(完整版)二次根式的化简求值

二次根式的化简

二次根式的化简二次根式是数学中的重要概念，在解题和计算中经常出现。

化简二次根式是简化其形式，以便更方便的进行运算和求解。

下面将介绍化简二次根式的基本方法和步骤。

1. 提取因子法对于形如√ax²的二次根式，可以利用提取因子的方法进行化简。

首先，提取出平方数因子，并将其移出根号之外。

例如：√20 = √(2 * 10) = √2 * √10 = √2√102. 分解因式法对于形如√(ab)的二次根式，可以将其分解为两个二次根式的乘积，然后分别化简。

例如：√(3 * 2) = √3 * √23. 合并同类项法对于形如√a + √b的二次根式，可以将其化简为一个二次根式。

例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√24. 倍角公式法对于形如√(a + b + 2√ab)的二次根式，可以利用倍角公式进行化简。

例如：√(9 + 4√6) = √(√6 + 3)² = √6 + 35. 平方差公式法对于形如√(a - b)的二次根式，可以利用平方差公式化简。

例如：√(9 - 4) = √5在化简二次根式的过程中，我们需要熟练掌握提取因子法、分解因式法、合并同类项法、倍角公式法和平方差公式法等基本方法，并根据具体的题目选用合适的方法进行化简。

化简二次根式的目的是为了简化计算和求解的过程，并使问题更加清晰明了。

通过适当的化简，可以减少出错的概率，提高解题的效率。

在应用问题中，化简二次根式也能更好地展示数学的美妙和应用的实用性。

总之，化简二次根式是数学学习中的重要内容，我们需要通过掌握基本方法和运用实战题目来提高自己的化简能力。

只有将理论与实践相结合，才能更好地应用二次根式化简解题，为数学学习打下坚实的基础。

二次根式化简公式

如何轻松学会二次根式化简公式？二次根式化简是初中数学中的一项非常重要的技能，能够在解决各种数学问题时起到重要的作用。

本文将介绍二次根式化简公式和相关技巧，帮助读者轻松学会这一技能。

一、二次根式的定义二次根式就是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

二次根式也可以写成乘方的形式，即a的1/2次方，即a^(1/2)。

二、二次根式的化简公式1. 同底数的二次根式相加、相减：√a ± √b = √(a ± b)例如：√5 + √3 = √(5 + 3) = √82. 二次根式的乘法：√a × √b = √(ab)例如：√5 × √3 = √(5 × 3) = √15注意：当a和b为同一个数时，可以进行化简，如√a×√a=√(a×a) = a。

3. 二次根式的除法：√a ÷ √b = √(a ÷ b)例如：√5 ÷ √3 = √(5 ÷ 3)注意：如果分母不能整除分子，应将其化为分数形式，即√(a ÷ b) = √a/√b。

二次根式的化简主要就是利用以上三个公式进行运算和简化，其实并不难。

三、二次根式化简的技巧1. 把被开方数分解质因数，找出成对的因数。

2. 把成对的因数提出来，搭配根号，相乘即可。

需要注意的是，如果有未被成对分解的因数，则应将其留在根号下，例如√14=√2×7。

3. 容易混淆的数字，例如3和9、5和25、7和49，需要记住它们的平方值。

四、总结二次根式化简是一项非常基础的数学技能，也是进一步学习代数、高中数学等更高级内容的重要基础。

学习二次根式化简公式后，需要多做练习，熟能生巧。

通过本文的介绍和实践，相信读者们可以轻松掌握二次根式化简的方法，进一步提高数学成绩。

二次根式求值简便方法

二次根式求值简便方法二次根式的求值是初中数学中比较基础的知识，而在解题时，经常需要使用一些简便方法来快速求出其结果。

下面就来介绍一下二次根式的求值简便方法。

一、化简二次根式化简是求解二次根式的关键，只有化简后的二次根式才能进行计算。

若是求解 $ \sqrt{16a^2b^4} $，可以将其化为 $ 4ab^2 $，利用$ \sqrt{a^2b^2} = ab $ 的特性，将式子中的平方项提出来即可：$$ \sqrt{16a^2b^4} = \sqrt{(4a)^2b^4} = 4ab^2 $$同样，假如需要求解 $ \sqrt{50}-\sqrt{18} $，则可以将其中的根式进行化简，得到：$$ \begin{aligned} \sqrt{50}-\sqrt{18} & = \sqrt{25\times2}-\sqrt{9\times2} \\ & = 5\sqrt{2}-3\sqrt{2} \\ & = 2\sqrt{2}\end{aligned} $$二、配方法在求解包含二次根式的方程时，常使用配方法来消去根号。

