塑性成形理论课后答案(俞汉青)
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第一章
1-12设物体内的应力场为3
126x c xy x +-=σ，222
3
xy c y -
=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
解：由应力平衡方程的：
0z
y x 0xy 3c xy 2c z y x 0x c y 3c x 3c 6y z y x z
zy zx 23y z y y x 2322212zx
y x x =∂∂+∂∂+∂∂=--=∂∂+∂∂+∂∂=--+-=∂∂+∂∂+∂∂στττστττσ
即：()()0x c -3c
y 3c 62
3
122=++-
（1） 03c 2c 23=-- （2）
有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，
因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=3
1-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 037508750058050
05⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=ij σ求外法线方向余
弦为l=m=
21
，n=2
1的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=240502
1
8021502150+=⨯+⨯+⨯
S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 25.37252
1752150-=⨯-⨯
S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=2155.22
130********-=⨯-⨯-⨯ S=111.7
J1=20 J2=16025
J3=-806250
σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6
1-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为
a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σMPa ；b)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********ij σ MPa ；c)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa
1）画出该点的应力单元体；
2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解：a ）点的应力单元体如下图
2）
a)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=01001-001010-00
1ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，
主应力和主方向： σ1=20 MPa ，l=;22±
m=0；n=;2
2
σ2=-10 MPa ，l=m= n=0 σ3=0 MPa ，l=;22±
m=0；n=;2
2± 主剪应力τ12=±15 MPa ；τ23=±5 MPa ；τ12=±10 MPa
最大剪应力τmax =15 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=12.47 MPa 。 等效应力45.26=σMPa 应力偏张量及球张量。
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
3
02
01-
3
04
10
-
3
02
ij
σMPa；
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
3
01
3
01
3
01
ij
σMPa；
b) 点的应力单元体如下图
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
01
50
50
ij
σMPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa，
主应力和主方向：
σ1=10 MPa，l=m= n=0
σ2=50 MPa，l= m=;
2
2
±n=0；
σ3=-50 MPa，l= m=;
2
2
±n=0。
主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ12=±30 MPa
最大剪应力τmax=30 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=41.1 MPa。
等效应力2.
87
=
σMPa
应力偏张量及球张量。
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
-
=
3
02
3
01
50
50
3
01
ij
σMPa；
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
3
01
3
01
3
01
ij
σMPa；
c) 点的应力单元体如下图