《反函数》教学设计

《反函数》教学设计

上海南汇中学 李家齐

第一部分：《反函数》教学设计

教学目标：

1、知识技能目标：使学生理解反函数的定义，知道原函数与反函数的定义域和值域的关系，会求一些简单函数的反函数。初步学会运用反函数解决一些问题 。培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力。

2、过程方法目标：注重引入，剖析、得到反函数这一概念过程，通过观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感、态度、价值观目标：通过本节课的学习，使学生获得研究反函数的规律和方法，提高学生的学习能力养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，树立学科学，爱科学的精神。

教学重点与难点：重点是求反函数的方法。难点是反函数的概念．

教具与学具：作图纸，电脑、投影仪

教学过程：

一、引入

引例1（上节课的课后思考题）：对于两个变量x 、y ，问下列哪个图形能确定这两个变量之间的函数关系？ 22(A)o

y

x 22x

y o 2

(D)o

y

x

师生一起分析：图A 中的y 是x 的函数；图B 中的y 不是x 的函数，而x 是y 的函数；图C 中的y 是x 的函数，而x 也是y 的函数；图D 中的y 不是x 的函数，而x 也不是y 的函数；

引例2：今年的中考、高考同学自己在网上报名，要求设置密码，有的同学用出生年月作为密码又当心被人知道，用其它数字自己又容易忘，怎么办呢？有一个同学说可以用函数的知识来设置密码，你认为可行吗？若可行请说出设置方法？若不可行请说出理由？ 让学生充分讨论得到以下方法。

方法一：我们可以找一个函数比如21y x =+，将x 用六个0～9的自然数代入求出y 值按顺序排好，再按一定顺序取出六位数做为密码，这时我们只要记下这个函数及x 代入的六个数就可以了。

方法二：在方法一中，把六个数代入y 求出x 也是可以的。

方法三：也可先选定六个数做为密码，x 用这六个数代入求出y 值，只要记下这个函数及所求的y 值就可以了；

如果密码忘了，从这个函数及所求的y 值就可以求出密码吗？这样的函数是不是可以随便写？这个与我们这节课学习的内容有关。

（这里用清华同方提供的一个课件演示）

引入课题——反函数

二、新课

1、分析方法三，不妨设密码为1、

2、

3、

4、

5、6，形成的集合为D ，函数的表达式为21y x =+，值域为A ，{}3,5,7,9,11,13A =，建立了集合D 到A 上的对应关系。

2、而由A 中的六个数，求密码，是从21y x =+得到12

y x -=，由y 求x 的过程，也就是建立集合A 到集合D 的对应关系，而这一对应关系与上面的对应关系密不可分(实际上逆过来对应)，它仍然符合函数的定义，我们把1

1()2y x f y --== (A x ∈)叫做()21y f x x ==+(D x ∈)的反函数

3、那么如何给反函数下定义呢？请同学们思考。

反函数的定义：对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f

x -=。习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为)(1x f y -=(A x ∈)

4、对定义的理解

1）对于函数)(x f y =要有反函数，必须满足对于值域中任意一个y ，在定义域中总有唯一确定的x 值与它对应。（有反函数的条件）

2）反函数的定义域是原函数的值域，而反函数的值域是原函数的定义域，反函数的对应法则就是原函数的对应逆过来对。（反函数的对应法则）

3）而“)(x f y =的反函数，记作)(1y f

x -=。习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为)(1x f y -=(A x ∈)”，就是求反函数的过程。（如何求反函数）

结论1：原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它反函数的定义域。

5、例1：求下列函数的反函数

①13+=x y ；②)2

1,(2413-≠∈++=x R x x x y 三、探究

探究1、我们前面学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数等等，请你从学过的这些函数中写出三个，并求出其反函数？是不是任何一个函数都有反函数？你能得出什么结论？

这一过程主要目的是要学生比较系统的梳理前面学过的这些函数的反函数问题，同学们自己总结出以下结论和一个注意的问题。

结论2：一个函数有反函数则它的对应法则要满足，对A 中任意一个值y ，在D 中总有惟一确定的x 值与它对应，使)(x f y =。

其二主要解决反函数的定义域问题，以解析式为二次函数做为例子来阐述，比如：求函数)0(2≥=x x y ，)0(2<=x x y ，)2(2

>=x x y 的反函数。

注意：求反函数要注意反函数的定义域

探究2、我们知道函数有三种表示法：解析法、列表法、图像法。请你分别举一个用列表法、用图像法表示的函数，然后求出它的反函数，并在直角坐标系中画出。想一想原函数与反函数的图像有什么关系？能得出什么结论？