例如，求解 $ \sqrt{3x+1} + 2 = 5 $，可以使用配方法来解得：$$ \begin{aligned} & \qquad \sqrt{3x+1} + 2 = 5 \\ &\Rightarrow \sqrt{3x+1} = 3-2 \\ & \Rightarrow \sqrt{3x+1} = 1 \\ & \Rightarrow 3x+1 = 1 \\ & \Rightarrow 3x = 0 \\ &\Rightarrow x = 0 \end{aligned} $$三、分离因式对于某些稍微复杂的二次根式，有时候需要将其分离为简单的因式，再进行计算。

例如，求解 $ \sqrt{12}-\sqrt{48} $：$$ \begin{aligned} \sqrt{12}-\sqrt{48} & = 2\sqrt{3}-4\sqrt{3} \\ & = -2\sqrt{3} \end{aligned} $$这里就将二次根式 $ \sqrt{12} $ 和 $ \sqrt{48} $ 分别分离为$ 2\sqrt{3} $ 和 $ 4\sqrt{3} $，再将其合并计算即可。

二次根式的化简方法讲解

二次根式的化简方法讲解
二次根式的化简方法有以下几种：
1. 去括号：对于(a + b)\sqrt{c} 的形式，可以将其化简为a\sqrt{c} +
b\sqrt{c}，例如：2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}。

2. 合并同类项：对于多个二次根式，如果它们的根数和根式相同，则可以合并它们的系数。

例如：\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} = -\sqrt{2} + 2\sqrt{3}。

3. 有理化分母：对于分母中含有根号的分式，可以通过乘上分母的共轭来有理化分母。

例如：\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot
\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}。

4. 配方：对于(a + \sqrt{b})^2 或(a - \sqrt{b})^2 的形式，可以利用公式(a \pm \sqrt{b})^2 = a^2 \pm 2a\sqrt{b} + b，来进行配方。

例如：(3 +
\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}。

5. 分解因式：对于有多个根式相乘的形式，可以尝试将其进行因式分解，然后进行化简。

例如：\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}。

第三节二次根式的化简求值-学而思培优

第三节二次根式的化简求值-学而思培优第三节二次根式的化简求值二、核心纲要如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式，例如3-2.8+7.2.化简双重二次根式对于双重二次根式a±2b，设法找到两个正数x、y(x>y)，使得x+y=a，xy=b，则a±2b=(x±y)²=x²±2xy+y²。

3.二次根式化简求值的方法1) 直接代入：将已知条件代入所求代数式即可。

2) 变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值。

4.共轭根式形如a+b和a-b（其中a，b是有理数）的两个最简二次根式称为共轭根式。

5.解无理方程解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验。

本节重点讲解二次根式的化简和求值。

三、全能突破基础训练1.若x=m-n，y=m+n，则xy的值是( )。

A。

2m B。

2n C。

m+n D。

m-n2.已知若2x-1+y-3=√2，则4x×xy÷2y等于( )。

A。

2 B。

2√2 C。

2 D。

13.已知a=5+2，b=5-2，则a+b+7的值为( )。

A。

3 B。

4 C。

5 D。

64.代数式a+2a-2-2-a+3的值等于a-b=5.若a+b=5，ab=4，则：5.先化简，再求值：1) 2a³ab³-131/27a³b³+2abab，其中a=964，b=3.2) 3(a+3)(a-3)-a(a-6)-(a+2)²+13，其中a=2-1.a²-a-23) xy+(x+y)²/3-2，其中a=2-1.a²-4a+47.已知x=值，y=，求代数式xy-(x+y)²/3+2的值。

8.已知x=2+3，y=2-3，求下列代数式的值：1) x²-xy+y²2) x+y9.星期天，XXX的妈妈和XXX做了一个小游戏，XXX的妈妈说：“你现在研究了二次根式，若x表示10的整数部分，y代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是(10+x)y元，你猜一猜这个纸包里的钱数是多少？10.某同学作业本上有这样一道题：“当a=□时，试求a+a-2a+1的值”。

