中考数学二次根式一元二次方程重点难点突破解题技巧传播一
二次根式一元二次方程重点难点突破解题技巧传播一
+的值为（）
1．若a，b为实数，且，则a b
A．－1 B．1 C．1或7 D．7
【答案】D．
【解析】
∴a2﹣9=0且a+3≠0，
解得a=3，
b=0+4=4，
则a+b=3+4=7．
故选D．
考点：二次根式有意义的条件．
2．如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数
A的坐标为（－2,－2）,则k的值为（）
A．1 B．－3 C．4 D．1或－3
【答案】D．
【解析】
试题分析：设C（x,y）．根据矩形的性质、点A的坐标分别求出B（﹣2,y）、D（x,﹣2）;根据“矩形ABCD
的对角线BD经过坐标原点”及直线AB的几何意义知求得xy=4①,又点C在
,所以将点C的坐标代入其中求得xy=k2+2k+1②;联立①②解关于k的一元二次方程,求得k=1或－3．
故选D．
考点：矩形的性质．
3a的值为（）
A. 4
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】A
【解析】
试题分析：依题意知分式方程有增根，故分式分母x-4=0，解得x=4为增根。 把分式方程去分母，化简得，x=2x-8+a ，解得x=8-a=4.故a=4.选A 考点：分式方程
点评：本题难度较低，主要考查学生对分式方程求解集增根知识点的掌握。求出增根为解题关键
4．如图，点A 的坐标为（6，0），点B 为y 轴的负半轴上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt △OBF ，等腰Rt △ABE ，连接EF 交y 轴于P 点，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长度为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、PB 的长度随点B 的运动而变化 【答案】 【解析】
试题分析：设B （0，m ），
∵等腰Rt △OBF ，∴F （m ，m ）.
如图，过点E 作EH ⊥y 轴于点H ，则易证Rt △ABO ≌Rt △BEH ，∴AO=BH ，OB=HE. ∵A （6，0），B （0，m ），∴E （m,m 6
--）. 设直线EF 的解析式为y kx b =+，
∴P ()0,m 3-.
∴BP=()m m 33--=. 故选B ．
考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3待定系数法的应用；4.直线上点的坐标与方程的关系.
5．如图，已知抛物线2
122y x =-+，直线222y x =+，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若
y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．
下列给出四个说法：
①当x＞0时，y1 ②当x＜0时，x值越大，M值越大； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x 说法正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵当y1=y2时，即-2x2+2=2x+2时， 解得：x=0或x=-1， ∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当-1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1； ∴①错误； ∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M； ∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大； ∴②错误； ∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在； ∴使得M大于2的x值不存在， ∴③正确；由图可知，x=0时，M有最大值为2，故①正确； 抛物线与x轴的交点为（-1，0）（1，0）， 由图可知，-1＜x＜0时，M=2x+2， 当M=1时，2x+2=1， 解得 x＞0时，M=-2x2+2， 当M=1时，-2x2+2=1， 解得 所以，使得M=1的x值是 综上所述，③④都正确． 故选B． 考点：二次函数的性质；一次函数的性质． 6．如图，抛物线y1=a(x＋2)2－3A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条 抛物线于点B、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是正数；②a=1；③当x=0时，y2－y1=4；④2AB=3AC．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D. 【解析】 试题分析：①∵抛物线y2x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方， ∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确； ②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得，故本小题错误； ③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1x+2）2-3， 当x=0时，y1）220-3）2y2-y1 ④∵物线y1=a（x+2）2-3与x-3）2+1交于点A（1，3）， ∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3， ∴B（-5，3），C（5，3） ∴AB=6，AC=4， ∴2AB=3AC，故本小题正确． 故选D． 考点: 二次函数的性质． 7．观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32012+32013①， ①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014②， ②﹣①得2S=32014﹣1，S=． 运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013= ． 【答案】 【解析】首先根据已知设S=1+5+52+53+…+52013 ①，再将其两边同乘5得到关系式②，②﹣①即可求得答案．解：设S=1+5+52+53+…+52013 ①， 则5S=5+52+53+54…+52014②， ②﹣①得：4S=52014﹣1， 所以S=． 故答案为． 8 【解析】 ，∴x 40 x 4123x 0-≥??=?-≥? 。∴y 3=. 考点：1.二次根式的非负性质；2.求代数式的值. 9．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方 便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 = ． 【答案】 【解析】此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用=﹣，结合题意运算即可． 解：=﹣， 则=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣ =1﹣=． 故答案为： ． 10．若关于x 的方程0962 =+-x kx 有实数根，则k 的取值范围是 。 【答案】k≤1． 【解析】 试题分析：由于k 的取值范围不能确定，故应分k=0和k ≠0两种情况进行解答． 试题解析：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得 （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x 的方程kx 2 -6x+9=0有实数根， ∴△=（-6）2 -4k×9≥0，解得k≤1， 由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1． 考点: 根的判别式. 11,则k=_________． 【答案】1或2． 