空间面板随机前沿模型及技术效率估计

空间面板随机前沿模型及技术效率估计

林佳显1 , 龙志和1 , 林光平2

(1. 华南理工大学经济与贸易学院, 广东广州510006;

摘要: 随机前沿模型是测算技术效率的重要方法之一。通常,模型假设生产单元之间彼此独立,然而在技术扩散过程中,空间外部性起着重要作用。文章结合随机前沿模型理论与空间经济计量分析方法,构建空间面板随机前沿模型,同时考虑空间滞后因变量和空间误差自相关,并逐步放松模型设定条件,首先考虑技术效率时变,接着引入技术无效率项的异方差性,之后考虑观察数据中潜在的截面异质性,分别以引入随机截面特有项和设定随机系数的形式来表示截面

文章编号: 1000 22154 ( 2010 )05 20071 208 中图分类号: F064. 1文献标识码: A

一、引言

随机前沿模型( SF M ) 的理论最初由A igne r、Love l l和Schm id t(AL S) ( 1977 ) [ 1 ] , M eeu s en 和V a n den B r oeck (MB ) ( 1977 )[ 2 ]提出,并很快成为计量经济学中一个引人注目的分支,被广泛应用于效率测算和生

产率分析,尤其是在Jond r ow等( J LM S) ( 1982 )[ 3 ]指出各个生产单元的技术无效率可以通过条件分布[ u |

i

v i - u

i

]的期望 E [ u i | v i - u i ]或模M o de [ u i | v i - u i ]来估算以后。随机前沿分析( SFA ) 始于对生产最优

化的研究,经过30多年的发展,其在理论研究与实践应用方面都得到了深入的发展,已被尝试性地应用于生产经济学以外的领域,如劳动经济学、公共经济学以及金融经济学等。

SF M 假定,生产单位由于各种组织、管理及制度等非价格性因素导致生产过程中效率的损耗,而达不到最佳的前沿技术水平[4 ] 。SF M 的基本模型表述如下:

Y i = f (X

i

;β) exp ( v i - u i )

T E i = exp ( -

i = 1, 2, ?, N

u i )

(1 )

(2 )

其中: Y

i 代表第i个生产单位的产出; X

i

代表第i个生产单位的k ×1维投入向量; f (X

i

;β) exp ( v i ) 是随机

生产前沿;β为待估计的参数向量; T E

i

= exp ( - u i ) 表示技术效率; v i 是随机干扰项。

通常, SF M 假设v

i 、u

i

都是独立同分布的,然而,空间和区域经济学的研究都指出,地理接近性是产生

外部性和一系列相邻效应的关键因素。在技术扩散过程中,空间外部性起着重要作用,生产单元彼此独立的假设存在着很大漏洞。胡晶、魏传华和吴喜之( 2007 )提到,“任何一个地区的经济都不可能独立存在,它

收稿日期: 2009 - 03 - 08

基金项目: 教育部人文社会科学研究规划基金项目“面板数据随机前沿模型的空间计量经济分析”( 08JA790045 )

作者简介: 林佳显( 1983 - ) ,男,广东陆丰人,华南理工大学经济与贸易学院博士研究生,主要从事随机前沿分析和空间经济计量的研究;龙志和( 1954 - ) ,男,湖南安化人,华南理工大学经济与贸易学院教授,博士生导师,主要从事空间经济计量理论和实证的研究;林光平( 1948 - ) ,男,美籍华人,美国波特兰州立大学经济系教授,主要从事空间经济计量学、数理经济学、计算经济学等研究。

总是与其他经济区域间存在着各种各样的联系 。当某外生干扰对一个地区的经济造成冲击时 ,其产生的影

响往往会向外扩散 ,波及临近地区甚至更远的区域 。”[ 5 ]

如果生产单元间存在空间相互作用 , SF M 中没引 入空间计量分析可能会导致模型设定偏误 。

因此 ,本研究认为有必要把空间效应引入 SF M 分析框架中 ,将一般 SF M 扩展到空间 SF M ,避免由于 忽略空间效应所产生的模型估计偏误等问题 ,从而能更加客观地评估生产单元的效率 ,且进一步有助于开 展以效率测算为基础的后续相关研究 (如全要素生产率增长的研究等 ) 。

