泛函分析报告

成都理工

大学

泛函分析报告

姓名：涂君

学号：2016020398

授课教师：李为

学院：地球物理学院

专业：地球探测与信息技术

目录

对泛函分析的认识....................................................... - 1 - 概论............................................................... - 1 - 拓扑线性空间....................................................... - 1 - 巴拿赫空间（Banach） ............................................... - 1 - 希尔伯特空间（Hilbert） ............................................ - 1 - 算子............................................................... - 2 - 线性算子和线性泛函 ............................................. - 2 - 非线性算子 ..................................................... - 2 - 选择公理 ....................................................... - 2 - 历史简介........................................................... - 3 - 背景........................................................... - 3 - 总结............................................................... - 4 - 知识总结............................................................... - 5 - 空间总结........................................................... - 5 -

1、距离空间 .................................................... - 5 -

2、赋范线性空间 ................................................ - 5 -

3、Banach 空间 ................................................. - 6 -

4、内积空间 .................................................... - 7 -

5、可分空间 .................................................... - 8 -

6、零空间 ...................................................... - 8 -

7、H*空间 ...................................................... - 8 - 总结................................................................... - 8 -

对泛函分析的认识

概论

泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

拓扑线性空间

由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等），这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。

拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。

巴拿赫空间（Banach）

这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。或者对于每个实数p，如果p ≥ 1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

Banach空间是完备线性空间。

希尔伯特空间（Hilbert）

希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔

伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。

Hilbert空间是完备的内积空间。

算子

在具体的函数空间上，我们有对函数的各种各样的操作。最典型的是对函数求导数的操作。这样的操作一般叫做算子。作为一个拓扑空间之间的映射，我们总可以要求算子是连续映射。对拓扑线性空间上的算子的研究构成了泛函分析的一个很大的分支领域。

线性算子和线性泛函

最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。

在线性算子的理论中有几个非常基本而重要的定理。

1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。

该定理有弱条件得出来了强的结论。

2.罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）

研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。

3.开映射定理和闭图像定理。

非线性算子

更一般的我们会遇到非线性的算子。最简单的例子就是各种函数空间上不同的能量泛函。非线性的算子在微分几何和微分方程理论中都扮演重要的角色。

选择公理

泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的。为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理

（Boolean prime ideal theorem）的一个形式。

历史简介

背景

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几米得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的映像。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。

希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

研究现状

泛函分析目前包括以下分支：

软分析（soft analysis），其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化

了，而且还把这些概念和方法几何化了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

总结

经过充实紧张的学习一个学期的学习，在李老师的带领下，我们懂得了泛函的基本背景来历，懂得了泛函是在现实需要的情况下，由实际需要产生，产生后服务于数学问题。经过一代又一代人的不懈努力，现在的泛函分析已经可以覆盖各个学科范围，现在尤其在工程力学等领域的应用方面，作用突出，在理论研究方面得到不错的效果。

知识总结

空间总结

1、距离空间

R ：数列收敛，εx x N.n N,0,ε,x x 0n 0n <->??>?→

推广

集合、序列：ε)a ,d(a N,n N,0,ε.a a 0n 0n <>??>?→。

这样就定义了距离空间d （x ，x ）

距离空间的定义：R X X X),d(X,→?其中X 为非零集合。 满足：

① y x 0y)d(x,0,y)d(x,=?=≥ 非负性

② x)d(y,y)d(x,= 对称性

③ z)d(x,z)d(y,y)d(x,>+ 三角不等式

称d （x ，y ）为距离，X ：距离空间（x ，d ）

欧式空间 y x y)ρ(x,-= y x 1y

x y)ρ(x,-+-=

C [a,b]表示在[a ，b]上所有连续函数的全体，对于x(t),y(t)属于C [a,b]，可定义距离：

y(t)x(t)y)ρ(x,m ax b t a -=≤≤ y (t )x (t )y)d(x,m ax b t a -=≤≤

dt y(t) x(t)) g , f (d b a 2?-=

L p （∞≤≤ρl ）集合，元素{}}{∞

===1 j i n 21ξ...,...ξξ,ξx

{}}{∞===1i

i n 21η...,...ηη,ηy ∞<∑

∞

=1i p

i η（离散点求和）

则距离：p

11j p j j η ξ y)(x, d ??

?? ??-=∑∞= L p [a ，b] ：p 次方lebesgue 可积函数全体（连续可积） f ()?∞

dt (t) f L b][a,p L g f ∈? ， p 1p b

a dt g(t)f(t)g)d(f,??? ??-=? （p 在一到无穷）

2、赋范线性空间

定义 X ：线性空间，R X :→? 满足

1) 0x 0 x , X x , 0 x =?=∈?≥ 非负性

2) k α , x α x α ∈= （数域） 正齐次性

3) y x y x +≤+ 三角不等式

称?为范数 （X ，? ）称为赋范线性空间。

C [a,b]: [a ，b]上所有连续函数全体。

X ，y 属于C [a,b]，则有下面性质：

① (x+y)(t)=x (t)+y (t) 加乘

② (ax)(t)=ax (t) 任意a 属于常数k 数乘

赋范线性空间的性质：

性质1：收敛序列极限唯一

x x n → y x 0-≤

y y n → y x x x y x x x n n n n -+-≤-+- ∞→n 0y x =-?∴

性质2：收敛序列有界

x x n →

Pr ：x x n → )(n ∞→

εx x N,n N,0,εn <->??>?

