离散数学课本定义和定理
离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数: 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数,Nn为从1到n的连贯的自然数集合, Nn={1,2,3,…,n},Nn的基数为n,|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体,N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零, ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体,R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定,对于空集及Nn的基数,实际上就是集 合中元素的个数,关于ℵ0及ℵ,下面将予探讨。 有了标准基数之后,我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说,一个集合与N等势,那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集,那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集,那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数,若f 是双射函数,则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数,g 是从Y到Z的函数,则复合关 系f οg是从 X到Z的函数,将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数,g 是从Y到Z的函数。 1)若f 和g是满射函数,则g ο f 是满射函数; 2)若f 和g是单射函数,则g ο f 是单射函数; 3)若f 和g是双射函数,则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数, f –1是f 的逆函数,则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n,P是从X到X的双射函数,称P为X上的置 换,称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中,不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ,则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学
3、:N×NN,N是自然数集 (0∈N),(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12-12|=0 (<2,2>)=|22-22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2-y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设:AB,定义关系RBA为: R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y};如果R是B 到A的映射,则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如:设:N E,N 是自然数集合,E是 自然数中所有偶数的集合,(n) = 2n,n∈N。 则的逆映射-1为: -1 :E N,-1(m)=m/2,m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1: 设A,B是两个集合,是A到B的二 元关系,若对A中每个元素a,有唯一的 b∈B, 使得<a,b>∈ ,则称为A到B的映射,记为: : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭,并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射,也没有人一箭双雕。 • 这时,B中的人,有的可能身中数箭,有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性:设是双射,考虑的逆关系,易知,对于B 中的每个元素y,都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x,因此, 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设:N N,N 是自然数集,(n)= 2n, n∈N。则是 单射,但不是满射。
离散数学定义列表
A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1:否定式、否定联结词3.定义1.2:合取式、合取联结词4.定义1.3:析取式、析取联结词定义1.4:蕴含式、前件、后件、蕴含联结词;规定19.4、20.45.定义1.5:等价式、等价联结词;规定6.联结词的定义(真值表)表1.1、优先级7.命题常项、命题变项(不是命题)、合式公式8.定义1.6:原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7:公式层次10.定义1.8:赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9:真值表12.定义1..10:重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点:命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2:文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3:析取范式、合取范式、范式18.定义2.4:极小项、极大项定义2.5:主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1:子集、包含22.定义6.2:相等23.定义6.3:真子集定义6.4:空集P139 124.n元集、m元子集、(单元集)25.定义6.5:幂集公式:26.定义6.6:全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8:对称差集29.定义6.9:绝对补集30.定义6.10:广义并31.定义6.11:广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点:二元关系***********************32.定义7.1:有序对/序偶33.定义7.2:笛卡尔积性质P11134.定义7.3:二元关系/关系P139 735.定义7.4:从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5:A上的全域关系(E)、恒等关系(I)、小于等于关系(L)、整除关系(D)、包含关系(R)37.关系矩阵(x行,y列)、关系图38.定义7.6:定义域、值域、域39.定义7.7:逆关系40.定义7.8:右复合(左复合)41.定义7.9:R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10:关系的n次幂定义7.11:自反、反自反定义7.12:对称、反对称定义7.13:传递43.定义7.15:等价关系(性质)P142 32(4)、4144.定义7.16:等价类45.定义7.17:商集46.定义7.18:划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19:偏序关系(性质)48.定义7.20:小于、可比49.定义7.21:全序关系/线序关系50.定义7.22:偏序集P13551.定义7.23:偏序集中顶点的覆盖关系(为画哈斯图)P143 43(2)***************************函数*******************************53.定义8.1:函数54.定义8.2:函数相等55.定义8.3:从A到B的函数P171 6(8)(9)56.定义8.4:从A到B的函数的集合B A57.定义8.5:A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6:满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数(双射)*************************代数系统*****************************60.定义9.2:一元运算定义9.3:可交换/交换律定义9.4:可结合/结合律定义9.5:幂等律、幂等元61.定义9.6:可分配/分配律62.定义9.7:吸收律63.定义9.8:左单位元(右单位元)、单位元/幺元64.定义9.9:左零元(右零元)65.定义9.10:左逆元(右逆元)、逆元、可逆66.定义9.11:消去律、左消去律(右消去律)注意P183 eg9.667.定义9.12:代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13:具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14:子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数(函数对子集封闭)70.定义9.15:积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1:半群()、幺半群/独异点()、群()72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2:有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3:n次幂75.定义 10.4:(元素的)阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1:格(偏序集定义的)P22176.幂集格、子群格77.定义11.2:对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3:格(代数系统定义的)79.定义11.4:子格80.定义11.5:分配格81.定义11.6:全上界、全下界82.定义11.7:有界格83.定义11.8:补元84.定义11.9:有补元定义11.10:布尔格/布尔代数(有补分配格)85.定义11.11:布尔代数(代数系统定义)86.定义11.12:原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1:无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2:有向图、无向边/边90.(P294)图、阶、n阶图;零图、平凡图;空图;标定图、非标定图;基图;端点、关联、关联次数、环、相邻;始点、终点、孤立点;邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3:平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4:度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度(奇度)顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的,出度列、入度列94.定义14.6:n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7:k-正则图96.定义14.8:母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10:删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留,删边点还在98.定义14.11:通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13:连通分支、连通分支数101.