经济 博弈论4

本章分三节
4.1 重复博弈引论 4.2 有限次重复博弈 4.3 无限次重复博弈
4.1 重复博弈引论
4.1.1 为何研究重复博弈 4.1.2 基本概念
4.1.1 为何研究重复博弈
经济中的长期关系 人们的预见性 未来利益对当前行为的制约 长期合同、回头客、长客和一次性买卖的区别 有无确定的结束时间
重复博弈的得益
平均得益：如果一常数π 作为重复博弈（有限次 重复博弈或 无限次重复博弈）各个 阶段的得益，能产生与 得益序列
π 1， 2 , L 相同的现在值，则称π 为π 1， 2 , L的平均得益 π π
有限次重复博弈不一定考虑贴现因素 无限次重复博弈必须考虑贴现问题π = (1 − δ )∑ δ t −1π t
t =1 ∞
4.2 有限次重复博弈
4.2.1 两人零和博弈的有限次重复博弈 4.2.2唯一纯策略纳什均衡博弈 的有限次重复博弈 4.2.3多个纯策略纳什均衡博弈 的有限次重复博弈 4.2.4 有限次重复博弈的民间定理
4.2.1 两人零和博弈的有限次重复博弈
零和博弈是严格竞争的，重复博弈并不改变这 一点。 以零和博弈为原博弈的有限次重复博弈与猜硬 币博弈的有限次重复博弈一样，博弈方的正确 策略是重复一次性博弈中的纳什均衡策略。
两市场博弈
(A,B)+(A,B) OR (B,A)+(B,A)——(1,4)(4,1) 连续两次采用混合策略——(2,2) (A,B)+(B,A) OR (B,A)+(A,B)——(2.2,2.5)轮换 策略 一次纯策略+一次混合策略——(1.5,3)(3,1.5)
重复博弈不同策略、均衡及一次性博弈得益比较 不同策略组合、均衡得益图示
2
4δ 1− δ
当
4.5 4δ ≥ 5.0625 + 即δ ≥ 9 17 1− δ 1− δ
上述策略是厂商2对厂商1的同样触发策略的最佳反应， 否则偏离是最佳反应。
4.3.4 有效工资率
模型设定： 模型设定 首先厂商选择工资率为 w ，然后工人选择接受或拒绝。 如果拒绝，则他作个体户得到收入 w 小于 w ，如果接 受 w ，则工人选择努力工作（负效用 e ）还是偷懒（无 负效用）。 厂商只能看到产量高低，高产量为 y > 0 ，低产量0。 工人努力工作时一定是高产量 y ，不努力时却并不一 定是0，而是高产量 y 的概率为 p ，低产量0的概率 为 1− p 。 工人努力工作时，厂商得益为 y − w ，工人得益 为 w − e ； 工人偷懒时，厂商期望得益为 py − w ，工人 得益为 w 。
厂商1得益
厂商2 得益
(1,4) (3,3)
w=(1.1) (1，1)
(4,1)
4.3 无限次重复博弈
4.3.1 两人零和博弈的无限次重复博弈 4.3.2 唯一纯策略纳什均衡博弈 的无限次重复博弈 4.3.3 无限次重复古诺模型 4.3.4 有效工资率
4.3.1 两人零和博弈的无限次重复博弈
两人零和博弈无限次重复的所有阶段都不可能发生合 作，博弈方会一直重复原博弈的混合策略纳什均衡
q2
2
2
2
q2
2
2
解得 q = 2.25 ，此时利润为5.0625，高于触发策略 第一阶段得益4.5。
2
但从第二阶段开始，厂商1将报复性地永远采用古诺产 量2，这样厂商2也被迫永远采用古诺产量，从此得利润4。 因此，无限次重复博弈第一阶段偏离的情况下总得益的现 值为：
5.0625 + 4(δ + δ + L) = 5.0625 +
s
* 0
*
s
s
1− δ
s
0
1 − δp 1−δ 因此当 V > V 即 w > w + δ (1 − p ) e = w + e + δ (1 − p ) e
*
e
s
0
0
时，努力是工人的最佳选择。 反过来，设工人已采用上述触发策略。若厂商给的工资 率满足上式条件，并且威胁一旦产量降低就解雇工人，则各 阶段的得益为 y − w ，无限次重复博弈得益现值为 ( y − w ) (1 − δ ) 。若不愿给 w* ，则解雇工人，以后得益为0。 因此只要 − w ≥ 0 ，厂商选择前述触发策略就是最佳反应。 y
0 0
考虑如下的触发策略： 考虑如下的触发策略 厂商在第一阶段给工资率 w ，在第t阶段，如果前面t-1 阶段结果都是( w , y ) 则继续给 w * ，否则从此永远 是w = 0 。 工人的策略是如果 w > w 则接受，否则宁愿作个体 户得到 w ，并在以前各期结果都是( w , y ) 和当前工资率 为 w * 时努力工作，否则偷懒。
第四章 重复博弈
本章介绍基本博弈重复进行构成的重复博弈。 虽然形式上是基本博弈的重复进行，但重复博弈中 博弈方的行为和博弈结果却不一定是基本博弈的简 单重复，因为博弈方对于博弈会重复进行的意识， 会使他们对利益的判断发生变化，从而使他们在重 复博弈过程中的行为选择受到影响。这意味着不能 把重复博弈当作基本博弈的简单叠加，必须把整个
