数字信号处理主要知识点整理复习总结1
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(4) 双边序列 X(z)= x(n)z-n，(-∞ n ∞) ① Rx＋> Rx－, Rx＋>|z|> Rx－ ② Rx－> Rx＋ , 空集
5、部分分式法进行逆Z变换
1) 求极点 2) 将X(z)分解成部分分式形式 3) 通过查表，对每个分式分别进行逆Z变换 注：左边序列、右边序列对应不同收敛域 1) 将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的x(n)序列
DTFT的定义、性质 DTFT与Z变换的关系 DTFT存在的条件 4、Z变换 Z变换的定义、零极点、收敛域 逆Z变换（部分分式法） Z变换的性质及Parseval定理
1.1节知识点 1、离散时间信号的时域表示：
（1）函数描述法（2）图形表示法 2、序列的基本计算和性质：
如：序列移位、绝对可和、有界等
数字信号处理课程 知识点概要
绪论部分知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字 信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量）
2、数字信号的产生；
采样
量化、编码
模拟信号 ———— 离散时间信号 —————— 数字信号
3、典型数字信号处理系统的主要构成。
连续时间 信号 离散信号
时间 连续
2
离散时间信号的频域（频谱）为周期函数；
常见变换对； 基本性质。
2、Z 变换表示法：
1) 级数形式（定义）
X (z) x(n)zn
2) 解析表达式（根据常见公式） n
（注意:表示收敛域上的函数，同时注明收敛域）
3、Z 变换收敛域的特点：
1) 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有 时可向外扩展到∞，只有x(n)=δ(n)的收敛域是整个 Z 平面
离散
模拟信号 连续 数字信号 离散
幅度
备注
有确定值 连续或离散 连续
连续 离散
连续信号的 特例
数字信号处理系统
模拟 信号
连续时间 信号
采样 保持器
A/D 变换器
数字信号
通用或 专用
计算机
连续时间 信号
模拟 信号
D/ A 变换器
模拟 低通 滤波器
第1章回顾——要点与难点
第一部分 离散时间信号
1、常见典型序列及其运算 2、采样：目的、过程、频谱、奈奎斯特采样定理、恢复 3、离散时间傅里叶变换
N 1
y(m)x((n m))N RN (n) m0
m0
选频性 DFT与Z变换
DFT
x(n) e jqon 0 n N 1
1 e j2 (qk ) N
X (k ) 1 e j2 (qk )/ N
0
kq kq
X (k ) X (z) zwNk
z
w
k N
e j
2 N
k
DFT与DTFT
2、时不变系统：系统的参数不随时间而变化，不管 输入信号作用时间的先后，输出信号的响应的形状均 相同，仅是出现时间的不同
时不变系统 判别准则
若 y(n) T x(n)
则 T x(n n0 ) y(n n0 )
3、线性卷积
y(n) x(k)h(n k) x(n)* h(n) k x(n k)h(k) h(n)* x(n) k
m)
w mk N
X%(k
)
IDFS
X%(k
l )
wNnl x%(n)
DFT
线性 循环移位
DFT IDFT
f (n)
w mk N
X ((k l ))RN
X (k (k )
)
w
nl N
x(n)
共轭对称性
共轭对称性
DFS x% n X% k DFS x% n X% k
周期卷积
② 时域内的离散周期信号为x%(n)，频域内离散周 期信号为X%(k) ，它们之间形成DFS变换对；
③ 分别取它们的一个周期，得到x(n)与X(k)，它 们之间形成DFT变换对。
DFS变换对
N 1
DFS
x%(n)
X%(k )
x%(n)W
kn N
n0
IDFS X%(k)
x%(n)
1 N
N 1
X%(k
②双线性变换法
j
0
j1
/T
0
/
'
T
j Im[ z]
1 Re[ z] 0
S平面 s c tanh(s1T / 2)S1平面
/T
c
tan(1T
/ 2)
/
T
一一对应
z es1T Z平面
映射关系
2 1 z1 s T 1 z1
