非线性反周期分数阶脉冲微分方程边值问题的解

Ｄｅ ｃ ． ２ Ｏ１ ３ Ｖｂ１ ． ７ Ｎｏ． ４
非线性反周期分数阶脉冲微分方程边值 问题 的解
张爱华 ，胡卫敏
（ 伊 犁 师 范 学 院 数 学与 统 计 学院 ，新 疆 伊 宁 ８ ３ ５ ０ ０ ０ ）
摘
要 ：通过 Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ 不动 点定理 和 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 映射 原理 ，得到 了一类非 线性反 周期 分数
２ 预 备 பைடு நூலகம் 识
首 先 ，给 出一 些分数 阶微 积分 理论 的定 义和基 本定 理 ，参 见文献 ［ ９ 一 ｌ ｌ 】 ． 定义 ２ ． １ 函数 厂： 【 ０ ， ｏ ｏ ） Ｒ的 ＞０ 阶 Ｒｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ — Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 积 分是 指
１ ｎｔ
ｌ Ｉ ． Ｉ ＝ ｓ ｕ ｐ ［ “ （ ｒ ） Ｉ 为范 数的Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空间 ．
定义 Ｐ ｃ ’ （ ， Ｒ ） ＝ ∈Ｐ ｃ （ Ｊ ， Ｒ ） ｌ ∈ Ｃ （ ） ， ｋ ＝ｏ ， １ ， ２ ， …， ； ‘ （ ） 存在，ｑ ＝Ｏ ， １ ， ２ ， ３ ， ｋ ＝１ ， ２ ， ・ 一 ， ） ， 则
１ ２
伊 犁师范学院学报 （ 自 然科学版 ）
２ ０ １ ３ 年
其 中右边 是 在 【 ０ ， ∞） 上逐 点定义 的． 定义 ２ ． ２ 阴 函数 厂： 【 ０ ， 。 。 ） Ｒ的 Ｏ ｔ ＞０阶 Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ ． Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ微分 是指
岳 ） ： ＝ ： 高 。 （ ｔ － Ｓ ） 厂 （ ） ，
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ５ 基金项 目：新疆维吾 尔 自治 区 自然科 学基金 项 目 （ ２ ０ １ ３ １ ８ １ ０ １ ． １ ４ ）．
作者 简介：张爱华 （ １ ９ ８ ４ 一） ，女 ，在 读 硕 士研 究生 ，研 究 方 向 ：微 分 方程 理 论 与 应 用
１ 引言
脉冲 现象 是 一种 瞬 间突变 的现 象 ，因其 能更 深刻 、更 精确 地反 映事物 的变化 规律 ， 日益 引起人 们 的重 视 ，它 在物 理 、化 学 、经 济 、生物 动力 系统 、工程 技术 和人 口动力 学等领 域有 广泛应 用 【 ｌ 】 ． 非 线性 脉冲 微 分方 程 是微 分方 程 的一个 重要 分支 ，随着脉 冲微分 方程 理论 的发 展 ，人们开 始关注 脉冲 微分方 程初 值 和边
Ｐ Ｃ （ ， ） 关 于 范 数 ＝ ｍ ａ ｘ ｛ ｌ ｌ ｕ ｌ ｌ ， Ｉ ｌ ｕ ， ｌ ，
满足 （ １ ． １ ） ，则称 为 （ １ ． １ ）的解．
ｌ Ｉ ） 构 成 一 个Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ 空 间 ． 若“ Ｅ Ｐ Ｃ （ ， Ｒ ） Ｎ Ａ Ｃ （ ， Ｒ ）
２ ０ １ ３年 １ ２月 第 ７卷 第 ４期
伊犁 师范 学院 学报 （ 自然科 学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙ ｉ ｌ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
阶 脉 冲微 分方程 边值 问题 解 的存在 性和唯 一性 ． 关键 词 ：分数 阶微 分 方程 ；边值 问题 ；脉 冲 条件 ；不动 点定理 中图分 类号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ８ 文献 标志 码 ：Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３ ９ ９ ９ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ）０ ４ —Ｏ Ｏ １ １ —Ｏ ６
值 问题 的研 究． 关 于 整数 阶脉 冲微 分方 程两 点 、三 点和 多 点边 值 问题解 的存 在性 研 究 ， 已经取 得 了一 定 的 成 果【 ¨】 ． 但 是 很少 有文 章研 究非 线性 分数 阶脉冲 微分方 程 的边值 问题解 的存在 性【 ５ 刚 ．
本 文主 要研 究 了非 线性 反周期 分数 阶脉 冲边值 问题
Ｄ Ｌｕ （ ｔ ） ＝ｆ （ ｔ ， （ ｆ ） ） ， ｆ ∈ Ｊ ＝ ＼ ｛ ， ｔ ２ ， …， ） ， ３ ＜ ≤４ ，
Ａｕ ㈤（ ） ＝ （ （ ） ） ，ｋ＝ｌ ， ２ ， …， ， ‘ （ ０ ） ＝一 “ ‘ ’ （ ） ，ｑ ＝０ ７ １ ， ２ ， ３ ， （ １ ． １ ）
．
Ｄ ｏ ＋ ｆ （ 志 （ 争
定义 ２ ． ３
ｃ Ｄ
ｏ ＋
幽 ， Ｑ 】 ＋ １ ’
其中右边是在［ ０ ， 。 。 ） 上逐点 定义的． 特别地，当ａ ＝ ｎ 时，％ 厂 （ ， ） ＝ｆ ’ （ ｆ ） ．
函数 厂： 【 Ｏ ， ０ ＜ ３ ） － － ＋ Ｒ的 Ｏ ｌ ＞０ 阶Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ微分 是指
分 别 表示 ‘ （ ｆ ） 在 点 处 的右极 限与 左极 限 ，且 “ ’ （ ） ＝ ‘ ’ （ ） ， ｑ：０ ， １ ， ２ ， ３ ．
定义 ｅ ｃ （ Ｊ ， Ｒ ） ＝ ： Ｊ ＿ Ｉ 甜 ∈ｃ （ ） ， ｋ ＝ｏ ， ｌ ， ２ ， …， ； （ ） 存在， ｋ ＝１ ， ２ ， …， ］ － ，则 ｅ ｃ （ Ｊ ， Ｒ ） 是以
解 的存在性和唯一性．其中 璐 是 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ分数阶导数 ，厂∈ ｃ （ ［ ０ ， Ｔ ］ × Ｒ ， Ｒ ） ，厶∈ ｃ （ Ｒ ， Ｒ ） ，Ｊ＝［ ０ ， Ｔ 】 ，
Ｊ ｏ ＝［ ｏ ， ｔ １ ］ ， 以 ＝（ ｔ ｋ ， ｔ ｋ ＋ １ 】 ，０ ＝ｔ ｏ ＜ ｆ ｌ ＜ …＜ ＜ ｔ ｍ ＋ １ ＝Ｔ， △ “ ‘ （ ） ＝ ‘ （ ｔ Ｄ－ ‘ （ ） ， ‘ （ ｔ Ｄ与 ‘ （ ｔ Ｄ