(完整版)二次根式化简计算小技巧

二次根式化简计算小技巧二次根式的有关化简和计算问题，法则较多，若运用某些技巧，会化难为易，速战速决。

做题时，不要急于求成，要多向思维，找到不同的方法，选择最佳方案。

代数题中也常有一题多解，有意识地加强这方面的训练，我们就会变得更加机智灵活。

常用的技巧方法有：一. 先变所求，“已知”后用二. 退中求进，后来居上三. 齐头并进，随机应变四. 里应外合，出奇制胜五. 分解约分，别开生面六. 直来直去，一鼓作气一. 先变所求，“已知”后用例. 已知：，求的值。

分析：先别急于把已知数代入要求的式子，可先把所求式子进行计算和化简后，再代入求值。

解：当时原式二. 退中求进，后来居上例. 计算：分析：指数太大，不能直接计算。

若把，退一步看作再把退一步看作，运用平方差公式计算，就简便多了。

解：原式三. 齐头并进，随机应变例. 已知：，求的值。

，分析：已知条件较复杂，可先化简，然后把所求的式子也适当变形，再代入求值。

解：四. 里应外合，出奇制胜例4. 化简：分析：常规思路是把后面的根式中的分母开出来。

如果把外面的看作，也可进行约分，这样会更简捷。

解：原式五. 分解约分，别开生面例5. 计算：分析：如果直接做分母有理化，分子会变得较复杂，根据分母中数字特点，改变思路。

这样可约分，立刻变得非常简便了。

解：原式六. 直来直去，一鼓作气例6. 计算：分析：不要忙于把每个数做化简，利用乘除法的道理，先确定结果为负的，然后在根号内直接进行乘除运算，这样省时省力。

解：原式。

初中数学二次根式的化简与计算

初中数学二次根式的化简与计算初中数学：二次根式的化简与计算二次根式是初中数学中一个重要的概念，它涉及到根式的化简和计算。

在本文中，我们将探讨如何正确地化简和计算二次根式。

一、二次根式的定义和性质二次根式可以表示为√a，其中a为非负实数。

二次根式具有以下性质：1. 同底同指数的二次根式可以合并。

例如，√2 + √2 = 2√2。

2. 不同底的二次根式不能合并。

例如，√2 + √3 不能化简。

3. 同一根号下的二次根式可以进行加减运算。

例如，√2 + √3 - √2 = √3。

二、二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式，即去掉根号下的平方数或合并同底同指数的二次根式。

1. 化简根号下的平方数如果根号下的数是某个数的平方，那么可以化简。

例如，√4 = 2，√9 = 3。

2. 合并同底同指数的二次根式如果根号下的数相同且指数相同，那么可以合并。

例如，√2 + √2 =2√2，2√3 - √3 = √3。

二次根式的化简需要熟练掌握平方数和合并同底同指数的技巧。

三、二次根式的计算在进行二次根式的计算时，可以根据题目的要求进行以下几种操作：1. 二次根式的加减运算对于同一根号下的二次根式，可以进行加减运算。

例如，√2 + √3 + √5。

2. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以使用分配律进行展开。

例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -1。

3. 二次根式的除法运算对于二次根式的除法运算，可以用有理化分母的方法进行计算。

例如，(√3 + √5)/(√2)。

四、解析几个例题现在，我们通过几个例题来进一步说明化简和计算二次根式的步骤。

例题1：化简√12 + √27。

解：首先，我们可以将根号下的平方数进行化简：√12 = √4 × 3 = 2√3，√27 = √9 × 3 = 3√3。

然后，将化简后的二次根式合并：2√3 + 3√3 = 5√3。

例题2：计算(√5 + √7)(√5 - √7)。

二次根式的化简及计算

二次根式的化简及计算二次根式是指具有形式 $\sqrt{a}$ 的数，其中 $a$ 是一个非负实数。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和计算。

在本文中，我将对二次根式的化简和计算进行详细介绍。

首先，让我们来了解一些基本的二次根式化简规则。

1. 同号相乘法则：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$；2. 同底数幂法则：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$；3. 分子分母同时乘以二次根式的共轭：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} =\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