性质3： x x n → )(n ∞→ ?数列 }{n x 有界

R n ：x = ( x 1, x 2, ......x n ) 属于R n 21n 1k 2k 2x x ??? ??=∑= ∑==n 1

k k 1x x k n k 1x x ma x ≤≤∞=

性质4： ? 连续性 x x x x n n =?→ )(n ∞→

)0(n x x )?0(n x x n n ∞→→-∞→→-

Pr ：n n n n x x x x x x x +-≤+-= x x x x x x x n n n +-≤+-= ? n n x x x x --≥- n n x x x x -≤-

? )(n 0x x x x n n ∞→→-≤- 性质5 i.e. y x y x y &y &x x n n n n +→+?→→

? x ααx α&α&x x n n n n →?→→

Pr ：)(n 0y -y && 0x -x n n ∞→→→

0y -y x -x y -x -y x y)(x -y x n n n n n n =+→≤+=++

)(n 0x x αx αααx -αx αx -x αx α-αx -αx αx x αx αn n n n n n n n n n n n n ∞→=-+-=+≤+=+

3、Banach 空间

完备的赋范线性空间都是Banach 空间

完备：任意Cauchy 列都是收敛列

)(x,? {x n } ，Cauchy 列 ， εx -x N,n m,N,0,εm n <>??>? Cauchy 列：

{x n } 属于距离空间X 中的点列，如果对于 0ε>? N ?当N m n,>?时，ε)x ,ρ(x n m < 称{x n }是Cauchy 列

4、内积空间 设X 是k 是上的线性空间，若映射k X X :,→?-??- 满足：

a. 0x 0x x,0,x x,=?=??≥?? 正定性 非负性

b. ??=??x y,y x, （k 可能为复数） 共轭性

c. ??+??=?+?z y,βz x,αz βy,αx X z y,x,∈? ，

k βα,∈? 关于第一变元线性

??+??=??+??=?+?=?+?z x,βy x,αz x,βy x,αx βz,αy βz αy x,关于第二变元共轭性

??=x x,x ? 内积空间也是赋范线性空间

Cauchy —Schwarz 不等式

内积空间X ： X y x,,y y,x x,x x,2∈????≤??

y x y x,?≤???

内积空间的基本性质：

二元连续性：??→???→→y x,y ,x y y x,x n n n n

Pr ： )(n 0y y ,y &y &0x x x,x n n n n ∞→→→→→--

)(n 0y x,-y ,x ?n n ∞→?→?????

??+??≤??+??=??-??+????y -y x,y x,-x y -y x,y x,-x y x,y x,y x,-y ,x n n n n n n n n n n y -y x y x -x n n n ?+?≤ （范数具有一元连续性）

赋范线性空间只有满足平行四边形法则才是内积空间，平行四边形法则是内积空间中赋范线性空间的特征。

平行四边形法则： )y x 2(y y x x 222n 2n +=-+-

Banach 空间： 完备的线性空间

Hilbert 空间：完备的内积空间

5、可分空间

X 中存在一个可数的稠密子集R n ，L 2[a ，b] 。

6、零空间

N （f ）=} 0 ) x ( f , H x

{ ) f ( N =∈=

7、H*空间

设?=b a x(t)dt f(x) ， [] b , a 2L x ∈ ，则f 是[] b , a 2L 上有界连续线性泛

函 a b x dt 1dt x(t)x(t)dt f(x)21b a 221b a 2b

a -=??? ?????? ??≤=???

H *：Hilbert 空间上的全体连续线性泛函

H *是Banach 空间，进一步也是Hilbert 空间。

总结

光阴荏苒，研究生学习生涯在新鲜中开启；在第一节课时，李老师就给我们来了一份重礼：

第一：如何学习诸多概念

① 为何要引入这一概念？（其目的）

② 为何这样引入这一概念？

③ 概念的否定叙述。

第二：学习中如何有效理解诸多定理

1．否命题、逆否命题，理解定理本身。

2．定理将哪些概念联系起来？

3．定理的证明：看懂定理的证明后，在整理其证明思路，达到理解：思路产生之源。

课程已经结束，在此之间，认真的做了大篇幅的笔记，都是珍贵的知识与美好的回忆。虽然后面越来越难，甚至到了后面无法听懂了，还是默默的坚持着，学习着。这是人生态度，也是自己选这课的责任。

人生总是那么匆匆的走过，感谢李老师的兢兢业业的授课，更感谢李老师在这段人生的的教导。