当前文献上 , SF M 中引入空间因素的计量分析鲜见 。D ru ska 和 Ho rrace ( 2004 )提出空间误差自相关固 定效应面板模型的 G MM 估计 ,随之将其引入 SF A 框架中 ,并对印度尼西亚的米业农场进行实证分析 ,结 果发现空间相关性确实影响农场效率的估计和排名

[ 6 ]

; Igli o ri ( 2005 ) 测算巴西亚马逊区域各市农业和牧

业的技术效率 ,并将空间计量分析引入技术效率外生决定因素的研究中 [ 7 ]

; Sch m id t 等 ( 2009 )分析巴西中

西部地区 370个市区农场的生产率 ,将潜在的空间结构引入 SF M 的单边误差项中 ,研究结果支持空间效应

的重要性

[ 8 ]

;胡晶 、魏传华和吴喜之 ( 2007 )构建了基于横截面数据的空间误差自相关 SF M ,并采用极大似

然方法对模型参数进行估计 。

综合目前国内外关于 SF M 空间计量分析的研究情况 ,尚存在以下不足 : ( 1 ) 已有的空间 SF M 仅考虑 空间误差自相关 ,缺乏对空间滞后模型的研究 ; ( 2 ) 已有的面板模型仅采用 G MM 估计方法研究固定效应 的情形 ,未见涉及随机效应模型和极大似然法 (ML )的研究 ; ( 3 ) 当面板的时间维度 T 较大时 ,技术效率非 时变 ( ti m e 2inva r ian t )的假设显得与实际不符 ; ( 4 ) 当技术无效率项存在异方差性时 ,其同方差的设定会使 模型参数估计有偏 ,导致技术效率测算不可靠 ; ( 5 ) 如果观察数据中存在非时变的潜在截面异质性 ( la t en t

c r o s s un i t he t e r ogene i ty )与技术效率不相关 ,忽略截面异质性的模型设定就会将这部分异质引入技术无效

率项的估计值中 ,由此得出的技术效率测算有偏 。

有鉴于此 ,作者在已有研究的基础上 ,进一步将空间效应引入 SF M 分析框架中 ,完善空间面板 SF M 的理论基础 ,同时考虑空间滞后因变量和空间误差自相关 ,并逐步放松模型设定条件 ,建立若干不同形式 的空间面板 SF M 。首先考虑技术效率时变 ,接着引入技术无效率项的异方差性 ,之后考虑观察数据中潜在 的截面异质性 ,分别以引入随机截面特有项 ( random fir m s p ec ific te r m )和设定随机系数的形式来表示截面 异质性 。针对各种模型设定形式提出相应的参数估计方法 ,最后给出各种模型相应技术效率的估计 。

二 、空间面板随机前沿模型及其估计

(一 ) 基本模型及其 M L 估计

在 SF M 中 ,与横截 面 数 据 相 比 较 , 面 板 数 据 更 能 提 供 生 产 单 元 技 术 效 率 可 靠 的 估 算 。P i tt 和 L e e

( 1981 )

[ 9 ]

, Schm id t 和 Sick le s ( 1984 )

[ 10 ]

将横截面 SF M 扩展到面板 SF M 。早期的面板模型都基于技术效率

非时变的假设 ,当面板的时间维度 T 较大时 ,这一假设显得与实际不符 。随后 , Co rn we ll 、Schm id t 和 Sick le s

( 1990 ) , Kum b haka r ( 1990 ) , L e e 和 Schm id t ( 1993 ) , B a t te s e 和 Coe l li ( 1995 ) , L e e ( 2006 ) , A h n 、L e e 和 这些有关技术效率时变的假设都遵从一个严格的函数结构 ,如 L e e 和 Schm id t ( 1993 )建议 = δ( t ) u i , 其

