离散数学课本习题

习题1.1

1、用列举法给出下列集合：

a)小于5的非负整数的集合；

b)10到20之间的素数的集合；

c)不超过65的12之正整数倍数的集合。

2、用命题法给出下列集合：

a)不超过100的自然数的集合；

b)E v和O d；

c)10的整倍数的集合。

3、用归纳定义法给出下列集合：

a)允许有前0的十进制无符号整数的集合；

b)不允许有前0的十进制无符号整数的集合；

c)允许有前0和后0的有有限小数部分的十进制无符号实数的集合；

d)不允许有前0的十进制无符号偶数的集合；

e)E v和O d；

f)集合{0，1，4，9，16，25，…}。

4、确定下列集合中哪些是相等的：

A={x|x为偶数且x2为奇数}

B={x|有y∈I使x=2y}

C={1，2，3}

D={0，2，-2，5，-3，4，-4}

E={2x|x∈I}

F={3，3，2，1，2}

G={x|有x∈I且x3-6x2-7x-6=0}

5、确定下列关系中哪些是正确的，并简单说明理由。

a)

b)

c){}

d){}

e){a, b}{a, b, c,{a, b, c}}

f){a, b}{a, b, c,{a, b, c}}

g){a, b}{a, b,{a, b}}

h){a, b}{a, b,{a, b}}

6、设A、B和C为集合。证明或用反例推翻以下的各个命题：

a)若A B且B C，则A C。

b)若A B且B C，则A C。

c)若A B且B C，则A C。

d)若A B且B C，则A C。

7、若A、B为集合，则A B与A B能同时成立吗？请证明你的结论。

8、列举出下列集合中每个集合的所有子集：

a){1，2，3}

b){1，{2，3}}

c){{1，{2，3}}}

d){}

e){, {}}

f){{1，2}，{2，1，1}，{2，1，1，2}}

g){ {，2}，{2}}

9、给出下列集合的幂集：

a){a，{b}}

b){1，}

c){ x, y, z}

d){，a,{a}}

e) ({})

10、设 (A)= (B)。证明A=B。

习题1.2

1.设U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。试求下列集合：

a) A ~B；

b)(A B) ~C；

c)~ (A B)；

d)~A ~B；

e)(A – B) – C；

f) A – (B – C)；

g)(A B) C；

h)(A B) (B C)

2.设A={n|n I+且n<12},B={ n|n I+且n8},C={2n|n I+},D={3n|n I+}且

E={ 2n-1|n I+ }试用A，B，C，D和E表达下列集合：

a){2，4，6，8}；

b){3，6，9}；

c){10}；

d){n|n为偶数且n>10}；

e){n|n为正偶数且n10，或n为奇数且n9}。

3.证明：

a)如果A B且C D，则A C B D且A C B D；

b)A(B-A)=;

c)A(B-A)=A B;

d) A – (B C)= (A – B) (A – C)；

e) A – (B C)= (A – B) (A – C)；

f) A – (A – B) = A B；

g)A-(B-C)=(A-B)(A C)。

4.证明

a)A=B当且仅当A B=；

b)A B= B A；

c)(A B)C= A(B C)；

d)A(B C)=(A B)(A C)；

e)(B C) A=(B A)(C A)。

5. 判断一下结论是否成立，如果或成立，就给予证明，如果不成立，就用文氏图加以说明。

a) 若A C B C 且A C B C ，则A B ； b) 若A B=A C 且A B=A C ，则B=C ； c) 若A B=A C ，则B=C; d) 若A B=A C ，则B=C; e) A B=A C ，则B=C;

f) 若A B C ，则A B 或A C ； g) 若B C A ，则B A 或C A 。

6. 给出下列各式成立的充分必要条件，并加以证明。

a) (A-B)(A-C)=A; b) (A-B)(A-C)=; c) (A-B)(A-C)=A; d) (A-B)(A-C)= A; e) (A-B)(A-C)=A; f) (A-B)(A-C)= ; g) A B=A B; h) A-B=B; i) A-B=B-A; j) A B=A ； k) (A)(B)=(A B); 7. 设A ，B 为任意两个集合，证明：

a) (A)(B)(A B); b) (A)(B)=(A B)。 8. 试求出和，其中为：

a) {{}}； b) {，{}}；

c) {{a},{b},{a,b}}。

9. 设0{|R a a R =∈且1}a ≤，{|i R a a R =∈且1

(1)}a i <+，i I +∈。 证明01

n

i i R R ==

10. 设{|n A x x R =∈且}x n >，n N ∈，试求

n n A ∞

=和

n n A ∞

=

11. 设{|x A y y R =∈且0},y x x R ≤≤∈。试求

1

x x R

x A ∈>和

1

x x R x A ∈>。

12. 设0i m i m

A A ∞

∞

===

，0i m i m

A A ∞

∞

===

，我们称A 和A 分别为集合序列012,,,

A A A 的上极

限和下极限，证明：

a) A 为由一切属于无限多个i A 的元素组成的集合； b) A 为由一切属于“几乎所有”的i A 的元素组成的集合。