结构力学——3静定梁和静定刚架

∑X =0
∑Y = 0
∑MB = 0
QBA + 20 × 4 − 80 = 0
N BA − 20 = 0
M BA + 20 × 4 × 2 − 80 × 4 = 0
40 kN D B C 20 kN/m 4m
VB = 60
QBA = 0
N BA = 20kN
M BA = 160kN ⋅ m
NBA
160 kN·m B B 20 kN/m
1
第三章 静定梁和静定刚架
§3-1 单跨静定梁 §3-3 静定平面刚架
2
单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的 基构件之一，其受力分析是各种结构受力分析 的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。 1. 单跨静定梁的反力
常见的单跨静定梁有： 简支梁 外伸梁 悬臂梁
§3—1 单跨静定梁
→ ↑
↙ ↑
→ ↑
Mmax=32.4kn·N
=32.4kN·m
11
几种典型弯矩图和剪力图
P m q
l /2
l /2
l /2
l /2
ql 2
l
P 2
P 2
m l
m 2
ql 2
Pl 4
2、集中力矩作用点 、 M图有突变，力矩为 图有突变， 图有突变 顺时针向下突变； 顺时针向下突变； Q 图没有变化。 图没有变化。 另无外 力作用段M、 图为直线 力作用段 、Q图为直线
6
4. 利用叠加法作弯矩图
利用叠加法作弯矩图很方便,以例说明:
MA MB
L
（a）
A
MA
B
MB
（b） A ）
B
MB
从梁上任取一段 AB 其受力如（a）图 则它相当（b） 所示， 图所示的简支梁。 因此，梁段AB的弯 矩图可以按简支梁并 应用叠加法来绘制。
7
MA
+
2 qL 8
MB
MA
4。叠加法做弯矩图
0
+
M
ο
M =M +Mo
8
4kN·m
4kN
8kN·m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
（1）集中荷载作用下 ）
（1）悬臂段分布荷载作用下 ）
4kN·m 2kN·m
6kN·m
（2）集中力偶作用下 ）
4kN·m 2kN·m
（2）跨中集中力偶作用下 ）
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
4kN·m
（3）叠加得弯矩图 ）
6kN·m 4kN·m
9
4kN·m
2kN·m
例 3－1 作梁的 Q、M 图。
首先计算支反力 RA=58kN（↑） RB=12kN（↑） 作剪力图（简易法） 作弯矩图：
分为CA、AD 1.分段： 、DE、EF、FG、GB 六段。 2.定点:
MC=0 MA=－20kN·m MD=18kN·m ME=26kN·m MF=18kN·m MG左=6kN·m MG右=－4kN·m MB左=－16kN·m 10
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图 M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化 有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
↓
↑
5 利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如 集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
MA q MB
假定：在外荷载作用下，结构 假定 构件材料均处于线弹性阶段。
o YA
YBo
M M
ο
MA
MB
MA
M
MB
当梁上有多个荷载作用时，任 意截面的弯矩是各荷载单独作 用时的弯矩的代数和，以图形 表示即将各荷载单独作用时的 弯矩图竖标相叠加。
弯矩图上任意两点的连线到弯矩 图曲线间的竖距， 图曲线间的竖距，等于以这段梁 为简支梁时的弯矩 M 的数值
17
求内力基本方法： 求内力基本方法：截面法
材料力学规定： --拉力为正 材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 --绕隔离体顺时针方向转动者为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正 弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M FN FQ dx dx M+dM
FN+d FN FQ+dFQ
3.联线
几点说明：
K
RA 38 8
1.6m x
RB
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法 2.剪力等于零截面K 的位置 QK=QE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算 qx 2 MK=ME+QE x－ 2 2 5 ×1⋅ 6 =26+8×1.6－
2
Q图(kN)
K
20
12
M图(kN·m) (kN m) Mk
（1）悬臂刚架
（2）简支刚架
（3）三铰刚架
16
（1）首先计算支反力,一般支反力只有三个,由平衡 方程求得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。 （2）按“分段、定点、联线”的方法，逐个杆绘制内 力图。
3. 计算刚架内力的一般步骤:
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
↙ ↑
→ ↑
↙
3 反力只有三个，由静力学平衡方程求出。
在梁的横截面上,一般有三个内力分量:轴力N、剪 力Q、弯矩M。计算内力的基本方法是截面法(见图)。 其结论是： （1）N: 其数值等于该截 P1 P2 A ↙K ↘ B 面一侧所有外力沿截面法线方 向投影的代数和。 1 （2）Q:其数值等于该截面 H A P↙ M K A N 一侧所有外力沿截面切线方向 Q VA 投影的代数和。（左上右下为 正） （3）M: 其数值等于该截面一侧所有外力对截面 4 形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）
40
A M 图 (kN·m） ）
NBA
20 60 20
80
Q图（kN) 图
N图（kN) 图
22
计算简图
求反力
作弯矩图 求控制弯矩
23
作剪力图 求控制剪力
求控制轴力
作轴力图
24
m 2
ql 2 8
1、集中荷载作用点 、 M图有一尖角，荷载向 图有一尖角， 图有一尖角 下夹角亦向下； 下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 图有一突变， 向下突变亦向下。 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 、 M图为抛物线，荷载向 图为抛物线， 图为抛物线 下曲线亦向下凸； 下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向 图为斜直线， 下直线由左向右下斜 12
内力图内力图-表示结构上各截面内力值的图形 横坐标--截面位置；纵坐标---截面位置 --内力的值 横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
18
结构力学规定
正
MAB A端 FNAB FQAB B端 端 FNBA FQBA
负
杆端内力
MBA
内力图 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧， 弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需 --习惯绘在杆件受拉的一侧 标正负号 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧， --可绘在杆件的任一侧 轴力和剪 0 QBD = −20kN
D
∑MD = 0 M BD = 160kN ⋅ m
80 20
A 2m
2m
160
40
M图 图
NBA
D
B
160
160
MBA
B 20kN/m
QBA
20 4m 60
40
40
A M图 (kN·m） 图 ）
80
A
20
80
21
Q图（kN) 图
B
160
160
D
40
B 0
20
NBD
MBA
B
QBA
160
20 kN/m
4m
4m
40
HA = 80
VA = 20
A 2m (a)
80
A
20
A
A
20
2m
(b)
(c)
(d) M图 图
40kN
NBD
MBD
B 2m
160kN·m
40kN
B D
40kN D B 20kN/m C 4m 60
2m
D 60
Q BD
∑X =0 N BD = 0
B
2m
2m
解： ：
RA 38
RB
Q图(kN) 由∑MB=0, 8 有 RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0 12 得 RA=58kN（↑） 20 再由∑Y=0, 可得 20 RB MC=0,=20+30+5×4－58=12kN（↑） 16 MA=－20×1=－20kN·m (kN·m) 4 M图(kN MD=－20×2+58×1=18kN·m m) 0 M =－20×3+58×2－30×1=26kN·m E 5 × 42 6 MF=12×2－16+10=18kN·m = 10 8 MG左=12×1－16+10=6kN·m 18 18 MG右=12×1－16=－4kN·m MB左=－16kN·m 26