结构力学第七章计算超静定梁结构力学
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结构力学 力矩分配法计算超静定结构
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力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法。两种方法的共同特点都是 要列方程和解联立方程，计算烦琐。而力矩分配法是建立在位移法基础上的一 种渐近解法，计算过程按照重复步骤进行，结果逐渐接近真实解答。它无须解 联立方程而直接计算出杆端弯矩，方法简便，适合手算。适用范围是连续梁和 无侧移刚架的内力计算。
情景二 用力矩分配法计算连续梁 学习能力目标
掌握力矩分配法计算连续梁并绘制弯矩图。
项目表述
运用力矩分配法计算多跨连续梁结构。
学习进程
情景二 用力矩分配法计算连续梁
项目实施
案例 3 – 17 图 3 – 62a 所示为两跨梁，试用力矩分配法求杆端弯矩，并作 M 图。
解答：（1）计算分配系数 同一结点各杆分配系数之和等于 1，把算好的μ 值填在表格 3 – 5中B结点处。 （2）计算固端弯矩（查表 3 – 4） （3）放松刚结点 B 进行力矩分配 （4）计算传递弯矩 （5）计算杆端弯矩 把同一杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加（代数和），即得杆端弯
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
知识链接
加于刚结点 1 的外力矩按分配系数分配给各杆的 1 端（近端），称 其 为分配弯矩。
3．传递系数 C 如图 3 – 60 所示，当外力矩 M 加于结点 1 时，该结点发生转角.1 ， 于是各杆近端和远端都将产生杆端弯矩，这些杆端弯矩值如下
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
解答：① 求分配系数。 ② 锁住结点 B、C，求各杆的固端 M。 ③ 先放松结点 C，按单结点直接把M=150kN.m进行分配、传递，此时 C
暂时平衡，将结果填入表中。求出此时结点B的不平衡力矩。 ④ 再放松结点 B，将（ - MB ）进行分配、传递，此时 B 暂时平衡，而由
力法和位移法是求解超静定结构的两种基本方法。两种方法的共同特点都是 要列方程和解联立方程，计算烦琐。而力矩分配法是建立在位移法基础上的一 种渐近解法，计算过程按照重复步骤进行，结果逐渐接近真实解答。它无须解 联立方程而直接计算出杆端弯矩，方法简便，适合手算。适用范围是连续梁和 无侧移刚架的内力计算。
情景二 用力矩分配法计算连续梁 学习能力目标
掌握力矩分配法计算连续梁并绘制弯矩图。
项目表述
运用力矩分配法计算多跨连续梁结构。
学习进程
情景二 用力矩分配法计算连续梁
项目实施
案例 3 – 17 图 3 – 62a 所示为两跨梁，试用力矩分配法求杆端弯矩，并作 M 图。
解答：（1）计算分配系数 同一结点各杆分配系数之和等于 1，把算好的μ 值填在表格 3 – 5中B结点处。 （2）计算固端弯矩（查表 3 – 4） （3）放松刚结点 B 进行力矩分配 （4）计算传递弯矩 （5）计算杆端弯矩 把同一杆端的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加（代数和），即得杆端弯
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
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加于刚结点 1 的外力矩按分配系数分配给各杆的 1 端（近端），称 其 为分配弯矩。
3．传递系数 C 如图 3 – 60 所示，当外力矩 M 加于结点 1 时，该结点发生转角.1 ， 于是各杆近端和远端都将产生杆端弯矩，这些杆端弯矩值如下
情景一 力矩分配法的基本原理和要素
解答：① 求分配系数。 ② 锁住结点 B、C，求各杆的固端 M。 ③ 先放松结点 C，按单结点直接把M=150kN.m进行分配、传递，此时 C
暂时平衡，将结果填入表中。求出此时结点B的不平衡力矩。 ④ 再放松结点 B，将（ - MB ）进行分配、传递，此时 B 暂时平衡，而由
结构力学 位移法
1
第七章 位移法
7-1 位移法的基本概念
2
求解超静定结构的两种最基本的方法：
力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选 用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别： 3
基本未知量不同
（位移法基本方程）
在(1)(2)条件成立条件下，基本结构 的内力和位移与原结构相同。
解位移法基本方程
结点位移 未知量
内力
适用范围：
6
力法: 超静定结构
位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
7
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
位移法的准备工作
力法：以多余未知力基本未知量
位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路：
力法：
先求多余未知力
结构 内力
结构 位移
力法的解题过程
4
力法的全部计算均在基本结构上
原结构
超静定结构
确定基本未知量： 多余未知力Xi
基本结构
施加条件:
原结构的变形协调条件
（力法基本方程）
在变形条件成立条件下，基本体 系的内力和位移与原结构相同。
8
三种单跨超静定梁作为基本构件
常用的形常数：杆轴弦转角
9
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.
