专题一-二次根式的混合运算及化简求值技巧
二次根式混合运算的解题技巧
二次根式混合运算的解题技巧搞定二次根式混合运算其实没有那么复杂，只要掌握几个简单的技巧，绝对能让你在考试中游刃有余。
今天，我们就来聊聊如何在这个看似“高深”的领域里游泳。
1. 理解二次根式的基本概念1.1 什么是二次根式？首先，二次根式就是像√a这样的表达式。
√表示根号，a是根号下面的数。
比如√9，就是3，因为3*3=9。
说白了，根号里的数你要找出一个平方等于它的数。
1.2 根式的简化简化根式就像整理房间，找出里面的“垃圾”并处理掉。
比如√18，可以分解成√(9*2)，再把它分成√9和√2，最后得到3√2。
这样一来，根式就变得更简洁啦！2. 二次根式混合运算的基本技巧2.1 加减运算的规则加减根式的时候，根号里的数得相同。
就像“吃瓜群众”只能看同一个热搜，才能讨论。
比如√2 + 3√2 = (1+3)√2 = 4√2。
如果根号下的数不同，就得先简化，或者把它们转化为相同的根式。
2.2 乘除法的应用乘法比较简单，像√a * √b = √(a*b)。
举个例子，√3 * √6 = √18。
再简化一下，√18 = 3√2。
除法也类似，√a / √b = √(a/b)。
比如√20 / √5 = √4 = 2。
运算时，把复杂的根式搞定，结果就会变得清晰明了。
3. 综合运算的解题思路3.1 先简化再运算混合运算的时候，先把每一项尽量简化。
比如√50 √18 + 2√2。
我们先把√50和√18都简化，√50 = 5√2，√18 = 3√2。
然后带入原式变成5√2 3√2 + 2√2，最后合并同类项得到4√2。
简化后的运算就容易多了。
3.2 注意符号和分母的处理如果遇到分母里有根号的情况，记得有理化分母。
比如1 / √2，可以通过√2 /√2 变成√2 / 2，这样分母就没有根号啦。
搞定这些细节问题，运算才能最终完美无瑕。
4. 练习题目，稳扎稳打别忘了，多做练习是最重要的。
就像练瑜伽，开始可能觉得难，但坚持下去，就能越来越熟练。
二次根式化简求值的解题技巧
二次根式化简求值的解题技巧
1. 哇塞，要记住根号下的数字就像是一个神秘的盒子，我们得找到打开它的钥匙呀！比如化简$\sqrt{48}$，不就可以把 48 拆成16×3，然后不就可以轻松化简啦！
2. 嘿，看到那些可以化为平方的数，就像找到了宝藏的线索一样兴奋呢！像$\sqrt{81}$，那不是一眼就能看出是 9 嘛！
3. 哎呀呀，同类二次根式可要放在一起呀，这就好比整理玩具要把相同的放在一起一样！比如$\sqrt{12}+\sqrt{27}$，先化简再合并同类二次根式，多简单！
4. 哇哦，有时候把式子变形一下，就像给它变个魔法一样神奇呢！例如$\sqrt{\frac{1}{3}}$，分子分母同乘 3 不就好化简啦！
5. 嘿，碰到分母有根号的可别慌呀，就像遇到小怪兽，我们有办法打败它！比如$\frac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化一下不就搞定啦！
6. 哎呀，化简的时候要细心呀，可不能像小马虎一样！就像
$\sqrt{25a^2}$，要注意 a 的正负呀！
7. 哇，二次根式化简求值也有小窍门呢，就像走小路更快到达目的地一样！比如知道了$\sqrt{x}=2$，那求$x$不就简单啦！
8. 嘿，有些式子看着复杂，其实就像纸老虎，一戳就破啦！像
$\sqrt{(x-3)^2}$，要考虑绝对值呀！
9. 哎呀呀，化简求值要多尝试几种方法呀，说不定就找到最简单的啦！比如$\sqrt{75}$，用不同方法试试呀！
10. 哇哦，二次根式化简求值真的很有趣呀，就像玩游戏一样！只要掌握了技巧，什么难题都能解决！
我的观点结论就是：只要用心去学，二次根式化简求值一点都不难，反而会很有趣呢！。
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是指含有根号的代数表达式，通常是一种简化和运算方式，可以将复杂的表达式化简为简单的形式，并进行加减乘除等基本运算。
本文将介绍二次根式化简与运算的基本方法和技巧。
一、二次根式的化简1. 同底数的根式相加减：当根式的底数相同且指数相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持根号不变。
例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的有理化：当二次根式的底数是一个整数，但含有一个或多个根号时，可以通过有理化的方法化简。
