数学建模 - 第八章 装箱问题
数学建模之锁具装箱问题
P181 锁具装箱1.某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4}这4个数（单位略）中任取一个，限制至少有一个相邻的槽高之差等于3，且至少有3个不同的槽高，每个槽的高度取遍这4个数且满足上面这两个限制时生产出一批锁（例如，当n等于3时，3个槽高为1，4，2的锁符合要求，而3个槽高为1，4，4的锁不满足要求）。
求一批锁的把数。
解：取不同的n的值，通过matlab编程，求出对应的锁的把数（1）当n=3时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;amax=max([a1,a2,a3]');amin=min([a1,a2,a3]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendends输出结果：s =8所以当每个锁具有3个槽时，满足要求的这批锁的把数为8把。
（2）当n=4时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1for j4=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;a4=j4;amax=max([a1,a2,a3,a4]');amin=min([a1,a2,a3,a4]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin)+( amax-a4)*(a4-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3),abs(a3-a4)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendendends输出结果：s =64所以当每个锁具有4个槽时，满足要求的这批锁的把数为64把。
fitting boxes题解
fitting boxes题解装箱问题作为计算机图形学、优化领域的一个重要问题，广泛应用于物流、仓储、制造业等领域。
在现实生活中，我们从购物装箱到航空货运，都无法避免地要面临装箱问题。
本文将介绍装箱问题的背景、算法概述，以及常见的装箱算法，旨在帮助读者更好地理解装箱问题及解决方法。
装箱问题的基本目标是在有限的容器空间内，尽可能多地装入物品。
为了实现这一目标，我们需要在物品之间留出尽可能少的空隙。
在实际应用中，装箱问题可以分为两类：一是已知物品大小和容器尺寸的装箱问题，二是未知物品大小和容器尺寸的装箱问题。
为了解决装箱问题，研究者们提出了许多算法。
在这里，我们主要介绍四种常见的装箱算法：最大矩形算法、最小面算法、最大面算法和最小包围矩形算法。
3.1 最大矩形算法最大矩形算法的基本思想是在容器中寻找一个最大的矩形区域，用以容纳物品。
该算法首先将物品按照大小进行排序，然后依次将最大矩形区域的边界与物品的边界进行比较，将可以放入矩形的物品放入，并更新矩形边界。
3.2 最小面算法最小面算法的基本思想是在容器中寻找一个最小的平面，使得物品可以紧密排列在该平面上。
算法首先计算物品的平均尺寸，然后将物品按照大小进行排序，接着依次将最小面与物品进行比较，将可以放入最小面的物品放入，并更新最小面。
3.3 最大面算法与最小面算法相反，最大面算法是在容器中寻找一个最大的平面，使得物品可以紧密排列在该平面上。
算法过程与最小面算法类似，但需要注意的是，在计算最大面时，要考虑到物品之间的空隙。
3.4 最小包围矩形算法最小包围矩形算法的基本思想是首先计算物品的最小包围矩形，然后将容器分割成若干个子区域，再将物品放入子区域中。
算法过程较为复杂，但可以有效提高装箱效率。
在实际应用中，不同的装箱算法具有各自的优缺点。
最大矩形算法和最小面算法较为简单，但容易出现过紧的情况，导致空间利用率不高；而最大面算法和最小包围矩形算法则可以有效提高空间利用率，但计算复杂度较高。
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。
即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。
利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。
首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。
由此再进一步的研究。
对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。
并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。
再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。
由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。
利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。
关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。
一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。