（这里用清华同方提供的一个课件演示）

结论3：原函数与反函数的图像关于直线x y =对称。

3、练习：完成课本P125练习3、4

四、小结

1、让学生说说对反函数的理解，如何求反函数。

2、布置课后探究问题

探究3：我们知道原函数与反函数的定义域、值域间的关系，那么原函数与反函数的奇偶性、单调性之间又有怎样的关系呢？原函数与反函数的……，你想解决什么问题？请提出。

五、作业

第二部分：《反函数》教学说明

Ⅰ、说教材

一、教材分析及有关说明。(正确说明教材的地位、作用、重点、难点，并参照课本与课程标准，进行取材的分析与处理)

1、本章学习是在学生完成函数的第一阶段学习（初中）的基础上，进行第二阶段的函数学习。函数知识是中学数学的核心内容，它研究变量，反映一个变化过程。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一部分内容的学习，我们可以对前面所学的几种基本函数进行梳理，同时使学生加深对函数基本概念的理解，还为后面对数函数的学习、反三角函数的学习做好准备,起到承上启下的重要作用。因此反函数的学习为学生进一步学习提供必要的基础知识和学习方法。

2、本节课分为二课时，第一节课主要是反函数的概念，反函数求法，原函数与反函数图像间的关系。第二节课是反函数与原函数间的性质关系的探究。

3、教学对象是市重点中学的学生

4、教材是上海二期课改的新教材

二、目标分析

1、函数思想是最重要的思想方法，而掌握函数的思想的实质是运用联系和变化的辩证唯物主义观点，从问题中抽象出数学对象及其数量特征，从而刻划自然界中量的制约关系和依存关系，而对反函数的概念的理解能让学生体会这种制约关系，因此本节课的教学目的之一是：使学生理解反函数的概念及反函数的求法，由特殊到一般提出问题、解决问题。

2、数形结合思想是重要的数学思想，而研究函数所用的数学思想方法是数形结合。将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系的问题转化为图形性质的问题来讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系的问题来研究。高中研究函数的主要方法是从形到数向由数到形过渡。因此本节课的教学目的之二是：掌握原函数与反函数的图像间的关系，这样可以通过原函数性质去研究反函数的研究。

3、《课程标准》指出：数学是一门重要的基础课程，对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力以及辩证唯物主义世界观、方法论等具有独特作用。因此挖掘和设计这方面的素材是课堂教学的重要环节，培养学生的能力是教学的重点。因此本节课的教学目的之三是：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；树立对立统一的辩证观点。

4、根据多元智能理论，霍华德·加德纳教授认为人的智能有八种分别是：语言智能、逻辑――数学智能、空间智能、身体――运动智能、音乐智能、人际关系智能、自我认识智能、自然观察者智能。尽管大多数人具有完整的智能光谱，但每个人也显示出独特的认知特征，在八种智能方面所拥有的量各不尽相同，八种智能的组合与操作方式各有特色。因此本节课将充分尊重学生的智能特点，也让学生选择适合的切入点进行体验、探究。同时培养他们合作、互助的精神，学会客观的评价他人。

Ⅱ、说教学程序

（一）设置情境引入课题

引例1主要是复习函数的概念，只有掌握了函数的概念学生才能理解反函数的概念。这个引例还为反函数中将y当成自变量，x当成函数打下一个伏笔，为新课教学做好准备。

用中高考报名设置密码引入，作为高中生来说感到与自己密切相关，能引起学生兴趣。这一教学环节的设计主要从以下几个方面考虑。第一密码问题与我们生活息息相关，学生熟悉，这个案例真实每个高中生也都会遇到，这就是一个函数的对应在生活中应用的例子，与本节课内容吻合。这种引入一方面复习函数的概念，另一方面也为反函数的教学做好准备。在这一教学环节中安排了学生分析讨论，主要是体现合作学习，让学生有充足的时间思考这

个问题。这样的引入也是为了突破教学重难点。

（二）分析引例得到概念

剖析引例，由密码求六组数实际上是建立函数关系，学生也能从这个例子中体会函数是一种对应关系。而由这六组数求密码，实际上是求这个函数的反函数。这一教学环节主要是反函数概念的教学，具体的操作方式是让学生在简单的背景下建立反函数的概念，通过对简单背景问题的解决，让学生自已得到反函数的定义，再对这个定义进行分析理解。

