群论试题
群论试题
一、名词解释：（5’*6）
1、群：有限或无限个数学对象（称为元或元素）A 、B 、C …..的集合{}.......C B A 、、，其中有一个与次序有关的运算方法（称为群乘），能从集合中任意两个元A 、B 得出确定的元C （记为AB=C ），若满足下面四个条件，则这一集合称为群，用G 表示，集合中的元素称为群元。
（1）封闭性：集合中任意两个元的乘积（包括自身相乘）都在此集合之内； （2）结合律成立：A(BC)=(AB)C ；
（3）单位元存在：集合中存在单位元E ，使集合中的任意元A 有 EA=AE=A ； （4）集合中每一元A 有逆元A -1存在，满足A -1A=A A -1=E 以上就是群的定义。
2、子群：群G 中的一些元的集合S ，若在相同的群定义下又构成群，则S 称作群G 的子群。
3、正规表示：把群元空间作为表示空间，群元本身作为此空间的变换算符。于是算符（群元）作用在这个空间的基失（也是群元）上的矩阵，就是这个群的一个表示。这个表示称为这个群的正规表示。
4、舒尔引理：若有一非零矩阵A 同一个群的某一表示中的所有矩阵对易， （1） 若此表示是不可约表示，则A 必为单位矩阵的常数倍；
（2） 若A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的。当A 是厄米矩阵时，约
化矩阵就是使A 对角化的矩阵。
5、不可约表示特征标的完全性定理：lm l
m i r
i l i h g
C C δχχ=
∑=)()(1* 这就是特征标的完全性关系
6、不可约表示特征标的正交性定理：一个群的两个不等价不可约幺正表示为i
G D 和j G D ，相应的特征标)(R i χ和)(R j χ必满足
g R R ij j G
R i δχχ=∑∈)()(*
或写成
g C C h ij j C
i C δχχ=∑)()(*
二、证明（20’）
7、 现在给置换操作???
?
? ??c b a 321一个新的定义，
把放有东西①的位置改放东西a1，把放有东西②的位置改放东西b1等等〔其中a ，b ，c 也是东西1,2,3的一中排列〕.证明：
﹝1﹞全部新的置换操作仍服从原列表. ﹝2﹞操作结果与意义跟原定义相同.
解：E=????? ??c b a 321； A=????? ??a b c 321 ； B=???
?
?
??b c a 321；
C=????? ??c a b 321； D=????? ??b a c 321 ； F=????? ??a c b 321
EE=??
??? ??c b a 321????? ??c b a 321=???
??
??c b a 321=E ；
EC=??
??
? ??c b a 321????? ??c a b 321=????
? ??c a b 321=C 同理可得：EB=B ；EA=A ；ED=D ；EF=F ； CE=C ；CC=E ；CB=F ；CA=D ；CD=A ；CF=B ； BE=B ；BC=D ；BB=E ；BA=F ；BD=C ；BF=A ； AE=A ；AC=F ；AB=D ；AA=E ；AD=B ；AF=C ； DE=D ；DC=B ；DB=A ；DA=C ；DD=F ；DF=E ； FE=F ；FC=A ；FB=C ；FA=B ；FD=E ；FF=D ； 则全部新的置换群操作仍服从原群表.
﹝2﹞相当与把东西的位置变化了，所以结果与意义与原定意义相同. 三、计算题（25’*2） 8、 试写出d D 2群的正规表示。 解：d D 2群的群元为
E =??????????100010001，z C 2=??????????--100010001，x C 2=??????????--100010001，y C 2=??
???
?????--100010001， 1d σ=??????????--100001010，2d σ=??????????100001010，z Ic 4=??????????--100001010，14-z Ic =??
??
?