二、模型假设2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
箱子的摆放问题数学建模
箱子的摆放策略摘要本文针对箱子的摆放的优化铺设问题，采用了循环嵌套式算法，建立了利用率最优化的整数规划模型，使用LINGO、MATLAB求解，并用Excel进行画图，实现了箱子最优摆放与评价。
对于问题一，建立在不允许箱子超出底边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
借助于循环嵌套式算法，采用改进后的由外至内逐步优化的模型：首先对各边的外层进行摆放，使其边界利用率最高，再对内层剩余矩形空间进行摆放，一直循环，至内部剩余空间无法放入箱子为止。
用MATLAB编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为16、第二种箱子个数为4、第三种箱子个数为20。
对于问题二，建立在允许箱子超出上、左、右边的情况下，所能摆放最多箱子的数学模型。
建立由下至上逐步优化模型：以底边为基，将其两边各向外扩充半个长边的长度，先对底边进行摆放，使其边界利用率最高，再向上堆叠，使箱子间无空隙，使面积利用率最大，至上侧最多超出半个箱子边长为止。
用lingo编程、求解分析：以此模型摆放，第一种箱子个数为23、第二种箱子个数为8、第三种箱子个数为28。
对于问题三，我们采用左右对称，箱子横放，向上堆叠，左、右、上边各超出少许的方案。
引入箱子个数、稳定性两个指标，通过线性加权评价的方式，对此方案与模型一进行评价分析。
得出了在在实际情况中，当考虑不同权重的综合指数时，模型一与模型三的摆放方式各有优劣性的结论。
关键词：利用率最高循环嵌套式算法线性加权评价一、问题重述叉车是指对成件货物进行装卸、堆垛和作业的各种轮式搬运车辆。
如何摆放箱子，使得叉车能将最多的货物从生产车间运输至仓库是众多企业关心的问题。
现将箱子的底面统一简化为形状、尺寸相同的长方形，叉车底板设定为一个边长为1.1米的正方形。
要求建立一个通用的优化模型，在给定长方形箱子的长和宽之后，就能利用这个模型算出使得箱子数量最多的摆放方法。
本题需要解决的问题有：问题一：在不允许箱子超出叉车底板，也不允许箱子相互重叠的情况下，构建一个优化模型，并根据题目中提供的三种型号箱子的数据，确定可以摆放的个数及摆放示意图。
装箱问题和排序问题(课堂PPT)
数的上界是 M ： 1 。因此，所有不同 是 R C M M K .这是一个固定的常数。 的装箱数目地上界为 P C R n R .这是关于 n 多项式时间通过枚举找 出最优解。
限制装箱问题
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12
引理 2。给定 0.考虑每个物件大小至少 是的限制装箱问题，则存 在该限制装箱 问题的（1 ）- 近似算法。
通俗地说，把 a 1 , a 2 ,..., a n ( 0分,1 ] 成最少的组数， 使得每组数的和不超过1。
在工业中有许多应用，譬如在下料问题中，箱子 代表标准木料的长度，而 a i 表示实际问题中需要 裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少越 好。
Bin Packing
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3
First FitAlgorithm: 1.将物件按任意顺序， 排譬 列如
装箱问题和排序问题
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1
装箱问题（Bin Packing）
最小完工时间安排（排序问题）（Minimum Makespan Scheduling)
本讲主要内容
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2
装箱问题：给定n个物件，大小为 a 1 , a 2 ,..., a n ( 0 ,1 ] 用单位体积的箱子来装这些物件，找一个装箱方 案使得所用的箱子数目最少？
a1, a2,...,an 2.在算法第 i步，假定 a1, a2,...,ai1已经装箱
B1, B2,...,Bk.现考虑ai ,若其不能装入任Bj一 (1 j k) 则打开一个新的箱 Bk子 1,将ai装入其中。 3.直到所有物件装完。
一个2倍近似算法
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4
假定算法中用了 m个箱子，则至少有 m 1个箱子
(Asym PopltyT ontiA o im cm pep iiaro lS onx ch im em a
装箱设计问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2011 年 07 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要题目要求及有关数据我们可以把平板车装包装箱问题看成线性规划的问题进行处理，首先我们把求浪费空间最小转化为求装包装箱空间最大的问题，同时我们取每种包装箱的数量为变量，然后我们根据每一种包装箱的厚度列出每一辆车的装货时占用的空间，我们先把两辆车看成一个整体，求出两辆车占用的空间之和，然后再把这个整体分成两部分，也就是求每一辆车上所装包装箱的种类和数量。