u it 2 - 1

中 δ( t ) = ∑δt d t , d t 是

虚 拟 变 量 ; Kum bhaka r ( 1990 ) 提 出 δ( t ) = [ 1 + exp (δ1 t +δ2 t ) ] ; B a

tte se 和 t

Coe lli ( 1995 ) 建议 δ( t ) = exp [ - δ( t - T ) ] 。

胡晶 、魏传华和吴喜之 ( 2007 )构建了基于横截面数据的空间误差自相关 SF M ,并采用极大似然方法

对模型参数进行估计 。现在本研究提出以下基于面板数据的空间 SF M ,同时考虑空间滞后因变量和空间 误差自相关 ,并放松了技术效率非时变的约束 ,且不赋予时变技术效率一定的函数结构 。为了便于描述 ,

f ( x,β) 采取对数线性 Cobb - Dougla s 函数形式 :

y t = α + x t β +λW 1 y t + v t - u t

v t = ρW 2 v t +ηt

( 3 )

( 4 )

其中 : y t = [ y 1 t , y 2 t , ?, y N t ] ′表示 N 个生产单位在第 t 时段 N ×1维的产出 (取对数 ) 向量 , x t 是 N 个生产 单位在第 t 时段 K ×1维投入 (取对数 ) 向量组成的 N ×K 维矩阵 , t = 1, 2, ?, T;β为待估计的 K ×1维参 数向量 ;α = α ×[ 1, 1, ?, 1 ] ′是 N ×1维的截距项向量 ; u t = [ u 1 t , u 2 t , ?, u N t ] ′≥ 0是 N ×1维的技术无 效率项向量 , 代表生产单位在第 t 时段的技术无效率程度 ; v t = [ v 1 t , v 2 t , ?, v N t ] ′是 N ×1维的双边误差项 向量 , 代表不可控的经济系统外部影响因素和数据测度误差等 ;ηt = [η1 t ,η2 t , ?,ηN t ] ′

是 N ×1维的随机 干扰项向量 ; W 1 、W 2

是空间权重矩阵 , 表示不同生产单位之间的空间相关性 , W 1 y t 为空间滞后因变量 , W 2 v t 为空间滞后误

差项 ;λ是待估计的空间自回归系数 ;ρ是待估计的空间误差自相关系数 。为了进行 ML 估计 , 模型假定 :

+

2 2

- 1

- 1

u t ～ iid N ( 0,ζu I ) , E ( u t u ′t ) = 0, t 1 ≠ t 2 ; v t ～ iid N ( 0,ζv

) , = [ ( I - ρ

W 2

) ] ′( I - ρW 2 )

,

∑ ∑ 1 2

2

E ( v t v ′t ) = 0, t 1 ≠ t 2 ;ηit ～ iid N ( 0,ζv ) , i = 1, 2, ?, N , t = 1, 2, ?, T 。另外 , u it 、ηit 和 x it 相互之间不相关 。 1 2

根据以上的假定 , 可得到如下的分布密度函数 :

N

2

f ( u t ) =

exp ( 5 )

2

πζ2

u

N

1

- 1 / 2

f ( v t ) =

∑ ( 6 )

2

πζ2

v N

1

- 1 / 2

f ( u t , v t ) =

∑

exp ( 7 )

πζζ u v

设 εt = v t - u t , 则 ( u t ,εt ) 的联合分布密度函数为 :

- 1

N

(ε + u ) ′

∑

(ε + u )

1

u ′u - 1 / 2

f ( u t ,εt ) =

∑ exp t t t t

t t

-

-

πζζ 2ζ2

2

2ζ u v

u v N

1

- 1 ( u 1ε′ζ2 - 1 / 2 ∑

exp - 1

ε - μ ) ′Ω - 1

( u - μ ) exp 2 ( 8 )

=

t

I +ζ v

∑

- t t t t

t

πζu ζv

2

2

u

2

2

2

- 1 其中 :μt = - ζu [ζu I +ζv ∑]

ε

t

( 9 )

( 10 )

= ζ2 Ω ζ2 2 2

- 1

I - u (ζu I +ζv ∑)

u 将式 ( 8 ) 对 u t 求积分 , 得到 εt 的分布密度函数 :

