D-S证据理论方法
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(A )PA I)(Be A )l(
对偶（Bel(A) ,Pl(A)）称为信任空间。
2021/3/7
CHENLI
7
证据区间和不确定性
信任区间
0
Bel(A)
支持证据区间
Pl(A) 拒绝证据区间
拟信区间
信任度是对假设信任程度的下限估计—悲观估计； 似然度是对假设信任程度的上限估计—乐观估计。
2021/3/7
A i 1 i n
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5.5 基于D-S证据理论的数据融合
传感器1 命题的证据区间
传感器2
传感器n
命题的证据区间 命题的证据区间
证
据
融
组
合
合 最终判决规则 结
规
果
则
基于D-S证据方法的信息融合框图
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单传感器多测量周期可信度分配的融合
A 1 A 2
A 1 A 2
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多个概率分配数的合成规则
多个概率分配函数的正交和 M M 1 M 2 M n定义为：
M()0, A
其中
M(A)c1
Mi(Ai), A
AiA1in
c 1 M i(A i) M i(A i)
A i 1 i n
• 适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律案件分
析、多属性决策分析，等等。
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CHENLI
2
5.2 D-SBayes概率理论更弱的条件，即不需要知道先验 概率，具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力。
• 局限性：
要求证据必须是独立的，而这有时不易满足；证据合 成规则没有非常坚固的理论支持，其合理性和有效性还存 在较大的争议；计算上存在着潜在的组合爆炸问题。
其中
M s(A k ) c s 1
M s( j A m ) ,m 1 , ,K
A m A k1 j J
c s 1
M s( A jm )
M s( A jm )
A m 1 j J
A m 1 j J
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中心式计算的步骤
② 对所有传感器的融合结果再进行融合处理，即
Bel() M(B)
B
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似然函数
定义3 命题的似然函数PI:
PI: 2[0,1]
PIA()1Bel(A-), A
PI 函数称为上限函数，表示对 A 非假的信任程度，即表示对 A 似乎可能成立的不确定性度量。 信任函数和似然函数有如下关系：
PA I) (BA e),lA ( A 的不确定性由下式表示
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信任函数
定义2 命题的信任函数Bel
对于任意假设而言，其信任度Bel(A)定义为 A 中全部子集 对应的基本概率之和，即
Be:l 2 [0,1]
BelA()M(B), A BA
Bel函数也称为下限函数，表示对 A 的全部信任。由概率分配 函数的定义容易得到
Bel() M() 0
Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的 研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着证 据理论的正式诞生。
• 形成：Dempster的学生G. Shafer对证据理论做了进一步
的发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据”和 “组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于1976 年出版了《证据的数学理论》，这标志着证据理论正式成 为一种处理不确定性问题的完整理论。
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基本概率分配函数
定义1 基本概率分配函数 M M: 2[0,1]
设函数 M 是满足下列条件的映射： ① 不可能事件的基本概率是0，即 M()0；
② 2 中全部元素的基本概率之和为1，即 M (A )1 , A
则称 M 是 2上的概率分配函数，M(A)称为A的基本概率数， 表示对A的精确信任。
CHENLI
8
5.4 D-S证据理论的合成规则
设 M 1 和 M 2是 2 上两个概率分配函数，则其正交和 MM1M2 定义为：
其中
M()0, A
M(A)c1 M1(A1)M2(A2), A A1A2A
c 1 M 1 ( A 1 ) M 2 ( A 2 ) M 1 ( A 1 ) M 2 ( A 2 )
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5.3 D-S证据理论的基本概念
D-S方法与其他概率方法的区别在于： ① 它有两个值，即对每个命题指派两个不确定度量（类似但 不等于概率）； ② 存在一个证据使得命题似乎可能成立，但使用这个证据又 不直接支持或拒绝它。
下面给出几个基本定义。
设 是样本空间，由一些互不相容的陈述构成。这些陈 述各种组合构成幂集 2。
设 M j (Ak )表示传感器在第 j(j1,..J.),个测量周期对命题 A k (k1 , ,K )的可信度分配值，则该传感器依据 n个周期的测 量积累对命题 A k 的融合后验可信度分配为
其中
M (A k ) c 1
M j(A m ) , m 1 , ,K
A m A k1 j J
传感器1 M1j (Ak ) 不同周期融合
传感器2 M2 j (Ak ) 不同周期融合
传感器S MS j (Ak )
不同周期融合
M1(Ak )
融 M2(Ak ) 合 M (Ak )
中 心
MS (Ak )
中心式计算方法
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中心式计算的步骤
① 计算每一传感器根据各自 j 个周期的累积量测所获得的各 个命题的融合后验可信度分配
c 1 M j(A k ) M j(A k )
A k 1 j J
A k 1 j J
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多传感器多测量周期可信度分配的融合
设 Ms j (Ak ) 表示第 s(s1,..S.),个传感器在第 j(j1,..n.),个测 量周期对命题 A k(k1, ,K)的可信度分配 ，那么 A k 的融合 后验可信度分配如何计算呢？
5 D-S证据理论方法
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域 5.2 D-S证据理论的优势和局限性 5.3 D-S证据理论的基本概念 5.4 D-S证据理论的合成规则 5.5 基于D-S证据理论的数据融合
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域
• 诞生：源于20世纪60年代美国哈佛大学数学家A. P.