学生的学习往往是从模仿开始的，通过例1让学生进一步理解反函数的概念，同时让学生掌握求已知给出的解析式的函数的反函数的方法。为后面的学习探究提供必要的准备。（三）应用探究深化概念

探究一：请学生从一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数等函数写出三个都有反函数的函数。这一环节的探究活动，采取内容开放，充分利用教学过程中的各种信息资源，达到合作交流的目的，同时也比较系统的研究前面学过的函数的反函数问题。通过这个问题，使学生知道了不是任何一个函数都有反函数，知道了有反函数的函数的特征。学生只有充分理解了反函数的概念后，才能解决这样的开放题，一方面是尊重学生的智能特点，同时也体现了以学生为主体，这也是突破难点的手段之一。

探究二：让学生用列表法、图像法来举反函数的例子，通过这一教学环节的探究，使得学生会求用列表法、图像法表示的函数的反函数的求法，同时也是为了研究原函数与反函数图像之间的关系。学生通过这一环节的探究，掌握了原函数与反函数图像间的关系。

（四）巩固小结再探新知

小结部分除了对这节课所学习的内容进行小结外，还引导学生如何提出问题，如何进行进一步的学习，从而培养学生提出问题、解决问题的能力。同时为下节课的学习打下铺垫，为课后的思考提供了一个广阔的空间。

（五）布置作业巩固成果

Ⅲ、说学生

通过前一阶段的教学，学生对函数和图像的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面。

知识层面：学生在已初步掌握了函数的基本性质，掌握了一次函数、二次函数、反比例函数等基本函数。

能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图像的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。通过几个函数的学习知道了研究函数的方法。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡.

学法：学生通过体验合作感悟反函数的概念，通过实际操作掌握反函数概念。

通过前一阶段的教学，学生对函数和图像已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面。

知识层面：学生在已初步掌握了函数的基本性质，掌握了一次函数、二次函数、反比例函数等基本函数。

能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图像的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。通过几个函数的学习知道了研究函数的方法。

情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡.

学法：学生通过体验合作感悟反函数的概念，通过实际操作掌握反函数概念。

Ⅴ、说教法手段

１、本节课采用的教学方法有：启发发现、合作交流

２、采用这些方法的理论根据：新课程标准要求我们在教学中应充分体现“教师为

主导，学生为主体”这一教学原则。 为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。采用生活中的实际例子激发学生的学习兴趣和探究欲望，让学生体验、感悟深刻的数学内涵。采用讲讲议议想想的方法使学生概括出反函数的定义，求反函数的步骤，具用反函数的函数的特征。

Ⅵ、其他

反函数可以拓展的内容还有：1、[]x x f f =-)(1、[]x x f f =-)(1的获得及x 的范围。

2、①若函数)(x f y =在区间A 上是增函数，与它相对应的y 值的集合也是一个区间B(以下同)，则函数)(1x f y -=在区间B 上是增函数。

②若函数)(x f y =在区间A 上是减函数，则函数)(1x f

y -=在区间B 上是减函数。 ③若函数)(1x f

y -=在区间B 上是增函数，则函数)(x f y =在区间A 上是增函数。 ④若函数)(1x f y -=在区间B 上是减函数，则函数)(x f y =在区间A 上是减函数。

3、①若函数)(x f y =是奇函数，则函数)(1x f

y -=也是奇函数。 ②若函数)(1x f y -=是奇函数，则函数)(x f y =也是奇函数。

4、奇函数不一定有反函数，偶函数不一定无反函数(比如：)0(2==x y 有反函数)。

5、单调函数一定有反函数，但有反函数的函数不定是单调函数(比如：x y 1=

)。 6、若函数)(x f y =的图像C 与函数)(1x f y -=的图像1C 有共公点，则这些共公点或在直线x y =上，或关于直线x y =对称且成对出现。

7、若函数)(x f y =满足)()(1x f x f -=，则)(x f y =的图像关于y x =对称。

8、若函数)(x f y =的图像关于x y =对称，则)(x f y =一定有反函数，反函数为本身。

这些拓展内容是后续的学习内容，可选部分进行教学，学生可用类比、归纳、猜测的方法得到一些结论，然后师生共同解决，有的可以进行证明，有的用验证。教学中根据学生的实际情况，可选择一些来研究，对每一个学生也不要求每一条在一节课中都要掌握，有的还可以分散进行教学。这些内容的证明可以让部分同学课后自己完成，可以让他们合作完成，有研究性学习的成份。通过这些内容的研究，劣实学生的基础知识，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让学生树立对立统一的辩证观点。