离散数学课本定义和定理

第1章集合

1.1 集合的基本概念

1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集

2. 表示集合的方法：列举法、描述法

3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。

如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。

4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或

1.2 集合的运算

定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.

定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.

定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。

定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.

定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.

定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为

1.3 包含排斥原理

定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则

定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则

定理1.3.3设为有限集，则

重要例题P11 例1.3.1

第2章二元关系

2.1 关系

定义2.1.1（序偶）：

若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。

※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为

定义2.1.2（有序元组）：

若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。

定义2.1.3（直接积）：

和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义2.1.4（直接积）：

设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.

定义2.1.5（二元关系）

若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。如果，则称为上的二元关系。

定义2.1.5（恒等关系）：

设是上的二元关系，，则称是上的恒等关系。

定义2.1.7（定义域、值域）：若是一个二元关系，则称

存在使为的定义域。存在使为的值域。定义2.1.8（自反）：设是集合上的关系，若对于任何

．．，都有即则称关系是自反的。

定义2.1.9（反自反）：设是集合上的关系，若对于任何，都满足,即对任何都不成立，则称关系是反自反的。

定义2.1.10（对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要,就有,那么称关系是对称的。

定义2.1.11（反对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时,就有，那么称关系是对称的。

定义2.1.11（传递）设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时，就有，则称关系是传递的。

定理2.1.1设是集合上的关系，若是反自反的和传递的，则是反对称的。

2.2 关系矩阵和关系图

定义无定理无

2.3 关系的运算

定义2.3.1（连接）：设为上的关系，为上的关系，则定义关系

存在使且

称为关系和的连接或复合，有时也记为.

定义2.3.2（逆关系）：设为上的关系，则定义的逆关系为为上的关系：

.

定理2.3.1设和都是上的二元关系，则下列各式成立

（1）（2）

（3）（4）

（5）

定理2.3.2设为上的关系，为上的关系，则

2.4 闭包运算

定义2.4.1（自反闭包）：设是集合上的二元关系，如果是包含的最小自反关系，则

称是关系的自反闭包，记为.

定义2.4.2（对称闭包）：设是集合上的二元关系，如果是包含的最小对称关系，则称是关系的对称闭包，记为.

定义2.4.3（传递闭包）：设是集合上的二元关系，如果是包含的最小传递关系，则称是关系的传递闭包，记为或.

定理2.4.1设是集合上的二元关系，则

（1）是自反的，当且仅当.

（2）是对称的，当且仅当.

（3）是传递的，当且仅当.

定理2.4.2设是集合上的二元关系，则. “恒等关系”

定理2.4.3设是集合上的二元关系，则. “逆关系”

定理2.4.4设是集合上的二元关系，则. “幂集”定理2.4.5设是一个元集，是上的二元关系，则存在一个正整数，使得

.

2.5 等价关系和相容关系

定义 2.5.1（覆盖、划分）：是一个集合，,如果，则称是的一个覆盖。如果，并且，则称是的一个划分，中的元称为的划分块。

定义2.5.2（等价关系）：设是上的一个关系，如果具有自反性、对称性和传递性三个性质，则称是一个等价关系。设是等价关系，若成立，则称等价于.

定义2.5.3（等价类）：设是上的一个等价关系，则对任何，令且，称为关于的等价类，简称为的等价类，也可以简记为.

定义2.5.4（同余）：对于整数和正整数,有关系式：

如果，则称对于模同余的，记作

定义2.5.5（商集）：设是上的一个等价关系，由引出的等价类组成的集合称为集合上由关系产生的商集，记为. “等价类的集合”

定理2.5.1 若是上的一个等价关系，则由可以产生唯一的一个对的划分。“商集”定义2.5.6（相容关系）：设是上的一个关系，如果是自反的和对称的，则称是一个相容关系。相容关系可以记为.

所有的等价关系都是相容关系，但相容关系却不一定是等价关系。

定义2.5.7（最大相容块）：设是一个集合，是定义在上的相容关系。如果,中的任何两个元都有关系，而的每一个元都不能和中所有元具有关系，则称是的一个最大相容块。

2.6 偏序关系

定义2.6.1（偏序关系）：是定义在集合上的一个关系，如果它具有自反性、反对称性和传递性，则称是上的一个偏序关系，简称为一个偏序，记为.更一般地讲，若是一个集合，在上定义了一个偏序，则我们用符号来表示它，并称是一个偏序集。

定义2.6.2（全序/链）：是一个偏序集，对任何，如果或这两者中至少有一个必须成立，则称是一个全序集或链，而称是上的一个全序或线性序。

定义2.6.3（盖住）：是一个偏序集，，若，并且不存在,使并且