1
A
B
+
−
i
i = EI 线刚度
l
M AB = i MBA = −i
第七章 位移法
7-1 位移法的基本概念
2
求解超静定结构的两种最基本的方法：
力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选 用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别： 3
基本未知量不同
（位移法基本方程）
在(1)(2)条件成立条件下，基本结构 的内力和位移与原结构相同。
解位移法基本方程
结点位移 未知量
内力
适用范围：
6
力法: 超静定结构
位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
7
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
位移法的准备工作
力法：以多余未知力基本未知量
位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路：
力法：
先求多余未知力
结构 内力
结构 位移
力法的解题过程
4
力法的全部计算均在基本结构上
原结构
超静定结构
确定基本未知量： 多余未知力Xi
基本结构
施加条件:
原结构的变形协调条件
（力法基本方程）
在变形条件成立条件下，基本体 系的内力和位移与原结构相同。
8
三种单跨超静定梁作为基本构件
常用的形常数：杆轴弦转角
9
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.
1
A
B
+
−
i
i = EI 线刚度
l
M AB = i MBA = −i
结构力学--超静定问题典型习题解析
4
3
代入变形协调方程 wB = wC + ∆BC ，得
3 F a3 F a q(2a )4 FN (2a ) − = N + N 8EI 3EI 3EI EA
解得 FN =
2 qa 2 qa 3 A = 2 1 3a A + I 3+ 2 Aa
4
图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。
()
3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。
C
a q A 2a B FN FN B FN C a FN a D a D
解题分析：将杆 CB 移除，则 AB、CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 FN 作用在 AB，CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程
2⎡
2
=
FR 3 EI
⎛ 3π 2 − 8 π − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8π ⎝ ⎠
6 结构如图 a 所示， AC = AD = BC = BD = a ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。A、B 点为刚 性连接，C、D 点为铰连接。将 C、D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ∆ ， 强行相连后，在 A、B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？
C
D
A
B
A
B
(c-1) 题 1 图(c)
1
(c-2)
大家论坛
(d) 解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于
F ，剪力等于零，只剩 2
3
代入变形协调方程 wB = wC + ∆BC ，得
3 F a3 F a q(2a )4 FN (2a ) − = N + N 8EI 3EI 3EI EA
解得 FN =
2 qa 2 qa 3 A = 2 1 3a A + I 3+ 2 Aa
4
图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。
()
3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。
C
a q A 2a B FN FN B FN C a FN a D a D
解题分析：将杆 CB 移除，则 AB、CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 FN 作用在 AB，CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程
2⎡
2
=
FR 3 EI
⎛ 3π 2 − 8 π − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8π ⎝ ⎠
6 结构如图 a 所示， AC = AD = BC = BD = a ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。A、B 点为刚 性连接，C、D 点为铰连接。将 C、D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ∆ ， 强行相连后，在 A、B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？
C
D
A
B
A
B
(c-1) 题 1 图(c)
1
(c-2)
大家论坛
(d) 解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于
F ，剪力等于零，只剩 2
力法的计算步骤和举例
q a2
a
3 4
a
19qa4 4 8Ε Ι
2F
1 1.5ΕΙ
1 2
q a2
a
1 2
a
q a4 6ΕΙ
4）解方程求多余未知力。
5 6
Χ1
1 3
Χ2
19 qa 48
0
12 1 3 Χ1 9 Χ2 6 qa 0
Χ1
7 16
qa
Χ2
3 32
qa
5）绘制内力图。利用叠加公式M M1X1 M2 X2 MF
Ι1 Ι2
Χ 2
ql2 8
0
4）解方程求多余未知
力。令
Ι 2 /Ι1 k
Χ1
ql2 4
k2 3k 4
Χ2
ql 4
k 3k
4
负号表示未知力