对偶（Bel(A) ,Pl(A)）称为信任空间。
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证据区间和不确定性
信任区间
0
Bel(A)
支持证据区间
Pl(A) 拒绝证据区间
拟信区间
信任度是对假设信任程度的下限估计—悲观估计； 似然度是对假设信任程度的上限估计—乐观估计。
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A i 1 i n
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5.5 基于D-S证据理论的数据融合
传感器1 命题的证据区间
传感器2
传感器n
命题的证据区间 命题的证据区间
证
据
融
组
合
合 最终判决规则 结
规
果
则
基于D-S证据方法的信息融合框图
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单传感器多测量周期可信度分配的融合
A 1 A 2
A 1 A 2
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多个概率分配数的合成规则
多个概率分配函数的正交和 M M 1 M 2 M n定义为：
M()0, A
其中
M(A)c1
Mi(Ai), A
AiA1in
c 1 M i(A i) M i(A i)
A i 1 i n
• 适用领域：信息融合、专家系统、情报分析、法律案件分
析、多属性决策分析，等等。
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5.2 D-SBayes概率理论更弱的条件，即不需要知道先验 概率，具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力。
• 局限性：
要求证据必须是独立的，而这有时不易满足；证据合 成规则没有非常坚固的理论支持，其合理性和有效性还存 在较大的争议；计算上存在着潜在的组合爆炸问题。
其中
M s(A k ) c s 1
M s( j A m ) ,m 1 , ,K
A m A k1 j J
c s 1
M s( A jm )
M s( A jm )
A m 1 j J
A m 1 j J
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中心式计算的步骤
② 对所有传感器的融合结果再进行融合处理，即
Bel() M(B)
B
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似然函数
定义3 命题的似然函数PI:
PI: 2[0,1]
PIA()1Bel(A-), A
PI 函数称为上限函数，表示对 A 非假的信任程度，即表示对 A 似乎可能成立的不确定性度量。 信任函数和似然函数有如下关系：
PA I) (BA e),lA ( A 的不确定性由下式表示
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信任函数
定义2 命题的信任函数Bel
对于任意假设而言，其信任度Bel(A)定义为 A 中全部子集 对应的基本概率之和，即
Be:l 2 [0,1]
BelA()M(B), A BA
Bel函数也称为下限函数，表示对 A 的全部信任。由概率分配 函数的定义容易得到
Bel() M() 0
Dempster在利用上、下限概率来解决多值映射问题方面的 研究工作。自1967年起连续发表了一系列论文，标志着证 据理论的正式诞生。
• 形成：Dempster的学生G. Shafer对证据理论做了进一步
的发展，引入信任函数概念，形成了一套基于“证据”和 “组合”来处理不确定性推理问题的数学方法，并于1976 年出版了《证据的数学理论》，这标志着证据理论正式成 为一种处理不确定性问题的完整理论。
2021/3/7
CHENLI
4
基本概率分配函数
定义1 基本概率分配函数 M M: 2[0,1]
设函数 M 是满足下列条件的映射： ① 不可能事件的基本概率是0，即 M()0；
② 2 中全部元素的基本概率之和为1，即 M (A )1 , A
则称 M 是 2上的概率分配函数，M(A)称为A的基本概率数， 表示对A的精确信任。
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5.4 D-S证据理论的合成规则
设 M 1 和 M 2是 2 上两个概率分配函数，则其正交和 MM1M2 定义为：
其中
M()0, A
M(A)c1 M1(A1)M2(A2), A A1A2A
c 1 M 1 ( A 1 ) M 2 ( A 2 ) M 1 ( A 1 ) M 2 ( A 2 )
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5.3 D-S证据理论的基本概念
D-S方法与其他概率方法的区别在于： ① 它有两个值，即对每个命题指派两个不确定度量（类似但 不等于概率）； ② 存在一个证据使得命题似乎可能成立，但使用这个证据又 不直接支持或拒绝它。
下面给出几个基本定义。
设 是样本空间，由一些互不相容的陈述构成。这些陈 述各种组合构成幂集 2。
设 M j (Ak )表示传感器在第 j(j1,..J.),个测量周期对命题 A k (k1 , ,K )的可信度分配值，则该传感器依据 n个周期的测 量积累对命题 A k 的融合后验可信度分配为
其中
M (A k ) c 1
M j(A m ) , m 1 , ,K
A m A k1 j J
传感器1 M1j (Ak ) 不同周期融合
传感器2 M2 j (Ak ) 不同周期融合
传感器S MS j (Ak )
不同周期融合
M1(Ak )
融 M2(Ak ) 合 M (Ak )
中 心
MS (Ak )
中心式计算方法
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中心式计算的步骤
① 计算每一传感器根据各自 j 个周期的累积量测所获得的各 个命题的融合后验可信度分配
c 1 M j(A k ) M j(A k )
A k 1 j J
A k 1 j J
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多传感器多测量周期可信度分配的融合
设 Ms j (Ak ) 表示第 s(s1,..S.),个传感器在第 j(j1,..n.),个测 量周期对命题 A k(k1, ,K)的可信度分配 ，那么 A k 的融合 后验可信度分配如何计算呢？
5 D-S证据理论方法
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域 5.2 D-S证据理论的优势和局限性 5.3 D-S证据理论的基本概念 5.4 D-S证据理论的合成规则 5.5 基于D-S证据理论的数据融合
5.1 D-S证据理论的诞生、形成和适用领域
• 诞生：源于20世纪60年代美国哈佛大学数学家A. P.