数学：3.2导数的计算选修1-1
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
旧知回顾 求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值 （3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中 为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当 时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得： 求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数 和 的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设 ，若()ln f x x x = ，则 （ ）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 在点（1, )处的切线与直线 平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、 求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数 可以看做函数 和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。
2014年人教A版选修1-1课件 3.2 导数的计算
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以 下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何? (1) y=c (c为常数); (2) y=cx (c为常数); (3) y=x2; (4) y = 1 . x (2) y=cx, y f ( x x ) f ( x ) y = lim = lim x 0 x x 0 x c( x x ) cx 几何意义: = lim x 0 x 直线 y=cx 的切线是它本身, = lim c = c. x 0 切线的斜率就是此直线的斜率 c. 物理意义: 路程线性增加, 则速度为匀速 c.
解: y=3x, f ( x x ) f ( x ) y = lim x 0 x 3( x x ) 3 x = lim x 0 x = lim 3 = 3.
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以 下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何? (1) y=c (c为常数); (2) y=cx (c为常数); (3) y=x2; (4) y = 1 . x 1, y = (4) x y f ( x x ) f ( x ) y y = lim = lim x 0 x x 0 x 1 1 几何意义: o x = lim x x x 曲线在每一点的切线 x 0 x 的斜率都是负的. 1 = lim x 0 x( x x ) = 12 . x
解: y=2x, f ( x x ) f ( x ) y = lim x 0 x 2( x x ) 2 x = lim x 0 x = lim 2 = 2.
x 0
(2x)=2.
y 4 3 2
y=4x y=3x y=2x
o
1
x
练习: (课本82页 “探究”) 1. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=2x, y=3x, y=4x 的图象, 并根据导数定义, 求它们的导数. (1) 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? (2) 这三个函数中, 哪一个增大得最快? (3) 函数 y=kx (k≠0) 增 (减) 的快慢与什么有关?
2022-2021年《金版学案》数学·选修1-1(人教A版)习题：3.2导数的计算
第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算A 级 基础巩固 一、选择题 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6′＝cos π6；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π6＝12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误；⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝0－（x 12）′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x ，所以④正确． 答案：B2．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±1解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以 x 0＝±2. 答案：C3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2·（x ＋3）′（x ＋3）2＝ 2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2. 答案：A4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析：由于y ＝e x ，所以 y ′＝e x ，所以 y ′|x ＝2＝e 2＝k ，所以 切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，所以 S 三角形＝12×|－e 2|×1＝e 22.答案：D5．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：由于f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y ＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，由于f′(x)＝4x3－1，所以4x30－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是____________________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3[(x＋1)2＋1]，所以当x＝－1时，y′取最小值3.此时切点坐标为(－1，－14)．所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sinx2cosx2.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：由于y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)由于y＝(x－2)2＝x－4x＋4，所以y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x－12.(3)由于y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，所以y′＝x′－⎝⎛⎭⎪⎫12sin x′＝1－12cos x.10．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解：设切点为(x0，y0)．则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，所以切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，所以y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，所以切线方程为9x－y＋16＝0.B 级 力量提升1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1， 设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，由于t ＋1t ≥2，所以 y ′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：D2．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 解析：依据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即＝1.由于y ′＝(e x)′＝e x，所以 e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.答案：223．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f ′(x )＝a ＋bx2.由于点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， 所以 f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝74，f （2）＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.所以 f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)证明：设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20（x －x 0），y ＝x得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.所以 曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0||－6x 0|＝6，为定值．。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.2
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
已知极值求参数
已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 与 x＝－23时都取 得极值．
(1)求 a，b 的值； (2)若 f(－1)＝32，求 f(x)的单调区间和极值．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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横看成岭侧成峰，远近高低各不同． 不识庐山真面目，只缘身在此山中． 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最 高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定 是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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解析： (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令 f′(x)＝0，由题设知 x＝1 与 x＝－23为 f′(x)＝0 的解． ∴11－ ×23－＝23－＝23ab3，. ∴a＝－12，b＝－2.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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x
(－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
由表可以看出：
当 x＝－1 时，函数有极小值，且 f(－1)＝－22－2＝－3； 当 x＝1 时，函数有极大值，且 f(1)＝22－2＝－1.