【解析】 试题分析：去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1， 分为两种情况：①当x=2时，代入方程2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1， 1﹣2k=﹣1， 解得：k=1； ②当x≠2时，2（x﹣2）+1﹣kx=﹣1， 2x﹣4+1﹣kx=﹣1， （2﹣k）x=2， 当2﹣k=0时，方程无解， 解得：k=2． 故答案是1或2． 考点：分式方程的解． 12．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为． 【答案】0或﹣1 【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要对函数y=kx2+2x﹣1进行分类讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k的值． 解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0． ∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点， ∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根． ①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符号题意； ②当k≠0时，△=4+4k=0， 解得，k=﹣1． 综上所述，k=0或﹣1． 故答案是：0或﹣1． 13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a-b=0； ④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是 ( )．（填正确结论的序号） 【答案】①②⑤ 【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确； ②抛物线开口向上，得：a＞0； 抛物线的 对称轴为 x=-=1 ，b=-2a ，故b ＜ ； 抛物 线交y 轴于负半轴 ，得 ： c ＜0； 所以abc ＞ 0； 故② 正确； ③ ∵ 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=-=1 ， b=-2a ， ∴2a+b=0，故2a-b=0错误； ④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax 2 -2ax+c （a≠0）； 由函数的图象知：当x=-2时，y ＞0；即4a-（-4a ）+c=8a+c ＞0，故④错误； ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=-1时，y ＜0，所以当x=3时，也有y ＜0，即9a+3b+c ＜0；故⑤正确； 所以这结论正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 14 【答案】2013. 【解析】 试题分析：根据分母有理化的计算，把括号内各项分母有理化，计算后再利用平方差公式进行计算即可得解． 试题解析： =… = =2014-1=2013. 考点: 15求值：22232y xy x +-. 【答案】385 【解析】解:因为 xy y x xy y xy x y xy x +-=++-=+-22222)(2242232， 16．已知,求x 2-xy+y 2 . 【答案】x 2-xy+y 2 【解析】由已知有 ∴x 2 -xy+y 2 =（x+y ）2 2 -317．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013 的值． 解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013 ，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S-S=22014 -1 即S=22014 -1 即1+2+22+23+24+…+22013=22014 -1 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+…+210 （2）1+3+32+33+34+ (3) （其中n 为正整数）． 【答案】（1）211 -1 （2） 12 （3n+1 -1） 【解析】 解：（1）设S=1+2+22 +23 +24 +…+2 10 ， 将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+2 11 ， 将下式减去上式得：2S-S=211-1，即S=211 -1 ， 则1+2+22+23+24+…+210=211 -1 ； （2）设S=1+3+32+33+34+…+3 n ， 两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n +3n+1 ， 下 式 减 去 上 式 得 ： 3S-S=3n+1 -1 ，即S= 12 （3n+1 -1 ） ， 则1+3+32+33+34+ (3) = 12 （3n+1 -1）． 18．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 的化简，只要我们找到两个数 ，使m b a =+，n ab = ，这里7=m ，12=n ， 由于 ， ， 12 【解析】据题意，可知，由于， 所以 19．已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0． ⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； ⑵若x1，x2m的值，并求出此时方程的两根． 【答案】（1）证明见解析；（2）m=-3时，x1x2m=1时，x1x2 【解析】 试题分析：（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方 程的根的情况；（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=-（m+3），x1?x2=m+1；然后由已知条件“|x1-x2 可以求得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m 值代入原方程并解方程． 试题解析：（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+1）=（m+1）2+4 ∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0 ∴原方程总有两个不相等的实数根 （2）∵x1，x2是原方程的两根 ∴x1+x2=-（m+3），x1?x2=m+1…5分 ∵|x1-x2 ∴（x1-x2）2=2 ∴（x1+x2）2-4x1x2=8 ∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8∴m2+2m-3=0 解得：m1=-3，m2=1 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0 解得：x1x2 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0 解得：x1x2 考点: 1.根的判别式；2.根与系数的关系． 20．若n＞0，关于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+mn=0 【答案】4. 【解析】 试题分析：由方程有两相等的正实数根知△=0，列出关于m ，n 的方程，用求根公式将n 代替m 它的值． 试题解析：根据题意知△=0，即（m-2n ）2 -mn=0， 整理得m 2-5mn+4n 2 =0， 即（m-n ）（m-4n ）=0， 解得m=n 或m=4n ， 当m=n 时，∵n ＞0， 根据根与系数的关系得：原方程的两个解x 1+x 2=m-2n=-n ＜0， 不合题意原方程两个相等的正实数根，故m=n 舍去； 当m=4n 时，∵n ＞0， 根据根与系数的关系得：原方程的两个解x 1+x 2=m-2n=2n ＞0，符合题意， 4． 考点: 根的判别式. 21．已知关于x 的一元二次方程2 (31)30kx k x +++=(0)k ≠． （1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根； （2）若二次函数3)13(2 +++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）±1． 