离散数学课本定义和定理

第1章集合

集合的基本概念

1. 集合、元元素、有限集、无限集、空集

2. 表示集合的方法：列举法、描述法

3. 定义子集：给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则称集合A包含于B或B包含A,记为或,并称A为B的一个子集;

如果集合A和B满足,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为,并且称A为B的一个真子集;

4. 定义幂集：给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为A的幂集,记为

或

集合的运算

定义并集：设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集合,称为A和B 的并集,记为.

定义交集：A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,称为A和B 的交集,记为.

定义不相交：A和B是两个集合,如果它们满足,则称集合A和B是不相交的;

定义差集：A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为A和B的差集,记为.

定义补集：若A是空间E的集合,则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集,记为. 定义对称差：A和B是两个集合,则定义A和B的对称差为

包含排斥原理

定理设为有限集,其元素个数分别为,则

定理设为有限集,其元素个数分别为,则定理设为有限集,则

重要例题P11 例第2章二元关系

关系

定义序偶：

若和是两个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个序偶;

※对于序偶和,当且仅当并且时,才称和相等,记为定义有序元组：

若是个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个有序元组简称

元组;

定义直接积：

和是两个集合,则所有序偶的集合,称为和的直接积或笛卡尔积,记为.

定义直接积：

设是个集合,,则所有元组的集合,称为的笛卡尔积或直接积,记为.

定义二元关系

若和是两个集合,则的任何子集都定义了一个二元关系,称为上的二元关系;如果,则称为上的二元关系;

定义恒等关系：

设是上的二元关系,,则称是上的恒等关系;

定义定义域、值域：若是一个二元关系,则称

为的定义域;为的值域;

定义自反：设是集合上的关系,若对于任何

．．,都有即则称关系是自反的;

定义反自反：设是集合上的关系,若对于任何,都满足,即对任何都不成立,则称关系是反自反的;

定义对称：设是集合上的关系,若对于任何,只要,就有,那么称关系是对称的;

定义反对称：设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,那么称关系是对称的;

定义传递设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,则称关系是传递的;

定理设是集合上的关系,若是反自反的和传递的,则是反对称的;

关系矩阵和关系图

定义无定理无

关系的运算

定义连接：设为上的关系,为上的关系,则定义关系

称为关系和的连接或复合,有时也记为.

定义逆关系：设为上的关系,则定义的逆关系为为上的关系：

.

定理设和都是上的二元关系,则下列各式成立

12

34

5

定理设为上的关系,为上的关系,则

闭包运算

定义自反闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小自反关系,则称是关系的自反闭包,记为.

定义对称闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小对称关系,则称是关系的对称闭包,记为.

定义传递闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小传递关系,则称是关系

的传递闭包,记为或.

定理设是集合上的二元关系,则

（1）是自反的,当且仅当.

（2）是对称的,当且仅当.

（3）是传递的,当且仅当.

定理设是集合上的二元关系,则. “恒等关系”

定理设是集合上的二元关系,则. “逆关系”

定理设是集合上的二元关系,则. “幂集”

定理设是一个元集,是上的二元关系,则存在一个正整数,使得

.

等价关系和相容关系

定义覆盖、划分：是一个集合,,如果,则称是的

一个覆盖;如果,并且,则称是的一个划分,中的元称为的划分块;

定义等价关系：设是上的一个关系,如果具有自反性、对称性和传递性三个性质,则称是

一个等价关系;设是等价关系,若成立,则称等价于.

定义等价类：设是上的一个等价关系,则对任何,令,称为关

于的等价类,简称为的等价类,也可以简记为.

定义同余：对于整数和正整数,有关系式：

如果,则称对于模同余的,记作

定义商集：设是上的一个等价关系,由引出的等价类组成的集合称为集合上由关系产生的商集,记为. “等价类的集合”

定理若是上的一个等价关系,则由可以产生唯一的一个对的划分; “商集”

定义相容关系：设是上的一个关系,如果是自反的和对称的,则称是一个相容关系;相容关系可以记为.

所有的等价关系都是相容关系,但相容关系却不一定是等价关系;

定义最大相容块：设是一个集合,是定义在上的相容关系;如果,中的任何两个元都有关系,而的每一个元都不能和中所有元具有关系,则称是的一个最大相容块;

偏序关系

定义偏序关系：是定义在集合上的一个关系,如果它具有自反性、反对称性和传递性,则称是上的一个偏序关系,简称为一个偏序,记为.更一般地讲,若是一个集合,在上定义了一个偏序,则我们用符号来表示它,并称是一个偏序集;

定义全序/链：是一个偏序集,对任何,如果或这两者中至少有一个必须成立,则称是一个全序集或链,而称是上的一个全序或线性序;

定义盖住：是一个偏序集,,若,并且不存在,使并且,则称盖住. “紧挨着”

定义最小元、最大元：是一个偏序集,如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最小元;如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最大元; 定义极小元、极大元：是一个偏序集,如果,而中不存在元,使,则称是的极小元;如果,而中不存在元,使,则称是的极大元;

定义上界、下界、上确界、下确界：是一个偏序集,,如果对于所有的,都有,则称是的一个上界;如果对于所有的,都有,则称是的一个下界;如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最小上界上确界. 如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最大下界下确界.

定义良序集：设是一个偏序集,对于偏序,如果的每个非空子集都具有最小元,则称是一个良序集,而称是上的一个良序;

每个良序集都是全序集;

第3章函数和运算