?????--100001010
则可求得其群表为：
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1
4-z Ic E
E
z C 2
x C 2
y C 2
1d σ
2d σ z Ic 4
14-z Ic
z C 2 z C 2 E
y C 2 x C 2
2d σ
1d σ
1
4-z Ic
z Ic 4
x C 2
x C 2
y C 2
E
z C 2 z Ic 4
1
4-z Ic
1d σ 2d σ y C 2 y C 2
x C 2
z C 2
E
1
4-z Ic
z Ic 4 2d σ 1d σ
1d σ 1d σ 2d σ 1
4-z Ic
z Ic 4
E
z C 2
y C 2
x C 2
2d σ
2d σ
1d σ
z Ic 4
1
4-z Ic
z C 2 E
x C 2
y C 2 z Ic 4
z Ic 4
1
4-z Ic
2d σ 1d σ x C 2
y C 2
z C 2
E
1
4-z Ic
1
4-z Ic
z Ic 4 1d σ
2d σ y C 2
x C 2
E
z C 2
则求得各群元的正规表示矩阵为：
)(E D r =
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 14-z Ic
E
1 0 0 0 0 0 0 0 z C
2 0 1 0 0 0 0 0 0 x C 2
0 0 1 0 0 0 0 0 y C 2
0 0 0 1 0 0 0 0 1d σ
0 0 0 0 1 0 0 0 2d σ
0 0 0 0 0 1 0 0 z Ic 4
0 0 0 0 0 0 1 0 1
4-z Ic
1
)(2z r C D =
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1
4-z Ic
E
0 1 0 0 0 0 0 0 z C 2 1 0 0 0 0 0 0 0 x C 2
0 0 0 1 0 0 0 0 y C 2
0 0 1 0 0 0 0 0 1d σ
0 0 0 0 0 1 0 0 2d σ
0 0 0 0 1 0 0 0 z Ic 4
0 0 0 0 0 0 0 1 1
4-z Ic
1
)(2x r C D =
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 14-z Ic
E
0 0 1 0 0 0 0 0 z C 2 0 0 0 1 0 0 0 0 x C 2
1 0 0 0 0 0 0 0 y C 2
0 1 0 0 0 0 0 0 1d σ
0 0 0 0 0 0 0 1 2d σ
0 0 0 0 0 0 1 0 z Ic 4
0 0 0 0 0 1 0 0 1
4-z Ic
1
)(2y r C D =
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1
4-z Ic
E
0 0 0 1 0 0 0 0 z C 2 0 0 1 0 0 0 0 0 x C 2
1
y 21d σ
0 0 0 0 0 0 1 0 2d σ
0 0 0 0 0 0 0 1 z Ic 4
0 0 0 0 1 0 0 0 14-z Ic
1
)(1d r D σ=
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1
4-z Ic
E
0 0 0 0 1 0 0 0 z C 2 0 0 0 0 0 1 0 0 x C 2
0 0 0 0 0 0 1 0 y C 2
0 0 0 0 0 0 0 1 1d σ
1 0 0 0 0 0 0 0 2d σ
0 1 0 0 0 0 0 0 z Ic 4
0 0 1 0 0 0 0 0 1
4-z Ic
1
)(2d r D σ=
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1
4-z Ic
z C 2 0 0 0 0 1 0 0 0 x C 2
0 0 0 0 0 0 0 1 y C 2
0 0 0 0 0 0 1 0 1d σ
0 1 0 0 0 0 0 0 2d σ
1 0 0 0 0 0 0 0 z Ic 4
0 0 0 1 0 0 0 0 14-z Ic
1
)(4z r Ic D =
E
z C 2 x C 2 y C 2 1d σ 2d σ z Ic 4 1
4-z Ic
E
0 0 0 0 0 0 1 0 z C 2 0 0 0 0 0 0 0 1 x C 2
0 0 0 0 1 0 0 0 y C 2
0 0 0 0 0 1 0 0 1d σ
0 0 0 1 0 0 0 0 2d σ
0 0 1 0 0 0 0 0 z Ic 4
0 1 0 0 0 0 0 0 1
4-z Ic
1