【解析】 试题分析：（1）先计算判别式得值得到△=（3k+1）2-4k ×3=（3k-1）2，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）先理由求根公式得到kx 2 +（3k+1）x+3=0（k ≠0）的解为x 1x 2=3，则二次函数y=kx 2 +（3k+1）x+3的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为 3，然后根据整数的整除性可确定整数k 的值． 试题解析：（1）证明：△=（3k+1）2 -4k×3=（3k-1）2 ， ∵（3k-1）2 ，≥0， ∴△≥0， ∴无论k 取何值，方程总有两个实数根； 2 x+3=0（k≠0） x 所以二次函数y=kx 2 +（3k+1）x+3的图象与x 3， 所以整数k 为±1． 考点: 1.根的判别式；2.抛物线与x 轴的交点． 22．已知：关于x 的方程 2(a 1)x (a 1)x 20--++=. （1）当a 取何值时，方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=有两个不相等的实数根； （2）当整数a 取何值时，方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=的根都是正整数. 【答案】（1）a≠1且a≠3；（2）1，2，3. 【解析】 试题分析：（1）根据关于x 的方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=有两个不相等的实数根，则△＞0，且二次项系数不为0，列出不等式组，即可求出a 的取值范围． （2）分a-1=0和a-1≠0两种情况讨论，①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0．方程的解为 x=1； ②根据方程有实数根，得出判别式≥0，再利用公式法求出方程的根，根据方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=都是正整数根，得出a 的取值范围，即可得出答案． 试题解析：（1）∵方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=有两个不相等的实数根， ∴a 100-≠????＞，即()()2 a 10a 14a 1[]20-≠-+-?-??????＞，即()2a 1a 30≠?-???? ＞，即a 1a 3≠≠???. ∴当a≠1且a≠3时，方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=有两个不相等的实数根． （2）①当a-1=0时，即a=1时，原方程变为-2x+2=0． 方程的解为x=1. ②当a-1≠0时，原方程为一元二次方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=． 22 a 14a [12a 3]0?=-+-?-?=-≥（）（）（）． x 1 =1∵方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=都是正整数根，∴只需 ∴当a-1=1时，即a=2时，x 2=2； 当a-1=2时，即a=3时，x 2=1. ∴a 取1，2，3时，方程2(a 1)x (a 1)x 20--++=的根都是正整数． 考点：1. 一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程-公式法；3.配方法的应用；4.分类思想的应用． 班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。 2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是 一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举 例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配 方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2 一元二次方程的应用之流感传染问题 （教学设计） 教学目标 知识目标： 1、会列一元二次方程解应用题; 2、进一步掌握解应用题的步骤和关键; 情感目标： 1、使学生体会到数学来源于生活，服务于生活的数学思想。 2、使学生通过解决实际问题的过程感知探究学习的乐趣！ 学情分析 1、本节课是继解一元二次方程后的第一课时，因此学生对应用恰当的方法解 一元二次方程还存在一定的问题，教学过程中要继续加强练习。 2、学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，适合自主探究、合作交流 的数学学习方式。 3、九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的主观 能动性。适合由特殊到一般的探究方式。 重点难点 ?重点：列方程解应用题. ?难点：会用含未知数的代数式表示题目里的中间量（简称关系式）；会根据所设的的未知数，列出相应的方程。 教学过程 初步感知能用一元二次方程解决怎样的实际问题 请同学们尝试探究完成这样一个问题： 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个？ 1、教师分析引导： 开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的 每个人又传染了x个人，用代数式示，第二轮后共有_______人患了流感． 2、学生合作交流解析过程。 3、教师检查学生探究情况。 针对探究与应用 请同学们根据探究1的解析思路尝试解决这个实际问题： 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支? 1、学生独立尝试（有问题可以合作交流） 2、学生展示探究结果（个别同学板演） 3、教师强调补充学生解析过程中的问题。 完成堂内作业 一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x 方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+ 1.整式 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 只含有数与字母的积的代数式叫单项式． 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数 表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313 -．一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式． 几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式． 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值． 注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入 (2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整 体”代入． 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项． 注意：(1)同类项与系数大小没有关系； (2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号． 去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号． 整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项． 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如： ┃知识归纳┃ 1．一元二次方程的概念 只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 2．一元二次方程的解法 一元二次方程有四种解法：法、法、法和法． [注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0. 