备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．

（1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；

（3）若DC=2，求DH的长．

【答案】（1）证明见解析；

（2）四边形AOCD为菱形；

（3）DH=2．

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得

，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出

∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由

DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．

试题解析：（1）连接OC，

∵EC与⊙O切点C，

∴OC⊥EC，

∴∠OCE=90°，

∵点CD是半圆O的三等分点，

∴，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）

∴∠AEC+∠OCE=180°，

∴∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD为菱形．理由是：

∵，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．

∵四边形AOCD为菱形，

∴OA=AD=DC=2，

∵OA=OD，

∴OA=OD=AD=2，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，

∵DH⊥AB于点F，AB为直径，

∴DH=2DF，

在Rt△OFD中，sin∠AOD=，

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，

∴DH=2DF=2．

考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．

2．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，P 是BC 上的一点，且PB ＜PC ，PA 交BC 于E ，点F 是PC 延长线上的点，CF=PB ，AB=13，PA=4． （1）求证：△ABP ≌△ACF ； （2）求证：AC 2=PA•AE ； （3）求PB 和PC 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．

【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC ，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ，于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ；

（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得

∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC ，于是可判断△ACE ∽△APC ，然后利用相似比即可得到结论；

（3）先利用AC 2=PA•AE 计算出AE=

134 ，则PE=AP-AE=3

4

，再证△APF 为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP ∽△CEP ，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB 和PC 的长． 试题解析：

（1）∵∠ACP+∠ABP=180°， 又∠ACP+∠ACF=180°， ∴∠ABP=∠ACF 在ABP ∆和ACF ∆中，

∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB = ∴ABP ∆≌ACF ∆． (2)在AEC ∆和ACP ∆中， ∵∠APC=∠ABC ，

而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º， ∴∠ACE =∠APC . 又∠CAE =∠PAC ， ∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴

AC AE AP AC

=

,即2

AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆，

∴∠BAP=∠CAF ， CF PB = ∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC

∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°. ∴APF ∆是等边三角形 ∴AP=PF

∴4PB PC PC CF PF PA +=+=== 在PAB ∆与CEP ∆中， ∵∠BAP=∠ECP ， 又∠APB=∠EPC=60°， ∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴

PB PA

PE PC

=

,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅，

∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=

∴()2

2

AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=

∴2

2

2

2

2

2

43PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-

=

因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解． 解这个方程，得11x =， 23x =． ∵PB