定义14.14:短程线、距离102.定义14.15:点割集、割点103.定义14.16:边割集/割集、割边/桥104.定义14.21:弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22:二部图/二分图/偶图,完全二部图定义14.23:无向图关联次数、关联矩阵定义14.24:有向图关联矩阵定义14.25:邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1:欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2:哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1:无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2:生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5:权、最小生成树111.避圈法(Kruskal算法)B.定理1.定理2.1:简单析取式是重言式的充要条件;简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2:析取范式(矛盾式)、合取范式(重言式)3.定理2.3:范式存在定理4.定理2.4:极小项和极大项关系5.定理2.5:主析、主合存在并唯一6.定理6.1:子集是一切集合的子集推论:空集是唯一的7.定理7.1:逆关系性质8.定理7.2:复合结合律、逆9.定理7.3:关系与恒等关系复合10.定理7.4:复合分配律注意交11.定理7.5:限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6:有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7:关系的幂性质14.定理7.8:有穷集A上的关系R的幂序列R0,R1,R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9:五大性质16.定理7.14:等价关系的性质17.定理8.1:函数的复合(关系的右复合)推论1:函数复合结合律推论2:ƒ:A→B,g:B→C,则ƒ。
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元(元素)、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法:列举法、描述法3. 定义1.1.1(子集):给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则称集合A包含于B或B包含A,记为A⊆A或A⊇A,并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足A⊆A,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为A⊂A,并且称A为B的一个真子集。
4. 定义1.1.2(幂集):给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为A的幂集,记为A(A)或2A1.2 集合的运算定义1.2.1(并集):设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集合,称为A和B的并集,记为A∪A.定义1.2.2(交集):A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,称为A和B的交集,记为A∩A.定义1.2.3(不相交):A和B是两个集合,如果它们满足A∩A=A,则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4(差集):A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为A和B 的差集,记为A−A.定义1.2.5(补集):若A是空间E的集合,则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集,记为A′.定义1.2.6(对称差):A和B是两个集合,则定义A和B的对称差A⊕A为A⊕A=(A−A)∪(A−A)1.3 包含排斥原理定理1.3.1设A1,A2为有限集,其元素个数分别为|A1|,|A2|则|A1∪A1|=|A1|+|A2|−|A1∩A2|定理 1.3.2设A1,A2,A3为有限集,其元素个数分别为|A1|,|A2|,|A3|,则|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|定理1.3.3设A1,A2,…,A A为有限集,则|A1∪A2∪…A A|=∑|A A| AA=1−∑|A A∩A A|1≤A<A≤A+∑|A A∩A A∩A A|1≤A<A<A≤A+⋯+(−1)A−1|A1∩A2∩…A A|重要例题 P11 例1.3.1第2章二元关系2.1 关系定义2.1.1(序偶):若A和A是两个元,将它们按前后顺序排列,记为〈A,A〉,则〈A,A〉成为一个序偶。
离散数学课本定义和定理
第1章集合集合的基本概念1. 集合、元(元素)、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法:列举法、描述法3. 定义(子集):给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则称集合A包含于B或B包含A,记为或,并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为,并且称A为B的一个真子集。
4. 定义(幂集):给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为A的幂集,记为或集合的运算定义(并集):设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集合,称为A和B的并集,记为.!定义(交集):A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,称为A和B的交集,记为.定义(不相交):A和B是两个集合,如果它们满足,则称集合A和B是不相交的。
定义(差集):A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为A和B的差集,记为.定义(补集):若A是空间E的集合,则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集,记为.定义(对称差):A和B是两个集合,则定义A和B的对称差为包含排斥原理定理设为有限集,其元素个数分别为,则。
定理设为有限集,其元素个数分别为,则定理设为有限集,则重要例题P11 例第2章二元关系关系定义(序偶):若和是两个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个序偶。
※对于序偶和,当且仅当并且时,才称和相等,记为定义(有序元组):若是个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个有序元组(简称元组)。
:定义(直接积):和是两个集合,则所有序偶的集合,称为和的直接积(或笛卡尔积),记为. 定义(直接积):设是个集合,,则所有元组的集合,称为的笛卡尔积(或直接积),记为.定义(二元关系)若和是两个集合,则的任何子集都定义了一个二元关系,称为上的二元关系。
如果,则称为上的二元关系。
定义(恒等关系):设是上的二元关系,,则称是上的恒等关系。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义:论域是一个数学系统,记为D。
它由三部分组成:•(1)一个非空对象集合S,每个对象也称为个体;•(2) 一个关于D的函数集合F;•(3)一个关于D的关系集合R。
▪(逻辑连接词)定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数,真值函数也称为联结词。
•若n =0,则称为0元函数。
▪(命题合式公式)定义:•(1).常元0和1是合式公式;•(2).命题变元是合式公式;•(3).若Q,R是合式公式,则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式;•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪(生成公式)定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下:•⑴若c是S中的0元联结词,则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1,F是S中的n元联结词,A1,…,An是由S生成的公式,则FA1…An是由S生成的公式。
▪(复杂度)公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0,如果P是命题变元,则FC (P)=0。
•如果公式A=B,则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2,或A=B1 B2,或A=B1B2,或A=B1 B2,或A=B1 B2,或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域:研究对象的集合。
•解释:用论域的对象对应变元。
•结构:论域和解释称为结构。
•语义:符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪(合式公式语义)设S是联结词的集合是{,,,,,}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下:•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p,则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1,则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2,则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2,则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2,则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2,则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2,则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪(真值赋值)由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下:•⑴若Q是S中的0元联结词c,则v(Q)=c。
离散数学中的基本概念和原理概述
离散数学中的基本概念和原理概述离散数学是数学中一个重要的分支学科,它主要研究离散对象及其结构、性质和关系。
在计算机科学、信息技术等领域,离散数学具有重要的应用价值。
本文将对离散数学的基本概念和原理进行概述,并介绍其在实际应用中的意义。
1. 集合论在离散数学中,集合论是最基础的概念之一。
集合是指由确定的元素组成的整体,而元素即集合中的个体。
集合间可以进行并、交、差等操作,而对于集合中的元素,可以通过包含关系、等于关系等进行描述。
在实际应用中,集合论常被用于数据库的设计和查询、逻辑推理等领域。
2. 关系和图论关系是研究离散数学中的另一个基本概念。
关系可以描述元素之间的某种联系或者特定的性质。
图论则是研究图的结构、性质和算法的学科,图由节点和边组成,节点表示元素,边表示元素之间的关系。
关系和图论在计算机网络、社交网络、电路设计等领域有广泛的应用。
3. 逻辑和命题逻辑是离散数学中的重要分支,研究命题之间的关系和推理规则。
命题是对某个陈述的真假进行判断的语句,可以用真或假来表示,通过逻辑运算符如与、或、非等进行连接。
逻辑在计算机科学中有广泛的应用,例如布尔代数、编程语言的设计等。
4. 组合数学组合数学是研究离散结构中的组合问题的学科,主要研究排列、组合和选择等问题。