3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝. [注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法 一、开平方法 方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解 三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧： 先考虑开平方法, 二次根式化简的方法与技巧 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？使用转化策略，换个角度思考，往往能够打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2 b =()b a +()b a -，能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。 解：原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法： 例2．计算：3216 3223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是能够发现3+22=()221+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。 解：原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法： 例3：化简53262++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。 解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以： 原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法： 例4，计算()()76655 627++++ 分析：本例通过度析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成： b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。 解：原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法： 例5、计算()()13251335++++ 谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧 安陆市辛榨中学 周俊军 同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。 一、拿出来 当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。 例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。 二、放进去 有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。 例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。 再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。 解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-= 《一元二次方程》解题技巧 安福县城关中学 曹经富 近几年各类考试中有关一元二次方程的概念及根的意义的考查成为高频考点，解这类题的关键是从概念及根的本质上入手和切入，现结合几例进行说明，希望能给同学们带来一定的启示与帮助. ◆类型一： 巧用一元二次方程的定义解题 【例1】若关于x 的方程27(3)320 m m x mx --+-=是一元二次方程，则m =___________. 【解析】一元二次方程包含三要素：⑴只含有一个未知数；⑵未知数最高次数为2；⑶整式方程， 依题意得27230 m m ?-=?-≠?，解得3m =-； 【答案】3- 【小结】有关一元二次方程的概念，要把握二次项的系数不为0，且未知数的最高次数为2.，综合考虑构造成方程或不等式解决 ◆类型二： 巧用一元二次方程的根的意义解题 【例2】关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是_______; 【解析】把0代入一元二次方程22(1)10a x x a -++-=即可得到关于a 的一元二 次方程210a -=，从而求得1a =±，但二次项的系数10a -≠，即1a ≠，所以1a =-； 【答案】1- 【小结】将已知一元二次方程的根代入方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件. 【例3】已知n m ,是方程0122 =--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A ．－5 B ．5 C ．-9 D ．9 【解析】由于m 、n 分别是方程0122=--x x 的根，代入得m 2-2m -1=0， n 2-2n -1=0，即m 2-2m =1，n 2-2n =1，变形得7m 2-14m =7，3n 2-6n =3，因此（7+a ）(3-7)=8，所以a =-9． 【答案】C 【小结】从方程的根入手，将其代入，进而构造出一个新的等式或方程，在解本题的过程中，还应有一种数学整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m 2-14m 、3n 2-6n 与已知方程之间的关系．从而便问题得到快速求解. ◆类型三： 巧构一元二次方程的根 【例4】已知一元二次方程2 0ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）满足 一、选择题 1．下列计算，正确的是（ ） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2．下列计算正确的是（ ） A = B C D =3．下列计算正确的是（ ） A = B = C = D =4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C ． D 5．x 的取值范围是（ ） A ．13x ≥ B ．13x > C ．13x ≤ D ．13 x < 6．下列算式：（1=2）3） 2=7；（4）+= ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（4） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4） 7．a b =--则（ ） A ．0a b += B ．0a b -= C ．0ab = D ．22 0a b += 8．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D = 9．化简 ） A B C D 10．2= ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二、填空题 11．设4 a,小数部分为 b.则1a b - = __________________________. 12．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______. 13．化简322+=___________． 14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 16．把1a - 17．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 18．若实数23a = -，则代数式244a a -+的值为___. 19．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 20．12a 1-能合并成一项，则a =______． 三、解答题 21．