∞

∫

f (εt ) =

f ( u t ,εt

) d u

t

∞

N

1

1ε′ζ2 1 ( u - μ ) ′Ω - 1 ( u 0

∫

- 1

ε - 1 / 2

∑

|

exp = |

2 exp - μ ) d u - t

I +ζ v

∑

- t

πζu ζv

t t t t

t 2

u

2

N

2

1ε′ζ2 I +ζ2 - 1 / 2

1

- 1

ε Φ Ω - 2μ ζ2

I +ζ2

v

∑

exp ( 11 )

=

v

∑

-

u

t t

t 2

π 2

u

其中 :Φ (·

) 是多元标准正态分布函数 , ζu

- 1 / 2

- 1 / 2

∑

Ω - 1 / 2μ

2 2 ε ζu I +ζv ∑ ( 12 )

= - ζ

t

t

v

基于式 ( 11 ) , 可得到模型的对数似然函数 :

N T

T ll (α,β,ζu ,ζv ,λ,ρ

) = N T ln ( 2 ) - ln ( 2

π) 2 2 -

ln

2

ζu I +ζv

∑

2

T T

1 ∑

ε′ζ2 I +ζ2

- 1

- 1 / 2

ε + ∑ln [Φ (Ω

μ ) ]

v

∑

( 13 )

- t t t 2 u t = 1

t = 1

通过最大化对数似然函数式 ( 13 ) , 可得到上述模型的参数估计 (α^,β^,ζ^ ,ζ^ ,λ^,ρ^) 。 u v

(二 ) 考虑技术无效率项 u it 的异方差性

如果影响技术效率的因素随不同生产单位而有差异 ,那么技术无效率项 u i t 可能存在异方差 。Ku m b 2

haka r 和 Love l l ( 2000 )

[ 11 ]

指出 ,与经典线性回归模型相比较 ,由于 SF M 具有非对称的复合误差项结构 ,异

方差性问题在 SF M 框架中显得更加突出 ,尤其是当异方差性存在于单边误差项 u i t 中时 。异方差性可以出 现在单边误差项 u it 或双边误差项 v it 中 ,将之忽略不但会影响生产技术参数和误差项参数的估计推断 ,也

2ζι

- 1

- 1

E ( y t ) = ( I - λW 1 )

+ ( I - λW

x β

)

( 14 )

α -

1

t u N

π

1

1

其中 :ιN =

, 其它变量 、参数定义参见前文 。

?

1

N ×1

2

下面假设技术无效率项 u it 存在异方差 , u it ～ iid N ( 0,ζu i ) , 观察忽略异方差性所产生的问题 。此时 ,

式 ( 14 ) 将变成 :

+ N

2ζ

- 1

- 1 E ( y t ) = ( I - λW 1 )

+ ( I - λW x β

∑

) ( 15 )

α -

u i e i

1

t π i = 1

其中 : e i 是 N ×1维向量 , 第 i 个分量为 1, 其它分量为 0。

比较式 ( 14 ) 和式 ( 15 ) , 忽略 u it 中的异方差性将导致截距项的估计是有偏的 , 而由此导致生产技术参 数的估计也是有偏的 。此时 , 技术无效率项 u it 的估计式中 (参见本文第三部分 ) ,ζu i 将代替 ζu 。

当然 , 正如 Kum bhaka r 和 Love ll ( 2000 ) 所说的 , 在仅有横截面数据的情形下 , 估计每个生产单位的 ζ2

u i

显然不可 能 , 而 当 面 板 数 据 的 截 面 维 N 远 大 于 时 间 维 T 时 ,ζ2

的

估 计 也 不 大 可 行 。Kum bhaka r 和 u i 2

Love ll ( 2000 ) 建议采用相关变量 z i 的函数 g ( z i ;δ

) 代替 ζu i , 这样可大大有效减少待估计的参数 , 而又不会 忽略 u it 的异方差性 。

2 2 +

在前文模型假设的基础上 , 考虑技术无效率项 u it 的异方差性 , 令 u it ～ iid N ( 0,ζu i ) ,ζu i = g ( z i ;δ) , 下面给出模型的 ML 估计 。

+

由于 u it ～ iid N (

( δ

) u t = [ u 1 t , u 2 t , ?, u N t ] ′的分布密度函数式 ( 5 ) 变为 :