例如：√(2/3) = (√2)/(√3) = (√2)/(√3) × (√3)/(√3) = √6/33. 二次根式的合并：当二次根式的底数相同，但系数不同时，可以合并为一个根式，将系数加在一起，并保持底数不变。
例如：3√2 + 2√2 = 5√24. 二次根式的分解：当二次根式的底数是一个整数，且无法进行合并时，可以进行分解，并找出其中可以合并的部分。
例如：√12 = √(4 × 3) = 2√3二、二次根式的运算1. 加减运算：当二次根式的底数和指数都相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持底数和指数不变。
例如：2√5 + 3√5 = 5√52. 乘法运算：当二次根式相乘时，可以将根式的系数分别相乘，并保持底数和指数不变。
例如：2√3 × 3√2 = 6√63. 除法运算：当二次根式相除时，可以将根式的系数分别相除，并保持底数和指数不变。
例如：6√8 ÷ 2√2 = 3√24. 乘方运算：当二次根式进行乘方运算时，可以将指数分别应用到系数和根号上，并保持底数不变。
例如：(2√3)^2 = 2^2 × (√3)^2 = 4 × 3 = 12总结：二次根式的化简与运算是一种常见的数学操作，在代数表达式的计算中经常会遇到。
通过适当的化简和运算，可以简化复杂的根式，得到更加简单和规范的表达形式。
熟练掌握二次根式的化简和运算方法，有助于提高数学计算的效率和准确性。
二次根式的计算和化简
二次根式的计算和化简二次根式是指包含平方根的表达式。
在数学中，我们经常需要进行二次根式的计算和化简。
本文将介绍如何进行二次根式的计算和化简，并提供一些相关的例子和方法。
一、二次根式的计算二次根式的计算主要包括加减乘除四则运算和指数运算。
下面将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，首先要确定根号下的数（即被开方数）是否相同。
如果相同，则可以直接对根号下的数进行加减运算，并保持根号不变。
如果根号下的数不同，则需要进行化简，使根号下的数相同，再进行加减运算。
例如，计算√3+ √5。
由于根号下的数不同，我们可以进行化简。
将√3与√5相加，得到√3 + √5。
这就是最简形式的结果，无法再进行化简。
2. 乘法运算对于两个二次根式的乘法运算，可以直接将根号下的数相乘，并保持根号不变。
例如，计算√3 × √5。
将根号下的数相乘，得到√15。
这就是最简形式的结果。
3. 除法运算对于两个二次根式的除法运算，可以将被除数与除数的根号下的数相除，并保持根号不变。
例如，计算√15 ÷ √3。
将根号下的数相除，得到√5。
这就是最简形式的结果。
4. 指数运算对于二次根式的指数运算，可以将指数应用于根号下的数，并保持根号不变。
例如，计算(√2)²。
将指数应用于根号下的数2，得到2。
因此，(√2)² = 2。
二、二次根式的化简化简二次根式的目的是使根号下的数尽量小。
下面将介绍一些常用的化简方法。
1. 提取公因数如果根号下的数可以被某个数整除，可以将其提取出来，并保持根号不变。
这是一种常见的化简方法。
例如，化简√16。
16可以被4整除，所以可以将16写成4×4，即√(4×4)。
继续化简，得到2×√4。
最后，我们得到2×2 = 4。
因此，√16 = 4。
2. 合并同类项如果有多个二次根式相加或相乘，可以合并同类项，使根号下的数相加或相乘。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
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「初中数学」常见二次根式化简求值的几种
技巧
二次根式的化简求值是初中数学的重要内容，也是中考试题中的常见题型，对于特殊的二次根式的化简，除了掌握基本的概念和运算法则外，还应根据根式的具体结构特征，灵活一些特殊的方法和技巧，现就几种常用的方法和技巧举例说明如下:
一.巧用乘法公式
由于平方差公式:(a+b)(a一b)=a²一b²的结构特征的优越性，在根式的化简求值中简捷明了.
1.化简:(√2+√3+√5)(3√2+2√3一√30).
关键:对第二个因式提取√6后，发现与第一个因式的数量关系.
解:原式=(√2+√3+√5)√6(√3+√2一√5)=√6[(√2+√3)+√5][(√2+√3)一√5]=√6[(√2十√3)²一(√5)²]=√6(2+2√6+3一5)=√6×2√6=12.
2.化简:(√5+√6+√7)(√5+√6一√7)(√5十√7一√6)(√6十√7一√5).
解:原式=[(√5+√6)²一(√7)²][(√7)²一(√6一√5)²]=(4+2√30)(2√30一4)=(2√30)²一4²=104.
