根式的运算技巧

根式的运算

平方根与立方根

一、知识要点 1、平方根：

⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 2、立方根：

⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。 ⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

30有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2

)3(-； （3）49

15

1； ⑷ 2

1(3)-

例2 求下列各式的值

（1）81±； （2）16-； （3）25

9

； （4）2)4(-.

（5）44.1，（6）36-，（7）49

25

±（8）2)25(-

例3、求下列各数的立方根：

⑴ 343； ⑵ 10

227

-； ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x

的立方根.

练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.

练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.

四、巧解方程

例6、解方程（1）（x+1）2

=36 （2）27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a

的非算术平方根.

练习：

1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．

A ．2

B ．±2

C ．4

D ．±4 2、144的算术平方根是，16的平方根是； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m =． 4、327=，64-的立方根是； 5、7的平方根为，21.1=；

6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；

7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；

8、当x=时，13-x 有意义；当x=时，325+x 有意义；

9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；

10、若3x x =，则x=；若x x -=2

，则x ；

11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____ 12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3

125(2)343x -=-

（3 ） 2

64(3)90x --= （4） 31

(1)802

x -+=

132

3(2)0y z -++=，求xyz 的值。

14、若y =，求2x y +的值．

15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2

+ｙ2

的平方根．

16、若12112--+-=x x y ，求x y 的值。

二次根式

一、知识点

1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质：

（1）（a ）2=a （a ≥0）； （

2）

5.二次根式的运算：

⑴二次根式的加减运算：

先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算：

①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a b

a b a

【例题讲解】

一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平

方根是一个非负数。）

例1：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）

1

21

+-x （3）45++x x (4)

.

例2：若2004a a -=，则22004a -=_____________；

若433+-+-=

x x y ，则=+

y x

【基础训练】

1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）。

A 、3-；

B 、x ；

C 、12

+x ； D 、1-x

2、若

1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是

==a a 2