z 1 (T / 2)s 1 (T / 2)s
优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系 不会产生混叠现象；
1.2节知识点 1、采样目的和过程 2、采样后信号的频谱变化：周期延拓 3、由采样序列不失真地还原连续信号的条件 ——
奈奎斯特采样定理 4、采样的恢复：内插函数、内插公式
1.3节知识点 1、DTFT的定义：
正变换：
X (e j )
x[n]e jn
n
反变换：
x[n]
1
X (e j )e jnd
★脉冲响应不变法满足变换的映射条件，但映射关系
不是一一对应的。
j
j Im(z)
3
T
T 0
T
0
Re( z )
3 T
S 平面
Z 平面
: ~
脉冲响应不变法优点：
时域脉冲响应的模仿性能好 频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω
是线性关系。
脉冲响应不变法缺点：
有频谱周期延拓效应. 只能用于带限的频响 特性，如衰减特性很好的低通或带通；
0<|z|<∞ 出现z的正、负幂
(2) 右边序列
X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n2=∞) ① n1 0, n2=∞ , |z|> Rx－ ② n1 < 0, n2=∞ , Rx－<|z|<∞ 展开式出现z的正幂
Z 变换的收敛域包括 ∞ 点是因果序列的特征。
(3) 左边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n1 =-∞) ① n1 = -∞, n2 0, |z|<Rx＋; ② n1 = -∞, n2 > 0, 0<|z|< Rx＋; 出现z的负幂
★
X (e j ) X (z) ze j
x(n)e jn
n
★采样序列在单位圆上的Z变换等于该序列的DTFT
序列频谱存在的条件—Z变换的收敛域包含单位圆
8、Parseval定理重要应用——计算序列能量：
x(n) 2 1 | X (e j ) |2 d
n
2
即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致
6、Z变换的性质
移位、反向、乘指数序列、卷积
常用序列z变换（可直接使用）
1
z
u(n) 1 z1 z 1
RN
(n)
1 1
zN z 1
anu(n) 1 z 1 az1 z a
a
nu
(n
1)
1
1 az
1
1 | z | 0 | z | | a || z | 0 | z || a |
7、DTFT与Z变换的关系
DFT形式下的 Parseval定理
X (k ) X (e jw ) wkwN
2
wN N
N 1
x(n) y*(n)
1
N 1
X (k)Y *(k)
n0
N k0
N 1
| x(n) |2
1
N 1
| X (k) |2
x(n) y(n)
n0
N k0
★使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条
缺点: Ω与ω成非线性关系
2 T
tg
2
畸变：经双线性变换后，频率发生了非线性变化， 相应地，数字滤波器的幅频特性在临界频率 点会发生非线性变化。这种频率点的畸变可 以通过预畸来加以校正。
注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只 能消除模拟和数字滤波器在特征频率点的畸 变。
i
2 T
tg i
2
ROC: 包含单位圆
5、差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系
N阶线性常系数差分方程的一般形式：
M
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
其中 ai、bi都是常数。
离散系统差分方程表示法有两个主要用途： ① 求解系统的瞬态响应； ② 由差分方程得到系统结构；
6、线性时不变离散时间系统的表示方法 线性常系数差分方程 单位脉冲响应 h(n) 系统函数 H(z) 频率响应 H(ejw) 零极点图（几何方法）
7、系统的分类 IIR和FIR 递归和非递归
第二章回顾——要点与难点
第一部分 离散时间傅里叶变换
1、DFS的定义、性质 2、DFT的定义、性质
