中考数学(全国通用) 知识复习：《例谈将军饮马问题的变式应用》

例谈“将军饮马”问题的变式应用

“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。

河流

事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题来具体分析解决。

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着的也是这个数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

（

如图所示，从 A 出发向河岸引垂线，垂足为 D ，在 AD 的延长线上，

取 A 关于河岸的对称点 A'，连结 A'B ，与河岸线相交于点 C ，则 C 点就是饮马的地方，将军

只要从 A 出发，沿直线走到 C ，饮马之后，再由 C 沿直线走到营地 B ，所走的路程就是最短

的。

如 果 将 军 在 河 边 的 另 外 任 一 点 C' 饮 马 ， 所 走 的 路 程 就 是 AC '+C'B ， 但 是 ，

AC '+C'B =A'C '+C'B >A'B =A'C +CB =AC +CB 。

可见，在 C 点外任何一点 C'饮马，所走的路程都要远一些．

这里需要说明的： 1）

由作法可知，河流 l 相当于线段 AA'的垂直平分线，所以 AD =A'D 。

（2）由上一条知：将军走的路程就是AC +BC ，就等于 A'C +BC ，而两点确定一线，两点之间

线段最短，所以 C 点为最优。

例1.如图，有 A 、B 两个村庄，他们想在河流 l 的边上建立一个水泵站，已知每米的管

道费用是100元，A 到河流的距离 AD 是1km ，B 到河流的距离 BE 是3km ，DE 长3km 。请问这

个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？

解：如图所作，C 点为水泵站的位置。

依题意，得：所铺设的水管长度就是 AC +BC ，

所以P点坐标为（5

即：A'C+BC=A'B的长度。

因为EF=A'D=AD=1km,所以BF=BE+EF=4km

又A'F=DE=3km

在△Rt A'BF中，A'B2=A'F2+BF2

所以：解得：A'B=5km

所以总费用为：5×1000×100=500000（元）

例2.如图所示，已知A（1，2），B（2，1），在x轴上找一点P，使PA+PB最小，则P 点坐标是（）

A.()

B.()

C.()

D.()

解：作B点关于x轴的对称点B’，

连结AB’与x轴的交点就为P点。则

点B’为(2，-1)，因此，直线AB’的解

析式为y=-3x+5，当y=0时，x=5,

3

3，0），故选答案A

。

例3.有一个养鱼专业户，在如图所示的两个池塘里养鱼，他住的地方在P点，每天早上必须去两个池塘边投放鱼食，试问：他怎样走才能以最短距离回到住地？

解：如图，作P点关于AB的对

称点P’,关于AC的对称点P”，

连接P’P”交AB于点D、交AC

于点E，则线段P’P”最短，即

PD+DE+PE就是他走的最短距离路线。

2

例4.如图，抛物线

y=a x+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、

x+2x+3

例5.抛物线y=a x+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴

C（0，3）三点，直线x=l是抛物线的对称轴。

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，

求点P的坐标。

解：（1）由题意可得方程组

y

C

P

x A O B

所以，抛物线的解析式为。y=-2

最短距离问题还可改变为最长问题，如下例5：

2

为x=1，B（3，0），C（0，-3）。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存

在一点P，使点P到B、C两点的距离之差最大?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

y

解：（1）由题意得出方程组

x=1

x A O B

C C’

所以解析式为y=x2-2x-3。

P

（2）如图，作点C关于直线x=1的对称点C’（2，-3），连结BC’并延长交直线x=1于P 点，再连结PC，此时，PB-PC’=PB-PC=BC’为最大。则容易求得直线PB为y=3x-9，当x=1时，y=-6,所以要求的P点坐标为(1,-6)。也可以连结AC延长交直线x=1于P点。

总之，做这类问题，就只要抓住两个思路：

•A

•B

l

P P’

图1

•A’

（1）是作点P，使得AP+BP最小。这个是作A'使得A'与A关于直线l对称，连接A'B两点交l于P，A'B=AP+BP。这是因为“两点之间，线段最短”。这个是最短的，要是P不在这点，假设是其它的点P'，连接P’与A、B，那么可以利用三角形任意两边的和大于第三边来证明不是最短，即A'P'+BP'=AP'+BP'>A'B。

•A

•B

l

P

P’

图2

（2）是作点P，使得AP与BP的差的绝对值最大。这个就是连接AB，延长AB交l于点P，|AP-BP|=AB。如果不是这点，是其它的点P'，就和AB构成三角形，那么利用三角形的任意两边的差小于第三边就可证明,即|P'A-P'B|