同济大学线性代数第二章习题课PPT课件

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n1
1 n2
1 1
1 n1 1
1 2 1 n1
n(n1) n n
n12
n n
n(n1)
n
n n(n1)
.
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n 1 1
n 1
n
n n1
n
1
n 1
n
1 n
1 n
n 1 n
在此 ,A 2例 A ,所 中 A 是 以幂.等矩阵
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行矩阵.
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３ 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵．
如果 A(aij)与B(bij)是同型矩 ,并阵 且它 们的对应元,素 即相等
aijbij (i 1,2,,m;j1,2,,n). 那么就称A矩 与阵 矩B阵 相等 ,记作 AB.
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４ 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩 零阵 矩,称 阵 记为 作 O.
角矩阵．
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伴随矩阵
行列式A的各元素的代数余子式 Aij 所构成的
方阵
A11
A
A12
A21 An1 A22 An2
A A A 1n
2n
nn
叫做方阵A的伴随矩阵.
伴随矩阵具有 :A重 A要 AA性 A质 E.
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１０ 逆矩阵
定义 设A为n阶方阵 ,如果存在矩 B,使 阵 ABBAE
设A(aij),记A(aij) , A称为矩 A的阵 负矩,从 阵而A 有 (A)O,并规定
ABA(B).
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６ 数乘矩阵
数 与矩 A的 阵 乘积 A或 记 A,规 作定为 AA(ai)j .
运算规律
()A (A );
( )A A A ;
(A B ) A B .
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７ 矩阵相乘
设A (aij)ms , B (bij)sn,规定A与B的乘积
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一、矩阵的运算
例１ 计算
n1
n 1
1 n
n1
n n
1
2
n 1
n
1 n
1 n
1 n
n 1 n n n
.
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解
n 1 1
1
2
n 1
n n1
n 1
n n
n
1 n
1 n
1 n
n 1 n n n
n1 1 1 2
1 n
1
n1
1
1
1 n1
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８ 方阵的运算
n阶方阵的幂 设A是n阶方 ,定 阵义 A1A,A2A1A1,,Ak1AkA1,
其k中 是正.整数 AkAlAkl, (Ak)lAk,l
其k中 ,l为正. 整数 一般 (A 地 )k B A kB k.
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方阵的行列式 由n阶方A阵 的元素所构成的 ,叫行 做列 方
阵A的行列 ,记 式作 A或deA t.
主对角线上的 1,其 元余 素元 都素 是都是 n阶方,叫 阵做 n阶单位 ,简阵 记E.作
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５ 矩阵相加
设A(aij)mn,B(bij)mn为两个同型 , 矩阵加法定 A义 B为 (aijbij)mn,AB称为 A与B的和 . 交换律 A B B A 结合律 ( A B ) C A ( B C )
元素是实数的矩 实阵 矩叫 .阵做 元素是复数的矩 复阵 矩叫 .阵做
(1)式可简记为 A(aij)mn或A(aij),
mn矩阵 A也记作 Amn.
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２ 方阵 列矩阵 行矩阵
对 (1 )式 ,当 m n 时 ,A 称 n 阶 为.方阵
a1
只有一列的矩A阵
a2
叫做列矩阵 ;
am
只有一行的矩A阵 (a1 a2 an)叫做
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例２ 设 Aa b,试f将 ()EA写成 的
c d
多项 ,并式 验 f(ຫໍສະໝຸດ Baidu )证 0.
是一个mn矩阵C (cij)mn,其中
cij
ai1b1j
ai2b2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
(i 1,2,,m; j 1,2,n),
记作 C AB.
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运算规律 (A)C B A (B)C ;
(A ) B (A )B A (B ),(其 为 中 );数
A(BC)ABAC , (BC)ABACA ; E m A m n A m n A m n E n .
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对称矩阵 设 A 为 n 阶,如 方A T 果 阵 A ,则 A 为 称对 . 称
反对称矩阵 设 A 为 n阶方 ,如A 阵 果 TA ,则A 称 为反对
矩.阵 幂等矩阵
设 A 为 n 阶,如 方A 2 果 阵 A ,则 A 为 称幂 . 等
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对合矩阵
设 A 为 n 阶,如 方A 2 果 阵 E ,则 A 为 称对 . 合 正交矩阵
则称矩A阵 是可逆(或 的非奇异的、非、 退满 化的 秩的),且矩阵 B称为A的逆矩. 阵
若 A有逆,矩 则 A的 阵逆矩阵,A 是 的唯 逆 矩阵A 记 1. 作
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相关定理及性质
方阵 A可逆的充分必要A条 0件 . 是 若矩 A可 阵,逆 则 A1A.
(A1)1A;(A)11A A1(0);
运算规律
设为数, A,B为n阶方阵,则 A n A;
AB AB.
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９ 一些特殊的矩阵
转置矩阵
把矩A阵 的行换成同序 到数 一的 个列 新
阵,叫做 A的转置,记 矩作 阵 AT. ( AT )T A; ( A B )T AT B T ; (A )T AT ; ( AB )T B T A T .
(AT)1(A1)T. 若同A 阶 与 B 都 方可 ,那 阵A 逆 么 也 B 可 ,且逆
(A) B 1B 1A 1.
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１１ 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
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典型例题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵的运算及证明 三、矩阵的分块运算
第二章矩阵及其运算 习题课
➢主要内容 ➢典型例题 ➢测 验 题
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１ 矩阵的定义
由mn个数aij(i 1,2,m; j 1,2,n)排成m
行n列的数表
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
( 1)
am1 am2 amn
叫做m行n列矩阵,简称mn矩阵.
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其中 mn个数叫做A矩 的阵 元,素 aij叫做矩 阵A的第 i行第 j列元.素
设 A 为 n 阶,如 方 A T A 果 阵 A A T E ,则 A 为 称 正交 . 矩阵 对角矩阵
设A为n阶方,如 阵果除了主对,其 角余 线元 以 素全为 ,则零 称 A为对角.矩阵
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上三角矩阵 主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三
角矩阵．
下三角矩阵 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三