排列是指对一组元素进行有序排列,组合是指从一组元素中选择出若干个元素的集合,选择是指对一组元素中进行有序或无序的选择。
组合数学在密码学、图像压缩、排课等领域有着广泛的应用。
5. 图的连通性和树图的连通性研究的是图中节点之间是否存在某种路径使得它们可以相互到达。
连通性在网络设计、电路设计等领域有着重要的应用。
树是一种特殊的图,它没有回路且任意两个节点之间存在唯一的路径。
树在数据结构、优化算法等方面有着广泛的应用。
综上所述,离散数学中的基本概念和原理涵盖了集合论、关系和图论、逻辑和命题、组合数学以及图的连通性和树等多个方面。
这些概念和原理在计算机科学、信息技术等领域有着广泛的应用,为解决实际问题提供了数学工具和方法。
离散数学第四章
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……, 其中 : b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此: b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的,因此产生 矛盾,所以(0,1)是不可数的。
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基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2,…n-1},如 存在一一对应函数 f : Nn→S,则称S是有限集合, 并称其有基数n,如果S不是有限集合,则称为无 限集合。 说明:
由集合的元素个数来定义; 由于量变引起的质变; 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数; 满足包含排斥原理。 元素无限多,如:自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢? 如果有,基数是多少? 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题:
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
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说明:
• • • •
这种方法称为:康托对角线法; 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明,而是发表在他第一个证明的三年后; 他的第一个证明既未用到十进制展开,也未用到 任何其它数字系统; 自从该技巧第一次使用以来,在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
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由前面这些定理可知:
•
如此继续,可取出m3,m4,m5,…无限多个元素,则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}; 令M2=M-M1,即M中除去M1后得到的集合, 则M=M1∪ M2, 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2,显然M⊃M’且M’~M,因此存在如 下一一对应的关系: 对于M的每个mi对应mi+1,对于M中的每个m∈ M2,对应M’中的 m。
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算等值式定理:设A,B两个命题公式(即前面的合式公式),若A,B构成的等价式A↔B为重言式,则A与B是等值的,记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式)常用的16组等值式模式:双重否定律:A⇔﹁﹁A幂定律:A⇔A∧A,A⇔A∨A交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A结合律:(A∨B)∨C⇔A(B∨C)(A∧B)∧C⇔A(B∧C)分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)德摩根律:﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B吸收律:A∨(A∧B)⇔A,A∧(A∨B)⇔A零律:A∨1⇔1,A∧0⇔0同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1排中律:A∨﹁A⇔1矛盾律:A∧﹁A⇔0蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A)假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明)等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A,这里可以用逆否命题的概念证明)归谬(miu)论:(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式,交换律以及结合律进行结合证明)上述等值式模式可以通过真值表证明等值式的验证1.等值演算法(即通过等值式模式对原式进行变形)举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r)证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算,无硬性要求,这里我们从右边开始演算。
(p→r)∧(q→r)⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式2.真值表法(我在第一章的最后有叙述,这里不再重述)3.观察法(也可称为带入法,此处适合用以证明两式不等值的情况)关于等值演算法的补充:等值演算法可以用以证明公式的类型。
1.当最后结果为1时为重言式(永真式)2.当最后结果为0时为矛盾式(永假式)3.当最后结果只能化成某个命题变项或公式时为可满足式析取范式与合取范式简单析取式:p,﹁p,p∨q,﹁p∨q,p∨﹁q,,﹁p∨﹁q,﹁p∨﹁q∨r等(这里可以发现的是里面都只含有析取联结词,简单析取式结构就是由析取联结词和命题变项组成的一个公式)简单合取式:p,﹁p,p∧q,﹁p∧q,p∧﹁q,,﹁p∧﹁q,﹁p∧﹁q∧r等(这里可以发现的是里面都只含有合取联结词,简单合取式结构就是由合取联结词和命题变项组成的一个公式)课本中的定理:命题变项及其否定统称为文字。
离散数学基本定理
离散数学基本定理离散数学是研究离散结构、离散关系和离散计算的数学分支。
它涉及到许多基本概念和定理,其中最基本的是离散数学基本定理。
离散数学基本定理是离散数学中的核心定理之一,它表明任何有限集合都可以用它的元素进行排序,并且每个元素都可以被赋予一个唯一的序号。
这个定理是离散数学中的基石,因为它为许多其他概念和定理提供了基础。
离散数学基本定理可以用数学符号表示为:对于任何有限集合A,存在一个从A 到自然数集N的函数f,使得对于A中的任意两个元素x和y,如果x<y,则f(x)<f(y)。
这个定理的证明通常基于数学归纳法。
首先,对于只有一个元素的集合,这个定理显然成立。
然后,假设对于某个n个元素的集合A,存在一个从A到自然数集N的函数f满足条件。
现在考虑一个有n+1个元素的集合B。
根据归纳假设,对于B的前n个元素,存在一个从B的前n个元素到自然数集N的函数g满足条件。
然后,对于B的第n+1个元素x,定义f(x)=max{g(y)+1},其中y是B 的前n个元素。
这样定义的函数f满足条件,因为对于B中的任意两个元素y 和z,如果y<z,则g(y)<g(z),因此f(y)<f(z)。
离散数学基本定理在许多领域都有应用,例如算法设计、数据结构、图论、组合数学等。
例如,在算法设计中,这个定理可以用来对输入数据进行排序,以便进行后续的处理。
在数据结构中,这个定理可以用来实现各种数据结构,如数组、链表、树等。
在图论中,这个定理可以用来确定图的顶点的排列方式。
在组合数学中,这个定理可以用来证明一些组合恒等式和不等式。
总之,离散数学基本定理是离散数学中的基石,它为许多其他概念和定理提供了基础。
它的应用广泛,在算法设计、数据结构、图论、组合数学等领域都有应用。
离散数学的定义精简版
图1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍.2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个.3G=<V ,E>是有向图, 则G 的所有结点的出度之和等于入度之和.4无向完全图Kn, 有边数 5有n 个结点的有向简单完全图有边数为n(n-1).6有n 个结点的有向完全图, 有边数 n2.12 两个图同构的必要条件:1.结点个数相等. 2.边数相等.3.度数相同的结点数相等. 4. 对应的结点的度数相等.17 在一个有n 个结点的图中,如果从结点vi 到vj 存在一条路,则从vi 到vj 必存在一条长度不多于n-1的路.19 连通分支:令G=<V ,E>是无向图, R 是V 上连通关系, 设R 对V 的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n 个等价类构成的n 个子图分别记作G(V1),G(V2),G(V3),…, G(Vn),并称它们为G 的连通分支. 并用W(G)表示G 中连通分支数.28 如果从u 到v 不可达,则d<u,v>=∞29 图的直径: G 是个有向图, 定义D=max{d<u,v>} u,v ∈V 为图G 的直径.30强连通、单侧连通和弱连通:在简单有向图G 中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G 是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G 是单侧连通. 如果将G 看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G 是弱连通.31一个有向图G 是强连通的,当且仅当G 中有一个回路, 此回路至少包含每个结点一次. 32一. 邻接矩阵这是以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵.1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵A=(aij)称为G 的邻接矩阵. 其中:aij ={ 1 vi 与vj 邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E0 否则33从邻接矩阵看图的性质:无向图:每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度有向图:每行1的个数=对应结点的出度每列1的个数=对应结点的入度34在(A(G1))2 中a342 =2 表示从v3到v4有长度为2的路有2条:在(A(G1))3中a233 =6 表示从v2到v3有长度为3的路有6条:设G=<V ,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G 的邻接矩阵(A(G))k 中的第 i 行第j 列元素aijk=m, 表示在图G 中从vi 到vj 长度为k 的路有m 条.35二.可达性矩阵1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵P=(pij)称为G 的可达性矩阵. 其中: pij ={1 vi 到vj 可达, (至少有一条路)0 否则)1(21 n n37三.完全关联矩阵此矩阵是按照结点与边之间的关联关系确定的矩阵.1.无向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个无向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中:mij ={ 1 vi与ej关;0 否则2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有二个1.(因为每条边只关联两个结点)b)每行中1的个数为对应结点的度数.c)如果两列相同,则说明对应的两条边是平行边.2.