二.巧运逆运算
三.巧拆项
四.巧换元
五.巧因式分解
六.巧配方
七.巧平方
八.巧添项
九.巧取倒数
十.巧用1”代换
【总结】二次根式的化简求值题型多变，有较强的灵活性、技巧性、综合性。
在求解的过程中应根据根式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，不仅可以化难为易，迅捷获解，而且对于培养和提高同学们的数学思维能力，激发学习兴趣是大有帮助的。
(完整版)二次根式化简计算小技巧
二次根式化简计算小技巧二次根式的有关化简和计算问题，法则较多，若运用某些技巧，会化难为易，速战速决。
做题时，不要急于求成，要多向思维，找到不同的方法，选择最佳方案。
代数题中也常有一题多解，有意识地加强这方面的训练，我们就会变得更加机智灵活。
常用的技巧方法有：一. 先变所求，“已知”后用二. 退中求进，后来居上三. 齐头并进，随机应变四. 里应外合，出奇制胜五. 分解约分，别开生面六. 直来直去，一鼓作气一. 先变所求，“已知”后用例. 已知：，求的值。
分析：先别急于把已知数代入要求的式子，可先把所求式子进行计算和化简后，再代入求值。
解：当时原式二. 退中求进，后来居上例. 计算：分析：指数太大，不能直接计算。
若把，退一步看作再把退一步看作，运用平方差公式计算，就简便多了。
解：原式三. 齐头并进，随机应变例. 已知：，求的值。
，分析：已知条件较复杂，可先化简，然后把所求的式子也适当变形，再代入求值。
解：四. 里应外合，出奇制胜例4. 化简：分析：常规思路是把后面的根式中的分母开出来。
如果把外面的看作，也可进行约分，这样会更简捷。
解：原式五. 分解约分，别开生面例5. 计算：分析：如果直接做分母有理化，分子会变得较复杂，根据分母中数字特点，改变思路。
这样可约分，立刻变得非常简便了。
解：原式六. 直来直去，一鼓作气例6. 计算：分析：不要忙于把每个数做化简，利用乘除法的道理，先确定结果为负的，然后在根号内直接进行乘除运算，这样省时省力。
解：原式。
二次根式题型归类讲解
二次根式题型归类讲解
二次根式是初中数学的一个重要知识点，也是中考的重点内容之一。
以下是一些常见的二次根式题型归类讲解：
1. 二次根式的化简与求值：
（1）化简二次根式：将根号下的数或式子化为最简形式，即去掉根号下的平方因子。
（2）求值：根据已知条件，求出二次根式的值。
2. 二次根式的运算：
（1）加减运算：同类二次根式可以加减，即将根号下的数或式子相加减。
（2）乘除运算：二次根式相乘，将根号下的数或式子相乘；二次根式相除，将根号下的数或式子相除。
3. 二次根式的化简求值：
（1）化简求值：先化简二次根式，再代入求值。
（2）整体代入求值：将一个式子整体代入到另一个式子中，求出二次根式的值。
4. 二次根式的混合运算：
（1）混合运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里的。
（2）去括号法则：括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
5. 二次根式的应用：
（1）在几何中的应用：求边长、周长、面积等。
（2）在物理中的应用：求速度、力等。
初中数学，二次根式综合计算题分析，根号化简技巧分享
初中数学，二次根式综合计算题分析，根号化简技巧分享展开全文对于二次根式加减，咱们可以把含有根号的部分看作字母，把根号前面的数字部分看成系数，把根号里面含有相同式子的项看作同类项，可以合并，根号里面的式子不相同的项不能合并，例如，3倍的根号2加上2倍的根号2，可以合并，结果等于5倍的根号2，而3倍的根号2加上2倍的根号3，就不能合并，结果还是其本身。
对于其它运算，如乘法，除法等等，以前所学的运算律都适用。
下面通过例题讲解二次根式综合化简中的难点问题。
第1题分析：本题考查二次根式运算中多项除以单项的问题，这和多项式除以单项式一样的运算方法，即多项中每一项都除以单项即可，单个二次根式相除时，根号外的数字相除，根号内的数字相除。
第2题分析：在加减乘除混合运算中，一定要遵从先乘除后加减的原则，同时注意符号问题，例如第二项（红色部分）是一个整体，前面有一个负号，不熟练的情况下，在计算过程中，第二项化简得出的式子最好先加上括号，然后再去括号；第三项（蓝色部分）是二次根式相乘，系数－1/36和－2相乘，根号27和根号6相乘。
在这儿讲一点儿根号运算的技巧，当两个或两个以上的根号相乘除时，里面的数字比较大时，不要直接把数字相乘除，因为直接计算得到的数字会更大，不利于观察化简，可以使用下面的方法，以第2题中某些计算为例来说明：第3题分析：当需要化简的分母是二次根式两项的和时，一般都是使用平方差公式对分母进行有理化，如红色式子，只需要分子分母同时乘以根号3减1即可；再如蓝色式子，它实际上也是一个分数，分子分母同时乘以2减根号3即可；同时要注意红色式子的前面是一个减号，分母有理化后不要忘了加上括号。
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加油！。
二次根式的化简与运算方法
二次根式的化简与运算方法二次根式是指含有根号的算式，可以看作是根数和字母的组合。
化简二次根式是对根式进行简化，使得根号下的数变得更简洁。
而运算二次根式则是对含有二次根式的算式进行加减乘除等数学运算。
一、二次根式的化简方法二次根式的化简涉及到有理化的概念，有理化即通过变形将根式转换成有理数的操作。
下面将分别介绍三种常见的二次根式的化简方法。
1. 同底同指并简化当二次根式的根号下的数相同，指数相同时，可以进行合并并简化。