时域/频域同时采样
~x(n) ~x(nT)
1/ X~ (k) X~ (k1)
T
n
-N
0
N
k
-N
0
N
① 对有限时宽的信号xa(t)的时域波形和频域波形 同时进行取样，其结果是时域波形和频域的都 变成了离散的、周期性的波形；
DFT x n X N k
循环卷积
F%(k) X%(k)Y%(k)
F (k) X (k)Y (k)
N 1
N 1
f%(n) IDFS F%(k ) x%(m) y%(n m) m0
f (n) IDFT[F (k)] x(m) y((n m))N RN (n)
m0
N 1
y%(m)x%(n m)
分辨率
2
N fs N
2.2节知识点
连续信号的频谱分析 (利用DFT的选频性)
过程：采样－截短－DFT 效应：混叠——原因：采样、频谱泄漏
泄漏——原因：截短 栅栏效应——原因：DFT DFT的分辨率
第二部分 快速傅里叶变换
1、按时间抽取的FFT原理、蝶形图、特点 2、按频率抽取的FFT原理、蝶形图、特点
设计步骤：
一：对通带临界频率 p和阻带临界频率s预畸
'p
2 T
tg( pT 2
)
's
2 T
tg( sT 2
)
二：以
预畸后
参数'p
,
' s
件是L≥N+M-1；
步骤如下： ① 重新构造两个长度为L的序列x(n)和y(n), 方法：
末尾补零 ② 对x(n)和y(n)进行圆周卷积：
✓ 首先对两个序列进行周期延拓 ✓ 对延拓后的周期序列进行周期卷积 ✓ 对周期卷积的结果取主值区间
圆周卷积与线性卷积的性质对比
圆周卷积
线性卷积
针对FFT引出的 一种表示方法
第3章回顾——要点与难点
S到Z平面的映射关系满足条件 (1)数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响
Ha (s) s j 互为映Βιβλιοθήκη Baidu关系 H (z) ze j
(2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的
Ha (s) Re[s]0 互为映射关系 H (z) z 1
思路： ha (t )
h(n) ha (t) tnT ha (nT )
)W
N
kn
k0
其中，WN e j2 / N
DFT变换对
DFT[ IDFT[ X
x(n)] X (k) (k)] x(n)
N 1
x(
n)W
kn N
n0
1 N
N 1
X
(k
)W
N
k0
kn
0 k N 1 0 n N 1
其中，WN e j2 / N
DFS
线性
序列移位
DFS
x%(n
2) 在收敛域内没有极点，X(z)在收敛域内每一点上 都是解析函数。
4、几类序列Z变换的收敛域
(1) 有限长序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2)
① 0 n1 n n2 0<|z|∞ 展开式出现z的负幂
② n1 n n2 0 0|z|<∞ 展开式出现z的正幂
③ n1 < 0, n2 > 0
信号通过线性系统时，信 号输出等于输入与系统单
位冲激响应的卷积
两序列长度必须相等， 不等时按要求补足零值点
两序列长度可以不等 如x1(n)为 N1点， x2(n)为 N2点
卷积结果长度 与两信号长度相等皆为N
卷积结果长度为 N=N1+N2-1
变量
数字频域
模拟频域 离散频域
、f k
周期
2
s、fs
N
Ha (s)
N Ai i1 s si
某种变换
z esT
H(z)
N
Ai
i1 1 e siT z 1
脉冲响应不变法
N
ha (t ) Aie sit u(t ) i 1
N
h(n)
i 1
Ai
(e
siT
)n
u(n)
① 脉冲响应不变法的映射关系 z eST , s j
z re j , r eT , T
① y(n)的长度——Lx＋Lh－1
② 两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷 积之后是无限长序列
③ 卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再 进行卷积，但必须看清起点在哪里
4、系统的稳定性与因果性 系统 时域充要条件
Z域充要条件
因果 h(n)≡0 (n<0)
ROC: R1 <┃Z┃≤∞
稳定
∞ Σ ┃h(n)┃<∞ n=-∞
第二部分 离散时间系统