推荐-高中数学人教A版选修1-1课件3.2 导数的计算(2)
(4)若 f(x)=cos x,则 f'(x)=-sin x;
(5)若 f(x)=ax,则 f'(x)=axln a(a>0);
(6)若 f(x)=ex,则 f'(x)=ex;
(7)若
f(x)=logax,则
f'(x)=
1 ������ln������
(������
>
0,
且������≠1);
(8)若 f(x)=ln x,则 f'(x)= 1������.
=
(������ + 1)2
(������ + 1)-(������-1)
2
= (������ + 1)2 = (������ + 1)2.
方法二:∵y=
������-1 ������+1
=
������+1-2 ������+1
=
1
−
������+2 1,
∴y'=
1-
2 ������+1
′=
-
2 ������+1
������cos������+cos������ ������2
解析:y'=
(cos������)'������-cos������ ������2
=
−
������sin������������+2 cos������.
答案:C
知识梳理
【做一做 3-2】 下列求导运算正确的是( )
A.
������
3.2 导数的计算
-1-
目标导航
1.能应用导数的定义求函数
高中数学新课标人教A版选修1-1《3.2.2 导数的运算法则》课件
1＋ x 1－ x (2)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (3)y＝x· tan x.
1 g′（x） 时，有g（x）′＝－ 2 . g （x）
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商
f（x） 的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 g（x）′
f′（x） ＝ 这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积 g′（x） 与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商 的导数法则中分子上是“－”．
2．变形化简，减少求导的运算量 应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时， 在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则， 应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简， 然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
题型一 求导法则的直接运用 【例 1】 求下列函数的导数． (1)y＝3x－lg x； x＋3 (3)y＝ 2 ； x ＋3 (2)y＝(x2＋1)(x＋1)； (4)y＝－sin x＋ex.
是什么？ 提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进 行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)±…±f′ n (x)． ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
题型二 导数求导法则的灵活运用 【例 2】 求下列函数的导数： 2 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－cos x； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝ ； x x x (4)y＝x－sin cos . 2 2 [ 思路探索 ] 可先对函数解析式进行化简化为基本初等函数的 和、差、积、商，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法 则求解．
【数学】3.2《导数的运算》测试(苏教版选修1-1)
导数的运算测试一、选择题(每小题5分，共50分)1.下列结论正确的是 （ ）A.若y=sinx ，则y ’=-cosxB. 若y= cosx ，则y ’=-sinxC. 若y=x 1 ，则y ’=-21xD. 若y=x ，则y ’=x 21 2.已知f(x)=x 3，则f ’(2)= （ ）A.0B.3x 2C.8D.123.已知f(x)=x 3的切线的斜率等于1，则其切线方程有 （ ）A.1个B.2个C.多于两个D.不能确定4.若对于任意x ，有f ’(x)= 4x 3 ，f(1)= -1，则此函数值为 （ ）A. f(x)=x 4B. f(x)=x 4-2C. f(x)=x 4+1D. f(x)=x 4+25.曲线y=3x 上的一点P(0,0)的切线的方程为 （ ）A.y=-xB.x=0C.y=0D. 不存在6.y=2x 3+3x +cosx ，则y ’= ( )A. 6x 2+x -2/3-sinxB. 2x 2+31x -2/3-sinxC. 6x 2+31x -2/3+sinxD. 6x 2+31x -2/3-sinx 7.f(x)= sin α-cosx ，则f ’(α)= （ ）A. sin αB. cos αC. sin α+ cosx αD. 2sin α8.下列求导数运算正确的是 （ ） A.(x+x 1)’=1+21xB.(log 2x)’=2ln 1xC.(3n )’=3x log 3e )D.(x 2cosx)’=-2xsinx 9. 函数f(x)=x 3-3x 2+1是减函数的区间是 （ ）A.[)+∞,2B.(]2,∞-C. (]0,∞-D.[0,2]10.y=sinx(cosx +1)的导数是 （ ）A. cos2x -cosxB. cos2x+sinxC. cos2x +cosxD. cos2x -sinx二、填空题（每小题5分，共20分）11.质点运动方程是s=t 2(1+ sint)，则当x=2π时，瞬时速度为____________。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
人教A版高中数学选修1-1 第三章3.2导数的计算
－2＝0 的距离最短．
因为 y′＝(x2)′＝2x，
所以 2x0＝1，所以 x0＝12，
所以切点坐标为12，14，
所以所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
归纳升华 1．本题的两种解法利用的知识有所不同，常规解法 利用的是两平行线之间的距离公式，巧妙解法利用的是导 数及点到直线的距离公式． 2．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导 公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积 有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．
(2)f′(x)＝(lg x)′－(3x)′＝x·l1n 10－3xln 3.
