概率论课件第二章2.2.(第二讲)

2.2
离散型随机变量 离散型 r.v 非离散型 r.v
若 r.v X 仅取有限或可列个值，则称 X为离 散型随机变量 至多可列 将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情 况，定义 X 正面出现的次数 X 的取值为 0,1, 2,3, 故 X 是离散型 r.v
用同一支枪对目标进行射击，直到击中目标为 止,则射击次数 X是离散型 r.v.
结束
2.2
离散型随机变量
如果 r.v X 的分布律为
P{ X 1} p , P{X 0} 1 p
则称 r.v X 服从 (01)两点分布 ,其中 0 p 1为常数
X pk
0 1 p
1 p
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P{X k} 0
n k 0
(k 0,1, 2, , n)
n k 0
k = 0，1，…，n X 的分布律刚好是 牛顿二项展开式的通项
P{ X k} Cnk p k q n k ( p q) n 1
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所有样本点 遍历一次 全部和为1
分布律有什么特点
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2.2
离散型随机变量
pk 0, k 1, 2,
k 1
pk 1
k 1

pk P{ X xk }
k 1


P { X xk } k 1 P( S ) 1
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2.2
离散型随机变量
200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
1, 取得不合格品, X 0, 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
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2.2 离散型随机变量 一球队要经过四轮比赛才能出线 .设球队每轮被 淘汰的概率为 p 0.5, 记 X 表示球队结束比赛时的比赛次 数，求 X 的分布律. r.v X 可能的取值为 1, 2, 3, 4 .记 Ak { 通过第 k 轮比赛 },k 1, 2,3,4 则
2.2
离散型随机变量
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个 样本点1、2，我们总能在上定义一个服从0-1分 布的随机变量
0, 1 X X ( ) 1, Байду номын сангаас2
一门课程的考试是“及格”还是“不及格” 刚出生的新生儿是“男”还是“女”
产品检验的结果是“合格”还是“不合格”
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2.2
离散型随机变量
一大批电子元件有 10% 已损坏 , 若从这批元件中 随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概 率是多少？ 因为元件的数量很大，所以取20只元件可看作 是有放回抽样 ,记 X 表示20只元件中好品的数量，则
X ~ B(20, 0.9) P{ 线路正常 } P{ X 20} 20 C20 0.9 20 0.120 20 0.9 20 0.1216
P{ X I }
x i I
P{ X x }
i
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2.2
离散型随机变量
X的分布函数为
x 1 0, 1 4, 1 x 2 F ( x) 1 4 1 2, 2 x 3 x3 1,
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2.2
离散型随机变量
只产生两个结果 A, A 的试验 伯努利试验产生什么样的随机变量 将伯努利试验独立重复进行 n 次的试验 某战士用步枪对目标进行射击，记 A {击中目标 }, A {没击中目标 } 每射击一次就是一个伯努利试验 ,如果对目标进行 n 次射 击,则是一个 n 重伯努利试验. 要求概率 P( A)保持不变 如果产品批量很大, 从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记 可近似看作 n重伯努利 A { 合格 }, A { } 不合格 试验 每检验一个产品就是一个伯努利试验. 独立地抽 n件产品进行检验, 是否是 n 重伯努利试验
Y ~ b( n, q ),
q 1 p
2.2
离散型随机变量
设 r.v X 的取值为 0,1, 2, , 取值概率为 k P{ X k} e , k 0,1, 2, k! 其中 0为参数，则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X ~ P( )
x1 x2 xk p1 p2 pk
p2 pk
p 1
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2.2
离散型随机变量
设随机变量X的分布律为
X 1 pk 0.25
2
0.5
3 0.25
求概率P{X≤0.5},P{1.5<X ≤2.5},P{2 ≤ X ≤3},并写出X的 分布函数 ◆离散型随机变量X落在区间I内的概率等于含于I 内各点的概率之和。
P{ X k} p k q1 k (k 0,1)
二项分布
n1
两点分布
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2.2
离散型随机变量
二项分布与(0 1) 分布的关系 .
二项分布是(0 1) 分布的推广 , 对于 n 重伯努利 试验 , 每次试验成功的概率为 p, 设 1, 若第 i 次试验成功, Xi 0, 若第 i 次试验失败. ( i 1,2, , n)
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972
说明 一次试验中某事件发生的概率虽然很小,但当 试验大量重复地进行时,该事件几乎一定会发生.
2.2
离散型随机变量