基于这些规则，我们可以对二次根式进行化简和计算。

第一种情况是对一个二次根式的平方进行化简。

例如，对于$\left(\sqrt{2}\right)^2$，我们可以利用同底数幂法则得到$\sqrt{2}^2 = 2$。

第二种情况是对两个二次根式进行乘法计算。

例如，计算 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$，我们可以利用同号相乘法则得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$。

第三种情况是对两个二次根式进行除法计算。

例如，计算$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，我们可以分子分母同时乘以$\sqrt{3}$的共轭 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

第四种情况是对一个二次根式的和或差进行化简。

例如，对于$\sqrt{2} + \sqrt{3}$，我们无法直接化简为一个二次根式。

二次根式的化简方法

二次根式的化简方法二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。

化简二次根式是将其表示为最简形式，即不含有平方根的分子和分母，且分母中不含有二次根式。

一、化简步骤化简二次根式的基本步骤如下：1.化简根号下的倍数若根号下的数可以分解成一个完全平方数和一个非完全平方数的乘积，则可进行化简。

例如：√36 = √（6×6）= 6√75 = √（3×25）= 5√32.去除根号下的因子对于根号下有因子的二次根式，可将因子提取出来。

例如：√20 = √（4×5）= 2√53.合并同类项将根号下相同的项合并。

例如：2√3 + 3√3 = 5√3二、例题分析下面通过一些例题来进一步说明二次根式化简的方法：1.化简√(12-3√5)首先，我们可以先将3√5化简，得到√(12-√(5×3×3)) = √(12-√45)。

接下来，我们可以继续将根号下的因子提取出来，得到√(12-√(9×5)) = √(12-3√5)。

化简完毕。

2.化简(√7+√3)^2根据公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，我们可以展开该式子，得到(√7+√3)^2 = 7+2√21+3。

化简完毕。

三、注意事项在进行二次根式化简时，需要注意以下几点：1.化简过程中需要注意因子的提取，将根号下的因子提取出来是化简的关键步骤。

2.对于根号下的倍数，可以通过因式分解或查找完全平方数来化简。

3.在进行运算时，要注意保持计算的准确性，避免出现计算错误。

总结：二次根式的化简方法主要包括化简根号下的倍数、去除根号下的因子和合并同类项等步骤。

通过这些步骤，我们可以将二次根式表示为最简形式，使其更加简洁易读。

同时，在进行化简时需要注意计算的准确性，以避免出现错误。

希望以上内容对您有所帮助。

二次根式化简求值约分法

二次根式化简求值约分法
二次根式化简求值约分法主要涉及到二次根式的化简和约分。

首先，我们需要了解二次根式的基本性质，如：
a×b=a×b（当a≥0且b≥0）
ba=ba（当a≥0，b>0）
接下来，我们按照以下步骤进行化简和约分：
1.化简二次根式：
▪将被开方数分解为能开得尽方的因数或因式的乘积。

▪使用二次根式的基本性质进行化简。

2.约分：
▪找出分子和分母中的公因式。

▪使用二次根式的基本性质进行约分。

3.求值：
▪将化简和约分后的二次根式代入给定的值进行计算。

下面通过一个具体的例子来说明这个过程：
例：化简并求值312+27。

解：
4.化简二次根式：
▪12=4×3=23
▪27=9×3=33
5.约分：
▪323+33=353
▪使用二次根式的基本性质进行约分，得到5。

6.求值：
▪在这个例子中，由于已经化简和约分到了最简形式，所以直接得到结果为5。

通过这个过程，我们可以看到二次根式化简求值约分法的主要步骤和技巧。

在实际应用中，我们还需要注意被开方数的取值范围，确保开方运算的合法性。

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专题07 二次根式化简求值(解析版)