这样我们就可以以占用两辆车的空间之和作为目标函数MAX S。
根据题意装在每一辆车上的包装箱总厚度不能超过平板车的长度；装在每一辆车上的总重量不能超过每一辆平板车的最大载重量；还有对第5、6、7类包装箱占用的空间不能超过题目中的要求；同时，装在两辆车上的同类包装箱的总件数不能超过题目给的件数，并且变量要取正整数。
在这些约束条件之下对目标函数进行求解，我们使用LINGO软件进行编程求解，最后得到装包装箱的总的最大空间为2039.9cm，即浪费的最小空间为0.1cm。
装箱问题——精选推荐
装箱问题问题描述 有⼀个箱⼦容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30），每个物品有⼀个体积（正整数）。
要求n个物品中，任取若⼲个装⼊箱内，使箱⼦的剩余空间为最⼩。
输⼊格式 第⼀⾏为⼀个整数，表⽰箱⼦容量； 第⼆⾏为⼀个整数，表⽰有n个物品； 接下来n⾏，每⾏⼀个整数表⽰这n个物品的各⾃体积。
输出格式 ⼀个整数，表⽰箱⼦剩余空间。
样例输⼊2468312797样例输出这题读完之后多思考思考，其实就能发现就是0-1背包问题每个物品的体积就是花费同时也是价值，也就是说这题可以转化为在总体积为v下，可以得到最⼤的价值最后⽤总体积减去最⼤的价值就是剩下最少的空间状态转移⽅程dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + a[i]);java:import java.util.Scanner;public class Box {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int v = sc.nextInt();//箱⼦的最⼤体积int n = sc.nextInt();//物品的最⼤数量int a[] = new int[n];//存放物品的体积int dp[] = new int[v+1];//存放体积为i时的最⼤容量for (int i = 0; i < a.length; i++) {a[i] = sc.nextInt();}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = v; j >= a[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-a[i]]+a[i]);}}System.out.println(v-dp[v]);//箱⼦容量减去⽤掉的体积}}c:#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>using namespace std;int n;int d[20005];int a[35];int main(){int w;scanf("%d%d", &w, &n);int i, j;for (i = 0; i < n; i++){scanf("%d", &a[i]);}memset(d, 0, sizeof(d));for (i = 0; i < n; i++){for (j = w; j >= a[i]; j--)d[j] = max(d[j], d[j - a[i]] + a[i]); }printf("%d\n", w - d[w]);return 0;}。
数学建模——码头货轮集装箱装卸的优化问题2
欢迎共阅码头货轮集装箱装卸的优化问题摘要集装箱“货币化”已成为发展趋势，而港口发展渐渐滞后于集装箱的吞吐量，研究集装箱装卸的优化问题能有效扩大港口生产力，提高港口经济效益。
本文将建立集卡线路规划模型和岸桥、集卡与龙门吊协同优化模型，通过禁忌搜索算法进行求解，并通过青岛港的数据对模型进行实证分析。
对于提高装卸效率，降低装卸成本这一问题，我们将其分解为线路规划、协目录摘要 0一、问题重述 (2)1.1问题的背景 (2)1.2要解决的问题 (2)二、问题分析 (2)2.1概论 (2)2.2问题一的分析 (2)一、问题重述1.1问题的背景集装箱码头是海陆联运的枢纽站，在各个经济体的贸易中都占据着举足轻重的地位。
港口的装卸货能力在一定程度上代表着一个港口的生产力，在集装箱吞吐量不断增大而港口发展渐渐滞后的现状下，研究港口集装箱装卸的优化问题就显得尤为重要。
影响集装箱装卸效率的因素主要有装卸设备的硬件配备和在现有设备基础上对各方资源的优化协调程度。
本文将以青岛港前湾港集装箱码头（QQCT）为现实背景，来考虑码头货轮集装箱装卸的优化问题。
（来源：百度图片）图4平面图（泊位确定）2.2问题一的分析这是一个线路规划问题，通过对港口平面图、集卡运行速度、桥吊和龙门吊的工作效率分析，得到了集卡的最优工作路线。
问题的特点在于集卡在运输进口、过境等集装箱时是联合搭配的。
问题的难点在于堆场与堆场之间可以相互通行，集卡返回码头时携带需要装船的集装箱，而且需要卸的集装箱往往和需要装的集装箱数目不一致，加大了理解和计算的难度。
2.3问题二的分析这是一个资源优化问题，通过对桥吊、集卡、龙门吊三个因素进行综合考虑，得到三种资源的最优配比。
问题的特点在于问题一的结论影响问题二的分析，桥吊、集卡、龙门吊之间的相互调配相互制约，但存在整体最优的情况。
问题的难点是在各因素相互制约的条件下寻找最优解，合理有效利用第一问的数据。