和
1
的实际方向与所设方向相
2
反。
5）绘制弯矩图。由叠加公式 M M1X1 M2X2 MF 计 算各控制截面上的弯矩值,用叠加法绘制最后弯矩图， 如图5.14（f）所示。
４.解力法方程求多余未知力。 ５.绘制原结构的内力图。
一、超静定梁和超静定刚架
1.超静定梁
【例5.1】 图5.13(a)所示为一两端固定的超静定梁,全 跨承受均布荷载q的作用,试用力法计算并绘制内力图。
【解】 1）选取基本结构。如图5.13(b)所示。
q
A
EI
B
l
X1
q
X2
X3
A
B
l
(a)原结构
(b)基本结构
【解】1）选取基本结构。如图 5.15（b）所示。 2）建立力法方程。C点的水 平和竖向位移为零
结构力学第七章-位移法(一)
由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：
一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
结构力学讲稿七(课)
第七章力法本章介绍超静定问题的内力及位移计算。
§7-1超静定结构概述一、超静定结构：指几何不变的超静定结构；二、多余未知力、赘余力或冗力：多余约束/联系中的力，可以是内力，也可以是支反力例如：A B多余未知力F BF N多余未知力F N三、求解超静定问题所利用的条件1)平衡条件：静力平衡方程；2)几何条件：变形必须满足约束条件例如：1 1'Δu=Δv=Δφ=0A BΔBy=03)物理条件：应力应变关系，现指线弹性的应力应变关系。
四、求解超静定问题的两种基本方法1)力法，或柔度法：以多余未知力作为基本未知量柔度：单位力引起的位移。
2)位移法，或刚度法：以未知的结点位移作为基本未知量刚度：单位位移引起的力。
§7-2超静定次数的确定有三种确定超静定次数的方法一、解除多余的约束/联系：去掉多余约束/联系的数目等于超静定次数。
解除多余的约束/联系的方式：1)去掉一个链杆或切断一根二力杆，相当于去掉一个约束/联系，显示一个力或一对内力，例如：注意：约束/联系可以去掉，但其作用不能去掉。
2) 去掉一个固定铰支座，或拆开一个单铰，相当于去掉两个约束/联系，显示两个力或两对内力，例如：3)在刚结点处作一切口，或去掉一个固支端，相当于去掉三个约束/联系，显示三个力或三对内力，例如：4)将刚结点换成铰结点，相当于去掉一个约束/联系，显示一对弯矩，例如：5)将固支端换成固定铰支座，相当于去掉一个约束/联系，显示一个支反力偶，例如：6)将固定铰支座换成滚动铰支座，相当于去掉一个约束/联系，显示一个支反力，例如：注意：可以用不同的方式去掉多余约束，得到不同的静定结构，例如：A B A BA BABAB(1)(2)(3)(4)二、框格结构超静定次数的确定1)一个封闭无铰(也无铰支座)的框格，超静定次数是三次，若有f个封闭无铰的框格，则超静定次数是3×f次，例如：2)若结构上还有若干个铰，等效于h个单铰，则超静定次数是3×f - h次，例如：最终结构的超静定次数是3×7 –2– 3=16次3)地基本身围成的框格不算，即地基作为一个开口的刚片，例如：三、由计算自由度W确定超静定次数n =－W此法对于桁架结构较适用，因为桁架结构的杆件数很容易确定。
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
结构力学 力法计算超静定结构
项目三 超静定结构的内力计算
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
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② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
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③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
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结构力学李廉锟 第七章 答案
、 FN 图。 q C C B
L
q B
X2 X1
L
EI=常数
EI=常数
A
L
A
基本体系
L
解： （1）该结构为二次超静定结构，拆除 B 点多余联系，得到基本体系。 （2）根据位移条件，得：
⎧δ11 X 1 + δ12 X 2 + Δ1P = 0 ⎨ ⎩δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + Δ 2 P = 0
（4）求解出多余未知力。
⇒ X 1 = −0.146 F
（5）按照叠加法做出最后弯矩图如下。
FN = FN 1 X 1 + FN P
F C 0 A 0
-F
D F 0
2 2
C
2 2
=1 X1
D
2 2
a
0.104F
F 46 .1 -0
C
0.104F
D
0.104F
a
a
-1 2 2 a
FN1图
0
a
FNP图
B
A
B
A
0.104F
a
FN 图
B
7－12 图示组合结构 A = 10 I / l 2 ，试按去掉 CD 杆和切断 CD 杆两种不同的基本体系， 以 建立典型方程进行计算，并讨论当 A → 0 和 A → ∞ 时的情况。
F
A I D L L C A I
B L/2
F
A C
FL/2
MP
B L/2 L
D L
解： （1）该结构为一次超静定结构。 （2）根据位移条件，得：
q=2kN/m A
5I I
q=2kN/m
B
6m 3m
L
q B
X2 X1
L
EI=常数
EI=常数
A
L
A
基本体系
L
解： （1）该结构为二次超静定结构，拆除 B 点多余联系，得到基本体系。 （2）根据位移条件，得：
⎧δ11 X 1 + δ12 X 2 + Δ1P = 0 ⎨ ⎩δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + Δ 2 P = 0
（4）求解出多余未知力。
⇒ X 1 = −0.146 F
（5）按照叠加法做出最后弯矩图如下。
FN = FN 1 X 1 + FN P
F C 0 A 0
-F
D F 0
2 2
C
2 2
=1 X1
D
2 2
a
0.104F
F 46 .1 -0
C
0.104F
D
0.104F
a
a
-1 2 2 a