有向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个简单有向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中: mij ={1 vi是ej的起点;-1 vi是ej的终点;0 vi与ej不关联2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有一个1和一个-1.(每条边有一个起点一个终点)b)每行中1的个数为对应结点的出度.-1个数是结点入度38关键路径:就是各个结点的缓冲时间均为0的路径.39 欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.40 欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.41有欧拉路与有欧拉回路的判定:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.42无向图G具有欧拉回路,当且仅当G是连通的,且所有结点的度都是偶数.43汉密尔顿图:定义:设G=<V,E>是个无向有限图,汉密尔顿路:通过G中每个结点恰好一次的路.汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.汉密尔顿图(H图):具有汉密尔顿回路(H回路)的图.44汉密尔顿图的判定:到目前为止并没有判定H图的充分和必要条件.(充分条件):G是完全图,则G是H图.(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n-1(n),则G 有一条H路(H回路)注意:上述条件只是充分条件,而不是必要条件,即不满足这个条件的, 也可能有H路.45 (必要条件) 若图G=<V,E>有H回路,则对V的任何非空子有限集S, 均有W(G-S)≤|S|, 其中W(G-S)是从G中删去S中所有结点及与这些结点关联的边所得到的子图的连通分支数. 48完全二部图:令G=<V,E>是以V1,V2为互补的结点子集的二部图,如果V1中的每个结点都与V2中每个结点相邻接,则称G是完全二部图. 如果|V1|=m, |V2|=n 则G记作Km,n 49.二部图的判定: 定理G=<V,E>是二部图当且仅当它的所有回路的长度都是偶数.52两个重要的非平面图:K5和K3,353 欧拉公式G是个连通的平面图, 设v、e、r分别表示G中结点数、边数、面数, 则有v-e+r=2. 称此式为欧拉公式.54 平面图的判定(必要条件) 设G是有v 个结点、e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e ≤3v-6.55一个图是平面图的充分且必要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2度结点内同构的子图.56如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2度结点内同构.树1度数为1的结点,称为叶结点. 分支结点(内结点):度数大于1的结点.2无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.3如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树.4图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补.5连通图至少有一棵生成树. 寻找生成树的方法:深度优先;广度优先.6一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.7根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树. 1.树根:入度为0的结点. 2.叶:出度为0的结点. 3.分支结点(内结点):出度不为0的结点. 8在有向树中,如果规定了每一层上的结点的次序,称之为有序树.9 1.m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同, 则称之为正则m叉树.10 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,则(m-1)i=t -1 .11 m叉有序树转化成二叉树:方法是:1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其它分支. 被剪掉的结点如下处理.2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出.12 1.先序遍历⑴访问根结点.⑵先序遍历左子树⑶先序遍历右子树2.中序遍历⑴中序遍历左子树⑵访问根结点.⑶中序遍历右子树3.后序遍历⑴后序遍历左子树⑵后序遍历右子树⑶访问根结点.代数系统20 <X,★>和<X,★, ο>是代数系统, ★,ο是二元运算:1.封闭性:∀x,y∈X, 有x★y∈X。
离散数学第05讲
定义2.2 定义2.2 设f:A→B是函数,对任意的a,b∈A,且 是函数,对任意的a a≠b,都有f(a)≠f(b),或形式表为 都有f (x)(y)(x,y∈A∧x≠y→f(x)≠f(y)) )( )(x 则称f 则称f:A→B是单射函数(或一对一函数),或称 是单射函数(或一对一函数), ),或称 函数f 函数f:A→B是单射的,或入射的. 是单射的,或入射的. 本定义揭示了, 中不同的元素,其在B 本定义揭示了,A中不同的元素,其在B中像也是 不同的.于是, 是有穷集合, 不同的.于是,若A的B是有穷集合,存在单射函数 f:A→B,则|A|≤|B|. |≤|B
下面讨论由集合A和B,构成这样函数 f:A→B 会有多少呢 ? 或者说 , 在 A×B 的所有子 会有多少呢? 或者说, 集中, 是全部还是部分子集可以定义函数? 集中 , 是全部还是部分子集可以定义函数 ? 令 BA表示这些函数的集合,即 表示这些函数的集合, BA={f|f:A→B} 设 |A|=m , |B|=n , 则 |BA|=nm . 这是因为对 |=m |=n |=n 每个自变元,它的函数值都有n种取法, 每个自变元,它的函数值都有n种取法,故总共 有nm种从A到B的函数. 种从A 的函数.
上面介绍一元函数,下面给出多元函数的定义. 上面介绍一元函数,下面给出多元函数的定义. 定 义 1.5 设 A1,A2,,An 和 B 为 集 合 , 若 f: ,,A
Ai→B为函数,则称f 为n元函数.在<x1,x2,,xn>上 为函数,则称f 元函数. ,,x 的值用f 的值用f(x1,x2,,xn)表示. ,,x 表示. 一元函数中概念对n元函数几乎完全适用, 一元函数中概念对n元函数几乎完全适用,在这里 不多讨论了. 不多讨论了.
离散数学
4.4关系的闭包[定理1]:设R是A上的二元关系,则R∪IA一定是自反的,而且是包含R,具有自反性的最小关系。
(其中IA是A上的恒等关系)。
[定义1]:称R∪IA是R的自反闭包,记为r(R)。
证明:对∀x∈A,<x,x>∈IA ⊆R∪IA,且R⊆R∪IA。
若R’包含R且具有自反性,则IA ⊆R’,R⊆R’,IA∪R⊆R’。
即IA∪R 为最小。
[推论1]:当且仅当R是自反闭包,R具有自反性。
证明:(1)R是自反闭包,R=IA∪R⇒IA ⊆R;(2)R具有自反性,IA ⊆R,R∪IA=R. [定理2]:设R是A上的二元关系,则R∪R-1是对称的,包含R的最小关系。
(其中R-1是R的逆关系)。
[定义2]:称R∪R-1是R的对称闭包,记为s(R)。
证明:(1)若<x,y>∈R∪R-1,则<x,y>∈R 或<x,y>∈R-1,⇒<y,x>∈R-1 或<y,x>∈R故<y,x>∈R∪R-1(对称性)。
(2)若R’为包含R,且对称的二元关系,则对∀<x,y>∈R∪R-1,<x,y>∈R⇒<x,y>∈R’;<x,y>∈R-1 ⇒<y,x>∈R ⇒<y,x>∈R’又R’具有对称性,<x,y>∈R’,故R∪R-1⊆R’。
[推论2]:当且仅当R是对称闭包时,R具有对称性。
证明:(1)R具有对称性,若<x,y>∈R,则<y,x>∈R,又<y,x>∈R-1即∀<y,x>∈R-1,<x,y>∈R⇒<y,x>∈R⇒R-1⊆R⇒R∪R-1=R;(2)R是对称闭包时,R=R∪R-1⇒R具有对称性。
[定理3]:传递闭包t(R)=R∪R2∪R3∪…例6:设A={1,2,3},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>},求t(R) 。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如,A = {1,2,3},其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法(如上述A的表示)和描述法(如B={xx是偶数且x < 10})。
2. 集合间的关系。
- 子集:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作A⊆ B。
例如,{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等:如果A⊆ B且B⊆ A,则A = B。
- 真子集:如果A⊆ B且A≠ B,则A是B的真子集,记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集:A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如,A = {1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}。
- 交集:A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B,A∩ B={2}。
- 补集:设全集为U,集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合,A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时,R称为A上的关系。
例如,A={1,2},B = {3,4},R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵:设A={a_1,a_2,·s,a_m},B={b_1,b_2,·s,b_n},R是从A到B的关系,则R的关系矩阵M_R=(r_ij),其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图:对于集合A上的关系R,用节点表示A中的元素,若(a,b)∈ R,则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性:对于集合A上的关系R,如果对任意a∈ A,都有(a,a)∈ R,则R 是自反的。
例如,A={1,2,3},R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学1_3
对偶与范式
从上节可看到命题公式的最小联结 词组为{┒,∨}或{┒,∧} ,但实际上为了 使用方便,命题公式常常同时包含 {┒,∨,∧} 。我们认为这样的公式∨与 ∧ 存在对偶规律。 定义1-7、1 在给定的命题公式中,将联 结词∨ 换成∧ ,将∧ 换成∨ ,若有特殊 变元F和T亦相互取代,所得公式A*称为 A的对偶式。
四、或非(P↓ Q)
运算法则: P T T F F Q T F T F
P↓ Q
F F F T
BACK
最小联结词组
指可表示出其它所有联结词的最小联结 词集合。如: {┒,∨},{┒, ∧} ,{↑} ,{↓} 都可构成最 小联结词组。
例:写出P ∨Q分别用{┒, ∧} ,{↑} , {↓} 表示的等价式。
注:任何一个命题公式,求它的合取范式或 析取范式,可以通过下面三个步骤进行:
(1)将公式中的联结词化归成∧, ∨ 及┒ 。
(2)利用德· 摩根律将否定符号┒直接到各个命 题变元之前。 (3)利用分配律、结合律将公式归约为合取范 式或析取范式。 例题3 求 ( P (Q R)) S 的合取范式。 例题4 求 (P Q) 的析取范式。 ( P Q)
其他联结词
一、异或(不可兼析取) 定义:两个命题P和Q的异或是一个复 合命题,记作P⊽Q,异或也称为不可兼析取。 当且仅当P、Q不同时为T时, P ⊽ Q为T, 其他情况下的真值都是F。 即:相异为T,相同为F。 注意:或(∨)与异或( )区别,可举例说 明如下: 他是100米或200米冠军。(可兼析取∨) 他是7点或8点离开的。(不可兼析取∨)