5.1.1模型分析通过查阅资料，我们将集卡的工作流程抽象如下（图5）5.1.2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=∑∑∑∑∈∈∈∈r r a a a j a j a jr i r i r i m i d i d j m j s d s d ij d d sd sd ij R t t R R t Min δ (1) 堆场对应具体货物，如下为集卡调度模型的表示：∑∑∈∈r aa jr id i d j d d ijR tMin (2)约束条件：(2)式为行驶时间最小的目标函数；(3)、(4)式为进口、过境箱与出口箱数目相等的一一搭配； (5)式为变量的约束条件；(6)、(7)式进口、过境箱数大于出口箱数的虚拟搭配； (8)、(9)式进口、过境箱数小于出口箱数的虚拟搭配。
数学建模例题：锁具装箱
2. 排序
将待装箱的锁具按照体积从小到大或数量 从少到多进行排序。
4. 优化
根据所采用的算法（贪心算法、遗传算法 或模拟退火算法），对装箱的结果进行优 化，以提高空间利用率或寻找最优解。
3. 装箱
按照排序后的顺序，逐个将锁具放入箱子 中，如果箱子的剩余容量不足以放入当前 锁具，则将该锁具放入下一个箱子。
问题的目标
• 锁具装箱问题的目标是寻找一种 最优的装箱方案，使得在满足每 个箱子装载数量限制的前提下， 所有箱子的装载总重量最小化。 具体来说，我们需要确定每个箱 子中锁具的数量和种类，以便在 满足总重量限制的条件下最小化 装箱成本。同时，还需要考虑到 锁具的体积和形状，以确保箱子 能够充分利用空间，避免浪费。
和相应的箱子尺寸。
优缺点分析
优点：
混合整数规划方法能够综合考虑锁具 的固定需求和装箱体积最大化两个目
标，得到最优解。
该方法具有通用性，可以应用于其他 类似的装箱问题，只需根据实际情况 调整模型参数即可。
缺点：
由于锁具的形状和尺寸差异较大，对 于某些特殊形状的锁具，可能难以找 到合适的装箱方案。
在实际操作中，还需要考虑装箱成本、 运输便利性等因素，这些在本例中未 作考虑。
算法复杂度分析
时间复杂度
贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待装箱的锁具数量；遗传算法的时间复杂 度为O(t*n*m)，其中t为迭代次数，n为锁具数量，m为种群规模；模拟退火算法的时
间复杂度为O(t*n)，其中t为迭代次数，n为锁具数量。
空间复杂度
贪心算法的空间复杂度为O(n)，需要存储待装箱的锁具列表；遗传算法和模拟退火算 法的空间复杂度分别为O(m)和O(1)，其中m为种群规模。
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指将一批物品放置到有限的几个箱子中，使得每个箱子的利用率最高且所使用的箱子数量最少。
这是一个经典的数学优化问题，可以通过以下步骤进行建模：
1. 定义变量：假设有 n 个物品需要装箱，第 i 个物品的体积为 vi，第 j 个箱子的容积为 cj，定义决策变量 xi,j 表示将第 i 个物品放入第 j 个箱子中（取值为0或1）。
2. 约束条件：每个物品只能被放入一个箱子中，即∑j xi,j = 1，同时每个箱子的容积不能超过其限制，即∑i vi xi,j ≤ cj。
3. 目标函数：目标是最小化使用的箱子数量，因此可以定义目标函数为∑j ∑i xi,j。
4. 模型求解：该问题可以转化为混合整数线性规划问题，可以使用商业软件（如Gurobi、CPLEX等）求解，也可以使用启发式算法（如遗传算法、模拟退火等）进行求解。
需要注意的是，该问题存在多项式时间内可解的算法，但是在实际应用中，由于数据规模较大，通常需要使用近似算法或者启发式算法进行求解。
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题数学建模
物流装箱问题是指在物流运输过程中，如何合理地将货物装箱以最大限度地利用装载空间，并确保货物的安全和稳定。
这是一个复杂的问题，需要综合考虑货物的形状、尺寸、重量、数量以及运输工具的限制等因素。
数学建模可以帮助我们在物流装箱问题中找到最优的解决方案。
首先，我们可以将货物的形状和尺寸抽象为几何体，如长方体、圆柱体等。
然后，通过数学方法计算每个货物的体积，并根据运输工具的限制，确定每个装箱的容量。
接下来，我们可以将问题转化为一个优化问题，即如何在有限的容量内，最大化装载的货物总体积。
在数学建模过程中，我们可以利用线性规划、整数规划、动态规划等方法来求解最优解。
通过确定目标函数和约束条件，我们可以使用数学模型来找到最佳的装箱方案。
同时，我们还可以考虑一些实际问题，如货物的稳定性、避免堆叠过高、减少装卸时间等因素，来综合评估每个装箱方案的可行性。
此外，随着科技的发展，人工智能和机器学习等技术也可以应用于物流装箱问题的数学建模中。
通过对大量历史数据的分析和学习，我们可以提前预测不同类型货物的运输需求，并自动优化装箱方案，提高装箱效率和节省运输成本。
总之，物流装箱问题数学建模是一个复杂且具有挑战性的问题。
通过运用数学方法和相关技术，我们可以找到最优解决方案，提高装箱效率，减少物流成本，提升物流运输的整体效益。
数学建模 - 第八章 装箱问题
而且存在 zopt ( I ) 任意大的实例 I ，使
17 z FF ( I ) ( zopt
17 . 10
第八章 装箱问题
物品
Example 2 Solution :
I : C = 10
J1
J2
J3
J4
J5
J6
wj
6
7
4
有最小标号的箱子 .
计算复杂性为 O(nlogn).
