数学分析课程设计的论文

河南科技大学

课程设计说明书

课程名称数学分析课程设计

题目函数项级数的一致收敛性

学院数学与统计学院

班级＿＿数学与应用数学121班

学生姓名＿＿＿常惠丽

指导教师＿＿＿冯爱芬

日期＿2015年1月9号

课程设计任务书

（指导教师填写）

课程设计名称数学分析课程设计学生姓名常惠丽专业班级基数121 设计题目函数项级数的一致收敛性

一、课程设计目的

数学分析课程设计运用所学数学分析知识归纳、推广、研究若干有关课题。通过本课程设计，使学生更深入地理解所学数学分析的知识，掌握运用所学数学分析知识用于数学理论，设计算法，培养学生数学的思维和分析能力，为今后数学学习和应用打好基础。

二、设计内容、技术条件和要求

运用级数理论解决一定的实际问题。由此对级数收敛的判别方法形成深刻的认识，从而利用函数的级数展开分析问题和解决问题。

掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算，并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。

三、时间进度安排

第一天, 集中学习、讨论，给出参考资料，进行资料查阅。

第二天, 学生选题，初步拟定实习题目，开始研究、设计。

第三天, 再次讨论实习中所涉及的问题。教师指导。

第四天, 检查各小组的实习情况。教师指导。

第五天, 提交实习成果及文档。

四、主要参考文献

1．陈纪修．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2004．

2．陈传璋，欧阳光中．数学分析．第二版．北京：高等教育出版社，2003．3．华东师大数学系编.数学分析．第三版．北京：高等教育出版社，2001．4．费定晖．Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解（1～6册）．第四版．济南：山东科学技术出版社，2012．

指导教师签字：2015 年 1 月 5 日

函数项级数的一致收敛性

摘要

函数项级数的一致收敛性是数项级数中一个重要的性质，对于数项级数一致收敛性的发展进行了简单的说明，并回答了为什么要找出函数项级数一致收敛性判别的原因，经过定义函数项级数一致收敛性及相关辅助概念，找到了判别函数项级数一致收敛性的判别方法，主要有定义判别法，柯西判别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法，将其推广后得到其它的一些判别法，比如：余项判别法，比式判别法，根式判别法，对数判别法，导数判别法以及一些推论，旨在完善这方面的理论知识，并帮助学习者更好的理解和学习这方面的知识。

关键词 ：函数项级数, 一致收敛性, 判别法

1引言

函数项级数作为数项级数级数的推广，在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方，比如它们的收敛性，和的问题，但是函数项级数还有一点不同于数项级数，就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和数项级数的一致收敛性的判别法，不难发现，它们在判别方法上极其相似，特别是判别法的名称上。比如它们都有Cauchy 判别法，Abel 判别法等，对于函数项级数的一致收敛性，有没有类似于数项级数收敛性判别的其他方法，是一个值得研究的课题。函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性，可微性以及可积性。函数项级数在一致收敛时，求和和求导，求和和求积分的顺序可以交换顺序，并且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题，这个应用非常的重要，因此，本文将对函数项级数的一致收敛性以及判别方法进行全面总结。 2.1函数项级数及其一致收敛性的定义

定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列,表达式

12()()...()...,n u x u x u x x E ++++∈

称为定义在E 上的函数项级数,简记为()n u x ∑. 称

为函数项级数的部分和函数列.

1

()(),,1,2,...

n

n k k s x u x x E n ==∈=∑

定义 2 若函数项级数)(1

x u n n ∑∞

=的部分和函数列{})(x S n 在数集D 上一致收敛于

)(x S ,则称函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛于)(x S 或称)(1

x u n n ∑∞

=在D 上一致

收敛.

我们可以看到,函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的一致收敛性归结到其部分和函数列

{})(x S 的一致收敛性的研究上,下面我们给出一个运用这个思想处理问题的例子.

例1 考察级数

)0(1

2∞<<-∞

=∑x e

x nx

n 的一致收敛性。

证明： 由等比级数求和公式知当0>x 时

x

n nx

e x e

x x S -∞

=--==∑1)(21

2 故对任意n ,

下面证明此函数列是一致收敛于零的.

由于01lim 20=--→x x e x 所以x e

x x f --=1)(2

在10<ε,存在0>δ,当),0(δ∈x 时,

2(2)(2)0()111n x n nx x x x e e e n e e e

δ

δ

--------<<→→∞--- ε<--x e x 12,于是对所有自然数),0(,δ∈x n ,有 ε<-<----x

nx

x e x e e x 1122,而当∞<≤x δ

时,由x

e x <知,当2>n 时,nx

x

e e

x ---12在∞<≤x δ上一致收敛于零,因此存在N ,当N n >时,对所有[]+∞∈,δx ,22

11nx n x x x e e e e

δδ

ε----≤<--,这样当N n >时,对所有∞<

=∑x nx kx

n

k e

e x e

x 122,因此级数nx n e x

-∞

=∑1

2

在

∞<

221

()()1nx

kx n x k n x e

S x S x x e e -∞--=+--==

-∑