FN1图
0
a
FNP图
B
A
B
A
0.104F
a
FN 图
B
7－12 图示组合结构 A = 10 I / l 2 ，试按去掉 CD 杆和切断 CD 杆两种不同的基本体系， 以 建立典型方程进行计算，并讨论当 A → 0 和 A → ∞ 时的情况。
F
A I D L L C A I
B L/2
F
A C
FL/2
MP
B L/2 L
D L
解： （1）该结构为一次超静定结构。 （2）根据位移条件，得：
q=2kN/m A
5I I
q=2kN/m
B
6m 3m
结构力学
因 B 0, QAB QBA 0 EI l MBA
1 A 代入（2）式可得 l 2
M AB i A M BA i A
A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数(即刚度系数， 是只与截面尺寸和材料性质有关的常数)。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
关于刚架的结点未知量
A P C
q
B A
A
A
B
M AB
A
P C
M AB
A
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
θA
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
2 EI A l
A l
βA EI=常数
C
A
C
F1=0
ql2/48
2
2 EI A l
B
2 EI A l
4i
2 EI A l
B
ql3 A 96EI
4 EI θA A l
§2 等截面杆件的刚度方程
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB ，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为 正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。 P B A MBA0 MAB0 2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。 P B A QAB0 QBA0
A A
A A F1 0 A A F1 0
陈焕龙---多跨超静定梁内力计算(力矩分配法)
FQCD=143.33kgFQDC=96.67kgFAy=96.67kgFBy=263.33kgFCy=263.33kgFDy=96.67kg
1.036 0.072
-0.018
18.75
1.172
0.072
最后弯矩
70
-70-70
70
3.计算分配弯矩与传递弯矩:如图
4.计算杆端最后弯矩:
5.由图所示隔离体的平衡条件,即可算得各杆的杆端剪力和梁的支座反力如下:
FQAB=9பைடு நூலகம்.67kgFQBA=-143.33kg
FQBC=120kgFQCB=120kg
多跨超静定梁内力计算力矩分配法参考结构力学第七章及p111计算结果相当与结构力学或钢混的系数法2
多跨超静定梁内力计算----力矩分配法
(参考结构力学第七章及P111)
(计算结果相当与结构力学或钢混的系数法)
--------陈焕龙
1.先求个杆端的分配系数:
( )
2.计算个杆的固端弯矩:(参考结构力学P111)
分配系数
0.5
0.5
0.5
0.5
固端弯矩
090
-6060
-90
B一次分配传递
C一次分配传递
B二次分配传递
C二次分配传递
B三次分配传递
C三次分配传递
B四次分配传递
-15
-4.687
–0.293
-0.018
-15 -7.5
9.375 18.75
-4.687 -2.334
1.586 1.172
–0.293 -0.146
1.036 0.072
-0.018
18.75
1.172
0.072
最后弯矩
70
-70-70
70
3.计算分配弯矩与传递弯矩:如图
4.计算杆端最后弯矩:
5.由图所示隔离体的平衡条件,即可算得各杆的杆端剪力和梁的支座反力如下:
FQAB=9பைடு நூலகம்.67kgFQBA=-143.33kg
FQBC=120kgFQCB=120kg
多跨超静定梁内力计算力矩分配法参考结构力学第七章及p111计算结果相当与结构力学或钢混的系数法2
多跨超静定梁内力计算----力矩分配法
(参考结构力学第七章及P111)
(计算结果相当与结构力学或钢混的系数法)
--------陈焕龙
1.先求个杆端的分配系数:
( )
2.计算个杆的固端弯矩:(参考结构力学P111)
分配系数
0.5
0.5
0.5
0.5
固端弯矩
090
-6060
-90
B一次分配传递
C一次分配传递
B二次分配传递
C二次分配传递
B三次分配传递
C三次分配传递
B四次分配传递
-15
-4.687
–0.293
-0.018
-15 -7.5
9.375 18.75
-4.687 -2.334
1.586 1.172
–0.293 -0.146
结构力学——力矩分配法讲解
力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆 端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相 同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的 外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为 对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。
3、力矩分配法的三要素 （用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先 解决三个问题：）
（1）计算单跨超静定梁的固端弯矩 固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁，
在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力 法计算或在计算表中查得。
（2）计算结点各杆端的弯矩分配系数μ
（3）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数C
4、相关参数的概念
