一元一次不等式组解题技巧

一元一次不等式组解题技巧

一、重点难点提示

重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。

难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。

二、学习指导：

1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，

2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。

3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。（注意借助于数轴

4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a>b）不等式组的解集数轴表示

）（同大型，同大取大）

2）（同小型，同小取小）

3）（一大一小型，小大之间）

4）（比大的大，比小的小空集）无解

三、一元一次不等式组的解法

例1.解不等式组并将解集标在数轴上

分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。

步骤：

解：解不等式(1)得x> （1）分别解不等式组的每

解不等式(2)得x≤4 一个不等式

∴（2）求组的解集

（借助数轴找公共部分）

（利用数轴确定不等式组的解集）

∴原不等式组的解集为

∴（4）将解集标在数轴上

例2.解不等式组

解：解不等式(1)得x>-1,

解不等式(2)得x≤1,

解不等式(3)得x<2,

∴∵在数轴上表示出各个解为：

∴原不等式组解集为-1

注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括-1而包括1（2）来画。

例3.解不等式组

解：解不等式(1)得x>-1,

解不等式(2), ∵≤5, ∴ -5≤x≤5,

∴

将(3)(4)解在数轴上表示出来如图，

∴原不等式组解集为-1

四、一元一次不等式组的应用。

例4.求不等式组的正整数解。

步骤：

解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3, 1、先求出不等式组

解不等式≤1得x≤2, 的解集。

∴2、在解集中找出它

所要求的特殊解，

∴原不等式组解集为x≤正整数解。

∴这个不等式组的正整数解1、2。

例5．m为何整数时，方程组的解是非负数

分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。先解方程组用m的代数式表示x, y, 再运件列出不等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。

解：解方程组得

∵方程组的解是非负数，∴

即

解不等式组∴此不等式组解集为≤m≤,

又∵ m为整数，∴ m=3或m=4。

例6．解不等式<0.

分析：由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的商为负数这两个数异或(2) 因此，本题可转化为解两个不等式组。

解：∵<0, ∴或 (2)

由(1) ∴无解，

由(2) ∴

∴原不等式的解为-

例7.解不等式-3≤3x-1<5.

解法（1）:原不等式相当于不等式组

解不等式组得- ≤，∴原不等式解集为- ≤

解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6, 将这个不等式的两边和中间都除以3得，

- ≤∴原不等式解集为- ≤

例取哪些整数时，代数式与代数式的差不小于6而小于8。分析：(1)“不小于6”即≥6, (2) 由题意转化成不等式问题解决，

解：由题意可得，6≤- <8,

将不等式转化为不等式组，

∴

∴解不等式(1)得x≤

解不等式(2)得x>- ,

∴∴原不等式组解集为-

∴ -

∴当x取±3，±2，±1，0，4，5，6时两个代数式差不小于6而小于8。

例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于20并且小于40，求这个两位数。

分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。题目中有两个主要未关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。

解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2),

由题意可得：20<10x+(x+2)<40,

解这个不等式得，1

∵ x为正整数，∴ 1

∴当x=2时，∴

当x=3时，∴ 10x+(x+2)=35,

答：这个两位数为24或35。

解法（2）:设十位上的数为x, 个位上的数为y, 则两位数为10x+y,

由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等将(1)代入(2)得，20<11x+2<40,

解不等式得：1

∵ x为正整数，1

∴当x=2时，y=4，∴

当x=3时，y=5, ∴

答：这个两位数为24或35。

解法（3）:可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40，所以它十位上的数只能是2时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。

例10.解下列不等式：

(1)| |≤(2) <0; (3)(3x-6)(2x-1)>0.

（1）分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。但由绝对值的知识|若|x|>a, (a>0)则x>a或x<-a.