但精度比NF
算法更高
§3
装箱问题的近似算法
Theorem 3.4 Theorem 3.5 对任意实例 I ，
zFF ( I ) 7 . zopt ( I ) 4
7 17 1 4 10 20
17 z FF ( I ) zopt ( I ) 1 10
4
J4
2
J5
8
J6
3
wj
首先，将 J1 放入 B1; 由于 J2 在 B1 中放不下, 所
J1 J2 J3 J4 J5 J6
以关闭 B1 , 将 J2 放入 B2 ,
J3 在 B2 中放不下(不考虑
B1 是否能装), 所以关闭 B2
将 J3 放入 B3，…
J1 J2
J4 J3 B3 J5 J6 B5
n w 易证 zopt (I ) N 1 z ( I ) 2 N NF w Ck 显然，由 k z ( I ) 得 i i 1
i 1 opt
zNF ( I ) z 2 N 2 k ,( N 反证 如果 NF ( I ) 则 对任意 k 2 ) 得 i R= 2,…, 2 NF 1, zopt ( I ) N 1 由于起用第 2i 个箱子是因为第 2i -1 个箱子放不下第2i
集装箱问题数学建模
集装箱问题数学建模
集装箱问题是一个经典的组合优化问题，目的是在给定一组箱子和一组承载它们的集装箱船舶的情况下，找到一种最佳的装载方案，以最大化船舶的装载量。
为了建立数学模型，我们需要定义以下变量和约束条件：
1. 变量：
- x(i,j): 集装箱i在船舶j中的装载数量，其中i=1,2,...,n，
j=1,2,...,m
2. 目标函数：
- 最大化船舶的总装载量，可以表示为 sum( x(i,j)*v(i) )
3. 约束条件：
- 每个集装箱只能被装载到一个船舶中，即 sum( x(i,j) ) <= 1，对所有i=1,2,...,n
- 每艘船舶的装载量不能超过其承载能力，即
sum( x(i,j)*w(i) ) <= c(j)，对所有j=1,2,...,m
其中，v(i)表示第i个集装箱的体积，w(i)表示第i个集装箱的
重量，c(j)表示第j艘船舶的承载能力。
以上模型可以使用整数规划方法求解，也可以使用启发式算法（如遗传算法、蚁群算法等）进行近似解求解。
如果问题还有其他特定的约束条件（如集装箱之间的相对位置
关系、船舶的航行能力等），还需要根据实际情况进行调整和加入相应的约束条件。
数学建模之锁具装箱
锁具装箱摘要（第06组）本文针对锁具如何装箱问题，建立了模型，并对其进行了分析和评价。
首先根据排列组合知识，用Matlab编程列举出所有符合条件的锁具，得到一批锁具的个数为5880，可装58箱。
就如何装箱及销售问题，本文根据如何对每一批锁具进行装箱和标记才能是消费者的满意度最高的模型，再具体分析实际销售情况，建立了按槽高进行序贯销售的模型。
即先把槽高和为偶数的锁具按字典序列排序装箱，之后装槽高和为奇数的锁具，并对每一个锁具进行编号，计算锁具“安全”距离的极小值为2562，即42.7箱，得到序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。
顾客抱怨互开程度可用所购的一箱或二箱锁具中平均有多少对可能互开来衡量。
本文运用计算机模拟，得到平均一箱中可以互开的个数为2.33，平均两箱中可以互开的个数为9.41。
关键词：排列组合，数学模型，互开，奇偶，概率一、问题重述某厂生产一种弹子锁具，该锁具的锁匙共有5个槽，每个槽可取6种不同的高度,分别以1-6的整数表示。
在生产中要求每把锁匙的5个槽至少具有3种不同的高度且相邻两槽的高差不能是5。
满足上述条件的互不相同的锁具称为一批。
由于工艺条件的限制，当两把锁匙对应的5个槽的高度有4个相同，另一个槽的高差为1时,两锁具可能互开,否则不能互开。
在锁具出厂时，工厂对锁具按批进行随意装箱，每60付装1箱。
当遇到购买量较大时团体顾客时(买几箱到几十箱)，由于装箱的随意性，容易引起他们对锁具互开现象的抱怨，现要求解决以下几个问题：（1）每批锁具有多少个,可装多少箱；（2）为售销部门提供一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标记，从而使团体顾客不再或减少抱怨；（3）当团体顾客的购买量不超过多少箱时，可以保证一定不会出现互开的情形；（4）按原来的随意装箱方法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度，并对购买一、二箱者给出具体结果。
二、问题假设（1）随机装箱对锁具来说是等可能概率。
平板车的装箱问题
附件：2011年西安理工大学大学生数学建模竞赛试卷封面式样封一答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目：装箱设计问题组别：本科生参赛学校：西安理工大学报名序号：（可以不填）参赛队员信息(必填)：封二答卷编号（竞赛组委会填写）：评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1：省赛评阅2：省赛评阅3：省赛评阅4：省赛评阅5：装箱设计问题摘要为给铁路乘客创造更好的环境，提高铁路平板车的工作效率显得尤其重要，而铁路班车的装箱设计就成了重中之重。
同样的板车，同样多的箱子，不同的装法，就有不一样的效果。
我们对板车的装箱设计建立整数规划模型，使所有箱子占用最小的空间，。