例如：√8 + √8 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 有理化分母对于分母含有根号的二次根式，可以通过有理化的方法将其转化为有理数。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/33. 用有理数乘以二次根式可以使用有理数乘以二次根式进行化简。
例如：2√5 × 3√5 = 6√25 = 30二、二次根式的运算方法二次根式的运算涉及到加减乘除等数学运算，下面将分别介绍这几种运算方法。
1. 加减运算二次根式的加减运算需要先找到根号下的数相同的根式，然后根据正负号进行合并。
例如：√5 + √8 = √5 + 2√2 （不能合并）2√3 + 3√3 = 5√32. 乘法运算二次根式的乘法运算可以直接相乘。
例如：√5 × √2 = √103√3 × 2√3 = 6√9 = 6×3 = 183. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法转化为乘法。
例如：(√10) / (√5) = (√10) / (√5) × (√5) / (√5) = (√50) / 5 = 10/5 = 24. 指数运算对于含有二次根式的指数运算，可以将根式拆解成两个因数相同的根式。
例如：(√2) ^ 3 = (√2) × (√2) × (√2) = (√8) = 2√2结论二次根式的化简与运算方法在数学的学习中经常会用到，掌握了这些方法能够帮助我们更好地解决问题。
二次根式化简与计算的方法和技巧
二次根式化简与计算的方法和技巧根式（或称为根号）是数学中一个重要的概念，在许多数学问题中都会涉及到根式的计算与化简。
在本文中，我将介绍一些二次根式化简与计算的方法和技巧。
一、根式的化简方法1.合并同类项：对于具有相同根号的根式，可以将它们合并为一个根式，并进行运算。
例如，√3+√2+√3=2√3+√22.有理化分母：当根式的分母为根号时，可以通过有理化分母将其转化为有理数。
有理化分母的方法有两种：一是乘以分子分母的共轭复数；二是进行分式的乘法和除法。
例如，√2/(√2+1)可以有理化分母得到(√2/(√2+1))*((√2-1)/(√2-1))=(√2-1)。
3.化简复数根式：对于具有复数根号的根式，可以使用以下性质进行化简：(1)√(-a)=i√a（其中i为虚数单位）(2) √(ab) = √a * √b（其中a和b为非负实数）4.有理数展开：对于一些特殊的根式，可以将其展开为有理数的形式。
例如，√5可以展开为√5=√(4+1)=√(2^2+1)=2√(1/4+1/2)=2√(3/4)=2√3/2=√3二、根式的计算技巧1.四则运算：根式可以进行加法、减法、乘法和除法等四则运算。
在进行四则运算时，需要进行化简和合并同类项的操作。
2.分解因式：对于一些具有完全平方数的根式，可以通过分解因式的方法进行计算。
例如，√12=√(4*3)=2√33.二次根式的乘除法：当进行二次根式的乘法或除法时，可以根据根式的性质进行相应的计算。
例如，√3*√5=√(3*5)=√15；√3/√2=(√3/√2)*(√2/√2)=√(3*2)/√2=√6/√2=√34.化简复杂根式：对于一些形式较为复杂的根式，可以使用分解因式、合并同类项、有理化分母等方法进行化简。
例如，√(6+√8)=√[(√2)^2+√8]=√[2+2√2]=√2*√(1+√2)。
5.平方差公式：当进行根式的乘法和除法时，可以利用平方差公式进行计算。
二次根式化简求值的六种技巧
专题训练(一) 二次根式化简求值的六种技巧► 技巧一 利用二次根式的性质a 2＝|a |化简 对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a |，然后再根据a 的符号进行化简．即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1的值为( )A ．1－ 3 B.3－1C ．3－ 3 D.3－32．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|＝________．4．已知三角形两边的长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－14c 2－4c ＋16.► 技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( )A ．－a bB ．a －bC ．－a －bD ．a b6．化简：(1)（－5）2×（－3）2＝________；(2)（－16）×（－49）＝________；(3) 2.25a 2b ＝________；(4)－25－9＝________；(5)9a 34＝________． ► 技巧三 利用隐含条件求值7．已知实数a 满足（2018－a ）2＋a －2019＝a ，则a －12018＝________． 8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x的值．► 技巧四 巧用乘法公式计算9．计算：(1)(－4－15)(4－15)；(2)(2 6＋3 2)(3 2－2 6)；(3)(2 3＋6)(2－2)；(4)(15＋4)2018(15－4)2019.► 技巧五 巧用整体思想进行计算10．已知x ＝5－2 6，则x 2－10x ＋1的值为( )A ．－30 6B ．－18 6－2C ．