装箱问题算法实现讲解

装箱问题算法实现讲解

有一个箱子容量为V(正整数，0≤V≤20000），同时有n个物品（0≤n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。要求从n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

[样例]

输入：24 一个整数，表示箱子容量

6 一个整数，表示有n个物品

8 接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。

3

12

7

9

7

输出：0 一个整数，表示箱子剩余空间

算法分析：

本题是经典问题：0-1背包的特殊例子（加强了已知条件）。用整形数组volume存储各件物品的体积，用布尔型函数h(i,k)表示前i个物品通过组合能否恰好装满容量k的空间，则考虑第i件物品，如果没有被选中，则问题转化为h(i-1,k);如果第i件物品被选中了，则问题转化为h(i-1,k-volume[i]),因此有如下的表达式：

h(i,k)=h(i-1,k-volume[i]) || h(i-1,k);

k从V开始递减，判断h(n,k)是否为真，第一个符号要求的k即为剩余空间最小时消耗的体积。

如果此时直接编写程序，就要定义一个二维数组，空间复杂度时n*v,注意到了n,v的取值范围很大，所以用二维数组存储就会有问题。

我们注意到，h(i,k)的取值仅与h(i-1,0)～h(i-1,k)有关，且如果h(i-1,k)=true,必然有h(i,k)=true,h(i,k)的值存在继承性，而程序结束时，我们也只关心h(n,k),因此，我们可以用一维数组h(k)来存储中间信息。为了避免重复计算，可以让k从大到小变化，为了避免出现负数，k的变化范围为v～volume[i].

示例程序：

#include

#include

using namespace std;

int v,n;

int volume[31];//存储n件物品的体积

int h[20001];//h[i]=1,表示n件物品通过某种组合，所构成的体积和正和等于i;

//h[i]=0,表示n件物品无论如何组合，体积和都无法等于i

int main()

{

freopen(\"in.txt\",\"r\",stdin);

freopen(\"out.txt\",\"w\",stdout);

int v,n,i,j,k;

while(cin>>v>>n)

{

for(i=1;i<=n;i++)

cin>>volume[i];

memset(h,0,sizeof(h));

h[0]=1;

for(i=1;i<=n;i++)

for(k=v;k>=volume[i];k--)

h[k]=h[k]||h[k-volume[i]];[Page]

j=v;

while(j>0&&h[j]==0)

j--;

cout<

}

return 0;