(3)因为 f(x)＝2－2sin2x2＝2cos2x2＝1＋cos x，
所以 f′(x)＝－sin x.
(4)因为
f(x)＝1＋sinsinx
x＝1－1＋1sin
，所以 x
f
′(x)＝1′－ 1 1＋sin
x
(3)y′＝(3 x)′＝(x13)′＝13x13－1＝13x－23.
(4)y′＝(2x)′＝2xln 2. (5)y′＝(log2x)′＝xln1 2.
(6)因为 y＝cosπ2 －x＝sin x，所以 y′＝(sin x)′＝cos x.
归纳升华
1．对于形如 y＝x1p，y＝n x的函数一般先转化为幂函 数的形式，再用幂函数的求导公式求导．
f(x)＝ax
f′(x)＝0 f′(x)＝axa－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f′(x)＝axln a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
1 f′(x)＝_x__ln__a_ (a＞0，且 a≠1)
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高二数学人教A版选修1-1课件：3.2 导数的计算
设过(1,0)②的直线与 y=x3 相切于点(x0,������03), 则在该点处的切线斜率为 k=3������02, 所以切线方程为 y-������03=3������02(x-x0), 即 y=3������02x-2������03.
案例探究
误区警示
思悟升华
又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=32. 当 x0=0 时,切线方程为 y=0.由 y=0 与 y=ax2+145x-9 相切可得 a=-2654, 当 x0=32时,切线方程为 y=247x-247.由 y=247x-247与 y=ax2+145x-9 相切,
以及
这样想当然的错误;其次还要特������别������((������注������)) 意'=两������个������''((������函������))数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数
法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 求下列函数的导数:
f(x)=ln x
导函数
f'(x)=0 f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a(a>0)
f'(x)=ex
f'(x)=������
1 ln
������
(a>0,且
a≠1)
f'(x)=1
������
目标导航
预习导引
123
判一判(正确的打“√”,错误的打“×”).
目标导航
预习导引
高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用 【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很 多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即 切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决 问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积 相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义 分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极 限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很 麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与 基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导 了，简洁迅速.
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
新人教A版数学选修1-1《3.2.2导数的运算法则》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.2导数的运算法则学案新人教A 版选修1-1【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
【重点难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【学习内容】 1.复习：基本初等函数的导数公式表基本初等函数的导数公式c x f =)(αx x f =)(（*Q ∈α）x x f sin )(=x x f cos )(=x a x f =)(x e x f =)(()x x f a log =()x x f ln =（二）导数的运算法则 导数运算法则推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3.典例分析例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y ＝x x 4；（3）y ＝xx ln 1ln 1+-．（4）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）ex（5） y ＝xx x x x x sin cos cos sin +-例 2.（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-例3．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例 4.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现？四、课堂练习1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-（5）ln y x x = （6）ln x y x =（7）sin x y x=2. 求过曲线y ＝2e x 上点P (1，2e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．3. (2010年高考江西卷文科4)若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ）A ．1-B ．2-C ．2D ．0【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1. 函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =( ) A 18 B 14 C 12D 1 6. （2011年高考江西卷文科4)曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2C.eD.1e7. （2012年高考新课标全国卷文科13）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________8. 函数2()1382f x x x =-+，且0()4f x '=，则0x =9.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为 10.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为11. (2010年高考宁夏卷文科4)曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为( )A.1y x =-B.1y x =-+C.22y x =-D.22y x =-+12（2010年高考全国卷Ⅱ文科7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( )（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-13.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.。
数学：第三章《导数的计算》教案1(新人教A版选修1-1)