0D ．10 611．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，则x 2－xy ＋y 2＝________．12．已知a ＝2＋3，b ＝2－3，则(a ＋2)2(b ＋2)2＝________．► 技巧六 巧用倒数法比较大小13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a详解详析1．[解析] B a 2－2a ＋1＝|a －1|.因为a －1＝(2－3)－1＝1－3＜0，所以|a －1|＝－(1－3)＝3－1.故选B.2．[答案] －1a[解析] 原式＝（2a －1）2a （2a －1）＝|2a －1|a （2a －1）. 当a ＜12时，2a －1＜0，所以|2a －1|＝1－2a . 所以原式＝1－2a a （2a －1）＝－1a . 3．[答案] －a －8[解析] 当a ＜－8时，a ＋4＜－4＜0，a ＋8＜0，∴|a ＋4|＝－(a ＋4)，|a ＋8|＝－(a ＋8)，∴原式＝|－(a ＋4)－4|＝|－a －8|＝|a ＋8|＝－(a ＋8)＝－a －8.4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c ＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．解：由三角形三边关系定理，得2＜c ＜8. ∴原式＝（c －2）2－（12c －4）2＝c －2－(4－12c )＝32c －6. 5．[解析] A 由ab ＜0，可知a ，b 异号且a ≠0，b ≠0.又因为a 2≥0，且a 2b ≥0，所以a ＜0，b >0.所以原式＝－a b .[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致． 6．[答案] (1)15 (2)28 (3)3a 2 b (4)53(5)3a 2a [解析] (1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.(3)原式＝ 2.25×a 2·b ＝1.5a ·b ＝3a 2 b . (4)原式＝259＝259＝53. (5)原式＝9a 34＝3a 2 a . 7．[答案] 2019[解析] 依题意可知a －2019≥0，即a ≥2019.所以（2018－a ）2＋a －2019＝a 可转化为a －2018＋a －2019＝a ，。
(人教版)八年级数学下册 专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
【对应训练】 6．已知 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，求下列式子的值： (1)a2b＋ab2； (2)a2－3ab＋b2； (3)(a－2)(b－2)． 解：(1)2 5 (2)15 (3)5－4 5
2－1
时，原式＝
2 2
五、巧用二次根式的定义和性质求值 【例 5】已知 x，y 为实数，且满足 1＋x－(y－1)· 1－y＝0，那 么 x2017－y2017＝__－__2__． 分析：因为 1＋x－(y－1) 1－y＝0，所以 1＋x＋(1－y) 1－y＝ 0.因为 1＋x≥0，(1－y) 1－y≥0，从而可求得 x，y 的值，再代入求值 即可． 【对应训练】 5．若 x－3＋ 3－x＝(x＋y)2，则 x－y＝__6__．
专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
一、二次根式的加减运算
【例 1】计算：
2 (1)3
9x＋
4x－2x
1x；
(2)( 40－ 0.2＋3 52)－( 217－ 10)． 分析：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并．
解：(1)原式＝2 x＋3 x－2 x＝3 x (2)原式＝2 10－ 55＋53 10
【对应训练】 2．计算： (1) 15×35 20÷(－31 6)； 解：－9 2
(2)( 18－4
12＋
1 3＋
2)÷
3 3.
解：3
三、巧用乘法公式计算 【例 3】计算： (1)(3 2＋ 12)( 18－2 3)； (2)(2＋ 2)( 2－1)． 分析：(1)先将二次根式化简，再运用平方差公式计算；(2)先将“2 ＋ 2”变成“ 2( 2＋1)”，再运用平方差公式计算． 解：(1)原式＝(3 2＋2 3)(3 2－2 3)＝(3 2)2－(2 3)2＝18－12＝6 (2)原式＝ 2( 2＋1)( 2－1)＝ 2(2－1)＝ 2
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是数学中常见的一类表达式，它可以通过化简和运算来得到简化形式。
在本文中，我们将探讨二次根式的化简和运算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、二次根式的化简方法二次根式通常以√a的形式出现，其中a是非负实数。
下面我们介绍几种常见的二次根式化简方法。
1. 提取因子法当二次根式内部存在可以被完全开方的因子时，我们可以使用提取因子法进行化简。
例如，对于√12，我们可以提取出其中的公因子4，得到2√3。
2. 合并同类项法如果多个二次根式具有相同的根号内部表达式，我们可以通过合并同类项来简化它们。
例如，对于√2 + √8，我们可以合并为√2 + 2√2，然后化简为3√2。