计算 (1)2213113a a a a a a +--+-+-; (2)已知a 、b 26a ++2b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求 111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值 【答案】（1）22223a a a -- --；（2）a =－3，b 2；（3）1. 【分析】 （1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ????--+ ? ?+-????，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可； （2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b 2=0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11 b ab ab b c b abc ab a ab a ==++++++，2111 c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可. 【详解】 解：（1）原式=()()113113 a a a a a a +--+-+- 用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100 C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝100 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得 1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)． 答：每个支干长出10个小分支． 知识点2 握手问题 4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28． 整理，得x 2－x －56＝0． 解得x 1＝8，x 2＝－7． 合乎实际意义的解为x ＝8． 答：应邀请8支球队参赛． 6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值． 解：由题意，得12n(n －1)＝45. 解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)． 答：n 等于10. 作业用一元二次方程解 决传播问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1 传播问题 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( ) A．10只 B．11只 C．12只 D．13只 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支． 知识点2 握手问题 4．“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己 的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是( ) A．x(x＋1)＝210 B．x(x－1)＝210 C．2x(x－1)＝210 D.1 2 x(x－1)＝210 5．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( ) A．x(x－1)＝10 B.x（x－1） 2 ＝10 C．x(x＋1)＝10 D.x（x＋1） 2 ＝10 6．参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，若共要比赛110场，则共有________个队参加比赛( ) A．8 B．9 C．10 D．11 7．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值． 知识点3 数字问题 8．两个连续偶数的和为6，积为8，则这两个连续偶数是________． 一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x ] 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 配方法解一元二次方程的步骤： 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 * 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x 方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） （1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。 （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 $ 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8． .03232=--x x 方法四：因式分解法 因式分解的方法： （1）提公因式法： （2）… （3）公式法：平方差： 完全平方： （4）十字相乘法： 一、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x 二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后， 进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 \a、b =、ab a - 0,b- 0 ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类 项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打 破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握 基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约 分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目 转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 例1■计算 a -2 ba b a - ；b 、巧用公式法 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b ? 0, (... ab =0)而同时公式： 2 2 2 2 2 (a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将 a a b b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 (\ a \ b)(\ a - \ b) =a 一\ b) (\ a 一\ b) 二2 a2「b 、适当配方法。 3 2一2 - 3 -、6 例 2 .计算： 1 ? ?? 2 _ \ 3 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，???分母含有1 . 3其分子必有 含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 , 《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2 =++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的 实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2 =++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根． 二次根式化简地方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1.计算 b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()())((2 -=-+-=+-++--= 二、适当配方法。 例2．