1、线性时不变系统的判定 2、线性卷积 3、系统稳定性与因果性的判定 4、线性时不变离散时间系统的表示方法 5、系统分类及两种分类之间的关系
1、线性系统：对于任何线性组合信号的响应等于 系统对各个分量的响应的线性组合。
线性系统 判别准则
若 y1(n) T x1(n) y2(n) T x2(n) 则 T ax1(n) bx2(n) ay1(n) by2(n)
5、部分分式法进行逆Z变换
1) 求极点 2) 将X(z)分解成部分分式形式 3) 通过查表，对每个分式分别进行逆Z变换 注：左边序列、右边序列对应不同收敛域 1) 将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的x(n)序列
DTFT的定义、性质 DTFT与Z变换的关系 DTFT存在的条件 4、Z变换 Z变换的定义、零极点、收敛域 逆Z变换（部分分式法） Z变换的性质及Parseval定理
1.1节知识点 1、离散时间信号的时域表示：
（1）函数描述法（2）图形表示法 2、序列的基本计算和性质：
如：序列移位、绝对可和、有界等
数字信号处理课程 知识点概要
绪论部分知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字 信号的特点及相互关系（时间和幅度的连续性考量）
2、数字信号的产生；
采样
量化、编码
模拟信号 ———— 离散时间信号 —————— 数字信号
3、典型数字信号处理系统的主要构成。
连续时间 信号 离散信号
时间 连续
2
离散时间信号的频域（频谱）为周期函数；
常见变换对； 基本性质。
2、Z 变换表示法：
1) 级数形式（定义）
X (z) x(n)zn
2) 解析表达式（根据常见公式） n
（注意:表示收敛域上的函数，同时注明收敛域）
3、Z 变换收敛域的特点：
1) 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有 时可向外扩展到∞，只有x(n)=δ(n)的收敛域是整个 Z 平面
离散
模拟信号 连续 数字信号 离散
幅度
备注
有确定值 连续或离散 连续
连续 离散
连续信号的 特例
数字信号处理系统
模拟 信号
连续时间 信号
采样 保持器
A/D 变换器
数字信号
通用或 专用
计算机
连续时间 信号
模拟 信号
D/ A 变换器
模拟 低通 滤波器
第1章回顾——要点与难点
第一部分 离散时间信号
1、常见典型序列及其运算 2、采样：目的、过程、频谱、奈奎斯特采样定理、恢复 3、离散时间傅里叶变换
N 1
y(m)x((n m))N RN (n) m0
m0
选频性 DFT与Z变换
DFT
x(n) e jqon 0 n N 1
1 e j2 (qk ) N
X (k ) 1 e j2 (qk )/ N
0
kq kq
X (k ) X (z) zwNk
z
w
k N
e j
2 N
k
DFT与DTFT
2、时不变系统：系统的参数不随时间而变化，不管 输入信号作用时间的先后，输出信号的响应的形状均 相同，仅是出现时间的不同
时不变系统 判别准则
若 y(n) T x(n)
则 T x(n n0 ) y(n n0 )
3、线性卷积
y(n) x(k)h(n k) x(n)* h(n) k x(n k)h(k) h(n)* x(n) k
m)
w mk N
X%(k
)
IDFS
X%(k
l )
wNnl x%(n)
DFT
线性 循环移位
DFT IDFT
f (n)
w mk N
X ((k l ))RN
X (k (k )
)
w
nl N
x(n)
共轭对称性
共轭对称性
DFS x% n X% k DFS x% n X% k
周期卷积
② 时域内的离散周期信号为x%(n)，频域内离散周 期信号为X%(k) ，它们之间形成DFS变换对；
③ 分别取它们的一个周期，得到x(n)与X(k)，它 们之间形成DFT变换对。
DFS变换对
N 1
DFS
x%(n)
X%(k )
x%(n)W
kn N
n0
IDFS X%(k)
x%(n)
1 N
N 1
X%(k
②双线性变换法
j
0
j1
/T
0
/
'
T
j Im[ z]
1 Re[ z] 0
S平面 s c tanh(s1T / 2)S1平面
/T
c
tan(1T
/ 2)
/
T
一一对应
z es1T Z平面
映射关系