专题07 二次根式化简求值【考点归纳】1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．3、二次根式的化简求值的常见题型及方法常见题型：与分式的化简求值相结合．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•天心区期末）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（）A．9B．9C．5D．5【答案】D．【解析】解：∵x＝+2，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2＝4x+1，∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．故选：D．2．（2020秋•会宁县期末）已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（）A．4B．14C．D．14+4【答案】B．【解析】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故选：B．3．（2020秋•乐亭县期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（）A．20B．16C．2D．4【答案】A．【解析】解：当x＝+1，y＝﹣1时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝20，故选：A．4．（2020•石家庄模拟）当，分式的结果为a，则）A．a＞1B．C．D．【答案】B．【解析】解：+＝+＝＝，当x＝+1时，原式＝＝＝，即a＝，∵＜＜1，∴＜a＜1，故选：B．5．（2020秋•渝中区校级月考）已知m＝+，n＝﹣，则代数式的值为（）A．5B．C．3D．【答案】B．【解析】解：∵m＝+，n＝﹣，∴m+n＝2，mn＝5﹣2＝3，∴原式＝＝＝．故选：B．6．（2020秋•大洼区月考）当m＝3时，m+的值等于（）A．6B．5C．3D．1【答案】B．【解析】解：原式＝m+＝m+|m﹣1|，当m＝3时，原式＝3+|3﹣1|＝3+2＝5．故选：B．二、填空题7．（2020春•高密市期中）若a＝+1，则a2﹣2a+1的值为．【答案】6【解析】解：∵a＝+1，∴原式＝（a﹣1）2＝（+1﹣1）2＝6．故答案为：6．8．（2020春•明水县校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2＝；（2）x2﹣y2＝．【答案】（1）12（2）4．【解析】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝12，故答案为：12；（2）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4，故答案为：4．9．已知a＝1+，b＝，则a2+b2﹣2a+1的值为．【答案】5【解析】解：∵a＝1+，b＝，∴a2+b2﹣2a+1＝（a2﹣2a+1）+b2＝（a﹣1）2+b2＝（1+﹣1）2+（）2＝2+3＝5，故答案为：5．10．（2020春•武昌区期中）若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为．【答案】1【解析】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1．故答案为：1．11．（2019秋•高安市校级期末）若x＝﹣1，则x3+x2﹣3x+2020的值为．【答案】2019【解析】解：∵x＝﹣1，∴x+1＝，∴（x+1）2＝2，即x2＝﹣2x+1，∴x3＝﹣2x2+x＝﹣2（﹣2x+1）+x＝5x﹣2，∴x3+x2﹣3x+2020＝5x﹣2﹣2x+1﹣3x+2020＝2019．故答案为2019．三、解答题12．（2020春•常熟市期中）已知x＝﹣2，y＝+2，求代数式x2+y2+xy﹣2x﹣2y的值．【答案】解：∵x＝﹣2，y＝+2，∴x+y＝2，xy＝﹣1，∴x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y）＝（2）2﹣（﹣1）﹣2×2＝12+1﹣4＝13﹣4．【解析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y），然后利用整体代入的方法计算．13．（1）计算：（）2﹣3；（2）如果a＝﹣，求﹣的值．【答案】解：（1）原式＝3﹣3×3＝3﹣9＝﹣6；（2）∵a＝﹣，∴a+1＝﹣+1＜0，a﹣1＝﹣﹣1＜0，则原式＝|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣1+a﹣1＝﹣2．【解析】（1）根据（）2＝a，＝|a|求解可得；（2）先由a＝﹣判断出a+1和a﹣1的符号，再根据＝|a|化简可得．14．（2020春•大悟县期中）先化简再求值：已知a＝，b＝，求．【答案】解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2，∴a+b＝2，ab＝1，∴＝＝＝＝4．【解析】先分母有理化，再计算出a+b与ab，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体的方法计算．15．（2020春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知a＝2﹣，b＝2，求的值．【答案】解：＝＝，当a＝2﹣，b＝2时，原式＝＝＝﹣．【解析】先化简分式，然后将a＝2﹣，b＝2代入求值．16．（2020春•江汉区期中）已知x＝，y＝，m＝﹣，n＝+（1）求m，n的值；（2）若﹣＝n+2，＝m，求+的值．【答案】解：（1）∵x＝，y＝，∴x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，∴m＝﹣＝＝﹣＝﹣＝2；n＝+＝＝＝＝4；（2）∵﹣＝6，＝2，∴（﹣）2＝36，∴（+）2﹣4＝36，∴（+）2＝36+4×2＝44，∴+＝2．【解析】（1）先利用x与y的值计算出x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，再把m、n变形为m＝﹣＝﹣；n＝+＝；然后利用整体代入的方法计算m、n的值；（2）由于﹣＝6，＝2，利用完全平方公式得到（+）2﹣4＝36，最后利用算术平方根的定义得到+的值．。