课题：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目的：1. 记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数; 教学重点：会使用导数公式求函数的导数教学难点：会使用导数公式求函数的导数教学过程：一、讲解新课：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x af x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、讲解例题 P83 例1 练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x -2 (4)y= 2 x (5) y=log3x3、导数运算法则4、讲解例题 例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数323y x x =-+的导数.解: 332(23)()(2)(3) 3 2.y x x x x x '''''=-+=-+=-Q32233 2.y x x y x '∴=-+=-函数的导数是[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦练习： 求下列函数的导数（1）x x x y -+=23sin （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan =（4）x e y x ln =（5）1+=x x y 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为).10080(1005284)(<<-=x xx c 求净化到下列纯度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）%90；（2）%98.例4 已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.二、小结 ：1、基本初等函数的导数公式*11.(),()0;2.()(),();3.()sin ,()cos ;4.()cos ,()sin ;5.(),()ln ;6.(),();17.()log ,();ln 18.()ln ,().n n x x x x a f x c f x f x x n Q f x x f x x f x x f x x f x x f x a f x a x f x e f x e f x x f x x a f x x f x x-'=='=∈='=='==-'=='=='=='==若则若则若则若则若则若则若则若则 2、导数运算法则三、课后作业：[][][]21.()()()();2.()()()();()()()()()3..()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x '''±=±'''⋅=⋅'''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
【成才之路】高中数学 3.2.2导数的运算法则练习 新人教A版选修1-1
3.2.2导数的运算法则一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x[答案] A[解析] y ′＝－2x ＋3，∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝－2＋3＝1，∴切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( ) A ．y ′＝x B ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x[答案] C[解析] y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′ ＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193B ．163C ．133D ．103[答案] D[解析] f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∵f ′(－1)＝3a －6， ∴3a －6＝4，∴a ＝103.4．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12[答案] B [解析] s ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－t t 2′＋(2t 2)′＝t －2t 3＋4t ，∴t ＝2时的速度为：s ′|t ＝2＝2－28＋8＝8.5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin x x2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 2[答案] C[解析] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx 2＝－x sin x －cos xx2. 6．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3f ′(1)x 2－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2. 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.[答案] 1－1x2[解析] f (x )＝x ＋1x ，∴f ′(x )＝1－1x2.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.[答案]π－1π2 [解析] f ′(x )＝－sin xx －－sin x x ′x 2＝sin x －x cos x －1x2， ∴f ′(π)＝sin π－πcos π－1π2＝π－1π2.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．[解析] f ′(x )＝a (ln x ＋1)，f ′(1)＝a ＝3. 三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝e x－ae －x为奇函数，∴a ＝1，设切点横坐标为x 0，则f ′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32，∵ex 0>0，∴ex 0＝2，∴x 0＝ln2，故选A ．2．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C ．3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[解析] ∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋＝2x ＋，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e )＋1x，∴f ′(e )＝2f ′(e )＋1e ，解得f ′(e )＝－1e，故选C ．二、填空题5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.[答案] －423[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则y ′＝x 2＋2， ∴x 20＋2＝4，∴x 0＝ 2. ∴切点(2，823)在直线y ＝4x ＋b 上，∴b ＝－423. 6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________.[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3， 曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x . 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式．[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 3.2 导数的计算
22是一个常数，
而常数的导数为零，所以sinπ4 ′＝0．
(4)若 f(x)，g(x)都是可导函数，且 f(x)≠0，那么下列关系 式成立吗？
①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b 为常数)； ②f（1x）′＝－[ff′（（x）x）]2. 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确 ．
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公 式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒 等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指 数幂的形式求导．
练一练
1．求下列函数的导数： (1)y＝1ex；(2)y＝110x； (3)y＝lg 5；(4)y＝3lg3 x； (5)y＝2cos2x2－1.
(2)对于公式“若 f(x)＝xα (α∈Q*)，则 f′(x)＝αxα －1”，若把 “α∈Q*”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？
提示： 当 α∈R 时，f′(x)＝αxα－1 仍然成立．
(3＝cosπ4
＝
2 2.