计算：3216 3223-+--+ 数学解题方法谈10：二次根式的运算技巧 在二次根式的运算中,首先弄清它的最本的两条性质: 一、分母有理化 例1、例如计算6－2 3－1 时，这是一道课本题,教学时都做成： 解：6－23－1=(6－2)(3＋1)(3－1)(3＋1)=32－6＋6－2(3)2－1 = 222= 2 但是我们可以这样解： 6－23－1=2(3－1) 3－1 = 2 可省许多力. 因此运用一些相应的方法可以把某些题目的运算化繁为简. 二、巧用乘法公式 例1、计算：（1）(1＋2＋3)(1＋2－3)(1－2＋3)(－1＋2＋3) （2）(2＋3－6)2－(2－3＋6)2 解：（1）原式=[](1＋2)2－(3)2 []－(1－2)2＋(3)2=22·2 2 =8 （2）原式=[](2＋3－6)＋ (2－3＋6) [](2＋3－6)－ (2－3＋6) =22·2( 3 －6)=46－8 3 三、巧用因式分解 例2、化简下列各式：（1）(2＋3＋5)(32＋23－30)（2）12－2 3－1 解：（1）原式=(2＋3＋5)·6(2＋3－6) =6[](2＋3)2－(5)2=6·26=12 （2）原式=2(3－1) 3－1 =2 例4、先化简，再求值 x ＋xy xy ＋y ＋xy －y x －xy ，其中：x=3＋1 ，y=3－1 解：∵x ＞0，y ＞0 ∴原式=x(x ＋y)y(x ＋y)＋y(x －y)x(x －y)=x y ＋y x = x ＋y xy ∵ x=3＋1 y=3－1 ∴ x ＋y=2 3 xy=(3＋1)(3－1)=2 ∴原式 =23 2= 6 四、巧用根式定义 例5、（1）若x 、y 是实数，且2x －1＋1－2x ＋y=4 则xy 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 2 （C ）2 （D ）不能确定 （97无锡中考题） （2）若、 是实数，且y = x 2－4＋4－x 2＋2 x ＋2 求y x 的值 一元二次方程综合培优 ◆温故而知新 1、对下列各式进行配方： ⑴错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ⑵错误！不能通过编辑域代码创建对象。；（3）错误！不能通过编辑域代码创建对象。 2.设a 、b 为实数,求a 2 +2ab+2b 2 －4b+5的最小值时，则a ＝ ，b ＝ 。 3.已知关于x 的一元二次方程4x 2 +4kx+k 2 =0的一个根是–2，那么k=____. 4.已知α，β是方程0522 =-+x x 的两个实数根，则α2+β2 +2α+2β的值为_________. 5.在关于x 的方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)中, ____________叫做一元二次方程的根的判别式.记作：Δ. (1)b 2－4ac>0 ? 方程有两个_________的实数根. (2)b 2 －4ac=0 ? 方程有两个_______的实数根. (3)b 2 －4ac<0 ? 方程________实数根. (4)b 2 －4ac ≥0 ? 方程___________两个实数根. 6.判别式只能对一元二次方程使用，因此使用判别式解题的前提是：二次项系数a ≠___ _. 7.求判别式的值，必须先把方程化为一元二次方程的______形式.即 。 8.已知a 、b 、c 为任意实数，则方程 0)(22=-++-c ab x a b x 的根的情况是 。 9、关于x 的方程(m －2)x 2 －2(m －1)x+m+1=0,m 取什么值时: (1)有两个不等的实数根?(2)有两个实数根?(3)无实根?(4)有两个相等的实数根?（5）只有一个实数根？ 10. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0,Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2,那么x 1+x 2=______,x 1x 2=_____. 11.韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用， x 1+x 2 =－b a ，x 1x 2= c a 成立的条件是：a_ __, Δ_____. 12.根据乘法公式填空:(1)x 12 +x 22 =(x 1+x 2)2 －______；(2)(x 1－x 2)2 =(x 1+x 2)2 －_______； （3）2212122221212 22221)(4___)(___1 1x x x x x x x x x x -+=+=+；(4). 丨x 1-x 2丨= a ? . 13.已知方程2x 2 +(8k+1)x+8k 2=0的两个根互为倒数，则k=_______。 14.若方程(m-7)x 2 -（m-1）x+1=0的两个根异号，则m 的取值范围是__________. 15. 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________. 16.以 和 为根的整系数一元二次方程是_________________. 17．若一元二次方程(二次项系数为1)的两根之比是3∶4，且Δ＝4，则这个一元二次方程是___________. 18．若方程ax 2 +bx+c=0有两个实数根x 1和x 2,那么二次三项式ax 2 +bx+c 分解因式的结果是:ax 2 +bx+c=-__________. 19.在实数范围内分解因式：(x 2 +x)2 -2x(x+1)-3= ______________________. 一元二次方程解法练习题 姓名 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3、9642=-x x 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x 三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、223 14y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法) 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322 =- 3、2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、()()03342 =-+-x x x 7、()02152 =--x 8、0432=-y y 9、03072=--x x 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122 =-+x 13、22244a b ax x -=- 14、3631352= +x x 15、()()213=-+y y 16、) 0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32=--+a x a x 18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x 21、 x 2+4x -12=0 22、030222=--x x 23、01752=+-x x 根式的运算 平方根与立方根 一、知识要点 1、平方根： ⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 ⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 2、立方根： ⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151 ； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3） 25 9； （4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925± （8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根： ⑴ 343； ⑵ 102 27 -； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=--- -y x x 求y x 的立方根. 练习：已知,21221+-+ -=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程 例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.一元二次方程定义及其解法
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