N

u 2 N

1

u 2

N

2

it

it

f ( u t ) =

exp exp ∑ ( 16 )

=

-

-

N

2 g ( z i ;δ) 2 g ( z i

;δ)

2

π i = ∏

i = 1

δ) g ( z ;

i i = 1 因此 , u t 与 v t 的联合分布密度函数式 ( 7 ) 变为 :

- 1

N

t ∑

t

1 N

2 u v ′ v 1

- 1 / 2

f ( u t , v t ) ∑

exp ( 17 )

=

it

∑

-

- N

πζ

2 g ( z i ;δ) 2 ζ 2

v

∏

g ( z i ;δ

) i = 1

v i = 1

1

1

? 0

? 0

ζ

2 g ( z ;δ

) u 1

1 同样地 , 令 εt = v t

u t , 并且 Q , 则式 ( 8 ) 变为 :

- =

?

ω ? 1

=

?

ω ?

1

?

?

ζ

2 g ( z ;δ

) N uN - 1

N

u 2

(ε + u t ) ′ (ε + u ) ∑

1

N

1

- 1 / 2

f ( u t ,εt ) =

∑

exp t t t ∑

i t -

- πζ

N

2 g ( z i ;δ) 2 ζ 2

v

∏

g ( z i ;δ

) i = 1

v i = 1

N

1 1

- 1 ( u - μ ) ′Θ ( u 1ε′ - 1 / 2

∑

exp - μ )

exp Θ- 1 ε =

- Q - Q Q N

t

t t

t t t πζv

2 2

∏

g ( z i ;δ

) i = 1

( 18 )

- 1

+ ∑ Θ 其中 :

= Q ( 19 )

ζ2 v

- 1

- 1 +

∑

μt

- I εt

=

Q ( 20 )

Q ζ

2 v

同样地 , 将式 ( 18 ) 对 u t 求积分 , 式 ( 11 )εt 的分布密度函数变为 :

- 1

- 1

N

∞

+ ∑

2

1

1 0

∫

f (εt ) =

f ( u ,εt

) d u

t

1 εt Φ Θ μt

exp ε′t

2

( 21 )

=

- 1

Q - - Q Θ Q 2

Q 2

πζ ζ

2 v v

1

- 1

- 1

- 1

+

∑

+

∑

1

其中 :Θ 2μt =

- I εt Q ( 22 )

Q Q 2

2

ζv

ζv

因此 , 可得到模型的似然函数 : - 1

T

T

+ ∑

N

T T

1 1

- 1

ll (α,β,ζu ,ζv ,λ,ρ,δ

) = - 2

ln ( 2

πζv ) - 2 ln

- ∑

ε′(Q 2 - Q Θ Q )εt +

ln [Φ (Θ μ ) ]

∑ 2

Q t t

ζ

2

t = 1

t = 1

v

( 23 )

参数向量 (α,β,ζu ,ζv ,λ,ρ,δ

) 可通过对式 ( 23 ) 求最大化而得到 。 (三 ) 引入潜在的截面异质性

如果观察数据中存在非时变的潜在截面异质性 (可能是由于遗漏非时变的投入变量或忽视难于量化 或无法获得观测数据的解释变量等而造成的 )与技术效率不相关 ,忽略截面异质性的模型设定将会把部 分异质引入技术无效率项 u it 中 , 由此得出的 u it 的估计不仅包含真正意义上的技术无效率 ,同时也测算了 模型所忽略的截面异质性 ,这样势必会影响到最后有关技术效率的估算 [ 12 , 13 ]

。在不考虑空间相关性的一

般 SF M 中 , Greene ( 2005 )的实证结果支持了以上论述 。

下面本文所建立的空间面板 SF M ,不仅考虑技术无效率项 u it 的异方差性 ,还进一步将潜在的截面异 质性引入模型中 ,分别以引入随机截面特有项和设定随机系数的形式来表示截面异质性 ,并采用模拟 ML

( si m u l a t ed ML )进行估计 ,给出模拟对数似然函数 ( si m u l a t ed l og like l ihood func t i on )

[ 12 - 15 ]