π
提示：不正确．因为 sin 4 ＝
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P81～P85 的内容，回答下列问题． 已知函数： ①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2，
④y＝f(x)＝x1，⑤y＝f(x)＝ x.
(1)函数 y＝f(x)＝c 的导数是什么？ 提示： ∵ΔΔxy＝f（x＋ΔΔx）x－f（x）＝cΔ－xc＝0，
利用导数运算法则求解的策略 (1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪 种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式． (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导， 常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导， 三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用 和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
高中数学选修1课件1-3.2导数的计算
＝2scinosx2－x 1.
(4)先化简，得 f(x)＝1－2 x，
故 f′(x)＝1－2 x′＝2′1－x1－－x221－x′＝1－2 x2.
(5)因为 y＝2xx＋－11＝2x＋x＋11－3＝2－x＋3 1，所以 y′＝x＋312.
(6)y′＝e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝e－x(1－)．
切点坐标为(－2，－26)．
状元随笔
方法归纳 根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜 率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题 中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条 件求出切点坐标．
跟踪训练 3 (1)曲线 y＝x－x 2在点(1，－1)处的切线方程为 ()
答案：x＋2y－ 3－π6＝0
类型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x20；(2)y＝x14；(3)y＝sin3π；(4)y＝log6x； (5)y＝ 1 .
5 x2
解析：(1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19； (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
解析：∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋1，故切线斜率为 k＝y′|x＝1 ＝1.∴切线方程为 y＝x－1.
答案：C
4．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________.
解析：因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sin6π＝－12，所 以在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝ 0.
解析：设切点为 P(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1， 直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0) 即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又因直线 l 过点(0,0)，
【数学】3.2.1《导数的计算-几种常见导数》PPT课件(新人教A版选修1-1)
一、复习
1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x); (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
y 解 : y f ( x ) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , 0, x y f ( x) C lim 0. x 0 x
n
例1.已知y
x，1)求y;
2)求曲线在点（ ， 11 ）处的切线方程.
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x=2所围城的三角形的面积。
说明:上面的方法 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导 数.
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据数) .
请同学们求下列函数的导数:
y ' 1 2) y f ( x) x,
高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.2
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(2)设切点为 P(x0，y0)，
则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1，
6分
直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，
即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
8分
又因直线 l 过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，
32.
• 【错因】 错解中没有验证点M与曲线的位 置关系，而直接把它当作是曲线上的切点．
【正解】 设切点坐标为 N(x0,2x30－3x0)，由导数的几何意义 知切线的斜率 k 就是切点处的导数值，而 f′(x)＝6x2－3，所以 切线的斜率 k＝f′(x0)＝6x20－3，所以切线方程为 y＝(6x20－3)x＋ 32.又点 N 在切线上，所以有 2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得 x0 ＝－2.故切线方程为 y＝21x＋32.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (3)方法一：y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212.
方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
x12′＝(x－2)′＝－2x－3
－
1x′＝(－x－12
)′＝12x－32
＝1 2x
x
2．已知函数 f(x)＝1x，则 f′(－3)＝( )
A．4
B．19
C．－14 解析：
D．－19 f′(x)＝－x12，f′(－3)＝－－132＝－19.
