湛江一中迎新杯数学竞赛

湛江一中第四届“迎新杯”数学竞赛

高 一 试 题

满 分：150分 时间：2018．1．7 下午 15：00---17：00

数学是科学的皇后-----高斯 祝同学们在新的一年数学科取得优异成绩！

一、选择题：本大题共 10小题,每小题 5 分,共 50分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 把答案填在答题卷上．

1. 已知U 是全集， M 、N 是U 的两个子集，若M N U ?≠， M N ?≠?，则下列选项中正确的是

A. U C M N =

B. U C N M

=

C. ()()U U C M C N ?=?

D.()()U U C M C N U ?≠ 2. 已知实数,x y 满足()1x y a a a >>，则下列关系式恒成立的是

A.

11

11

x y <++ B. sin sin x y > C. ()()22lg 1lg 1x y +>+ D.

3. 已知函数()f x x =+0a >）的最小值为2，则实数a =

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

4. 函数()22

x x

e e

f x x x --=+-的部分图象大致是

A. B.

C. D.

5. 某班学生进行了三次数学测试，第一次有8名学生得满分，第二次有10名学生得满分，第三次有12名学生得满分，已知前两次均为满分的学生有5名，三次测试中至少有一次得满分的学生有15名.若后两次均为满分的学生至多有n 名，则n 的值为 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

6. 已知函数()()cos 02f x x π????

=+<< ??

?

， 4f x π??

+

??

?

是奇函数，则 A. ()f x 在,4ππ?? ???上单调递减 B. ()f x 在0,4π??

???

上单调递减 C. ()f x 在,4ππ??

???上单调递增 D. ()f x 在0,4π??

???

上单调递增 7. 在ABC ?中， 5,6AB AC BC ===, I 是ABC ?的内心，若BI mBA nBC =+

(),m n R ∈，则m

n

=

A.

43 B. 65 C. 2 D. 12

8. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当

时，

（

为自然对数的底数），则的值为 A.

B.

C. D.

9. 函数()1log ,0,12x

a f x x a a ??

=->≠ ???

.若该函数的两个零点为12,x x ，则

A. 121x x >

B. 121x x =

C. 121x x <

D. 无法判定

10. 如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ?的最大值是

A. 2

B. 1

C. 0

D. 1-

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷相应的横线

上.

11. α为锐角，若4cos()6

5π

α+

=

，则2sin(

2)3

π

α-=___________.

12. 设1≥,则22x y +=___________________.

13. 已知函数()122x x

f x x ??

=-

??

?

，若()()1f x f x ->，则x 的取值范围__________. 14. 已知0ω>,函数()2sin f x x ω=在区间,34ππ??

-????

上的最小值为2-，

则ω的取值范围是 ______________.

15. 已知ABC ?是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则()

PA PB PC ?+的最小值为__________________.

16．已知函数()f x （x R ∈）满足()()4f x f x -=-，函数()211

x x

g x x x -=

+-+，若曲线()y f x =与()y g x =图象的交点分别为()11,x y ， ()22,x y ， ()33,x y ，…，

()20182018,x y ，则()222018201811()...()x y x y x y ++++++=__________.

三、解答题:本大题共4 题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.把答题过程写在答题卷上. 17.（本题满分15分） 设02

π

βα<<<

，请你用两种．．方法证明公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．

18.（本题满分15分）

已知关于x 的方程2sin cos x x m += 在[0,2)π内有两个不同的解,αβ． (Ｉ)求实数m 的取值范围； （II)用m 表示 cos()αβ-的值.

19.（本题满分20分）

求实数a

的取值范围，使不等式

sin2)32

4cos()

4

a

π

θθ

π

θ

-+->--

-

，对[0,]

2

π

θ∈恒成立.

20. （本题满分20分）

已知{}

123

*,2,,,,,1,1,

n

n N n k k k k

∈≥???∈-{}

2

12

0|222n

n

A x x k k k

=>=?+?+???+?

,记()

A n为集合A中所有元素之和.

(I)求()3

A的值；

(II)求()

A n（用n表示）.

（参考公式：23

(1)

(1)

1

n

n

q q

q q q q q

q

-

++++=≠

-

）