( P Q) ( P Q) (( P Q) ( P Q)) ((P Q) ( P Q)) (P Q P Q) ((P Q) (P Q)) (P Q P Q) ( P P) (Q P) ( P Q) (Q Q)
离散数学定义定理
离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为:(1)单个命题变元本身是一个合式公式.(2)如果A是合式公式,那么┐A是合式公式.(3)如果A和B是合式公式,那么(A∨B),(A∧B),(A→B),(AB),都是合式公式.(4)当且仅当有限次地应用(1)(2)(3)所得到的包含命题变元,连接词和圆括号的符号串是合式公式.1.3.2 设Ai是公式A的一部分,且Ai是一个合式公式,称Ai是A的子公式.1.3.3 设P为一命题公式,P1,P2,……,Pn为出现在P中的所有命题变元,对P1,P2,……,Pn指定一组真值称为对P的一种指派.若指定的一种指派,使P的值为真,则称这组指派为成真指派.若指定的一种指派,使P的值为假,则称这种指派为成假指派.含n个命题变元的命题公式,共有2n个指派.1.3.4 给定两个命题公式A和B,设P1,P2,……,Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1,P2,……,Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,称A和B是等价的,记做A B.1.3.5 设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下,其取值均为真,则称A为重言式或永真式.1.3.6 设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下,其取值均为假,则称A为矛盾式或永假式.1.3.7设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派,则称A为可满足式.1.4.1 设X式合式公式A的子公式,若有Y也是一个合式公式,且XY,如果将A中的X用Y 置换,得到公式B,则AB.1.4.2 设A,B为两个命题公式,AB,当且仅当A ←→B为一个重言式.P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式,又称永真条件式.蕴含式有下列性质:(1)对任意公式A,又A=>A;(2)对任意公式A,B和C,若A=>B,B=>C,则A=>C;(3)对任意公式A,B和C,若A=>B,A=>C,则A=>(B∧C);(4)对任意公式A,B和C,若A=>C,B=>C,则A∨B=>C.1.4.3设P,Q为任意两个命题公式,PQ的充分必要条件式P=>Q,,Q=>P.蕴含式推理P∧Q=>P化简式P∧Q=>Q化简式P=>P∨Q附加式┐P=>P→Q变形附加式Q=>P→Q变形附加式┐(P→Q)=>P变形简化式┐(P→Q)=>┐Q变形简化式p∧(P→Q)=>Q假言推论┐Q∧(P→Q)=>┐P拒取式┐p∧(P∨Q)=>Q析取三段式(P→Q) ∧(Q→R)=>P→R条件三段式(PQ) ∧(QR)=>PR双条件三段式(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)=>Q→S合取构造二难(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)=>Q∨S析取构造二难P→Q=>(P∨R) →(Q∨R)前后附加式P→Q=>(P∧R) →(Q∧R)前后附加式1.5.1 一个命题公式称为合取范式,当且仅当它具有形式:A1∧A2∧…∧An(n≥1),其中A1,A2,…,An都是有命题变元及其否定所组成的析取式.1.5.2 一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有形式:A1∨A2∨…∨An(n≥1),其中A1,A2,…,An都是有命题变元及其否定所组成的合取式.1.5.3 n个命题变元的合取式,称作布尔合取或小项,其中每个变元与他的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次.小项有如下性质:(1)每个小项具有一个相应的编码,当该编码与其真实指派相同时,该小项为T,在其余2n-1种指派情况下为F.(2)任意两个不同小项的合取是永假.(3)全体小项的析取式为永真.定义1.5.4 对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由小项的析取组成,则该等价公式称作原公式的主析取范式.定理1.5.1 在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取,即为此公式主析取范式.定理1.5.2 任意含n个命题变元的非永假命题公式,其主析取范式是唯一的.定义1.5.5 n个命题变元的析取式称作布尔析取或大项.其中每个变元与它的否定不能同时出现,但两者必须出现仅出现一次.定理1.5.3 在真值表中一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取,称为此公式的主合取范式.定理1.5.4 任意含有n个命题变元的非永假命题公式A,其主合取范式是唯一的.设命题公式中含有n个命题变元,且A的主析取范式中含有k个小项mi1,mi2,…,mik,则A的主合取范式比含有2n-k个大项.如果命题公式A的主析取范式为∑(i1,i2,……,ik),则A的主合取范式为: ∏(0,1,2,…,i1-1,i1+1,…,ik-1,ik+1,……,2n-1).从A的主析取范式求其主合取范式的步骤为:(1)求出A的主析取范式中未包含小项的下标.(2)把(1)中求出的下标写成对应大项.(3)做(2)中县城大项合取,即为A的主合取范式.根据主范式(主析取范式,主合取范式)的定义和定理,可以判定含n个命题变元的公式:(1)若A可化为与其等价的含2n个小项的主析取范式,则A为永真式.(2)若A可化为与其等价的含2n个大项的主合取范式,则A为永假式.(3)若A的主析取范式不含2n个小项,或A的主合取范式不含2n个大项,则A为可满足的. 定义1.6.1 设H1,H2,…Hn,C是命题公式,当且仅当H1∧H2∧…∧Hn=>C,称C是一组前提H1,H2,…,Hn的有效结论.等值公式表E1┐┐pPE12R∨(P∧┐P)RE2P∧QQ∧PE13R ∧(P∨┐P)RE3P∨QQ∨PE14R∨(P∨┐P)TE4(P∧Q)∧RP∧(Q∧R)E15R∧(P∧┐P)FE5(P∨Q)∨RP∨(Q∨R)E16P→Q┐P∨QE6P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)E17┐(P→Q) P∧┐QE7P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)E18P→Q┐Q→┐PE8┐(P∧Q) ┐P∨┐QE19P→(Q→R)(P∧Q)→RE9┐(P∨Q) ┐P∧┐QE20PQ(P→Q)∧(Q→P)E10P∨PPE21PQ(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)E11P∧PPE22┐(PQ) P┐Q常用的推理规则有:(1)前提引入规则:在证明的任何步骤上,都可以引入前提,简称P规则.(2)结论引入规则:在证明的任何步骤上,所证明的结论都可作为后续证明的前提,称为T规则.(3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换,也记作T规则.定理1.6.1 推理H1∧H2∧…∧Hn┣C是有效推理的充分必要条件是H1∧H2∧…∧Hn→C 为永真式.定义1.6.2 设H1,H2,…,Hn是可满足式,则称H1,H2,…,Hn是相容的,若H1,H2,…,Hn是永假式称H1,H2,…,Hn是不相容的.定理1.6.2 若H1∧H2∧…∧Hn∧┐C为永假式,则H1∧H2∧…∧Hn┣C成立.定理1.6.3 若H1∧H2∧…∧Hn∧R=>C,则H1∧H2∧…∧Hn =>R→C.本定理即:若H1,H2,…,Hn,R┣C,则H1,H2,…,Hn┣R→C定义2.1.1 由一个谓词,一些个体变元组成的表达式简称为谓词变项或称为命题函数. (命题函数不是命题,只有命题函数中的变元都取为特定具体的个体时,才是确定的命题.谓词变项摘,个体变元的数目为谓词变项的元数.)定义 2.2.1 由一个或几个原子命题函数以及逻辑联接词组合而成的表达式称为符合命题函数.定义2.2.2 谓词演算的合式公式,可由下述各条组成(合式公式A记为WffA):(1)原子谓词公式是合适公式.(2)若A是合式公式,则┐A是合式公式.(3)若A和B都是合式公式,则(A∨B),(A∧B),(A→B),(AB)是合式公式.(4)如果A是合式公式,x是A中出现的任何变元,则(x)A和(x)A都是合式公式.(5)只有经过有限次应用规则(1)(2)(3)(4)所得到的公式是合式公式.定义2.2.3 给定谓词合式公式A,其中一部分公式形式为(x)(Bx)或(x)(Bx),称量词,后面所跟的x为指导变元或作用变元.称B为相应量词的辖域(或作用域).在辖域中,x的一切出现称为约束出现.在B中除去约束出现的其他变项的出现称为自由出现.(1)约束改名规则,将量词辖域中,某个约束出现的个体变元及其相应指导变元改成本辖域中未出现过的个体变元,其余不变.(2)自由带入规则,对某个自由出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中与所有个体变元不同的个体变元取代入,且处处代入.定义2.3.1 给定任何两个谓词公式WffA和WffB,设它们有共同的个体域E,若对A和B的任一一组变元进行赋值,所得命题的真值相同,则称谓词公式A和B在E上市等价的,记作AB. 定义2.3.2 给定任意谓词公式WffA,其个体域为E,对于A的所有赋值WffA都为真,则称WffA在E上有效的(或永真的).定义2.3.3一个谓词公式WffA,对于A的所有赋值WffA都为假,则称WffA为不可满足的(或永假的).定义2.3.4一个谓词公式WffA,如果至少在一个赋值下为真,则称该WffA为可满足.等值公式表E23(x)((Ax)∨(Bx))( x)(Ax)∨(x)(Bx)E30(x)(Ax) →B(x) ((Ax)→B)E24(x)((Ax)∧(Bx))(x)(Ax)∧(x)(Bx)E31(x)(Ax) →B(x) ((Ax)→B)E25┐(x)(Ax)(x)┐(Ax)E32A→(x)(Bx) (x) (A→(Bx))E26┐(x)(Ax)(x)┐(Ax)E33A→(x)(Bx) (x) (A→(Bx))E27(x)(A∨(Bx))A∨(x)(Bx)I17(x)(Ax)∨(x)(Bx) =>(x)((Ax)∨(Bx))E28(x)(A∧(Bx))A∧(x)(Bx)I18(x)((Ax)∧(Bx)) =>(x)(Ax)∧(x)(Bx)E29(x)((Ax)→(Bx))(x)(Ax)→(x)(Bx)I19(x)(Ax)→(x)(Bx) =>(x)((Ax)→(Bx))定义 2.4.1 一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域,延伸到整个公式的末尾,则该公式叫做前束范式.前束范式形式如下:(Q1V1)(Q2V2)……(QnVn)A.其中Qi(1≤i≤n)为或,A为不含有量词的谓词公式.定理2.4.1 任意一个谓词公式,均和一个前束范式等价.谓词演算推理规则(1)全称指定规定,US. ∵(x)P(x) ∴P(c)(2)全称推广规则,UG:∵P(x)∴(x)P(x)(3)存在指定规则,ES: ∵(x)P(x) ∴P(c)(4)存在推广规则,EG:∵:P(c) ∴(x)P(x)定义3.1.1 设A,B是任意两个集合,若A=B,当且仅当它们有相同的成员.定义3.1.2 设A,B是任意两个集合,加入A的每个元素都是B的元素,则称A为B的子集,或A包含在B内或B包含A.记作: AB或BA定理3.1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件式两个集合互为子集.定义3.1.3 如果集合A的每一元素都属于B,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A为B的真子集,记作AB.