二次根式的化简求值

二次根式的化简求值二次根式是数学中一个常见的概念，我们通过化简可以将一个复杂的二次根式简化为更为简洁的形式，方便计算和理解。

下面我们将介绍化简二次根式的具体方法和求值的步骤。

1. 化简二次根式的基本规则化简二次根式的基本原则是将根号内的式子化为平方数的乘积，通常采用以下两种方法：①合并同类项：将根号内的式子合并同类项，将它们看作一个整体，比如√6 + √24 就可以合并为√6 + 2√6 = 3√6。

②有理化分母：通过有理化分母，将分母中的根式化为整数，比如√2/2 这个二次根式，在分母上下乘以√2，就可以化为 1。

2. 化简二次根式的具体方法对于形如a√n 或a + b√n 的二次根式，我们可以通过以下方法进行化简：① a√n + b√n = (a + b)√n② a√n - b√n = (a - b)√n③ (a + b)√n + (c + d)√n = (a + b + c + d)√n④ (a + b)√n - (c + d)√n = (a + b - c - d)√n⑤ (√n + a)(√n + b) = n + a√n + b√n + ab = (a + b)√n + n⑥ (√n + a)(√n - b) = n - ab - b√n - a√n = (a - b)√n + n - ab3. 求解二次根式的具体步骤求解二次根式通常需要进行以下步骤：①化简二次根式，提取出公因数或合并同类项，得到一个简化后的式子。

②根据需要，进行有理化分母，消去分母中的根式，使分母变为整数。

③如果需要求具体的值，将已有的数字代入式子中，进行计算。

4. 实际应用场景二次根式在现代数学和物理学中有着广泛的应用，比如：①网站安全性的评估：用于计算在用户的密码长度和密码字典的规模之下，恶意攻击者能够穷尽所有密码的最大数量。

②统计分析：用于计算标准差和方差。

③金融学：用于计算股票价格的变化幅度， volatility index。

二次根式的化简与求值(最新整理)

的代数式叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式）强调：二次根式被开方数不小于0二次根式的性质：双重非负性（a≥0），二次根式的加减：类似于合并同类项，把相同二次根式的项合并.二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如）仍然适用.22222b 2ab a )b a (;b a b)-b)(a (a +±=±-=+二、二次根式的化简与求值技巧所谓转化：解数学题的常用策略。

常言道：“兵无常势，水无常形。

”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。

二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。

现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

1、巧用公式法例1计算ba ba b a ba b a +-+-+-2分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为与成立，且分式也成立，a b 故有＞0，＞0，而同时公式：=-2+，-=，可以帮a b ()0≠-b a ()b a -2a 2ab b 2a 22b ()b a +()b a -助我们将和变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

b ab a +-2b a -解：原式=+=+=2-2()b a ba --2()()b a ba b a +-+()b a -()b a -a b 二、适当配方法。

例2．计算：32163223-+--+分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+其分子必有含1+的因式，32-32-于是可以发现3+2=，且，通过因式分解，分子所含的1+的因式就2()221+()21363+=+32-出来了。

解：原式==1+()()32163223-++-+()()=-++-+3212132122三、正确设元化简法。

二次根式的化简与运算详细解析

二次根式的化简与运算详细解析二次根式是数学中重要的一个概念，它在代数中的运算和化简是我们必须掌握的基本技能。

本文将详细解析二次根式的化简与运算，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、二次根式的化简化简二次根式是将含有根号的表达式变得更简单，通常有以下几种方法：1. 分解因式法当二次根式中的根号下为完全平方数时，可使用分解因式法进行化简。

