高等数学二重积分图形资料

5 二重积分的计算：D是曲线梯形区域 6 二重积分计算的两种积分顺序
7
计算
I
D
x2
y
y2
dxdy
其中 D : y x y2 1 y 3
8 用两种顺序计算 xydxdy 其中 D : y x与 y x2所围区域
9
求椭圆抛物面
D
z 1
x2
y2
与xoy平面所围成的体积
a2 b2
10 将二重积分化成二次积分. D: x+y =1 , x–y =1，x=0所围
20 计算I f (x,y)dxdy
D : x2 y2 1 和 x2 y2 4 之间的环域
D
21 把 I
2R
dy
2Ry y2
f (x,y)dx
变为极坐标形式
0
0
.
22 计算 I arctan y dxdy
D
:
x2
y2
D
4
,
x x 2 y 2 1,
y x,
y 0所围第一象限部分
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
Vi f ( xi , yi ) i
3 积零为整 4 取极限
n
V f ( xi , yi ) i i 1
令分法无限变细
0
n
V = lim f ( xi , yi )Δ σ i
i 1
i
x
y
.
D
2. 曲顶柱体的体积
S : z = f (x,y)
D
D
D由 ( x ) ( y ) 围成
y
由二重积分的性质
I1 I2
更确切的
1
I1 < I2
x+y>1
2
0
1
2
x
x + y =1
4.二重积分的计算 (D是矩形区域)z
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
复习§2：平行截面面 积为已知的立体的体积
z=f (x,y)
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
0 i
x
y
D
2. 曲顶柱体的体积
S : z = f (x,y)
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
Vi f ( xi , yi ) i
n
3 积零为整 V f ( xi , yi ) i i 1
0
.
i
x
y
D
2. 曲顶柱体的体积
S : z = f (x,y)
D
D: (y) x (y)
cyd
z=f (x,y)
ψ( y)
Q( y ) =
f ( x, y)dx
φ( y)
I=
d
c Q( y)dy
0
c
Q( y)
y
x=(y)
d
y
.
D
.
x=(y)
x
问题：Q( y)是什么图形？ 也是曲边梯形 !
d
I a dxc f ( x, y)dy
5. 二重积分的计算（D是曲线梯形区域）
z
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
0
c
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
5. 二重积分的计算（D是曲线梯形z 区域）
z f (x, y)
y y
.
I f ( x, y)dxdy
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
Vi f ( xi , yi ) i
3 积零为整 4 取极限
n
V f ( xi , yi ) i i 1
令分法无限变细
0
n
V = lim f ( xi , yi )Δ σ i
i 1
i
x
y
.
D
2. 曲顶柱体的体积
S : z = f (x,y)
23 计算I f (x,y)dxdy. D : x2 y 2 4x , x 2 y 2 8x, x y, y 2x所围
D
24 将积分换序
2a
2ax
I dx
f (x,y)dy
0
2 ax x 2
25 将积分化为极坐标形式
I
R
1R2 dx
Rx f ( y )dy
0
0x
R
R2 x2
15 为什么引用极坐标计算二重积分 16 利用极坐标计算二重积分
17 怎样用极坐标计算二重积分 (1) 极点不在区域 D 的内部
18 怎样用极坐标计算二重积分 (2) 极点位于区域 D 的内部
19 把 I f (x,y)dxdy 变为极坐标形式
D
其中 D : (x a)2 y2 a2 与 y 0 所围区域
0
c
y
a
b
D
x
d
y
4. 二重积分的计算 (D是矩形区域z)
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
z f (x, y)
y y
z=f (x,y)
b
Q( y ) = a f ( x , y)dx
Id
c Q( y)dy
0
c
y
a
d
y
Q( y)
.
b
D
x
.
问题：Q( y)是什么图形？ 是曲边梯形。
y
R dx 0 1 R 2
f ( )dy x
.
1. 多元函数积分学概况 （按积分区域分类）
积分区域
积分区域
定积分
推广
推广
曲线积分
二重积分
D
推广
推广
曲面积分
一型：对弧长 二型：对坐标
Stokes 公式
一型：对面积
二型：对坐标
三重积分
高斯公式
2. 曲顶柱体的体积
S : z = f (x,y)
z
S
元素法
11 将二重积分化成二次积分
D: 由四条直线 : x =3，x = 5, 3x –2y+4 = 0,
与 3x –2y+1 = 0 共同围成的区域
12 将二重积分换序：
1
y
I 0 dyy f (x,y)dx
13 将二重积分换序：
a
2 ax x 2
I 0 dxx
f (x,y)dy
14 （练习）将二重积分化成二次积分
§5 二重积分
主 目 录( 1— 25 )
1 多元函数积分学概况
2 曲顶柱体的体积
3 比较 I1 (x y)2dσ 与 I2 (x y)3dσ 的大小,其中D :(x 2)2 (y 1)2 2
D
D
4 二重积分的计算：D是矩形区域
含“复习§ 2，图19： 平行截面面积为已知的立体的体积”
4. 二重积分的计算 (D是矩形区域z)
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
b
Q( y ) = a f ( x , y)dx
Id
c Q( y)dy
d
b
c dya f ( x , y)dx
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
. .
b
.
x
同理，也可以先对 y 积分
D
b
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
Vi f ( xi , yi ) i
3 积零为整 4 取极限
n
V f ( xi , yi ) i i 1
令分法无限变细
0
n
V = lim f ( xi , yi )Δ σ i
i 1
记 f ( x, y)d
D
x
V
yபைடு நூலகம்
. .
3. 比较大小
比较 I ( x y)d 与 I ( x y)d 的大小, 其中