2 1 z1 s T 1 z1
z 1 (T / 2)s 1 (T / 2)s
优点：S平面与Z平面是单值的一一对应关系 不会产生混叠现象；
1.2节知识点 1、采样目的和过程 2、采样后信号的频谱变化：周期延拓 3、由采样序列不失真地还原连续信号的条件 ——
奈奎斯特采样定理 4、采样的恢复：内插函数、内插公式
1.3节知识点 1、DTFT的定义：
正变换：
X (e j )
x[n]e jn
n
反变换：
x[n]
1
X (e j )e jnd
★脉冲响应不变法满足变换的映射条件，但映射关系
不是一一对应的。
j
j Im(z)
3
T
T 0
T
0
Re( z )
3 T
S 平面
Z 平面
: ~
脉冲响应不变法优点：
时域脉冲响应的模仿性能好 频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω
是线性关系。
脉冲响应不变法缺点：
有频谱周期延拓效应. 只能用于带限的频响 特性，如衰减特性很好的低通或带通；
0<|z|<∞ 出现z的正、负幂
(2) 右边序列
X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n2=∞) ① n1 0, n2=∞ , |z|> Rx－ ② n1 < 0, n2=∞ , Rx－<|z|<∞ 展开式出现z的正幂
Z 变换的收敛域包括 ∞ 点是因果序列的特征。
(3) 左边序列 X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2, n1 =-∞) ① n1 = -∞, n2 0, |z|<Rx＋; ② n1 = -∞, n2 > 0, 0<|z|< Rx＋; 出现z的负幂
★
X (e j ) X (z) ze j
x(n)e jn
n
★采样序列在单位圆上的Z变换等于该序列的DTFT
序列频谱存在的条件—Z变换的收敛域包含单位圆
8、Parseval定理重要应用——计算序列能量：
x(n) 2 1 | X (e j ) |2 d
n
2
即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致
6、Z变换的性质
移位、反向、乘指数序列、卷积
常用序列z变换（可直接使用）
1
z
u(n) 1 z1 z 1
RN
(n)
1 1
zN z 1
anu(n) 1 z 1 az1 z a
a
nu
(n
1)
1
1 az
1
1 | z | 0 | z | | a || z | 0 | z || a |
7、DTFT与Z变换的关系
DFT形式下的 Parseval定理
X (k ) X (e jw ) wkwN
2
wN N
N 1
x(n) y*(n)
1
N 1
X (k)Y *(k)
n0
N k0
N 1
| x(n) |2
1
N 1
| X (k) |2
x(n) y(n)
n0
N k0
★使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条
缺点: Ω与ω成非线性关系
2 T
tg
2
畸变：经双线性变换后，频率发生了非线性变化， 相应地，数字滤波器的幅频特性在临界频率 点会发生非线性变化。这种频率点的畸变可 以通过预畸来加以校正。
注意：预畸不能在整个频率段消除非线性畸变，只 能消除模拟和数字滤波器在特征频率点的畸 变。
i
2 T
tg i
2
ROC: 包含单位圆
5、差分方程——描述系统输入输出之间的运算关系
N阶线性常系数差分方程的一般形式：
M
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
其中 ai、bi都是常数。
离散系统差分方程表示法有两个主要用途： ① 求解系统的瞬态响应； ② 由差分方程得到系统结构；
6、线性时不变离散时间系统的表示方法 线性常系数差分方程 单位脉冲响应 h(n) 系统函数 H(z) 频率响应 H(ejw) 零极点图（几何方法）
7、系统的分类 IIR和FIR 递归和非递归
第二章回顾——要点与难点
第一部分 离散时间傅里叶变换
1、DFS的定义、性质 2、DFT的定义、性质
时域/频域同时采样
~x(n) ~x(nT)
1/ X~ (k) X~ (k1)
T
n
-N
0
N
k
-N
0
N
