《圆锥曲线与方程》章节的几点总结

《圆锥曲线与方程》章节的几点总结

一、重视课本的例题、习题及其变形，以更好理解知识的本源和问

题的本质。

案例1：

对此知识点，我们可以将其拟合成一道综合题如下：

题目：平面直角坐标系上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA 和PB 的为

定值m （m ≠0），则点P

的轨迹不可能是（ ） A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

例题5、已知圆O 的半径为定长r ，A 是圆所在平面内一定点，P 是圆上任意一

点，线段AP 的垂直平分线l 与直线OP 相交于点Q ，当P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可能是下列图形中的： ．（填写正确的序号）

案例2：

（解答见例题5解析）

（解答见例题5解析）

将以上的相关知识拟合成综合题如下：

①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．

换一种表述，我们又可以得到例题如下：

例题6 记点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是A．圆B．椭圆

C．双曲线的一支D．直线

解析：排除法：设动点为Q，

1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，

由题意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．

2．当点A在圆C外，由QC-R=QA，得QC-QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；

则本题选D．

圆锥曲线的几何性质

一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率

1、椭圆中一些线段的长度及其关系如：

①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+； ②Rt OFC ∆中，2

2

2

a b c =+；

④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a .

例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ①

PF PD

②

QF BF

③

AO BO

④

AF BA

⑤

FO AO

⑥

OF FC

能作为椭圆的离心率的是 （填正确的序号）

F '

⑥

B ③当PQ x ⊥轴时，2

2b PQ a

=⋅，叫椭圆的通径.

2、双曲线中一些线段的长度及其关系如：

① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则

bc

PF b c

=

=

=， 又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ∆≅∆.

例题2．已知双曲线22

214x y b

-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的

焦点到其渐近线的距离等于 ．

【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122

=易知其焦点坐标

为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5=

b ．

【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间．

3、抛物线中一些线段的长度及其关系如：

① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与 抛物线相交于两点，连接这两点的线段

AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =.

② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ∆为等腰直角△． ④ 题目中涉及到焦点F ，往往需要考 虑定义PF PQ =这个性质．

例题 3 已知抛物线2:8C y x =的焦点为

，准线与轴的交点为，点在上且

||||AK AF =，则△AFK 的面积为

（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32

解法1：边读题边画图．28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，(2,0)K -．设(,)A x y ，由

AK 2222(2)2[(2)]x y x y ++=-+．

化简得：22124y x x =-+-，与28y x =联立求解， 解得：2x =，4y =±．114482

2

AFK A S FK y ∆=⋅⋅=⋅⋅=，

解法2：如图，过点A 作AM 垂直于准线于点M ，

由抛物线定义得AM AF =，又AK =

则AK =，在Rt AMK ∆中，AM MK = 即AF MK =，此时AF 垂直于x 轴，AFK ∆为等腰直角三角形，故面积为

2

2114822

KF =⨯= 二、离心率的求法

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，椭圆的离心率10<

离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 1、直接求出a 、c ，求解e

已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式a

c

e =

来求解。 例1. 过双曲线C ：)0b (1b

y x 22

2

>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线

M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）

A.

10 B. 5 C.

3

10 D.

2

5 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。直线与两条渐近线bx y -=和bx

y =