例如，对于√36，因为36是6的平方，我们可以得到√36=√(6×6)=6。

2. 求平方法当二次根式中的根号下含有两项且其中一项为平方时，可以使用求平方法进行化简。

例如，对于√(x+2)(x+2)，我们可以将其展开为(x+2)，即√(x+2)(x+2)=x+2。

3. 合并同类项法当二次根式中存在相同的根号下的项时，可以使用合并同类项法进行化简。

例如，对于√12+√12，我们可以将其合并为2√12。

二、二次根式的运算二次根式的运算包括加减乘除四种基本运算，下面将详细介绍每一种运算的步骤和方法。

1. 加法与减法运算对于二次根式的加法与减法运算，要求根号下的项相同，即它们的根号下含有相同的因式。

例如，对于√5+√3-√5，我们可以合并相同的根号项，得到√5-√5+√3，进而化简为√3。

2. 乘法运算二次根式的乘法运算需要使用分配律，即将一个二次根式乘以另一个二次根式，并化简结果。

例如，对于√2 × √3，我们可以运用分配律，得到√(2 × 3)，即√6。

3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。

有理化是指将含有根号的表达式乘以一个合适的有理数，使得分子或分母中的根号项消去。

例如，对于√10/√2，我们可以将分子和分母都乘以√2，得到(√10 ×√2)/(√2 × √2)，即√20/2。

进一步化简为√20/2=√4/1=2。

三、应用举例为了更好地理解和应用二次根式的化简与运算，下面通过一些具体例子进行说明。

二次根式化简求值的十种技巧

二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。

例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。

有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。

例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。

技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。

例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。

技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。

例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。

技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。

例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。

例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。

技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。

例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。

例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。

二次根式化简求值技巧

二次根式化简求值技巧二次根式是数学中常见的一种形式，它可以通过化简来简化计算和理解。

本文将介绍一些二次根式化简求值的技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。

一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

二次根式有以下几个重要的性质：1. 二次根式的值是非负实数，即√a ≥ 0。

2. 当a和b都是非负实数时，有√(ab) = √a * √b。

3. 当a和b都是非负实数时，有√(a/b) = √a / √b（当分母不等于0）。

二、化简二次根式的基本方法1. 提取因子法：如果二次根式中的数可以分解成两个数的乘积，可以使用提取因子法进行化简。

例如，√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3。

2. 合并同类项法：如果二次根式中含有相同的根式，可以使用合并同类项法进行化简。

例如，√7 + √7 = 2√7。

3. 有理化分母法：如果二次根式的分母是一个二次根式，可以使用有理化分母法进行化简。

例如，1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (2 - 3) = -(√2 - √3)。

三、求值二次根式的常用技巧1. 使用近似值计算：二次根式有时难以精确计算，可以使用近似值来估算结果。

例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈2.236。

2. 使用特殊值计算：对于一些特殊的二次根式，可以直接使用已知的特殊值进行计算。

例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4。

3. 使用平方公式计算：对于一些复杂的二次根式，可以使用平方公式进行化简。

例如，(√3 + √5) ^ 2 = (√3) ^ 2 + 2 * (√3) * (√5) + (√5) ^ 2 = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15。

四、例题解析现在我们来看几个例题，通过化简求值的技巧来解答：例题1：化简并求值√12 + √27 - √48。

(完整版)八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案

A.-5B.5C.-9D.9
解析：由m=1+ 可得m-1= ，两边平方得m2-2m+1=2，所以m2-2m=1；
7m2-14m+a=7（m2-2m）+a=7+a；
同理可得n2-2n=1，3n2-6n-7=3（n2-2n）-7=3-7=-4；
所以(7+a)×(-4)=8，解得a=-9.
答案：C
小结：观察所给等式和m，n的值，我们可以发现，对m，n稍作变形便可整体代入.整体思想是解决这类较复杂求值问题常用的思想方法.当然我们也可以直接把m，n的值直接代入，然后解方程求出a的值，这样计算量要大很多.
答案：解：（1）（ - ）2=11-2× × +3=14-2 ，
（ -2）2=10-2× ×2+4=14-2 .
∵33<40,∴ < ,∴-2 >-2 ,∴14-2 >14-2 ,
∴（ - ）2>（ -2）2.又∵ - >0, -2>0,∴ - > -2.
（2） = = ，
= = .
∵ = < ，
∴ < ，
二次根式的化简求值
练习题
温故而知新：
分母有理化
分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.
例 1计算：（1）；
（2）；
（3） .
解析：（1）式进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（2）利用平方差公式计算；（3）先将分子、分母在实数范围内因式分解，然后再约分.
∴ - > - .
小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.