（1）转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力，在 数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩。
B
C
M BC 0 42.9 42.9 M CB 0
A
RB' P RBP
B
C
通常采用列 表方式计算
q 12kN / m
A EI
10m
B EI
C
10m
0.571 0.429
M F 100 100 0
0
分 配
28.6
57.1 42.9
0
传
递
M 128.6 42.9 42.9
0
128.6
42.9
M
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q 10 kN/m
A EI
4m
要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无 侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩 分配法计算有侧移刚架。
第一节 力矩分配法的基本概念
一、引言
3、力矩分配法的三要素 （用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先 解决三个问题：）
（1）计算单跨超静定梁的固端弯矩 固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁，
在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力 法计算或在计算表中查得。
（2）计算结点各杆端的弯矩分配系数μ
（3）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数C
4、相关参数的概念
（1）转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力，在 数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩。
B
C
M BC 0 42.9 42.9 M CB 0
A
RB' P RBP
B
C
通常采用列 表方式计算
q 12kN / m
A EI
10m
B EI
C
10m
0.571 0.429
M F 100 100 0
0
分 配
28.6
57.1 42.9
0
传
递
M 128.6 42.9 42.9
0
128.6
42.9
M
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。
40 kN
q 10 kN/m
A EI
4m
要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无 侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩 分配法计算有侧移刚架。
第一节 力矩分配法的基本概念
一、引言
《结构力学》第七章力法
A点的位移
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
沿X1方向：
沿X2方向：
沿X3方向：
据叠加原理，上述位移条件可写成
原结构
基本结构
△1=
（7—2）
（a）
（b）
11
21、22、23和△2P ；
31、32、33和△3P 。
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
11X1
+12X2
+13X3
11X1+12X2+△1P=0 21X1+22X2+△2P=0 33X3+△3P=0
则 X3=0 。
这表明：对称的超静定结构，在对称的荷载作用下， 只有对称的多余未知力，反对称的多余未知力必为零。
↓
↓
a
a
P
P
↓
↓
P
P
MP图
（2）对称结构作用反 对称荷载
MP图是反对称的，故
2 .确定超静定次数的方法:
解除多余联系的方式通 常有以下几种：
（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。
↓
↑
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系 或多余未知力的数目。
↓
↑
←
→
多余联系或多余未知力的个数。
多余未知力：
多余联系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
返 回
*
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁; （2）超静定桁架； （3）超静定拱；
《结构力学(第5版)》第7章 力法
§7-3 力法的基本概念
δ11—表示X1=1时，B点沿X1方向的位移，Δ11= δ11X1。
11 + 1P=0 可写为 11X1 Δ1P 0
力法基本方程
绘出基本结构在X1=1、荷载q作用下 的弯矩图，如图a、b。
11
1 EI
l2 2
2l 3
l3 3EI
Δ1P
1 EI
(1 3
l2 2
l)
ql 4 8EI
各内力图如图c、d。
基本体系
§7-5 力法的计算步骤和示例
计算系数和自由项。
11
5l 3 27 EI
Δ1P
7ql 4 216 EI
解得
X1
7 40
ql
叠加法作弯矩图 M M1 X1 M P
弯矩图如图e。
§7-6 对称性的利用
1、选取对称的基本结构
对称的意义：（1）结构的几何形状和支承情况对称 （2）各杆的刚度（EI、EA等）也对称
基本体系
典型方程为
11X1 12 X 2 13 X 3 Δ1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 Δ2P 0 31X1 32 X 2 33 X 3 Δ3P 0
各弯矩图如图c、d、e、f 。
因 M 3 0，FS3 0，FN1 FN2 FNP 0
故 13 31 0， 23 32 0，Δ3P 0
6次超静定
图a所示结构，在拆开单铰、切断链杆、切开刚结处后，得到图b所示静定结构 同一超静定结构，可以用不同方式去掉多余联系，如图c、d所示静定结构 对于有较多框格的结构，一个封闭无铰的框格，其超静定次数等于3。
21
16
9
次
次
次
超
超
结构力学 力法 超静定次数的确定
1 0
变形条件
在变形条件成立条件下,基本体系的内力和 位移与原结构等价.
