). b)a(abb)
13
课堂练习：
1．当x＝______时，分式12 x
3
3 x
没有意义。
（3） x2 2x15
解 原式= 5a2b(3ab4b21) 原式= x 2 (y 2 2 y 1 ) x 2 (y 1 )2 原式= (x3)(x5)
=(xy1)(xy1)
.
10
课堂练习：
1．计算
( x 2 x 2 5 ) ( 3 4 x 2 6 x )
2. 计算
(3 a b7 )( 4 a26 a b7 )
MATHS
全国中等职业技术学校通用教材
数学
.
1
第1章 方程与不等式
1.1 数（式）的运算 1.2 解方程（组）
.
2
1.1 数（式）的运算
教学目的： 理解有理数、无理数、实数、数轴、倒数、
相反数绝对值的概念，能够进行相关运算。 教学重点:
理解整式、分式、数的乘方和开方的概念； 掌握它们的性质和运算法则。 教学难点:
代数定义：
a
(a 0)
|
a
|
0
(a 0)
. a ( a 0 )
4
例题解析 例1 求下列数的绝对值：
（1）3.4 解
（1）因为3.4>0，所以|3.4|＝3.4。
.
5
课堂练习：
1．__在__－_2_、__34 _、，94 分、数2有、_2 _5 __这__些__数__中__，_整__数__有， 有
分式的基本性质 ： 分式的分子和分母都乘以（或除 以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个 性质叫做分式的基本性质，即
A A M B BM
A AM B BM
，（M为不等于零的整式） 分式的运算 ： 分式的加减运算是使用通分进行的；
分式的乘除运算是使用约分进行的。
.
12
例题解析
例Fra Baidu bibliotek计算：
(1) （2） （3） 1 1 ax ax
3．分解因式：
（1） 3 6 a 2 b c 4 8 a b 2 c 2 4 a b c 2 1 2 a b c
（2） a2aczbbc= （3） x2 6x8 =
（4） 2x23x5
.
11
分式的运算
分式 ： A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成 的 形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
理数有_______________，无理数有
_______________________。
2.
4 5
的相反数为______，倒数为______；0的相
反数___，0有倒数吗？
3．求下列各式中x的值：
（1）x<0，| x |＝2
（2）x>0，|x|＝0.1
（3）|x|＝ 3 4．已知a≠0，x
当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只 有一个n次方根，表示n为a 。
当a ＞0时，＞0；当a＜0时n ，a ＜0。
０的n次方根是０。
n次根式 我们把形如n a （有意义时）的式子称为n次根式，其
中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方n 根a 称为 a的n次算术根，(并n a且)n a （n>1，n是正整数）
x2axbxab
(xa)(xb)
.
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例题解析
例1 计算： （1） （2）
解
(2x23x)4(x1)2
(3a2bc)(3ab)(7abc) 4
（1）原式= 2 x 2 3 x 4 x 2 8 x 4 2 x 2 1 1 x 4
（2）原式= 1ab(7abc)7a2bc2
4
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例2 把下列各式分解因式 （1） 1 5 a 3 b 2 2 0 a 2 b 3 5 a 2 b （2） x2 y22y1
（二次方根）
立方根 若x3＝a (a≥0)，则称x为a的立方根 （三次方根）
.
15
n次方根
若 ＝x n a （a是一个实数，n是大于1的正整数），
则称数x为a的一个n次方根。
当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里 有两个n次方根，互为相反数，分别表示n为a 和n a ； 而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。
a1ba2
1 2abb2
b2
abb2
a32a2bab2 a2b2
分
析：分式的加、减法关键是求最小公分母，基本
方法：①先将各分母分解因式；②将所有因式全
部取出，公因式应取次数最高的；③将取出的因
式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，
先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时
约去分子分母的公因式，再化简。
a
，求x。
a
.
6
整式的运算
幂的运算法则（a、b≠0，m、n是整数）
an•amanm
(am)n am•n
(ab)n anbn
常用乘法公式
(ab)(ab)a2b2
a2b2a22abb2
a 2 b 2 a 2 . 2 a b b 2
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因式分解
多项式的因式分解就是把一个多项式化为几 个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是 相反方向的变换