箱子共重89吨，显然两辆平板车不能全部装下所有的包装箱，包装箱的宽和高都相同，只需要考虑包装箱的厚度和车长的关系，那么我们的目标就是让这两辆平板车的空间浪费最小，所装箱子的总厚度最大。
前提是满足板车载重的要求，箱子厚度的要求。
由此可列出目标函数和约束条件。
求解时利用lingo软件和整数规划，解得两辆平板车可装得箱子的最大厚度为2039.9cm,浪费了0.1cm.总体效果很好。
关键字：装箱设计，整数规划，lingo软件一：问题重述要把七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高都是相同的，但厚度（t ，以厘米计）及重量（w,以千克计）是不一样的如下表所示，给出美中包装箱的厚度、重量及数量，每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱，载重为40吨。
由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占空间不能超过302、7cm 。
试问怎样把包装箱装到平板二：问题分析往平板车上装包装箱，不同的分配方法会有不同的效果。
所有包装箱的总厚度是一定的，那么我们就只能通过增大每辆平板车的装箱效率，使得每辆平板车上所装的包装箱的厚度∑=≤711020*j tj xj ,∑=≤711020*j tj yj 在满足约束条件的前提下达到最大。
数学建模——码头货轮集装箱装卸的优化问题2
码头货轮集装箱装卸的优化问题摘要集装箱“货币化”已成为发展趋势，而港口发展渐渐滞后于集装箱的吞吐量，研究集装箱装卸的优化问题能有效扩大港口生产力，提高港口经济效益。
本文将建立集卡线路规划模型和岸桥、集卡与龙门吊协同优化模型，通过禁忌搜索算法进行求解，并通过青岛港的数据对模型进行实证分析。
对于提高装卸效率，降低装卸成本这一问题，我们将其分解为线路规划、协同优化和模型检验三个子问题进行分析。
针对问题一，我们建立了集卡线路规划模型。
通过对青岛港前湾港集装箱码头（QQCT）的航拍图和雷达图进行分析，画出了码头泊位到堆场的平面图，按照相应的比例尺，得到实际码头与堆场间的距离、各堆场间的相互距离。
通过集卡行驶的速度，计算得到集卡从码头到堆场的时间、集卡在各堆场之间行驶的相互时间和集卡从堆场返回码头的时间。
集卡在运输过程中，要尽量减少空集卡的行驶，即运送集装箱返回的途中携带需要装运到船上的集装箱。
利用第一阶段的禁忌搜索算法，当所需装卸集装箱位置确定后，最短的行驶路线也就计算出来。
针对问题二，我们建立了桥吊、集卡和龙门吊的协同优化模型。
问题一计算的集卡最佳线路分配结果，继续作为桥吊、集卡和龙门吊协同优化的条件。
第二阶段的禁忌搜素算法分析出最合适的桥吊、集卡与龙门吊的比例，桥吊在不等待集卡的情况下效率高。
通过协同优化，得到最高效率的设备分配比例。
针对问题三，我们汇总了附件中所有集装箱的装卸数据，对模型进行检验分析。
以青岛前湾港区为例，通过带入实际数据，得到如下比例关系，即桥吊：集卡：龙门吊为2:10:5。
2辆桥吊工作时配备10辆集卡，5辆轮式龙门吊；3辆桥吊工作时配备15辆集卡，7辆龙门吊；如此分配使相对成本与效率达到最大化。
本文的亮点在于：利用港口的雷达图和航拍图，绘制了港口的分布平面图，分析更贴近实际；以集卡线路规划为突破口，并以此为条件，建立了以集装箱类型为依据的集卡一站式服务（岸桥到堆场的线路标准化）；对数据的分类处理，使计算简洁；协同了集卡、桥吊、龙门吊，采用两个阶段的禁忌搜索算法，将集装箱的装与卸混合在一起计算，比原来对集卡、桥吊，集卡、龙门吊等部分优化更加贴近实际，大大提升了港口的运行效率，并且降低的了成本。
数学建模例题：锁具装箱
EDMONDS算法
Step1 任意给出G的一个初始匹配 V1 M; Step2 如果M已经饱和了 中的所有节点, 则M是G的一个完全匹配, 计 算结束。否则转下一步 ; V Step3 找出 中的一个非饱和点 , 令 A {x}, B
1
V1
x
A
Step4 考察 的邻接点, 如果 , 则图G不存在完全匹配, 计 算结束, 否则转下一步; y N ( A) B Step5 Step6 令
背景4
国家标准：GB-9303-88（ 轻工业）门锁， 1988年颁布 互开率： 优等品和一等品：0.204%; 合格品： 0.286%。 互开率检验： 抽取50把，分5组检验， 9分钟换一次，共45分钟； 互开率： R为互开出现次数，T为抽样数。
背景5
为什么要求至少3个不同的槽高？ 为什么相邻高差不为5？ 为什么“若二者相对应的5个槽的高度中有4个 相同,另 一个槽的高度差为1,则能互开;在其它情形下,不可能互 开”？
问题（1） B：排列组合法
问题（1） C: 递推法
问题（1） D: 图论法
无16相邻的锁具
减去
仅有一个和两个槽个的锁具
6306-6420=5880
总数的计算
类似的问题：锁具的个数
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽(2<n<9, n为自然数)，每个 槽的高度从｛1，2，3，4｝这4个数(单位略)中任取一个，限制至少有一 个相邻的槽高之差等于3，且至少有3个不同的槽高。每个槽的高度取遍 这4个数且满足上面这两个限制时生产出一批锁（例如，当n等于3时，3 个槽高为1，4，2的锁符合要求，而3个槽高为1，4，4的锁不满足要 求）。求一批锁的把数。