。

1. 引入随机截面特有项

y t = α +ω + x t β +λ

W 1 y t + v t - u t ( 24 )

其中 :ω = [ω1 ,ω2 , ?,ωn ] ′, 将 ω看作已知的向量 , 以 ω为条件 , 则

u t 与 εt 的条件联合分布密度为 :

- 1

N 2

u

(ε + u t

′∑

+ u t )

(εt

1 N

) 1

- 1 / 2

f ( u t ,εt | ω) =

∑

exp t it

∑

-

-

N

πζ

2 g ( z i ;δ

) 2

ζ 2

v

∏

g ( z i ;δ

) i = 1

v i = 1

N

1

1

- 1 ( u - μ ) Θ′ ( u - μ ) - 1ε′(Q - Q

Θ- 1 Q )ε - 1 / 2

∑

exp (25)

=

exp N

πζv

t t t t

t t

2

2

∏

g ( z i ;δ

) i = 1

其中 :Θ、

μt 的表达式参见式 ( 19 ) 及式 ( 20 ) 。 以 ω为条件 ,εt 的条件分布密度函数为 :

2

-

1

- 1 N

∞

+

∑

2

1

1 0

∫ t

t

t

f (εt | ω) =

f ( u ,ε | ω ) d u =

1

- Q Θ Q )εt

Φ Θ μt - 1

exp ε - ′t

(Q 2 Q 2

πζ 2 ζ2 v

v

( 26 )

1

其中 :Θ 2μt 的表达式参见式 ( 22 ) 。

ω

∫

由于 f (εt ) =

f (εt

| ω) g (ω;θ) d ω等价于 E

ω

, 从 ω的联合概率分布 g (ω;θ) 中模拟抽取

f (εt | ω)

足够多的样本 , 代入式 ( 26 ) , 并对其取平均 , 能够得到 E ω [ f (εt |

ω ) ]充分精确的估计 。用 ω( r ) 表示从 g (ω; θ) 中的第 r 次抽样 , r = 1, 2 ?, R , 可得 :

1

- 1

- 2

R

N

+

∑

1

1

1

f (εt ) =

∑

Φ Θ μ | ω

- 1

εt ω

Θ Q

2 Q t R r = 1

2

πζv r

ζ

2 r

v

( 27 )

基于式 ( 27 ) , 可得到模拟对数似然函数如下T

R

1

ll (α,β,ζu ,ζv ,λ,ρ,δ,θ) =

∑ln

R ∑

×

t = 1

r = 1

1 (ε′| ω 1

) (Q - Q Θ- 1

Q ) (ε | ω

) Φ Θ μexp ( 28 )

- 2 ω t ( r )

t ( r ) t

( r )

2

当然 , 为了使模拟 ML 实际可行 , 能够在 ω的联合分布 g (ω;θ) 中抽取样本 , 我们令 ω =θ

ω0 , 其中 ω0 的分布参数已知 , 比如 ,ω服从联合正态分布 , 那么 θ就是其标准差 , 而 ω0 ～ N [ 0, I ]。只要式 ( 28 ) 是平滑 并且连续二阶可微的 , 以上模拟方法是可行的

[ 12, 14, 15 ]

。由于实际上积分不需要运算 , 一般来说 , 假设任何 ω 的

分布都可以进行模拟抽样 , 构建模拟对数似然函数 。

2. 随机系数模型

在模型式 ( 24) 的基础上 ,放宽确定性斜率系数 β的设定 ,让其具有随机性

[ 16 ]

,进一步考虑截面异质性 :

y t = α +ω + x t βi +λW 1 y t

( 29 )

( 30 )

+ v t - u t βi ～ iid N (β,Ξ)

变量 、参数定义及其它假设参见前文 。实质上 , 上述模型可等价于 :

y t = α +ω + x t βˉ +λW 1 y t + v t

( 31 )

( 32 )

- u t 2

v t ～ iid N ( 0,ζv

∑ + M )