3. 有理化分母法当二次根式的分母为根号时，我们需要对其进行有理化分母。
具体做法是将根号内部的表达式乘上一个合适的因式，使得分母变为有理数。
例如，对于1/√3，我们可以乘以√3/√3，得到√3/3。
二、二次根式的运算方法除了化简，我们还可以进行二次根式的运算，包括加减乘除。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，我们首先要合并同类项，即将具有相同根号内部表达式的项合并在一起。
然后，根据需要进行化简，得到最简形式。
例如，对于√2 + 2√2，我们可以合并为3√2。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，然后化简得到最简形式。
例如，(2√3)(3√3) = 6√9 = 6×3 = 18。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过将一个二次根式除以另一个二次根式，然后化简得到最简形式。
例如，(4√2)/(2√2) = 4/2 = 2。
三、例题演练为了更好地理解和掌握二次根式的化简与运算，我们来解决一些例题。
1. 化简√27并写成最简形式。
解：我们可以应用提取因子法，将27分解为3×3×3。
然后，提取其中的完全平方数因子，得到√(3×3×3) = 3√3。
二次根式的运算及化简求值技巧
二次根式的运算及化简求值技巧嘿，朋友们，今天咱们聊聊一个让人又爱又恨的话题——二次根式。
对，这就是那些看起来像“√2”、“√5”这种的根式。
别急，虽然听上去像是数学天书，其实也没那么难懂。
咱们一起理清楚，搞定这些小家伙，让它们乖乖听话！1. 二次根式是什么？1.1 根式的定义首先，咱们得搞清楚什么是二次根式。
简单来说，二次根式就是根号下的数字，比如√4、√9、√x。
这个√就是根号的意思，表示一个数的平方根。
举个例子，√4等于2，因为2的平方是4。
同理，√9等于3，因为3的平方是9。
是不是觉得有点小有趣？1.2 根式的分类接下来，根式的世界可不止这么简单。
根式可以分成几种类型。
比如，完全平方根和非完全平方根。
完全平方根就是可以被开平方的，像√9、√16；而非完全平方根就是像√2、√5，这些小家伙的平方根是个无理数，也就是小数点后面是无限的。
2. 二次根式的运算2.1 加减运算说到运算，大家可能会问：“根式怎么加减？”答案是，只有在根号下的数字一样的时候才能加减。
就像你不能把一只苹果和一只香蕉放一起当水果来吃，对吧？比如√2 + √2 就等于2√2，因为它们的根号下的数字相同，但√2 + √3 就不能直接相加，得留着搞清楚。
2.2 乘除运算那么，根式的乘除呢？这就简单多了。
乘法是根号里边的数字直接相乘，比如√2 × √3 就等于√(2 × 3)，也就是√6。
除法也差不多，比如√8 ÷ √2 就等于√(8 ÷ 2)，也就是√4，结果是2。
看吧，这个计算方法是不是特别直白？3. 二次根式的化简3.1 化简根式说到化简，二次根式的化简就是把它弄得更简单、更容易看懂。
比如√50，咱们可以把50拆成25 × 2，25是完全平方数，所以√50 可以化简成√(25 × 2) = 5√2。
看，这样不是更清晰了吗？3.2 利用平方数还有个技巧，就是利用平方数。
专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
二、二次根式的混合运算 【例 2】计算： (1) 1 22÷3 28×(－5 2 27)；
(2)(5 48＋ 12－6 27)÷2 3. 分析：(1)可先将带分数化为假分数，除法化为乘法，再将系数、被 开方数分别相乘；(2)可采用如下步骤：化简→合并→做除法． 解： (1)原式＝ 5 1 2×3 1 28×(－5 16 5 7 )＝－3 5 1 16 5 2×28× 7 ＝－3
五、巧用二次根式的定义和性质求值 【例 5】已知 x，y 为实数，且满足 1＋x－(y－1)· 1－y＝0，那
－2 ． 么 x2017－y2017＝______
分析：因为 1＋x－(y－1) 1－y＝0，所以 1＋x＋(1－y) 1－y＝ 0.因为 1＋x≥0，(1－y) 1－y≥0，从而可求得 x，y 的值，再代入求值 即可． 【对应训练】
【对应训练】 6．已知 a＝ 5＋2，b＝ 5－2，求下列式子的值： (1)a2b＋ab2； (2)a2－3ab＋b2； (3)(a－2)(b－2)． 解：(1)2 5 (2)15 (3)5－4 5
专题课堂(一) 二次根式的运算及化简求值技巧
一、二次根式的加减运算 【例 1】计算： 2 (1)3 9x＋6 x 4－2x 1 x； 2 5)－( 1 27－ 10)．源自(2)( 40－ 0.2＋3
分析：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并． 解：(1)原式＝2 x＋3 x－2 x＝3 x 5 3 (2)原式＝2 10－ 5 ＋5 10
10 5 1 5 ＝－ × 10 ＝－ 49 3 7 21 10 4 3÷2 3＝2
(2)原式＝(20 3＋2 3－18 3)÷2 3＝
【对应训练】 2．计算： 3 1 (1) 15×5 20÷(－3 6)； 解：－9 2
专题一二次根式的混合运算及化简求值技巧
二、二次根式的混合运算 5. 21－1＋ 3( 3－ 6)＋ 8；
解：原式＝4 6. 15×35 20÷(－13 6)；
解：原式＝－9 2 7．(3 18＋15 50－4 0.5)÷ 32.
