固体物理CH4-习题解答

第四章习题试解

1. 一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子都有作用，求格波的色

散关系。

解：设原子质量为m ，周期为a ，第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ，第n-k 及n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ，μn+k ，其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ，βk 。

显然：k k ββ-=

第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为：

()()(2)nk k n k n k n n k k n k n k n f βμμβμμβμμμ+--+-=---=+-

第n 个原子受所有原子的合力为：

(2)n k n k n k n k

f βμμμ+-=+-∑

振动的运动学方程可写为：

(2)k k n k n k n k

m μβμμμ+-=+-∑

代入振动的格波形式的解 ()i qna t nq Ae ωμ-=

有 2

()

[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k k

m i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑

2(2)2(cos 1)iqka iqka k k k

k

m e e qka ωββ--=+-=-∑∑

色散关系即为 2224(1cos )sin 2

k k k

k qka

qka m m βωβ=-=∑

∑

2. 聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动，可以采用一维双原子链模型来描述，原胞两原子质量均为M ，但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2，原子链的周期为a 。证明振动频率为

211221222

124sin 21(1)()qa M ββββωββ⎡⎤⎢⎥+=±-⎢⎥+⎢⎥

⎣⎦

证：如图，任意两个A 原子（或B 原子）之间的距离为a ，设双键距离b 2，单键距离b 1

…—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH …

2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 A B A

b2 b1

只考虑近邻作用的A ，B 两原子的运动方程为 A ：

222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=---

B ： 2112221221()()n n n n n

M μβμμβμμ++++=--- 将格波解

()2i qna t n Ae ωμ-= 和2

[()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程，有

[]

[][][][]21()()2

21i qna t i qna b t i qna t i qna t i qna b t M Ae

Be Ae Ae Be ωωωωωωββ-+-----⎡⎤⎡⎤-=---⎣⎦⎣⎦

化简得： 1

221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+=

同理： 1

221212()()0iqb iqb e

e A M B ββββω--+++-=

化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组，它的有解条件是 121

2

212122

1212()()0()

()

iqb iqb iqb iqb M e e e

e

M ββωββββωββ--+--+=-+-+

从而得到

1212()()

222121212122

2221

2

1212

12[()][]2cos()

iq b b iq b b iqa

iqa

M e e e

e qa ββωββββββββββββββ-++-+-=+++=+++=++

()2222212121212212sin ()4sin ()

22qa qa ββββββββ⎡

⎤=++-=+-⎢⎥⎣

⎦

1

22

122122

124sin 211()qa M ββββωββ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪+⎢⎥=±- ⎪⎢⎥

+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦

3. 求一维单原子链的振动模式密度g(ω)，若格波的色散可以忽略，其g(ω)具有什么形式，

比较这两者的g(ω)曲线。

解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π，L=Na 为单原子链的长度，其中a 为原子间距，N 为原子数目。则在dq 间隔内的振动模式数目为2L

dq π

。dω频率间隔内的振动模式数目为

22L dq n d d ωπω

=⨯

⋅ 等式右边的因子2来源于ω（q ）具有中心反演对称，q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的。从而有

1

()L g d dq

ωωπ=

对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有

11

()sin 22

m q qa qa ωω=

= ()1

222

1cos()222

m m d a a qa dq ωωωω=⋅=- 其中ωm 为最大频率。代入g (ω)得 122

2

2()()m

N

g ωωωπ

-

=-

考虑ω=cq （德拜近似）

由q →

0（德拜近似下）, 有

111

()222

m m q qa qa a q ωωω=

=⋅=⋅ 即12m c a ω=⋅

则有：

1

2

m d a dq ωω=⋅ 1

21

()12

m

m Na N

g a

ωππωω=

=

⋅

（常数）

考虑ω=ω0（爱因斯坦近似）

显然有()0

g ωωωωω∞=⎧=⎨

≠⎩