其中 : M = x ′t

Ξ x t 。

模拟似然函数的求解采用

∑

+

1

M ∑ 代替式 ( 25 ) 至式 ( 28 ) 中的

即可 。

当然 , 在进行实证研究 ζ

2 v

2

时 , 还需对 βi 的方差协方差阵 Ξ的设定做进一步的研究 , 譬如一种简单可行的处理方法是令 Ξ = ζβ I , 此 2

2

时式 ( 30 ) 变为 βi ～ iid N (β,ζβ I ) , 模型新增一个待估计的参数 ζβ。而当 Ξ = 0k ×k 时 , 模型就回复到式 ( 24 ) 的形式 , 不再具有随机系数 。

如果不考虑空间相关性 , 即 ∑ = I , 此时随机系数模型相当于一般双异方差面板 SF M , 同时考虑 v it 和

u it 的异方差性 。

三 、技术效率估计

上述所有模型的参数估计不是最终目的 ,令人感兴趣的还有生产单位技术效率的估计 。AL S 建议采用

[ 1 - E ( u ) ]来估计所有生产单位的平均技术效率 ; L e e 和 Tyle r ( 1978 ) 提出 TE = E ( ex p { - u } ) ; JLM S

( 1982 )指出各个生产单元的技术无效率项 u i 可以通过 E ( u i |εi )或 Mode ( u i |εi )来估算 ,第 i 个生产单位 的技术效率 TE i = exp { u ^i } ,其中 u ^i = E ( u i |εi )或 Mode ( u i |εi ) ; B a t te s e 和 Coe l li ( 1988 )则提出 TE i = E ( exp { - u i } |εi ) 。

基于 JL M S ( 1982 )的方法 ,本文给出针对前文所述各种模型的技术效率估计 。 首先估计模型式 ( 3 )及式 ( 4 )的技术效率 , u t 的条件分布密度函数为 :

f (

u t ,εt ) 1 - 1

f ( u t | εt ) = - μt ) ′Ω ( u t - μt )

( 33 ) exp ( u t - f (t ) 2 1

- | Ω |

1 / 2

(ζ2 I +ζ2

)

1 / 2

其中 , v

∑

∑

( 34 )

= ζu ζv

u - 1 / 2

μt 、Ω、Ω

μt 分别参见式 ( 9 ) 、式 ( 10 ) 易见式 ( 33 ) 是一个 N 维截尾正态分布 N M o ( 35 )

E ( u it | εt ) = μ-( 36 )

r k t

k = 1

1

-

1

其中 ,Φ ·是标准正态分布函数 ; < ·是标准正态密度函数 ; c ig 是 Ω 2 的第 i 行 ; r k t 是 - Ω μt 的第 k 个

分量 。

所以 , 第 i 个生产单位在第 t 时段的技术效率为 :

N

^ 1

TE it = exp { - u ^ } = exp - μ - ∑< μ 或 exp ( 37 )

c Φ - r k t i t it ik it

- r k = 1

k t - 1

当考虑技术无效率项 u it 的异方差性时 , 技术效率的估计参见式 ( 37 ) , 其中 , c ig 是 Θ 的第 i 行 ; r k t 是 1

1

- Θ 2μt 的第 k 个分量 ;Θ、μt 、Θ 2μt 分别参见式 ( 19 ) 、式 ( 20 ) 及式 ( 22 ) 。

当引入随机截面特有项 ωi 时 , 技术效率的估计等同于考虑 u it 异方差性时的情形 , 只是计算中所要求

R R 的 ω用其模拟抽样的均值 1

ω 来代替 。而随机系数模型的技术效率估计 , 除了用 1 ∑

ω 代替 ω之

( r ) ( r )

R r = 1 R r = 1

1

M 外 , 还要将 ∑替换成 ∑

+ 。

ζ

2 v

四 、研究结论与展望

本研究构建了空间面板 SF M 的理论基础 ,进一步将空间效应引入 SF M 分析框架中 ,同时考虑空间滞

后因变量和空间误差自相关 ,并逐步放松模型设定条件 ,建立若干不同形式的空间面板 SF M 。首先放松技 术效率非时变的约束 ,考虑时变的技术效率 ,且不赋予技术效率一定的函数结构 ; 接着引入技术无效率项

