工程问题(三).教师版

工程问题

（三）

教学目标

1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；

2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理;

3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“ 1的统一和转换；

4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.

知识精讲

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“ 1'的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比

较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一、工程问题的基本概念

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率4作时间，

工作效率=工作总量"作时间，工

作时间=工作总量 "作效率；

二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：

①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；

②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；

③学会画线段示意图•线段示意图能直观地揭示量”与百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间

的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；

④学会多角度、多侧面思考问题的方法•分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法•因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路.

三、利用常见的数学思想方法：

如代换法、比例法、列表法、方程法等

抛开工作总量”和时间”抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设把整个工程看成一个单位”，求得问题答案.一般情况下，工程问题求的是时间.

目tMI归例题精讲

工程问题方法与技巧

（一）等量代换法

【例1】甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的2•如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？

5

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

2 2

【解析】法一：甲、乙合作完成工程的—需要：30 - =12（天）.甲队先做4天，比合作少了12_4=8（天）；

5 5

乙队后做16天，比合作多了16_12=4（天），所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4: 8 =1: 2 .甲队单独工作需要：30 30 2 =90 （天）；乙队单独工作需要：30 3^2 =45（天）。

法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的—，而题目中给定的甲队先挖4天，再由乙队

30

单独挖16天”相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的1，也就是说乙队12天挖了2一2 = 4，于是乙队的工作效率为---12 1，那

30 15 5 15 15 15 45

111

么甲队的工作效率就是一一一一，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天。工程问题里

30 45 90

面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系. 其实这一点是与工程习惯无关的. 【答案】甲队单独做需要90天，乙队单独做需要45天

【例2】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量•丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2 （倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样•也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍•乙做13天，甲只要13天，丙做13天，乙要26天，而甲只要26天他们共同做13天的工作量，由甲单独

3 3

完成，甲需要13十13十26 =26天

3 3

【答案】26天

【例3】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的1.如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

5

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1,又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因

8

此甲两天抄写书稿的1，即甲每天抄写书稿的-;由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6

8 16

1 1 1111

天抄写书稿的-，即丙每天抄写书稿的—;于是可知乙每天抄写书稿的--一-丄=—•所以乙一

8 48 8 16 48 24

人单独抄写需要1十丄=24天才能完成.

24

【答案】24天

【例4】一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成•两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成?

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作

效率是甲的-，因此甲4天完成的量，乙需要4 - ^16天完成，除去与甲合作的2天以外，乙还要

4

3 3

【例5】

打印一份书稿，甲按规定时间可提前

2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成•甲、乙两人合做需要几天完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】根据甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成.如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以

完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3 •另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3・2 = 5天,

所以乙独做需要的天数是：（3 2）— 15 （天），甲独做需要15-5=10（天），甲、乙合做需要

3—2

1 1

1 6（天）.

10 15

【答案】6（天）

【例6】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8 天可以完成.

如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

乙20天

乙12天

甲20天

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天

的工作量.于是可用乙工作4天”等量替换题中甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要20=24（天）完成，即乙的工作效率是丄.

24

做16-2』天。

33

法

二

一: 甲的工作效率为1，所以乙的工作效率为

6

(

1

1 1 ) 1

2 - >2 -：-

10

二天才能完成.

68 丿83

10天

3

1 1

-3-4=1•两队合作2天后乙队独做还要

6 8

甲15天

【答