因此当 δ > 1 / 4 时，此触发策略纳什均衡策略
两寡头削价竞争无限次重复博弈的民间定理
无限次重复博弈民间定理：设G是一个完全信息 的静态博弈。用(e1 , L , en )记G的纳什均衡的得益， 用( xi , L , xn )表示G的任意可实现得益。如果xi > ei
厂商2 得益
4.3.2唯一纯策略纳什均衡博弈 的无限次重复博弈
两寡头削价竞争博弈
H H L 4，4 5，0 L 0，5 1，1
该博弈一次性博弈均衡是都采用低价，是囚徒困境 型博弈
无限次重复两寡头削价博弈
触发策略：第一阶段采用H，如果前t-1阶段的结果 触发策略 都是(H,H)，则继续采用H，否则采用L。 如果博弈方2采用L，总得益现值为 δ π = 5 + 1× δ + 1× δ 2 + L = 5 + 1−δ 如果博弈方2采用H，总得益现值为
两次重复三价博弈的等价模型
触发策略：两博弈方先试探合作，一旦发现对方不合作则也用不合作报复 触发策略 博弈方1：第一次选h；如第一次结果为(H,H)，则第二次选M，否则选L 博弈方2：同博弈方1
两市场博弈的重复博弈（重复两次）
厂商2 厂商 A 厂 A 商 1 B 3，3 4，1 B 1，3 0，0
*
*
*
综上所述，在满足 y − w ≥ 0和w ≥ w + e + 1 − δ e δ (1 − p)
* * 0
的条件下，双方的触发策略构成一个纳什均衡。而上述两式 实际上意味着 1− 1− δ y−e ≥ w + e δ (1 − p )
0
即工人努力的产出扣除努力负效用后的剩余，必须不小于工 人作个体户的收入即机会成本，加上一定比例的取决于努力 负效用、贴现系数和偷懒可能得高产量概率的附加部分。 最后这个不等式正是存在有效工资率，工作激励有效的 基本条件。
对任意博弈方i都成立，而δ足够接近1，那么无限 次重复博弈G (∞, δ )中一定存在一个子博弈完美纳
(5,0) (1,4) (3,3)
什均衡，各博弈方的平均得益为( x1 , L , xn )
(4,1) (1,1) (5,0)
厂商1得益
4.3.3 无限次重复古诺模型
假定： 假定 P = 8 − Q, 其中Q = q + q ，边际成本都为2。 在无限次重复古诺模型中，当贴现率δ 满足一定条件 时，两厂商采用下列触发策略构成一个子博弈完美纳什均 衡： 在第一阶段生产垄断产量的一半1.5；在第 t 阶段，如 果前 t-1 阶段结果都是(1.5,1.5)，则继续生产1.5，否则生产 古诺产量2。
-1，-1
（-5，-5） 囚徒2 囚徒 坦 白 不坦白 囚 坦白 -10，-10 -5，-13 徒 -13，-5 -6，-6 1 不坦白 （-10，-10）
有限次重复削价竞争博弈
寡头2 寡头 高 价 寡 高价 头 1 低价 100，100 150，20 低 价 20，150 70，70
有唯一纯策略纳什均衡 （70，70） 有限次重复的结果仍然是 （低价，低价）
4.1.2 基本概念
有限次重复博弈：给定一个基本博弈G（可以是静态博弈， 有限次重复博弈 也可以是动态博弈），重复进行T次G，并且在每次重复G 之前各博弈方都能观察到以前博弈的结果，这样的博弈过 程称为“G的T次重复博弈”，记为G(T)。而G则称为G(T) 的“原博弈”。G(T)中的每次重复称为G(T)的一个“阶 段”。 无限次重复博弈：一个基本博弈G一直重复博弈下去的博 无限次重复博弈 弈，记为G( ∞ ) 策略：博弈方在每个阶段针对每种情况如何行为的计划 策略 子博弈：从某个阶段（不包括第一阶段）开始，包括此后 子博弈 所有的重复博弈部分 均衡路径：由每个阶段博弈方的行为组合串联而成 均衡路径
厂商2 得益
(1,4)
(1.5,3)
(3,3) (2.5,2.5)
(2,2) (3,1.5) (4,1)
厂商1得益
4.2.4 有限次重复博弈的民间定理
个体理性得益：不管其它博弈方的行为如 个体理性得益 何，一博弈方在某个博弈中只要自己采取 某种特定的策略，最低限度保证能获得的 得益 可实现得益：博弈中所有纯策略组合得益 可实现得益 的加权平均数组 定理：设原博弈的一次性博弈有均衡得益 定理 数组优于w，那么在该博弈的多次重复中 所有不小于个体理性得益的可实现得益， 都至少有一个子博弈完美纳什均衡的极限 的平均得益来实现它们
*
*
0
*
0
设厂商已采用上述触发策略。由于 w > w ，工人接 受工作是最佳反应。用 V 记工人努力工作时无限次重复 博弈得益的现值，则V = ( w − e) + δV 即 V = ( w − e) (1 − δ )