① 对有限时宽的信号xa(t)的时域波形和频域波形 同时进行取样，其结果是时域波形和频域的都 变成了离散的、周期性的波形；
DFT x n X N k
循环卷积
F%(k) X%(k)Y%(k)
F (k) X (k)Y (k)
N 1
N 1
f%(n) IDFS F%(k ) x%(m) y%(n m) m0
f (n) IDFT[F (k)] x(m) y((n m))N RN (n)
m0
N 1
y%(m)x%(n m)
分辨率
2
N fs N
2.2节知识点
连续信号的频谱分析 (利用DFT的选频性)
过程：采样－截短－DFT 效应：混叠——原因：采样、频谱泄漏
泄漏——原因：截短 栅栏效应——原因：DFT DFT的分辨率
第二部分 快速傅里叶变换
1、按时间抽取的FFT原理、蝶形图、特点 2、按频率抽取的FFT原理、蝶形图、特点
设计步骤：
一：对通带临界频率 p和阻带临界频率s预畸
'p
2 T
tg( pT 2
)
's
2 T
tg( sT 2
)
二：以
预畸后
参数'p
,
' s
件是L≥N+M-1；
步骤如下： ① 重新构造两个长度为L的序列x(n)和y(n), 方法：
末尾补零 ② 对x(n)和y(n)进行圆周卷积：
✓ 首先对两个序列进行周期延拓 ✓ 对延拓后的周期序列进行周期卷积 ✓ 对周期卷积的结果取主值区间
圆周卷积与线性卷积的性质对比
圆周卷积
线性卷积
针对FFT引出的 一种表示方法
第3章回顾——要点与难点
S到Z平面的映射关系满足条件 (1)数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响
Ha (s) s j 互为映Βιβλιοθήκη Baidu关系 H (z) ze j
(2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的
Ha (s) Re[s]0 互为映射关系 H (z) z 1
思路： ha (t )
h(n) ha (t) tnT ha (nT )
)W
N
kn
k0
其中，WN e j2 / N
DFT变换对
DFT[ IDFT[ X
x(n)] X (k) (k)] x(n)
N 1
x(
n)W
kn N
n0
1 N
N 1
X
(k
)W
N
k0
kn
0 k N 1 0 n N 1
其中，WN e j2 / N
DFS
线性
序列移位
DFS
x%(n
2) 在收敛域内没有极点，X(z)在收敛域内每一点上 都是解析函数。
4、几类序列Z变换的收敛域
(1) 有限长序列:X(z)= x(n)z-n , (n1 n n2)
① 0 n1 n n2 0<|z|∞ 展开式出现z的负幂
② n1 n n2 0 0|z|<∞ 展开式出现z的正幂
③ n1 < 0, n2 > 0
信号通过线性系统时，信 号输出等于输入与系统单
位冲激响应的卷积
两序列长度必须相等， 不等时按要求补足零值点
两序列长度可以不等 如x1(n)为 N1点， x2(n)为 N2点
卷积结果长度 与两信号长度相等皆为N
卷积结果长度为 N=N1+N2-1
变量
数字频域
模拟频域 离散频域
、f k
周期
2
s、fs
N
Ha (s)
N Ai i1 s si
某种变换
z esT
H(z)
N
Ai
i1 1 e siT z 1
脉冲响应不变法
N
ha (t ) Aie sit u(t ) i 1
N
h(n)
i 1
Ai
(e
siT
)n
u(n)
① 脉冲响应不变法的映射关系 z eST , s j
z re j , r eT , T
① y(n)的长度——Lx＋Lh－1
② 两个序列中只要有一个是无限长序列，则卷 积之后是无限长序列
③ 卷积是线性运算，长序列可以分成短序列再 进行卷积，但必须看清起点在哪里
4、系统的稳定性与因果性 系统 时域充要条件
Z域充要条件
因果 h(n)≡0 (n<0)
ROC: R1 <┃Z┃≤∞
稳定
∞ Σ ┃h(n)┃<∞ n=-∞
第二部分 离散时间系统
1、线性时不变系统的判定 2、线性卷积 3、系统稳定性与因果性的判定 4、线性时不变离散时间系统的表示方法 5、系统分类及两种分类之间的关系
1、线性系统：对于任何线性组合信号的响应等于 系统对各个分量的响应的线性组合。
线性系统 判别准则
若 y1(n) T x1(n) y2(n) T x2(n) 则 T ax1(n) bx2(n) ay1(n) by2(n)