有没有关在笼子里的？ 没有。 边上还有没有其他的树，树上还有没有其他的鸟？ 没有 有没有残疾的鸟或饿得飞不动的鸟？ 没有。 打鸟的人眼有没有花？保证是十只？ 没有花，就十只。 有没有傻得不怕死的鸟？ 都怕死。 会不会一枪打死两只？ 不会。
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解为:
B1
B2
B4
x11 x22 x33 x34 x45 x56 1 其余为零，zNF ( I ) 5.
第八章 装箱问题
Theorem 3.3
RNF 2
n i
先证 RNF 2 再说明不可改进
Proof : 设 I 为任一实例，zopt ( I ) k. (要证 zNF ( I ) 2k )
min
n
z yi
i 1
n
( BP )
s.t.
w x
x
i 1
j 1 n
j ij
Cyi
i 1 n
(1)
(2)
ij
1
j 1 n
yi 0 or 1, xij 0 or 1
i, j 1 n.
第八章 装箱问题
上述装箱问题是这类问题最早被研究的，也是提
法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 BP NP C. 装箱问题的其他一些提法： 1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、
§1 装箱问题的描述
设有许多具有同样结的负荷（可为
长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 < wj < C j = 1，2，…，n 的物品 J1，J2，…，Jn 需要装入箱内. 装箱问题： 是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将 J1，J2，…，Jn 全部装入箱内.
Go back
问 L(a) L1 ？ 未必！ 如 (wj a, j 1 n)
Corollary 3.1 Proof :
记 L2 max L(a) 0 a C 2 , a 为整数
则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 L2 L1 . L2 为最优解的下界是显然的 . (若证明 L(0) L1 ，则可得 L2 L1 )
而且存在 zopt ( I ) 任意大的实例 I ，使
17 z FF ( I ) ( zopt ( I ) 1) 10
因而
R
FF
17 . 10
第八章 装箱问题
物品
Example 2 Solution :
I : C = 10
J1
J2
J3
J4
J5
J6
wj
6
7
4
C
个箱子中第一个物品,因此这两个箱子中物品的总长度
大于 C ，所以前 2k 个箱子中物品的总长度大于 Ck . n zNF ( I ) w Ck 这与 i 矛盾 . 2, 从而 RNF 2. i 1 zopt ( I ) 1 1 1 1 1 1 w , w , , w , , , , , , 4N 考虑实例 I : C = 1, 1 2 2 2 N 2 2 N 2 2 N
最优目标可如何提？
体积 etc . 即二维、三维、…装箱问题；
2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 Ci , i 1 n. 3、物品J1，J2，…，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题； 4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的
箱子停留现场可供使用, etc .
§2
n w i i 1 Theorem 3.1 BP 最优值的一个下界为 L1 C . a 表示不小于 a 的最小整数 .
装箱问题的最优解值下界
Theorem 3.2 设 a 是任意满足 0 a C 2 的整数,对 BP 的任一实例 I , 记 I1 物品 j w j C a ,
但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异，如何根据用 务分配到各工作站上 . 称为带附加优先约束的 BP . 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货;
3、计算机的存贮问题 BP 是容量限制的工厂选址问题的特例之一 如要把大小不同的共 10.MB 的 文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB ,
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第八章 装箱问题
第八章
装箱问题
§1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法
第八章 装箱问题
装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化
问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 .
