整式分式因式分解二次根式解题技巧

1.整式

用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．

只含有数与字母的积的代数式叫单项式．

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 23

13-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．

几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．

单项式和多项式统称整式．

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．

注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入

(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．

2.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

注意：(1)同类项与系数大小没有关系；

(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．

整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．

同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n

m a a =(n m ,都是正整数)．

积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂

相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．

单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．

单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项

式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．

注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．

②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．

多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．

①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；

②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-； ③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+

④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；

⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．

注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．

同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．

注意：10=a (0≠a )；p a a

a p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的

3．因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例

如：23248a ab b a ⨯=；()111+=+a a

a a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()c

b a

c b a ++=++222，不是因式分解．

(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．

(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()

b a b a b a 55522-++．

1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式

法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．

2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．

完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2

222b a b ab a -=+-．

立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．

立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．

注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．

3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．

4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．

5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．

因式分解的一般步骤是：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；

(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．

4. 分式

一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成

B A 的形式．如果B 中含有字母，式子B

A 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，

B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．

注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；

(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；

(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．

把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．

一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．