考研高等数学导数与微分上总结

第二章
导数与微分(1)
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基本内容
一、导数与微分的概念
1导数定义：设函数y f ( x)在点x0的某邻域内有定义,
如果 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在,
x x0
x0
x
则称函数y f ( x)在点x0处可导，并称这个极限值
lim y 为y x0 x
f ( x)在点x0处的导数.
(sec x) secx tan x
(csc x) csc x cot x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)
1 1 x2
(arc
(e x
cot
)
x)
ex
1
1 x
2
(a x ) a x ln a
(ln x) 1
x
(loga x)
1 x ln a
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三、求导法则
1.函数和、差、积、商的求导法则
解 Q f (a) ln[1 sin(a a)] (a a)arctan2( 3 a ) 0,
f (a) lim f ( x) f (a) lim ln[1 sin( x a)] ( x a)arctan2( 3 x ) 0
xa x a
xa
xa
ln[1 sin( x a)] ( x a)arctan2( 3 x )
lim f ( x)-f (x0 ) xx0 x x0
1 x x0
k -1
A，
f ( x0 )=0.
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(C )
( x )
0
x
二、求导的基本公式
（1 R） (arccos
x)
1 1 x2
(sin x) cos x (cos x) sin x
(tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
y,
d2 y dx 2
,
d2 f (x) dx 2
.
一般地，函数 f (x)的n-1阶导数的导数称为函数f (x)
的n阶导数.
f
(n) (
x),
y(n) ,
dn y dx n
,
dn f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地，f (x) 称为零阶导数，f ( x)称为一阶导数.
x0 x
3.导函数的定义：
若函数 f (x) 在区间I上每一点处都可导，则任意点处的
导数，叫导函数.
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导函数的定义
f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
例:设函数f ( x) ln[1 sin( x a)] ( x a)arctan2( 3 x ),求f (a).
lim
lim
xa
xa
xa
xa
lim sin( x a) limarctan2( 3 x ) 1 arctan2( 3 a ).
xa x a
xa
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4.可导与连续的关系： 可导必连续，连续不一定可导，不连续 必不可导.
思考：函数y f ( x)在x0处可导,能否得到它在x0的一个
邻域内连续？
dy dx xx0
或 df (x) dx xx0
其它形式
f
(
x0
)
lim
h0
f (x0
h) h
ff((xx00
))
.
lim
x x0
f (x) x
f (x0). x0
即
lim
(狗)0
f [x0 (狗)] (狗)
f ( x0 )
f ( x0 )
lim
u( x ) x0
f
[u( x)] u( x)
f( x0
2.高阶导数的计算：直接法和间接法
u( x) v( x) u( x) v( x)
[u( x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x)
( u ) uv uv
v
v2
2.复合函数的求导法则
yx yu ux
(
1 v
)
v v2
(其中v 0 )
或 dy dy du . dx du dx
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3.反函数的求导法则
f ( x) 1 ,
如:
f
(x)
x2 ,当x为有理数时 0，当x为无理数时
它在x 0处可导.
不能得到它在x 0的一个邻域内连续.
Q f (0) lim f ( x) f (0) lim x2 02 0,
f (0)
x0
lim
x f (x)
f (0)
x0 x 0 02
lim
(当x为有理数)
0,
x0
x
x0 x
( y)
即yx
1
x
y
.
注意：使用求导法则的前提是“各自可
导”. 四、高阶导数
1.定义：如果函数f (x) 的导数 f ( x)在点 x 处可导，
即 ( f ( x)) lim f (x x) f (x) 存在
x0
x
则称( f ( x))为函数 f (x)在点 x 处的二阶导数.
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记作
f
( x),
如:yy x在xx 00处处是不否可可导导，？ 因为它在x 0的邻域内无定义.
又如:y x 在x 0处有定义,可导吗?
y
f (0 x) f (0)
x
lim lim
lim
x x0
x0
x
x0 x
lim x 1, lim x 1,
x0 x
x0 x
lim y 不存在， y x 在x 0不可导.
(当x为无理数)
它在x 0处可导，故它在x 0处连续，
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如:
f
(x)
x2 ,当x为有理数时 0，当x为无理数时
它在x 0处可导， 故它在x 0处连续， 但它在x 0之外任何点处不连续.
注意：函数在x 0处可导,不能得到在x 0的一个
邻域内连续.
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(3)如果f ( x)在x0处连续,则
x0
)
f
(
x0
)
3
2.左导数右导数
当x 0时,为右导数
f(
x0
)limxFra bibliotek0f ( x0 x) x
f ( x0 )
当x 0时,为左导数
f(
x0
)
lim
x 0—
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f (x)可导的充分必要条件：
f ( x0 )=A f-( x0 )=f( x0 )=A
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记为f ( x0 )，
即
f
( x0 )
lim
x 0
y x
lim x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
也记作 y ， dy 或 df (x)
x x0
dx xx0
dx xx0
2
y x x0
lim y x0 x
lim x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
也记作 f (x0 )，
lim
x x0
f (x) x x0
A
lim
x x0
f (x)
0，f ( x0 )
0,
f ( x0 )
A;
lim
x x0
f (x)
x x0 k
A(k
1)
lim x x0
f (x) 0，f ( x0 )
0,
f ( x0 )=0．
f (x)
lim
xx0 x x0
1 x x0
k -1