云南大学数学分析与高等代数试题

云南大学 硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、系统分析与集成 考试科目：《数学分析与高等代数》

一、（15分）设)x (f 连续，,1x

tanx )x (f lim 0

x =-→又⎰=10.dt )tx (f )x (F ）（1求的连续性）讨论（)x (F 2);x (F ''。 二、（15分）设)x (f 在[a,b](a>0)上连续，在（a ，b ）内可微，且

），

，（，，试证：存在点b a ,0)x (f '∈≠ζηξ使得 ξ

ηζξ=)(f f '）（‘ 三、（20分）设v u ,y 2x y ,y 2x u ，以+=-=为新的自变量，变换方程 ),0y (y z 21y

z y y z 2222>∂∂=∂∂-∂∂并求解该方程。 四、（15分）设f(x)在x=0点的某个领域内具有连续的二阶导数，且

∑∞=→=1

n 0x )n 1(f 0,x )x (f lim 绝对收敛求证：级数。 五、（15分）计算积分

⎰⎰+++++++=222333z y x dxdy

)3R z (dzdx )2R y (dydz R x I ）（

其中s 是上半球面222y x R z --=的下侧。

六、（20分）设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=5 4-6 5-A （1）求A 的特征值，特征向量。

（2）试求使为正整数）。（，求为对角矩阵的n A C AC C 2n 1-

七、（20分）设,P X XD CX AXB X A P D C B A n n n n ⨯⨯∈∀++→∈，：，若，，， 证明：可逆可逆，时，）当。（的线性变换为）（A B A 0D C 2,P A 1n n ⇒==⨯。

八、（20分）已知：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0 2- 02- 1 20 2- 2A ，求一正交矩阵T ，使AT T ‘成对角形。 九、（10分）证明：n 维欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。