解：原式＝2
三、巧用乘法公式计算 8．( 5＋ 3)2；
解：原式＝8＋2 15 9．(3 2＋ 12)( 18－2 3)；
解：原式＝(7＋4 3)(7－4 3)＋(2＋ 3)(2－ 3)＋ 3＝2＋ 3
七、巧用整体代入求值 16．已知 a＝3＋2 2，b＝3－2 2，求 a2b－
17．已知 x＋y＝－7，xy＝12，求 y yx＋x xy的值． 解：∵x＋y＜0，xy＞0，∴x＜0，y＜0，∴原式＝y·－xyy＋x·－xxy＝ －2 xy＝－4 3
解：原式＝x＋1 1，值为
2 2
五、巧用二次根式的定义和性质求值 13．若 x－3－ 3－x＝(x＋y)2，求 x－y 的值．
解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x＝3，∴y＝－3，∴x－y＝6
14．当 x 取何值时， 5x－1＋4 的值最小？最小值是多少？ 解：x＝15时，最小值为 4
六、巧用乘法公式求值 15．已知 x＝2－ 3，求代数式(7＋4 3)x2＋(2＋ 3)x＋ 3的值．
专题一 二次根式的混合运算及化简求值技巧
一、二次根式的加减运算 1. 24＋ 0.5－( 81＋ 6)；
解：原式＝ 6＋14 2
2．3 2－2 12－4 81＋3 48； 解：原式＝8 3＋2 2
2 3.3
9x＋6
4x－2x
x1；
解：原式＝3 x
4. a2b＋a ba－b ba－ ab2. 解：原式＝a b－b a
解：原式＝6 10．( 3＋ 2)2－( 3－ 2)2.
二次根式的化简与运算详细解析
二次根式的化简与运算详细解析二次根式是数学中重要的一个概念，它在代数中的运算和化简是我们必须掌握的基本技能。
本文将详细解析二次根式的化简与运算，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、二次根式的化简化简二次根式是将含有根号的表达式变得更简单，通常有以下几种方法：1. 分解因式法当二次根式中的根号下为完全平方数时，可使用分解因式法进行化简。
例如，对于√36，因为36是6的平方，我们可以得到√36=√(6×6)=6。
2. 求平方法当二次根式中的根号下含有两项且其中一项为平方时，可以使用求平方法进行化简。
例如，对于√(x+2)(x+2)，我们可以将其展开为(x+2)，即√(x+2)(x+2)=x+2。
3. 合并同类项法当二次根式中存在相同的根号下的项时，可以使用合并同类项法进行化简。
例如，对于√12+√12，我们可以将其合并为2√12。
二、二次根式的运算二次根式的运算包括加减乘除四种基本运算，下面将详细介绍每一种运算的步骤和方法。
1. 加法与减法运算对于二次根式的加法与减法运算，要求根号下的项相同，即它们的根号下含有相同的因式。
例如，对于√5+√3-√5，我们可以合并相同的根号项，得到√5-√5+√3，进而化简为√3。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算需要使用分配律，即将一个二次根式乘以另一个二次根式，并化简结果。
例如，对于√2 × √3，我们可以运用分配律，得到√(2 × 3)，即√6。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
有理化是指将含有根号的表达式乘以一个合适的有理数，使得分子或分母中的根号项消去。
例如，对于√10/√2，我们可以将分子和分母都乘以√2，得到(√10 ×√2)/(√2 × √2)，即√20/2。
进一步化简为√20/2=√4/1=2。
三、应用举例为了更好地理解和应用二次根式的化简与运算，下面通过一些具体例子进行说明。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。
例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。
例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。
例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。
例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。
例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。
例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。
例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。
例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
专题训练二次根式化简求值有技巧含答案
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案)► 类型之一 利用二次根式的性质a 2＝|a|化简对于a 2的化简，不要盲目地写成a ，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a的符号进行化简．即a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.1．已知a ＝2－3，则a 2－2a ＋1＝( )A ．1－3 －1 C ．3－3 －32．当a ＜12且a ≠0时，化简：4a 2－4a ＋12a 2－a＝________． 3．当a ＜－8时，化简：|（a ＋4）2－4|.4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2－4c ＋4－14c 2－4c ＋16.► 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简5．当ab ＜0时，化简a 2b 的结果是( )A ．－a bB ．a －bC ．－a －bD ．