设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P{X 1} = 5/9， 试求P{Y 1}． 由P{X 1} = 5/9，知P{X = 0} = 4/9， 所以 (1 – p) (1 – p) = 4/9 p = 1/3．
(1) (2)
X ~ B(10000, 0.005) 40 0.005 40 0.995 9960 P{X 40} C10000 0.0214
k 0.005 k 0.99510000 k P{X 70} C10000 70 k 0
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2.2
离散型随机变量
若 r.v X 的分布律为
k p k q n k P{ X k} Cn
(k 0,1, 2,, n )
则称 X 服从参数为 (n, p ) 的 二项分布,记为 X ~ B(n, p) 特别当 n 1时, B(1, p ) 就是(0-1)两点分布，即
由此得
再由
Y～B(3，p)，可得
P{Y 1} = 1 – P{Y = 0} = 1 – (1 – 1/3)3 = 19/27．
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2.2 离散型随机变量 保险业是最早应用概率论的行业之一.保险公司为了 估计企业的利润，需要计算各种各样的概率. 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等 于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未 来一年中在这些保险者里面，⑴ 有40个人死亡的概率 ; ⑵ 死亡人数不超过70个的概率. 记 X 为未来一年中在这些人中死亡的人数，则
将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情 况，记 X 为正面出现的次数,求 X 的分布律 X 的取值为 0,1, 2, 3 ,其样本空间为
S { TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHH}
故 X 的分布律为
P{ X 0} 1 8 3 P{ X 1} 8 P{ X 2} 3 8 P{ X 3} 1 8
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P{ X 1} P( A1 ) p P{ X 2} P( A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) p(1 p ) P{ X 3} P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) p(1 p ) 2 3 P{ X 4} P( A1 A2 A3 A4 ) P( A A2 A3 ) 1 (1 pA )4 代入 p 0.5, 求得 的分布律为 P( A X 4 | A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A 1) 14| A1 A 22 A3 ) P3 42 ) P( A2| A1) P( A1) XP( A ( A3 | A1 A 3 0.25 0.125 4 p k 0.5 0.125 p (1 p ) (1 p ) HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY
离散型r.v的分布律必满足性质 满足性质 的数列 { pk }必是某离散型r.v的分布律
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2.2
离散型随机变量
P{ X xk } pk
X pk
(k 1, 2,)
如何计算离散 随机变量落在 一个区间内的 x2 xk x1 1以一定的规律分布在各个值上 概率？ 概率
它们都服从(0 1) 分布并且相互独立 , 那末 X X 1 X 2 X n 服从二项分布 , 参数为 n, p.
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2.2
离散型随机变量
二项分布的图形
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0.997
附：
r .v . X ~ b( n, p)
Y n X

Y ~ b( n, q ),
q 1 p
证明： k 0,1,2,, n,
P {Y k } P { n X k } P { X n k }
n k n k k k k n k Cn p q Cn q p
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114查号台一天接到的呼叫次数 X 是离散型 r.v 电子产品的寿命 X 是否是离散型 r.v
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2.2
离散型随机变量
设 X 为离散型 r.v,设 X 所有可能的取值为 且
x1 , x2 , , xk ,
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2.2
离散型随机变量
在伯努利试验中，令
P( A) p , P( A) 1 p
在上一章介绍的n重伯努利试验中我们已经知 道，在n次试验中事件A发生k次的概率为
k k pk C n p (1 p)n k
P{ X xk } pk (k 1, 2,)
称
为离散型 r.v X 的分布律
P{ X xk } pk
(k 1, 2,)
r.v的所有可能的取值
r.v取各个值的概率
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离散型随机变量
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例 某人进行射击,设每次射击的命中率是0.02,独立射 击了400次,求至少击中2次的概率. 解：X： 400次射击中击中的次数， X ~ b(400 ,0.02)
P { X 2} 1 P { X 2} 1 P { X 0} P { X 1}