定义3.1.4 不包含任何元素的集合称为空集,记作Φ或{ }.定理3.1.2 对于任何集合A必有ΦA.(空集包含在A内)定义3.1.5 设A为任意集合,以A的子集为元素所组成的集合,称为集合A的幂集.记作P(A). 定理3.1.3 如果有限集合A有n个元素,则其幂集P(A)有2n个元素.(2n-1个子集元素个数为奇数)定义3.1.6 在一定范围内,如果所有集合均为某一集合的子集,则称该集合为全集.全集记作E. 定义3.2.1 设任意两个集合A和B,由集合A和B的所有共有元素组成的集合S,称为A和B 的交集,记作A∩B.S=A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}集合的交运算有如下性质:A∩A=A A∩B=B∩A A∩Φ=Φ A∩B定义3.2.2 设任意两个集合A和B,所有属于A或属于B的元素所组成的集合S称为A和B 的并集,记作A∪B.S=A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}交运算性质:a)A∪(A∩B)=A b)A∩(A∪B)=A吸收率:c) 设集合ABA∪B=B d)设集合ABA∩B= A定义3.2.3 设A,B为任意两个集合,所有属于A而不属于B的一切元素组成的集合S,称为B 对于A的补集,或相对补,记作A-B.定义3.2.4 设E为全集,对任一集合A,关于E的补E-A,称为集合A的绝对补,记作~Aa)~(~A)=A b)~E=Φ c)~ Φ=E; d)A∪~A=E c)A∩~A=Φ定理3.2.2 设A,B为任意两个集合,则下列关系式成立.a) A-B=A∩~B b)A-B=A-(A∩B) c)~(A∪B)=~A∩~B d)~(A∩B)=~A∪~B定义3.2.5 设A,B为任意两个集,A和B的对称差为集合S,其元素或属于A,或属于B,但不能既属于B,又属于比,记作AB.定理3.2.3 设任意集合A,B,C,则有以下性质:a)AB=BA b)AΦ=A c)AA=Φ d)AB=(A∩~B)∪(~A∩B) e)(AB)C=A(BC)定义3.3.1 由两个客体x和y,按一定的顺序,组成一个二元组,称此二元组为有序对,或称序偶,记作或(x,y).其中x是该序偶的第一元素,y是该序偶的第二元素.定义3.3.2 两个序偶相等,=,iff x=u,y=v.定义3.3.3 设A,B为集合.用A中的元素x作为第一元素,B中的元素作为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合,叫做A和B的笛卡尔积,记作A×B.A×B={|x∈A,y∈B}定理3.3.1 设A,B,C为任意三个集合,则有:a) A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) b) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) c)(A∪B)×C=(A∪C)×(B∪C) d) (A ∪B)×C=(A∪C)×(B∪C)定理3.3.2 设A,B,C,D,为非空集合,则A×BC×D的充要条件为AC,BD.定义3..3.4 设A,B是任意两个集合,A×B的子集R称为从A到B的二元关系.当A=B是,称R 为A上的二元关系.从这个定义可以表明A到B的二元关系,也是序偶的集合.故∈R,即称a与b有关系R,记作aRb.若R,则称a与b没有关系R,记作aRb.若R=Φ称为空关系,若R=A×B称R为全关系,当A=B时,全关系EA={|x∈A∧y∈A}=A×A,A 上的恒等关系IA={|x∈A}定义 3.3.5 设R为二元关系,由∈R的所有x所组成的集合domR,称为R的前域.domR={x|(y)(∈R)}使∈R得所有y组成的集合ranR称为R的值域. ranR={y|(x)(∈R)}R的前域和值域一起称为R的域,记作FLDR,即:FLDR=domR∪ranR.定理3.3.3 若Z和S是从集合X到Y的两个关系,则Z,S的交,并,差,补仍是X到Y的关系. 定义3.4.1 设R是集合X上的二元关系,(1)如果对任意x∈X,必有xRx,则称关系R在X上是自反的.(2)如果对任意x∈X,必有xRx,则称关系R在X上是反自反的.(3)如果对任意x,y∈X,若xRy必有yRx,则称关系R在X上是对称的.(4)如果对任意x,y∈X,若xRy且yRx必有x=y,则称R是反对称的.也可叙述为:若xRy,且xY,必有xRy.(5)如果对任意x,y,z∈X,xRy且yRz必有xRz,则称关系R在X上是传递的.定义3.5.1 设R是从X到Y的二元关系,如将R中每一序偶的元素顺序互换,所得到的集合称为R的逆关系,记作R-1(或Rc)即:R-1={|∈R}定义3.5.2 设R为A到B的关系,S为从B到C的关系,则R○S称为R和S的复合关系表示为:R○S={|x∈A∧z∈C∧(y)(y∈B∧∈R∧∈S)},R○S称为关系的合成运算.(复合运算不满足交换律)定理3.5.2 设A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,……,bn},C={c1,c2,……,cr}从A到B的关系R1关系矩阵MR1=(xij)是m×n阶矩阵.从B到C的关系R2的关系矩阵MR2=(yij)是n×r阶矩阵,那么从A到C的关系矩阵:MR1○R2=(zij)是m×r阶矩阵,其中,i=1,2,……,m, j=1,2,……,r.定义3.5.3 设R是A上二元关系,如果有另一个关系R',满足:(1)R'是自反的(对称的,可传递的);(2)R'R;(3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R",如果有R"R,就有R"R',则称关系R'为R的自反(对称,传递)闭包,记作r(R)(s(R),t(R)).定理3.5.3 设R为非空有穷集合A上的二元关系.(1)r(R)=R∪IA;(2)s(R)=R∪R-1;(2)t(R)=R∪R2∪……∪Rn,其中n是集合A中元素的数目. 定义3.6.1 给定集合A上的关系ρ,若ρ是自反的,对称的,则称ρ是A上的相容关系.定义3.6.2 若把一个集合A分成若干叫做分块的非空子集,使得A中每个元素,至少属于一个分块,那么这些分块的全体构成的集合叫做A的覆盖.定义3.6.1 给定集合A的覆盖,S={S1,S2,……Sn},由它确定的关系:ρ=S1×S1∪S2×S2∪……∪Sn×Sn是相容的.定义3.7.1 设R为定义在集合A上的一个关系,若R是自反的,对称的和传递的,则R称为等价关系.定义 3.7.2 设给定非空集合A,若有集合S={S1,S2,……Sm},其中SiA,Si(i=1,2,…,m),且Si∩Sj=(ij),同时有,称S是A的划分.定义3.7.3 设R为集合A上的等价关系,对任何a∈A,集合[a]R={x|x∈A,aRx}称为元素a形成的等价类.简记[a]或.定理3.7.1 设给定非空集合A上等价关系R,对于:a,b∈A有aRb iff[a]R=[b]R.定义3.7.4 集合A上的等价关系R,其等价类集合{[a]R|a∈A}称为A关于R的商集记作A/R. 定理3.7.2 集合A的等价关系R,确定了A的一个划分,该划分就是商集A/R.定理3.7.3 集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系.设集合A有一个划分S={S1,S2,……Sm},现定义一个关系R,当aRb,当且仅当a,b在同一分块中,这样:(1)a与a在同一分块中,故必有aRa,即R是自反的.(2)若a,b在同一分块中,则b,a也在同一分块,即aRb=>bRa,故R是对称的.(3)若a与b在同一分块中,b与c在同一分块中,因为Si∩Sj=(ij),即b属于且属于一个分块,故a 与c必在同一个分块中,故有:aRb∧bRc=>aRc,即R是传递的.定义3.8.1 设A是一个集合,如果A上的关系R满足自反性,反对称性,以及传递性,则称R是A上的一个偏序关系,并记作"≤",序偶称作偏序关系.定义3.8.2 设集合A上有二元关系,R若是反自反和传递的,称R为A上的拟序关系.并把称为拟序集,或记作<A,.定理3.8.1 集合A上二元关系是拟序的,则R必为反对称的.定义3.8.3 集合A上二元关系是拟序集,对于任意x,y∈A,如果x≤y或者y≤x成立,称x和y 可比.定义3.8.4 在偏序集中,如果想x,y∈A,x≤y,且xy,且没有其他元素,z满足x≤z,z≤y,则称元素y 盖住元素x.记COV A{|x,y∈A;y盖住x}(设R是非空集合A上的偏序集,a,b是A中两个不同元素,如果∈R,且在A中没有其他元素c,使得∈R和∈R,称元素b盖住元素a.)定义3.8.5 设≤是集合A上的二元关系,如果对于A中任意两个元素a,b∈A,必有a≤b或b≤a,则称≤是A上的全序关系(或称线序关系).若≤是A上的全序关系,称是全序集.定义3.8.6 设是一个偏序关系,钱B是A的子集,对于B中的一个元素b,如果B中没有任何元素x,满足bx,且b≤x称b为B的极大元.同理对于b∈B,如果B中没有任何元素x,满足bx,且x≤b,则称b为B的极小元.定义3.8.7 令是一个偏序集,BA,若有某个元素b∈B,对B中每一个元素,x有x≤b,称b为的最大元,同理,若有某个元素b∈B,对于每个x∈B有,b≤x,则称b为的最小元.定义3.8.8 设为偏序集,对于BA,如果有a∈A,且对于B的任意元素x都满足x≤a,则称a为子集B的上界,同样对于B的任意元素x,都满足a≤x,则称a为B的下界.定义3.8.9 设为偏序集,若有子集BA,若a为B的任一上界,若对B的所有上界y均有a≤y,则称a是B的最小上界(上确界),同样若b为B的任一下界,若对B的所有下界z,均有z小于等于b,则称b为B的最大下界(下确界).定义3.8.10 设为全序集,如果A的任何非空子集都含有最小元,称为良序集.定义3.9.1 设X和Y是任何两个集合,而f是X到Y的一个关系,如果对于每一个x∈X,有惟一的y∈Y,使得∈f,称关系f为函数,记作f:XY或.假如∈f,称x为自变元,与x相对应的y称为函数在x处的值,记作y=f(x),即∈f.y称为f作用下的x的象.从函数定义可以知道它与关系有别于如下两点:(1)函数的定义域是X,而不能是X的某个真子集,这点可以表示为domf=X.(2)一个x∈X只能对应惟一的y∈Y,使得∈f称f为函数.定义3.9.2 设f,g,都是X到Y上函数,它们有相同的定义域与值域,即domf=domg,rang=rang,且对每个x∈X都有f(x)=g(x),称函数f与g是相等的,并记作f=g.定义3.9.3 设X,Y为集合,把所有从X到Y的函数构成的集合记作YX,即Yx={f|f: XY}.定义3.9.4 给定函数f: XY.(1)若ranf=Y称f是满射的或f为到上的.(2)若函数满足x1,x2∈X,若x1x2时必有f(x1) f(x2),则称f为入射的.(3)若函数f既是满射,又是入射,则称f为双射.定义3.10.1 设f: XY,g: YZ,合成关系fg={|(x∈X)∧(z∈Z)∧(y)(y∈Y)∧(y=f(x)∧z=g(y))},称fg为,f,g的做合成运算或复合运算.定理3.10.1设f: XY,g: YZ是两个函数,合成运算gf是XZ的函数,且对每一个x∈X有(gf)(x)=g(f(x)).定义3.10.2设函数f: XX,若对所有x∈X有f(x)=x,则称f为X上的恒等函数,并记作IX.定理3.10.2 设f: XY是任意函数,则IXf=fIX=f.定义3.10.3 给定集合X和Y,且有函数,f: XY,对所有x∈X,存在惟一y0∈Y,使得f(x)=y,即ranf=y0,则称f是常值函数.定理3.10.3 令gf是一个复合函数.(1)若g和f是满射的,则gf是满射的.(2)若g和f是如射的,则gf是入射的.(3)若g和f是双射的,则gf是双射的.定理3.10.4 设f: XY是一个双射函数,那么fc是YZ的双射函数.定义3.10.4设f: XY是一个双射函数,称YX的双射函数f-1为f的逆函数.注意:fc(逆关系)不一定是f-1(逆函数).一个函数f: XY,要有逆函数,必须f是双射的.否则只能保证有fc,但未必有逆函数f-1存在. 定理3.10.5设f: XY是一个双射函数,g: YZ是一个双射函数,则(1)f-1f=IX,f-1f-1=Iy; (2)(f-1)-1=f; (3)(gf)-1= g-1f-1定义4.1.1 设A,B为任意集合,一个从An到B的映射,称为集合A上的一个n元运算.如果BA,则称该n元运算时封闭的.定义4.1.2 一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统,称为一个代数系统,记作:.