a b6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）；(3)错误!； (4)错误!； (5)错误!.► 类型之三 利用隐含条件求值7．已知实数a 满足（2016－a ）2＋a －2017＝a ，求a －12016的值．8．已知x ＋y ＝－10，xy ＝8，求x y ＋y x 的值．► 类型之四 巧用乘法公式化简 9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)；(3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017.► 类型之五 巧用整体思想进行计算10．已知x ＝5－26，则x 2－10x ＋1的值为( )A ．－30 6B ．－186－2C ．0D ．10 611．已知x ＝12(11＋7)，y ＝12(11－7)，求x 2－xy ＋y 2的值．12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6，xy ＝4，求x ＋yx －y 的值．► 类型之六 巧用倒数法比较大小13．设a ＝3－2，b ＝2－3，c ＝5－2，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a _详解详析 1．[解析] B a 2－2a ＋1＝|a －1|. 因为a －1＝(2－3)－1＝1－3＜0， 所以|a －1|＝－(1－3)＝3－1.故选B . 2．[答案] －1a[解析] 原式＝（2a －1）2a （2a －1）＝|2a －1|a （2a －1）. 当a ＜12时，2a －1＜0，所以|2a －1|＝1－2a. 所以原式＝1－2a a （2a －1）＝－1a . 3．解：当a ＜－8时，a ＋4＜－4＜0，a ＋8＜0，∴|a ＋4|＝－(a ＋4)，|a ＋8|＝－(a ＋8)．∴原式＝|－(a ＋4)－4|＝|－a －8|＝|a ＋8|＝－(a ＋8)＝－a －8.4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c ＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．解：由三角形三边关系定理，得2＜c ＜8. ∴原式＝（c －2）2－（12c －4）2＝c －2－(4－12c)＝32c －6. 5．[解析] A 由ab ＜0，可知a ，b 异号且a ≠0，b ≠0.又因为a 2≥0，且a 2b ≥0，所以a ＜0，b>0.所以原式＝－a b.[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致． 6．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15. (2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.(3)原式＝错误!×错误!·错误!＝·错误!＝错误! 错误!.(4)原式＝259＝259＝53. (5)原式＝9a 34＝3a 2 a. 7．解：依题意可知a －2017≥0，即a ≥2017.所以原条件转化为a －2016＋a －2017＝a ，即a －2017＝2016.所以a ＝20162＋2017.所以a －12016＝20162＋20162016＝2017. [点评] 解决此题的关键是从已知条件中挖掘出隐含条件“a －2017≥0”，这样才能对（2016－a ）2进行化简，从而求出a 的值．8．解：依题意可知x ＜0，y ＜0.所以原式＝x 2xy ＋y 2xy ＝－x xy ＋－y xy ＝－（x ＋y ）xy. 因为x ＋y ＝－10，xy ＝8，所以原式＝－（－10）8＝522. [点评] 解决此题的关键是从已知条件中分析出x ，y 的正负性，这样才能对要求的式子进行化简和求值．如果盲目地化简代入，那么将会得出－522这个错误结果． 解答此题还有一个技巧，那就是对x y ＋y x进行变形时，不要按常规化去分母中的根号，而是要根据已知条件的特点对它进行“通分”．9．解：(1)原式＝(－15)2－42＝15－16＝－1.(2)原式＝(32)2－(26)2＝18－24＝－6.(3)原式＝3(2＋2)(2－2)＝3(4－2)＝2 3.(4)原式＝(15＋4)2016(15－4)2016(15－4)＝[(15＋4)(15－4)]2016(15－4)＝15－4.[点评] 利用乘法公式化简时，要善于发现公式，通过符号变形、位置变形、公因式变形、结合变形(添括号)、指数变形等，变出乘法公式，就可以利用公式进行化简与计算，事半功倍．10．[解析] C 原式＝(x －5)2－24.当x ＝5－26时，x －5＝－26，∴原式＝(－26)2－24＝24－24＝0.故选C .[点评] 解答此题时，先对要求的代数式进行配方，然后视x －5为一个整体代入求值，这比直接代入x 的值进行计算要简单得多． 11．解：因为x ＋y ＝11，xy ＝14[(11)2－(7)2]＝1， 所以x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y)2－3xy ＝(11)2－3＝8.[点评] 这类问题通常视x ＋y ，xy 为整体，而不是直接代入x ，y 的值进行计算．12．解：因为(x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝20，且x ＞y ，所以x －y ＝20＝25， 所以原式＝（x ＋y ）2（x ）2－（y ）2＝x ＋y ＋2xy x －y ＝6＋425＝ 5. [点评] 此题需先整体求出x －y 的值，然后再整体代入变形后的代数式计算．13．[解析] A 因为(3－2)(3＋2)＝1，所以a ＝3－2＝13＋2.同理，b ＝12＋3，c＝15＋2.当分子相同时，分母大的分式的值反而小，所以a＞b＞c.故选A.[点评] 这里(3－2)(3＋2)＝1，即3－2与3＋2互为倒数．因此，比较大小时，可把3－2转化为13＋2，从而转化为分母大小的比较。