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2
− x − 6x + 3 = 2 2 ( x + 3)
2
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
2
x 2. y = 的导数 sin x
( x ) ⋅ sin x − x ⋅ (sin x) 解：y = 2 sin x
2 ' 2 ' '
2
2 x sin x − x cos x = 2 sin x
2
x+3 4. 求 y = 2 在点x = 3处的导数 x +3 2 1⋅ ( x + 3) − ( x + 3) ⋅ 2 x ' 解：y = 2 2 ( x + 3)
练习： 练习：求下列函数的导数：
(1)y=x ³-2x+3 y=x³ 2 3 (2)y＝ －2＋ －3 x x (3)y＝(2x ＋3)(3x－2) x x (4)y＝x－sin ·cos 2 2
2
(1)y′ =3x²－2 － (2)y′ =4x＋9x² ＋ (3) y′ =18x²－8x＋9 － ＋ (4) y′=1－1/2cosx －
导数的运算法则:
′ = f ′( x) ± g ′( x) [ f ( x) ± g ( x)]
f ( x) g ( x) ]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) [
f ( x) ′ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) ( g ( x) ≠ 0) g ( x) = 2 [ g ( x)]
已知曲线S 若直线l与 例4.已知曲线 1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线 与S1,S2均 已知曲线 若直线 相切,求 的方程 的方程. 相切 求l的方程 解:设l与S1相切于 设 与 相切于P(x1,x12),l与S2相切于 与 相切于Q(x2,-(x2-2)2). 则与S 相切于P点的切线方程为 点的切线方程为y-x 对于S1 , y′ = 2x, 则与 1相切于 点的切线方程为 12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 即 ① 相切于Q点的切线方程为 点的切线方程为y+ 对于S2 , y′ = −2( x − 2), 与S2相切于 点的切线方程为 (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.② ),即 -4.②
3.2.2
导数的计算
基本初等函数的导数公式：
公 式1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n −1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = − sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x
2x1 = −2( x2 − 2) x1 = 0 x1 = 2 . ⇒ 或 因为两切线重合, 因为两切线重合 ∴ 2 2 − x1 = x2 − 4 x2 = 2 x2 = 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 则为 若 则为 所以所求l的方程为 所以所求 的方程为:y=0或y=4x-4. 的方程为 或
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx；
1 2 3 (3)y＝ x ＋x2＋x3； 2 (4)y＝xtanx－ . cosx
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了 和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先 将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
[解析]
2x
∵y＝sin ＋cos 4 4
2x 2 2x 2x
4x
4x
＝(sin ＋cos ) －2sin cos 4 4 4 4 1 2x 1 1－cosx 3 1 ＝1－ sin ＝1－ · ＝ ＋ cosx， 2 2 2 2 4 4
3 1 1 ＋ cosx′＝－ sinx. ∴y′＝ 4 4 4
求下列函数的导数: 补充练习:求下列函数的导数 求下列函数的导数
1 2 (1) y = − 2 ; x x x (2) y = ; 2 1− x (3) y = tan x ; (4) y = (2 x 2 − 3) 1 + x 2 ;
1 4 答案: 答案 (1) y′ = − 2 + 3 ; x x
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2 4:求曲线y=x +3x－ 求曲线 处的切线的方程. 处的切线的方程.
解 : f ′( x) = ( x + 3 x − 8)′ = 3 x + 3
3 2
∴ f ′(2) = 3 × 2 + 3 = 15
2
又过点(2,6),∴ 切线方程为 : y − 6 = 15( x − 2),即 15 x − y − 24 = 0
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 练习 2 4
y′＝－ ＝－1/2cosx. ＝－
1 4 某运动物体自始点起经过t秒后的距离 满足s= t 例3.某运动物体自始点起经过 秒后的距离 满足 某运动物体自始点起经过 秒后的距离s满足 4 3 2
-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点 此物体什么时刻在始点? 此物体什么时刻在始点 (2)什么时刻它的速度为零 什么时刻它的速度为零? 什么时刻它的速度为零 所以t 解得: 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以 2(t-8)2=0,解得 令 即 所以 解得 t1=0,t2=8.故在 或t=8秒末的时刻运动物体在 故在t=0或 秒末的时刻运动物体在 故在 始点. 始点 (2) Q s′(t ) = t 3 − 12t 2 + 32t , 令s′(t ) = 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 解得 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零 和 秒时物体运动的速度为零 秒时物体运动的速度为零. 故在
1 + x2 (2) y′ = ; 2 2 (1 − x )
(4) y′ = 6x3 + x 1+ x
2
1 ′= ( 3) y ; 2 cos xx − 3x + 5x − 4 的导数
3 2
解 : y′ = (2 x − 3 x + 5 x − 4)′
3 2
= 6x − 6x + 5
例2：)求函数h( x) = x sin x的导数. (1 (2)求函数f ( x) = 2 x ln x的导数.
解 : (1)h′( x) = ( x sin x)′ = x′ sin x + x(sin x)′ = sin x + x cos x
(2) f ′( x) = (2 x ln x)′ = (2 x)′ ln x + (2 x)(ln x)′ = 2 ln x + 2