物品共用箱子，由于放 I2 中物品的 I 2 个箱子的剩余 总长度为
C I2 C wj
jI 2
在最好的情形下，C 被 I3 中的物品全部充满，故剩 下总长度 w
wj C
jI 3
与 中的物品如何？ I 2 w 将另外至少 个附加的箱子 C
.
§2
装箱问题的最优解值下界
§1
装箱问题的描述 由于 wi < C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n .
约束条件（ 1）表示：一旦箱子 Bi 被使用，放入 Bi 箱子 Bi 被使用 1 yi i 1 n; 设 0 否则 C ； 的物品总负荷不超过 1 物品 Jj 放入箱子 Bi 中 xij i, j 1 n. 否则 约束条件（ 2 ）表示：每个物品恰好放入一个箱子中 . 0 则装箱问题的整数线性规划模型为：
当 a = 0 时，I1 , I 2 I3 是所有物品 .
L2 L(0) L1
第八章 装箱问题
§3 装箱问题的近似算法
一、NF ( Next Fit ) 算法 设物品 J1，J2,…，JJ w1，w2,…，wn 对当前要装的物品 只关心具有最大下标的已使 n i的长度分别为 箱子 B1，B2， 的长均为 C ，按物品给定的顺序装箱 . 用过的箱子 B… 能否装得下？ 先将 J1 放入 B1, 如果 w1 w2 C 则将 J2 放入 B1 … 能. 则 Ji 放入 Bj ；否 . 关闭 Bj ，Ji 放入新箱子 Bj+1 . 如果 w1 w2 wj C 而 w1 w2 wj wj 1 C
3 L(a ) I1 I 2 max 0, . 这就需要 I1 I2 个箱子 2
又 I 3 中每个物品长度至少为 a , 是最优解的一个下界 . 它不能与 I1 中的物品共用箱子, 但可能与 I2 中的
C I1 I2 I3
有最小标号的箱子 .
计算复杂性为 O(nlogn).
但精度比NF
算法更高
§3
装箱问题的近似算法
Theorem 3.4 Theorem 3.5 对任意实例 I ，
zFF ( I ) 7 . zopt ( I ) 4
7 17 1 4 10 20
17 z FF ( I ) zopt ( I ) 1 10
I3 物品 j C w j a , 2
I 2 物品 j C a w j C
, 2
则
( w j ( I 2 C w j )) jI 2 L(a) I1 I 2 max 0, jI3 C
4
J4
2
J5
8
J6
3
wj
首先，将 J1 放入 B1; 由于 J2 在 B1 中放不下, 所
J1 J2 J3 J4 J5 J6
以关闭 B1 , 将 J2 放入 B2 ,
J3 在 B2 中放不下(不考虑
B1 是否能装), 所以关闭 B2
将 J3 放入 B3，…
J1 J2
J4 J3 B3 J5 J6 B5
已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件
不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
第八章 装箱问题
§2 装箱问题的最优解值下界
显然 由于 BP 是 NP-C 问题，所以求解考虑 一是尽可能 wi
C 改进简单的穷举搜索法，减少搜索工作量 . 如: n xii 1, xij 0 (i j ), yi , i, j 1 n .
§3
装箱问题的近似算法
二、FF ( First Fit ) 算法
参见 EX .1 用 NF 算法装
I : C如何修正 = 10 NF 算
物品
法 J 1
6
J2
J3
J4
J5
J6
wj
7
4
2
8
3
箱, 当放入 J3 时, 仅看 B2 是否能放入，因 B1 已关闭, 但事实上，B1 此时是能放得下 J3 的 . 设物品 J1，J2,…，Jn 的长度分别为 w1，w2,…，wn
箱子 B1，B2，…的长均为 C ，按物品给定的顺序装箱 .
先将 J1 放入 B1，若 w1 w2 C , 则 J2 放入 B1 , 否
则，J2 放入 B2 ; 若 J2 已放入 B2，对于 J3 则依次检查
B1、B2 , 若 B1 能放得下, 则 J3 放入 B1 , 否则查看 B2 , 若 B2 能放得下，则 J3 放入 B2 , 否则启用 B3, J3 放入 B3.
wi . 定界法；二是启发式（近似）算法 是它的一个最优解 . i 1
min z yi
i 1 n opt
分支
z
C
(1)
(2)
((BP C BP))
s.t.
w x
x
i 1
n
j 1 n
j ij
Cyi
i 1 n
ij
1
j 1 n
1, xij 1 1 i, ji, j1 yi 0 0 yior 1, 0 xij 0 or 1n . n.