定义4.1.3 设A为任意非空集合,*是集合A上的二元运算.(1)封闭性:对任意a,b∈A,若有a*b∈A,则称运算*关于集合是封闭的.(2)结合律:对任意a,b,c∈A,若有a*(b*c)=(a*b)*c,则称运算*在集合A是可结合的,或称运算*在A上满足结合律.(3)交换律:对任意a,b∈A,若有a*b=b*a,称为运算*在A上市可交换的,或称*运算在A上满足交换律.(4)幂等率:若对a∈A,有a*a=a,则称运算*在A上市幂等的,或称运算×在A上满足幂等率.(5)分配律:若对a,b,c∈A有: a(b*c)=(ab)*(ac) 和(b*c)a=(ba)*(ca)成立,则称运算对*时可分配的,或称运算*满足分配律.(6)吸收率:若和*满足交换律而且有:a,b∈A,并有a(b*c)=a和a* (bc)=a,则称和*运算时可吸收的,或称和*运算满足吸收率.定义4.1.4 设*为集合A上的二元运算,若存在(或),使得对于x∈A,都有(或),则称(或)是A中关于*运算的左(或右)幺元(或单位元). 如果A中一个元素e,它既是左幺元,又是右幺元,则成e是A中关于运算* 的遥远.显然对于任一x∈A,e*x=x*e=x.定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算,如果有一个元素,对于任意元素都有,则称为A 中关于运算*的左零元;如果有一个元素,对于任意元素都有,则称为A中关于运算*的右零元.如果A中的一个元素,他既是左零元,又是右零元,则称为A上关于运算*的零元.定理4.1.1 设*是集合A上的二元运算,且在A中有关于运算*的左幺元和右幺元,则,且A中幺元是惟一的.定理4.1.2 设*是定义在集合A上的二元关系,在A中有关于运算*的左零元和右零元那么,且A中零元是惟一的.定理4.1.3 设有代数系统中,A的元素个数多于1,若其存在关于运算*的单位元e与零元O,则. 定义4.1.6 设代数系统中,e是关于*的单位元,若对A中某个元素a,存在A的一个元素b,使得b*a=e,则称b为a 的一个左逆元;若a*b=e,则称b为a的一个右逆元.若一个元素b,既是a 的左逆元,又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,记作.定理4.1.4 设代数系统,这里*是定义在A上的二元运算,A中存在幺元e,且每一个元素都有左逆元,如果*是可结合运算,那么这个代数系统中,任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的.定义4.1.7 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统.同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同运算性质.定义4.1.8 设是代数系统,,且B对都是封闭的,B和S还含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统,简称子代数.定义 4.2.1 设*是集合S上的二元运算,若运算*时封闭的,并且*是可结合的,则称代数系统<S,*》为半群.这个定义包括两点,及对于任意,(1),(2)(a*b)*c=a*(b*c)定理4.2.1 设是一个半群,,且*在B上封闭,那么也是一个半群,通常称是半群的子半群.定义4.2.2 若半群中存在一个幺元则称为独异点(或含幺半群).定理4.2.2 设是独异点,对于,且a, b均有逆元,则:(1),(2)若a*b有逆元,则.定义4.3.1 设是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上一个二元运算,(1)如果*是封闭的;(2)运算*时可结合的;(3)存在幺元e;(4)对于每一个元素,存在它的逆元;则称是一个群.定义4.3.2 设是一个群,如果G是有限群,那么称为有限群,G中元素的个数统称称为该有限群的阶数,记为.定义4.3.3 若群G中,只含有一个元素,即G=|e|,|G|=1,则称G为平凡群.,G关于*运算,构成一个群,这个群称为Klein四元群.定义4.3.4 设是一个群,若运算*在G上满足交换律,则称G为交换群或Abel群(阿贝尔群). 定义4.3.5 设是群,若,使得成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|.定理4.3.1 设为群,有:(1); (2); (3);(4);(5)若G为Abel群,.定理4.3.3 对|G|>1的群不可能有零元.定理4.3.4 设是一个群,对于.必存在惟一的,使a*x=b.定义4.3.7 设为群,若在G中存在一个元素a,使得G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成,则称该群为循环群,元素a称为循环群G的生成元.定义4.3.8 设是一个群,S是G的非空子集,如果也构成群,则称是的一个子群,记作S≤G.子群判别定理:定理4.3.5 设是群,H是G的非空子集,则H≤G iff.(1)a,b∈H,有a*b∈H;(2)a∈H,有a-1∈H.定理4.3.6 设是群,H是G的非空子集,iffa,b∈H,则a*b-1∈H.定理4.3.7设是群,H是G的有穷非空子集,则H是G的子群iffa,b∈H,有a*b∈H.设是群,C={a|a∈G,且对x∈G有a*x=x*a},C又称CentG.定义4.4.1 设是一个代数系统,如果满足(1)是阿贝尔群;(2)是半群;(3)运算*对于运算☆是可分配的;则称是环.定理4.4.1 设是一个环,则对任意a,b∈A有(1);(2);(3);(4);(5)其中是加法幺元,-a是a的加法逆元,a+(-b)记为a-b,注意上面各式中不能只理解是实数上的加法与乘法.定义4.4.2 设是环,对a,b∈R,a≠0,b≠0,但a·b=0;则称a是R中的一个左零因子,b是R中一个右零因子;若一个元素既是左零因子,又是右零因子,则称它是一个零因子.定义4.4.3 设R是一个环,对于任意的a,b∈R,若a·b=0,则a=0或b=0,就称R是一个无零因子环.(整数环,有理环,实数环,复数环都是无零因子环.)定理4.4.2 设是环, R是无零因子环的充分必要条件,是在R中乘法适合消去律,即对任意a,b,c ∈R,a≠0,若有a·b=a·c(或b·a=c·a),则有b=c.定义4.4.4 设是环.如果是可交换的,则称是可交换环.如果含幺元,则称是含幺元.定义4.4.5 设是一个代数系统,如果满足:(1)是阿贝尔群;(2)是可交换独异点,且无零因子,即对任意a,b∈A,a≠,b≠必有a·b≠;(3)运算对于运算+是可分配的.则称是整环.定义4.4.6 设是一个环,且|R|≥2,(1)R有幺元;(2)每个非零元有逆元;则称这个环是除环.如果一个除环是可交换的,称为域.当为域时,及是阿贝尔群,其中R*=R-|0|.定义4.5.1 设是一个偏序集,如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称为格.定义4.5.2 设是一个格,P是由格中元素及≤,=,≥,∧,∨等符合所表示的命题,如果将P中的分别换成≥,≤,∨,∧得到的命题P*,称P*为P的对偶命题,简称对偶.格的对偶原理:如果命题P对一切格L为真,则P的对偶命题业对一切格为真.定义4.5.3 设是一个格,如果在A上定义两个二元运算∨和∧,使得对任意a,b∈A,a∨b等于a 和b的最小上界,a∧b等于a和b的最大下界.称为由格所诱导的代数系统.二元运算∨和∧分别称为并运算和交运算.定理4.5.1 在格中,对任意a,b∈A,都有:a≤a∨b,b≤a∨b, a∧b≤a,a∧b≤b.定理4.5.2 设是格,a,b∈A,(1)a≤b,且a≤c=>a≤b∧c; (2)a≥b且a≥c =>b∨c.定理4.5.3 在格中,对于a,b,c,d∈A,如果a≤b,c≤d,则a∨c≤b∨d,a∧c≤b∧d.定理4.5.4 设是一个格,由所诱导的代数系统为,则对于任意a,b,c,d∈A,有:(1);(交换律)(2);结合律(3)a∨a=a;a∧a=a(幂等律)(4)a∨(a∧b)=a;a∧(a∨b)=a;(吸收律)定理4.5.5 设是一个代数系统,其中∨和∧都是二元运算,且满足交换性,结合性和吸收性,则A 上存在偏序关系≤,使是一个格.定义4.5.4 设是代数系统,其中∧和∨是二元运算,若∧和∨运算满足交换律,结合律,吸收律,则称是一个格.定理4.5.6 设是格,则(1)a,b,c∈L有a≤b=>a∧c≤b∧c,且a∨c≤b∨c; (2)a,b,c,d∈L有a≤b且c≤d=>a∧c≤b∧d,且a∨c≤b∨c;定理4.5.5 设是格,S是L的非空子集,若S关于运算∧和∨是封闭的,则称是格L的子格.定义4.6.1 设是由格所诱导的代数系统,如果对任意a,b,c∈A满足:,称是分配格.定义4.6.2 设和是两个格,由它们分别诱导的代数系统为和,如果存在着一个从A1到A2的映射f,使得对任意a,b∈A1有:,称f为从到格同态,也可称是的格同态象.当f是双射时,格同态也称为格同构.定理4.6.1 格L是分配格,当且仅当L既不含有与五角格同构的子格,也不含有与钻石格同构的子格.(1)每一条链都是分配格.(2)小于五个元素的格都是分配格.定义4.6.3 设是一个格,如果存在元素a∈A对于任意x∈A,都有a≤x(或x≤a),则称a为格的全下界(全上界).记作0(全下界为1).存在全上界和全下界的格称为有界格,记作.定义4.6.4 设是有界格a∈A,若存在b∈A,使得a∨b=1,且a∧b=0,称b是a的补元.定义4.6.5 在一个有界格中,如果每个元素至少有一个补元,则称此格为有补格.定义4.7.1 一个有补格称为布尔格(或布尔代数).定理4.7.1 设有代数系统,其中B至少包含两个元素,∧,∨为B上两个二元运算, '为B上一元运算,对任何a,b∈B满足(H1)a∧b=b∧a,a∨b=b∨a (交换律)(H2)a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) (分配率)(H3)在B中存在零元0,使a∨0=a,a∧0=0,存在单位元1,使得a∧1=a,a∨1=1 (同一律)(H4)a'∈B,使得a∧a'=0,a∨a'=1(补元律)则称是布尔格.定理4.7.2 设为代数系统,∧,∨,是B上的二元运算,'为B上的一元运算,满足条件(H1)-(H4)则称此代数系统为布尔代数.定义4.7.3 设B是布尔代数,函数称为B上的一个n元布尔函数.定义5.1.1 一个图是二元组,其中V是非空结点集,E是连接结点的边集.在一个图中,不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点.在一个图中,若两点由一条有向边或一条无向边关联,则这两个结点称为邻接点.关联与同一结点的两条边称为邻接边.。
离散数学(命题逻辑的基本概念)
pq
(2)吴颖不仅用功而且聪明.
pq
(3)吴颖虽然聪明,但不用功. pq
(4)张辉与王丽都是三好生.
设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生 pq
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合取联结词的实例
p :今天下雨 q:明天下雨 p q:今天下雨并且明天下雨 今天与明天都下雨 这两天都下雨
p :我们唱歌 q:我们跳舞 p q:我们一边唱歌一边跳舞
等价联结词实例
如果两个三角形全等,则它们的三组对应边 相等;反之亦然.
当王晓红心情愉快时,她就唱歌;反之,当 她唱歌时,一定心情愉快.
•表示 p q 的常用词: •p当且仅当q. •p是q的充要条件. •如果p则q;反之亦然.
39
小结
本小节中p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{, , , , },p, pq, pq,
p: 你努力 q: 你成功➢q是p的必要条件
p → q 或 q → p ➢如果(若)p,则q
p q p ➢➢只因q 要为ppq,所就以p qqpq
0 0 1 ➢1p仅当q1
1
0 1 1 ➢0只有q 才0 p 0
1 0 0 ➢1除非q,1才p 1
1 1 0 ➢0除非q,1 否则非p1
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命题概念
例1 下列句子中那些是命题? (1) 是有理数. (2) 2 + 5 = 7.
假命题 真命题
(3) x + 5 > 3.
不是命题
(4) 你去教室吗?
不是命题
(5) 这个苹果真大呀!
不是命题
(6) 请不要讲话!