2

u it 的异方差性 , 当面板数据的截面维 N 远大于时间维 T 时 , 直接估计每个生产单元的 ζu i 不大可行 , 本文采 2

用相关变量 z i 的函数 g ( z i ;δ

)来代替 ζu i ; 之后考虑观察数据中潜在的截面异质性 , 通过两种形式来考察 截面异质性 :其一是在模型中引入一个非时变的随机截面特有项 ωi , 并为其设定某种常用的概率分布 ; 其

二是放宽确定性斜率系数 β的设定 , 让其具有随机性 。针对上述各种模型设定形式提出相应的参数估计 方法 , 最后给出各种模型相应技术效率的估计 。

为了行文的方便 , 本研究仅考虑随机前沿生产函数模型 , 研究结果只要略作改动 , 可以直接应用到随 机前沿成本函数模型 , 用以研究成本效率 。

当然 , 本文还有进一步深入研究的空间 。譬如就空间误差自相关模型形式而言 , 除考虑随机干扰项 v t

具有空间相关性外 , 还可将空间误差自相关结构运用于技术无效率项 u it 。就技术无效率项 u it 而言 ,首先可 以为其设定其它概率分布形式 ,如截尾正态分布 、指数分布以及 Gamm a 分布等 ;其次可以放宽其在截面维

度N 和时间维度T上都是独立同分布的假设,对于一个生产单元来说,其技术效率在时间上具有一定相关性的假设应该更接近现实,而同地区同行业生产单元之间技术效率相互独立的约束条件也未免显得比较强。在模型估计方法方面,除了ML (或模拟ML )法,还可以进一步研究其它方法,譬如G MM、贝叶斯分析。本文以上研究结果均可用于将来进行的实证研究。

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Spa t i a l Pan e l S t ocha st i c Fron t i er M ode l an d Techn i ca l Eff ic ien c y E s t i m a t i on

L IN J ia2xian1 , LON G Zh i2he1 , L IN Kuang2p ing2

( 1. S chool of Econo m ics and C o mm ence, S ou th Ch ina U n i versity of Technology, Guangzhou 510006, Ch ina;

2. D epa rt m en t of Econo m ics, Portland S ta te U n i versity, Portland 97207, U S A )

A b s tra c t: St ocha s tic fr on t ie r mode l is one of i m po r tan t m e t hod s f o r m e a s u r ing techn i ca l effic i ency. Gene r a l ly, the mode l a s sum e s tha t p r oduc t i on un i ts a r e indep e nden t of each o t he r.Howeve r, s p a t ia l exte r na l itie s p lay an i m po r tan t r o l e in d i ffu s ing techn i ca l p r ogre s s and po i n t s in s p a ce a r e co2re l a t ed.

B y com b i n i ng st ocha s tic fr on t ie r p r oduc t i on theo r y w ith s p a t ia l econom e t ric ana l ysis, we p r opo s e a s p a t ia l p a ne l st ocha s tic fr on t ie r mode l in wh i ch bo t h of s p a t ia l ly lagged dep e nden t va r iab l e s and s p a t ia l ly au t o r egre s sive e r r o r te r m s a r e con s ide r ed, a t the sam e ti m e, we re l ax the mode l a s su mp ti on s tha t see m t o be str ong one s. F i rstly, ti m e2va r ying techn i ca l effic i ency mode l is ana l yzed. Second l y, the con s equence of he t e r o s keda s tic i ty in the techn i ca l ineffic i ency is inve s tiga t ed. Then, we con s ide r s om e exten s i on s tha t accoun t fo r the la t en t c r o s s un i t he t e r ogene i ty. Exp lic i t mode l s f o r unm e a s u r ed c r o s s un i t he t e r ogene i ty a r e bu i lt in t o the st ocha s tic fr on t ie r. E s ti m a t i on m e t hod s f o r va r i ou s k i nd s of ref o r m u l a t ed mode l s a r e p re s en t ed. F i na l ly, we focu s on the e s ti m a t i on and comp a r is on of techn i ca l effic i ency m e a s u r e s.

Key word s: technical efficiency; st ochastic fr ontier; s patial econo metrics; maxi m u m likelihood; si m ulated likelihood functi on

(责任编辑孙敬水)