结构力学第七章计算超静定梁结构力学

(b) A
q X 1
C
"基 本 体 系 "
法中把原超静定结构称为原 (c) A
结构，去掉多余联系后的静
11
B X 1
C
定结构称为基本结构。所去
q
(d)
掉的多余联系，则以相应的
A
B
C
ip
多余未知力X1来代替。
图7-4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为力 法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它代 表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一个主
§7-2 超静定次数的确定
1．超静定次数
超静定结构多余联系的数目称为该结构的超静定次数, 并用表示。多余联系中的力称为多余未知力。
(a)
(b)
n=1
X1
X1
X1 n=1
X1
X1
X3 X1
X3 X1
(c)
X2 X2
(d)
X2百度文库X2
n=2 (e)
n=1
X1 X1
n=3 (f)
图7-2
X1 n=1
2．超静定次数的确定
1P
M1MP ds EI
1[1l(2lFllPl)]
EI 6 2
2 22
5Fl3 48EI
(5) 解力法方程。
X1
1P
11
5F 16
所得正号说明X1的实际方向与假设方向相同。
动力，只要给X1任意值(保证结构不被破坏为前提)，则荷载q、 X1及A、C支座反力都能构成一组平衡力系，为了确定多余未 知力，则必须考虑基本结构在X1作用点处的变形条件。由于基 本结构在受力与变形两方面同原结构应一致，本例中原结构在
B支座处无竖向线位移，因此基本结构在X1 、q共同作用下B 处的竖向线位移也必须等于零。这一变形协调条件可用公式表
达如下：
Δ1 =0
(a)
等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的 位移)，等号右端表示原结构在B点的竖向线位移。设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时，作用点沿方向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正，见图7-4(c)、(d)，根据
叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
111P0
(b)
若用表示当=1时B点的竖向线位移，则，于是(b)式又可
结构力学第七章计算超静定梁结构力 学
2．求解超静定结构要考虑的条件
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件： （1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）； （3）物理条件。
力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法 是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量,位移法则是 以结点的某些位移作为基本未知量。计算超静定结构除上述 两种方法外,常用的还有力矩分配法、有限单元法等。
(a )
(b )
(c )
(d )
A
B
A
B X1
X1 A
B
图7-3
A
B
§7-3 力法的基本概念
以简单例子来说明力法 (a)
q
的基本概念。
A
B
C
l2
l2
图7-4(a)所示的连续梁超
"原 结 构 "
静定次数=1。若将B支座链杆 当作多余联系而去掉，代图
7-4之以多余未知力X1，得到 图7-4(b)所示基本结构。在力
力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未 知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方 程，从而求出多余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。
例7-1 用力法计算图7-5(a)所 (a) A
l
示单跨超静定梁的内力。EI为
写为：
11 X11P0
(7-1)
式中的及均为静定结构在已知力作用下的位移，完全可用
第六章所学方法进行计算，则多余未知力即为
X1
1P
11
(c)
基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用
静力平衡方程得到。
由前面分析可知，基本结构的反力、内力也就是原结
构的反力、内力。这种在基本结构上利用变形协调条件 首先求出多余未知力，然后再根据平衡条件求出全部反 力及内力的计算方法，称为力法，式(7-1)称为力法方 程。
力法计算时,首先要判断结构的超静定次数。一般常用去 掉多余联系使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余 联系的方式常用以下几种：
（1）切断一根链杆或去掉一个支座链杆相当于去掉一个 联系，如图7-2(a)、(b)所示。
（2）去掉一个单铰相当于去掉两个联系，如图7-2(c)所示。 （3）切断一根受弯杆件相当于去掉三个联系，如图7-2(d) 所示。 （4）将受弯杆件的刚性联结改为铰结或将固定支座改为 固定铰支座,相当于去掉一个联系，如图7-2(e)、(f)所示。 （5）一个封闭无铰的框格,其超静定次数等于3，见图72(d)所示。当结构有f个封闭无铰框格时,其超静定次数为3f。 当结构有若干个铰结点时，设单铰数目为h，则超静定次数 n=3f-h。
"原 结 构 "
2
常量。
(b) A
解： (1) n=1。
"基 本 体 系 "
(2) 选图7-5(b)为基本结构。 (c) A
(3) 列力法方程。
11 X11P0
(4) 求 11、 1P。利用图乘法 求 11 、 1P ，为此应分别画出基
本结构在 X 1 =1及荷载P作用下
M 1图 l
F l 2 (d) M p图 A 6 32F l (e) A M 图
去掉多余约束后,则必须用与其对应的约束力代替其作用,
这个约束力用广义力表示,其中=1,2,3,……。图7-2(b)、(c)、(d)、 (e)所去掉的约束均为限制切口两侧截面的相对位移,故对应的约 束力应为一对大小相等方向相反的多余未知力。对于同一个超 静定结构,其超静定次数是一个定值,但哪些联系可以当作多余联 系却有多种方案,总的原则必须是保证在去掉多余约束后得到的 是一个静定的几何不变的结构。图7-3(a)所示结构=1,把A或B支 座处水平链杆当作多余联系,去掉它们均可得到一个静定的结构， 见图7-3(b)、(c)。但若将A或B支座处的竖向链杆去掉,则图7-3(d) 就成为一个几何可变体系,这是因为上述竖向链杆不是多余约束。
弯矩图 M 1 图、M P 图，如图75(c)、(d)所示。
(f) F S 图 A
11 16F
(+)
F
C
l
2
F
C X 1
l 2
F
X 1= 1
5 32F l
(-)
5 16F
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11 M E 1 M I d s E 1(1 2 I l l 3 2 l) 3 lE 3 I