不是命题
(7) 2050年元旦下大雪. 命题(真值现在未知)
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第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元(元素)、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法:列举法、描述法3. 定义1.1.1(子集):给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则称集合A包含于B或B包含A,记为或,并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为,并且称A为B的一个真子集。
4. 定义1.1.2(幂集):给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为A 的幂集,记为或1.2 集合的运算定义1.2.1(并集):设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集合,称为A和B的并集,记为.定义1.2.2(交集):A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,称为A和B的交集,记为.定义1.2.3(不相交):A和B是两个集合,如果它们满足,则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4(差集):A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为A和B 的差集,记为.定义1.2.5(补集):若A是空间E的集合,则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集,记为.定义1.2.6(对称差):A和B是两个集合,则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理1.3.1设为有限集,其元素个数分别为,则定理 1.3.2设为有限集,其元素个数分别为,则定理1.3.3设为有限集,则重要例题P11 例1.3.1第2章二元关系2.1 关系定义2.1.1(序偶):若和是两个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个序偶。
※对于序偶和,当且仅当并且时,才称和相等,记为定义2.1.2(有序元组):若是个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个有序元组(简称元组)。
定义2.1.3(直接积):和是两个集合,则所有序偶的集合,称为和的直接积(或笛卡尔积),记为. 定义2.1.4(直接积):设是个集合,,则所有元组的集合,称为的笛卡尔积(或直接积),记为.定义2.1.5(二元关系)若和是两个集合,则的任何子集都定义了一个二元关系,称为上的二元关系。
如果,则称为上的二元关系。
定义2.1.5(恒等关系):设是上的二元关系,,则称是上的恒等关系。
定义2.1.7(定义域、值域):若是一个二元关系,则称存在使为的定义域。
存在使为的值域。
定义2.1.8(自反):设是集合上的关系,若对于任何..,都有即则称关系是自反的。
定义2.1.9(反自反):设是集合上的关系,若对于任何,都满足,即对任何都不成立,则称关系是反自反的。
定义2.1.10(对称):设是集合上的关系,若对于任何,只要,就有,那么称关系是对称的。
定义2.1.11(反对称):设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,那么称关系是对称的。
定义2.1.11(传递)设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,则称关系是传递的。
定理2.1.1设是集合上的关系,若是反自反的和传递的,则是反对称的。
2.2 关系矩阵和关系图定义无定理无2.3 关系的运算定义2.3.1(连接):设为上的关系,为上的关系,则定义关系存在使且称为关系和的连接或复合,有时也记为.定义2.3.2(逆关系):设为上的关系,则定义的逆关系为为上的关系:.定理2.3.1设和都是上的二元关系,则下列各式成立(1)(2)(3)(4)(5)定理2.3.2设为上的关系,为上的关系,则2.4 闭包运算定义2.4.1(自反闭包):设是集合上的二元关系,如果是包含的最小自反关系,则称是关系的自反闭包,记为.定义2.4.2(对称闭包):设是集合上的二元关系,如果是包含的最小对称关系,则称是关系的对称闭包,记为.定义2.4.3(传递闭包):设是集合上的二元关系,如果是包含的最小传递关系,则称是关系的传递闭包,记为或.定理2.4.1设是集合上的二元关系,则(1)是自反的,当且仅当.(2)是对称的,当且仅当.(3)是传递的,当且仅当.定理2.4.2设是集合上的二元关系,则. “恒等关系”定理2.4.3设是集合上的二元关系,则. “逆关系”定理2.4.4设是集合上的二元关系,则. “幂集”定理2.4.5设是一个元集,是上的二元关系,则存在一个正整数,使得.2.5 等价关系和相容关系定义 2.5.1(覆盖、划分):是一个集合,,如果,则称是的一个覆盖。
如果,并且,则称是的一个划分,中的元称为的划分块。
定义2.5.2(等价关系):设是上的一个关系,如果具有自反性、对称性和传递性三个性质,则称是一个等价关系。
设是等价关系,若成立,则称等价于.定义2.5.3(等价类):设是上的一个等价关系,则对任何,令且,称为关于的等价类,简称为的等价类,也可以简记为.定义2.5.4(同余):对于整数和正整数,有关系式:如果,则称对于模同余的,记作定义2.5.5(商集):设是上的一个等价关系,由引出的等价类组成的集合称为集合上由关系产生的商集,记为. “等价类的集合”定理2.5.1 若是上的一个等价关系,则由可以产生唯一的一个对的划分。
“商集”定义2.5.6(相容关系):设是上的一个关系,如果是自反的和对称的,则称是一个相容关系。
相容关系可以记为.所有的等价关系都是相容关系,但相容关系却不一定是等价关系。
定义2.5.7(最大相容块):设是一个集合,是定义在上的相容关系。
如果,中的任何两个元都有关系,而的每一个元都不能和中所有元具有关系,则称是的一个最大相容块。
2.6 偏序关系定义2.6.1(偏序关系):是定义在集合上的一个关系,如果它具有自反性、反对称性和传递性,则称是上的一个偏序关系,简称为一个偏序,记为.更一般地讲,若是一个集合,在上定义了一个偏序,则我们用符号来表示它,并称是一个偏序集。
定义2.6.2(全序/链):是一个偏序集,对任何,如果或这两者中至少有一个必须成立,则称是一个全序集或链,而称是上的一个全序或线性序。
定义2.6.3(盖住):是一个偏序集,,若,并且不存在,使并且,则称盖住. “紧挨着”定义2.6.4(最小元、最大元):是一个偏序集,如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最小元。
如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最大元。
定义2.6.5(极小元、极大元):是一个偏序集,如果,而中不存在元,使,则称是的极小元。
如果,而中不存在元,使,则称是的极大元。
定义2.6.6(上界、下界、上确界、下确界):是一个偏序集,,如果对于所有的,都有,则称是的一个上界。
如果对于所有的,都有,则称是的一个下界。
如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最小上界(上确界). 如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最大下界(下确界).定义2.6.5(良序集):设是一个偏序集,对于偏序,如果的每个非空子集都具有最小元,则称是一个良序集,而称是上的一个良序。
每个良序集都是全序集。
第3章函数和运算3.1 函数定义3.1.1(映射、象):关系定义在上,如果对于每一个.....,...,都有唯一的一个使,则称是从到的一个函数(或映射),记为.称为函数的变元,称为变元在下的值(或象),记为.注意:(1)定义域,而不是.(2)每一个,有唯一的,使. 多值函数不符合定义(3)值域.定义3.1.2(受限、扩展):若是从到的一个函数,,则也是一个函数,它定义于到,我们称它是在上的受限。
如果是函数的一个受限,则称是的一个扩展。
★定义3.1.3(映上、映内、一对一、一一对应):若,则的值域时,称函数是映上的(或满射)。
如果的值域时,则称函数是映内的。
如果,则有,则称是一对一的(单射)(即时,有).如果映上的,又是一对一的,则称是一一对应的(或双射)。
定义3.1.4(复合运算):若,则定义和的复合运算为:存在使且即.注:逆函数若要存在需要满足以下条件:(1)函数是映上的(2)函数必须是一对一的定义3.1.5(恒等函数)函数称为恒等函数。
定理3.1.1,则的充分必要条件是,并且3.2 运算定义3.2.1(二目运算):若是一个集合,是从到的一个映射(函数),则称为一个二目运算。
一般地,若是从到的一个映射(是正整数),则称是一个目运算。
运算的封闭:运算的结果总是集合中的一个元,因此这个定义保证了运算的施行,这种情况又称为集合对于该种运算是封闭的。
定义3.2.2(可交换):若是一个运算,对于任何,都有,则称运算是可交换的(或者说,服从交换律).定义3.2.3(可结合):若是一个运算,对于任何,都有,则称运算是可结合的(或者说,服从结合律).定义 3.2.4(可分配):若是一个运算,是一个运算,对于任何,都有,则称运算对于运算是可分配的(或者说,对于服从分配律)定义3.2.5(左单位元、右单位元):设是上的一个运算,如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的左单位元;如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的右单位元。
定理3.2.1若是上的一个运算,和分别是它的左、右单位元,则,并且是唯一的(因此,称为运算的单位元).定义3.2.6(左零元、右零元):设是上的一个运算,如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的左零元;如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的右零元.定义3.2.7(等幂):若是上的一个运算,,对于运算,有,则称元对于运算是等幂的。
定义3.2.8(左逆元、右逆元):若是上的一个运算,它具有单位元,对于任何一个,如果存在有元,使,则称是的左逆元;如果存在有元,使,则称是的右逆元;定理3.2.3若是上的一个运算,它具有单位元,并且是可结合...的,则当元可逆时,它的左、右逆元相等,并且唯一的(此时称之为的逆元,并且记为).定义3.2.9(可消去):若是上的一个运算,对于任何,如果元满足:则;或则,则称元对于运算是可消去的。
第4章无限集合4.1 基数★定义4.1.1(等势):若和是两个集合,如果在和之间可以建立一个一一....对应关系,则称集合和等势,并记为。
定理4.1.1令是由若干个集合为元所组成的集合,则上定义的等势关系是一个等价关系。
定义4.1.2(有限集、无限集):若是一个集合,它和某个自然数集等势,则称是一有限集,不是有限集的集合称为无限集。
定理4.1.2有限集的任何子集都是有限集定理4.1.3有限集不与其任何真子集等势定理4.1.4自然数集是无限集4.2 可列集定义4.2.1(可列集):若是一个集合,它和所有自然数的集合等势,则称是一个可列集。
可列集的基数用符号表示。
定理4.2.1若是一个集合,可列的充分必要条件是可以将它的元排列为的序列形式。
定理4.2.2任何无限集必包含有可列子集。
定理4.2.3可列集的子集是有限集或可列集(记为:)定理4.2.4若是可列集,是有限集,并且,则是可列集(记为:). 定理4.2.5若和都是可列集,并且,则是可列集(记为:)推论4.2.1设都是可列集,则是可列集(记为:)定理4.2.6设都是可列集,并且,则是可列集(记为:)推论4.2.1设都是可列集,则是可列集.定理4.2.7所有有理数的集合是可列集。