湖南交职院
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§7-3 力法的基本概念
A B
结构力学
基本结构（悬臂梁）
超静定结构计算
基本结构
静定结构计算
对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。
A
q
△ 11
B
△1P
A
B
X1
湖南交职院
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§7-3 力法的基本概念
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§7-1 超静定结构概述
思考：多余约束是多余的吗？
结构力学
从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。
q q B l
A
q 8 l2
A
A C
0.5l 0.5l
2
B
B
A
ql
2
ql 32
C
B
ql
2
64
64
超静定结构的优点为: 1. 内力分布均匀 2. 抵抗破坏的能力强
退出 返回
结构力学
在荷载作用下B 点产生向下的位移为⊿1P, 未知力 的作用将使B点产生的向上的位移为⊿1X 。 要使体系的受力情况与原结构一样, 则必须B 的 位移也与原结构一样，要求： 位移协调条件Δ1=Δ1X+Δ1P=0 (a)
静定悬臂刚架
静定三铰刚架
（5）去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1) 个约束。 （6）去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1) 个约束。
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(b) A
q X 1
C
"基 本 体 系 "
法中把原超静定结构称为原 (c) A
结构，去掉多余联系后的静
11
B X 1
C
定结构称为基本结构。所去
q
(d)
掉的多余联系，则以相应的
A
B
C
ip
多余未知力X1来代替。
图7-4
这样，基本结构就同时承受着荷载和多余未知力X1的作用， 基本结构在原有荷载和多余未知力X1共同作用下的体系称为力 法的基本体系。现在分析一下如何计算X1 。对原结构讲它代 表B支座反力，是一个被动力，而对基本结构来讲它是一个主
1P
M1MP ds EI
1[1l(2lFllPl)]
EI 6 2
2 22
5Fl3 48EI
(5) 解力法方程。
X1
1P
11
5F 16
所得正号说明X1的实际方向与假设方向相同。
结构力学第七章计算超静定梁结构力 学
2．求解超静定结构要考虑的条件
求解任何超静定结构，都要考虑三个方面的条件： （1）平衡条件；（2）几何条件（变形条件或位移条件）； （3）物理条件。
力法和位移法是超静定结构计算的两种基本方法。力法 是以多余联系的约束力——多余未知力作未知量,位移法则是 以结点的某些位移作为基本未知量。计算超静定结构除上述 两种方法外,常用的还有力矩分配法、有限单元法等。
力法的基本特点可归纳如下： 1.以多余未知力(被撤消多余联系处的约束力)为基本未 知量。 2.根据所去掉的多余联系处的变形协调条件建立力法方 程，从而求出多余未知力。 3.根据平衡条件求出全部反力及内力。 4.一切计算均在基本结构上进行。
例7-1 用力法计算图7-5(a)所 (a) A
l
示单跨超静定梁的内力。EI为
(a )
(b )
(c )
(d )
A
B
A
B X1
X1 A
B
图7-3
A
B
§7-3 力法的基本概念
以简单例子来说明力法 (a)
q
的基l2
图7-4(a)所示的连续梁超
"原 结 构 "
静定次数=1。若将B支座链杆 当作多余联系而去掉，代图
7-4之以多余未知力X1，得到 图7-4(b)所示基本结构。在力
"原 结 构 "
2
常量。
(b) A
解： (1) n=1。
"基 本 体 系 "
(2) 选图7-5(b)为基本结构。 (c) A
(3) 列力法方程。
11 X11P0
(4) 求 11、 1P。利用图乘法 求 11 、 1P ，为此应分别画出基
本结构在 X 1 =1及荷载P作用下
M 1图 l
F l 2 (d) M p图 A 6 32F l (e) A M 图
§7-2 超静定次数的确定
1．超静定次数
超静定结构多余联系的数目称为该结构的超静定次数, 并用表示。多余联系中的力称为多余未知力。
(a)
(b)
n=1
X1
X1
X1 n=1
X1
X1
X3 X1
X3 X1
(c)
X2 X2
(d)
X2 X2
n=2 (e)
n=1
X1 X1
n=3 (f)
图7-2
X1 n=1
2．超静定次数的确定
去掉多余约束后,则必须用与其对应的约束力代替其作用,
这个约束力用广义力表示,其中=1,2,3,……。图7-2(b)、(c)、(d)、 (e)所去掉的约束均为限制切口两侧截面的相对位移,故对应的约 束力应为一对大小相等方向相反的多余未知力。对于同一个超 静定结构,其超静定次数是一个定值,但哪些联系可以当作多余联 系却有多种方案,总的原则必须是保证在去掉多余约束后得到的 是一个静定的几何不变的结构。图7-3(a)所示结构=1,把A或B支 座处水平链杆当作多余联系,去掉它们均可得到一个静定的结构， 见图7-3(b)、(c)。但若将A或B支座处的竖向链杆去掉,则图7-3(d) 就成为一个几何可变体系,这是因为上述竖向链杆不是多余约束。
达如下：
Δ1 =0
(a)
等式左端表示基本结构在作用点的竖向线位移(沿方向的 位移)，等号右端表示原结构在B点的竖向线位移。设、分 别表示基本结构在及荷载单独作用时，作用点沿方向的位
移，其符号都以沿假定的方向为正，见图7-4(c)、(d)，根据
叠加原理，变形协调条件式(a)可写为
111P0
(b)
若用表示当=1时B点的竖向线位移，则，于是(b)式又可
写为：
11 X11P0
(7-1)
式中的及均为静定结构在已知力作用下的位移，完全可用
第六章所学方法进行计算，则多余未知力即为
X1
1P
11
(c)
基本结构在及荷载共同作用下的支座反力、内力均可利用
静力平衡方程得到。
由前面分析可知，基本结构的反力、内力也就是原结
构的反力、内力。这种在基本结构上利用变形协调条件 首先求出多余未知力，然后再根据平衡条件求出全部反 力及内力的计算方法，称为力法，式(7-1)称为力法方 程。
动力，只要给X1任意值(保证结构不被破坏为前提)，则荷载q、 X1及A、C支座反力都能构成一组平衡力系，为了确定多余未 知力，则必须考虑基本结构在X1作用点处的变形条件。由于基 本结构在受力与变形两方面同原结构应一致，本例中原结构在
B支座处无竖向线位移，因此基本结构在X1 、q共同作用下B 处的竖向线位移也必须等于零。这一变形协调条件可用公式表
力法计算时,首先要判断结构的超静定次数。一般常用去 掉多余联系使原结构变成静定结构的方法进行。去掉多余 联系的方式常用以下几种：
（1）切断一根链杆或去掉一个支座链杆相当于去掉一个 联系，如图7-2(a)、(b)所示。
（2）去掉一个单铰相当于去掉两个联系，如图7-2(c)所示。 （3）切断一根受弯杆件相当于去掉三个联系，如图7-2(d) 所示。 （4）将受弯杆件的刚性联结改为铰结或将固定支座改为 固定铰支座,相当于去掉一个联系，如图7-2(e)、(f)所示。 （5）一个封闭无铰的框格,其超静定次数等于3，见图72(d)所示。当结构有f个封闭无铰框格时,其超静定次数为3f。 当结构有若干个铰结点时，设单铰数目为h，则超静定次数 n=3f-h。
弯矩图 M 1 图、M P 图，如图75(c)、(d)所示。
(f) F S 图 A
11 16F
(+)
F
C
l
2
F
C X 1
l 2
F
X 1= 1
5 32F l
(-)
5 16F
图7-5
由于虚拟状态的 M 图与 M 1 图相同，故
11 M E 1 M I d s E 1(1 2 I l l 3 2 l) 3 lE 3 I