最大子矩阵
最大子矩阵问题
最大子矩阵问题最大子矩阵问题最优子矩阵是建立在数列连续最大和的基础上的。
所谓最优子矩阵，就是指在一个n*m二维的矩阵中，确定一个小的矩阵，使这个小矩阵中所有元素的和最大。
思考一下最优子矩阵和连续最大和的异同：1、所求的和都具有连续性；2、连续最大和是一维问题，最优子矩阵是二维问题另外，对于一个矩阵而言，如果我们将连续k行的元素纵向相加，并对相加后所得的数列求连续最大和，则此连续最大和就是一个行数为k的最优子矩阵！由此，我们可以将二维的矩阵压缩成一维矩阵，转换为线性问题，从而求解。
其实就是将二维的问题,换成一维#include#include#include#define N 4 //matrix N*Nint getrand()int num = rand()%11-5;return num;void print_matrix(int A[N][N])for(i=0;ifor(j=0;jprintf("%d\t",A[i][j]);printf("\n");int max_sub_array(int B[], int n)int i = 0;int sum = 0;int max = 0;sum += B[i];if(sum>max)max = sum;else if(sumsum = 0;return max;int max_sub_matrix(int A[N][N])int last_i = 0;int last_j = 0;int max = 0;int tmp = 0;int array[N];/*i=0,表示包含第一行的最大子矩阵 i=1...类推*/ for(i=0;ifor(k=0;karray[k] = 0;for(j=i;jfor(k=0;karray[k] += A[j][k];tmp = max_sub_array(array, N);if(tmp>max)last_i = i;last_j = j;max = tmp;/*最大子矩阵开始和结束的行*/printf("last_i is %d, last_j is %d\n",last_i+1, last_j+1); return max;int main(int argc, char *argv[])int ret;int A[N][N];srand((unsigned int)time(NULL));for(i=0;ifor(j=0;jA[i][j] = getrand();print_matrix(A);ret = max_sub_matrix(A);printf("max is %d\n",ret);system("PAUSE");return 0;。
分治算法及其典型应用
分治算法及其典型应用
分治算法是一种重要的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题，下面将介绍一些典型的应用。
1. 排序算法。
分治算法在排序算法中有着重要的应用。
其中最著名的就是归并排序和快速排序。
在归并排序中，算法将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后合并这两个有序的子数组。
而在快速排序中，算法选择一个基准值，将数组分成两个子数组，分别小于和大于基准值，然后递归地对这两个子数组进行排序。
2. 搜索算法。
分治算法也可以用于搜索问题，例如二分搜索算法。
在这种算法中，将搜索区间分成两个子区间，然后递归地在其中一个子区间中进行搜索，直到找到目标元素或者子区间为空。
3. 求解最大子数组问题。
最大子数组问题是一个经典的动态规划问题，也可以用分治算法来解决。
算法将数组分成两个子数组，分别求解左右子数组的最大子数组，然后再考虑跨越中点的最大子数组，最后将这三种情况的最大值作为整个数组的最大子数组。
4. 矩阵乘法。
分治算法也可以用于矩阵乘法。
在矩阵乘法中，算法将两个矩阵分成四个子矩阵，然后递归地进行矩阵乘法，最后将四个子矩阵的结果合并成一个矩阵。
总的来说，分治算法是一种非常重要的算法设计策略，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
通过将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，我们可以高效地解决许多复杂的问题。
动归详解
动归详解童仁伟2010.2.1嗯···我学动归不是很久，同样是迷惘过，估计两个月前刚刚开窍……你看他写的什么无后效性什么最优子结构的就头大，我也头大%…………动态规划一般解决两类问题，一类是最优化问题,就是问你最大价值最小数什么的，另一类是方案总数问题。
细分的话类型很多，我见得多的（我是高二学生，目前在筹备NOIP）（你那题多我就只说名字了）背包，楼上连9讲都放上来了我就不多说了……最长不上升不下降子序列问题（比如说潘帕斯雄鹰生日模拟赛的飞翔，就是很经典的不下降的变形）资源分配问题（比如说橱窗布置，马棚问题，机器分配问题）区间动归（乘积最大，能量项链等等）最长公共子序列问题（有个遗传编码好像）；解决方案树的比如说爬楼梯问题……………………动态规划的类型很多很多，因为他很灵活的，我们老师曾经给我们找了100个DP方程，但是那都没有用，强记根本记不住，关键是理解。
深入一点的就有DP的优化，时间空间的降维（就是用别的方法去做，或者比如说背包本来是二维的空间优化过该成一维的了），树形DP（这个我也不会）。
（优化里面有个很经典的题《过河》）我对DP是属于那种突然就开了窍的……别看说“动态规划”什么的唬人，其实就是一个比较一个计算，知道他干什么了题上来就有头绪，方程啊思想啊就有了……主要也是多看题吧，从简单的开始，理解他的思想……自己写动归的时候注意下面几个问题：1、大前提是确定你做的是动归题……看得多了也就知道自己面对的是什么类型的题了2、次前提是想法要对（我做题的时候先想这道题时间空间的维度，然后根据这个去想方程），方程正确，实在想不起来可以先看题解，去理解人家的思想之后，不要看标程把程序做出来……3、注意数组不要开的过小，一般都是左右都开大一点，比如他的数据范围是1~100，数组就开0~101.这个是防越界的，因为很多DP赋初值的时候会用到F[0],F[0,0]4、初始值要正确，因为很多DP其他地方都是正确的因为初始值赋错了而全部过不了的情况是很常见的……（比如说USACO里面的货币系统）5、DP循环的范围要正确，一般根据题来判断范围写多少的（比如说橱窗问题，今天下午写这个题因为循环写错了一直AC不了）USACO里也有很多DP题，可以做……以上全部手打，希望能对你有所帮助。
矩阵的最高阶非零子式的求法
矩阵的最高阶非零子式的求法矩阵的最高阶非零子式，听起来就有点复杂对吧？它就像一个数学界的“隐藏宝藏”，需要咱们用点心思去挖掘。
什么是矩阵？简单说，矩阵就像一个数字的集合，它以行和列的形式排列。
想象一下，一张满是水果的餐桌，行是水果的种类，列是水果的数量。
这些数字有时像调皮的小孩子，躲来躲去，让人捉摸不透。
咱们要做的，就是找到这些数字中最大的、最有价值的“宝藏”——最高阶非零子式。
咱们得明白，什么是“非零子式”。
打个比方，非零子式就像一盘美味的菜肴，只有菜肴的味道足够好，才能让人垂涎欲滴。
子式是指从矩阵中选出的一部分数字，然后计算它们的行列式。
行列式嘛，就是一串数字，经过一番计算，最终得出一个值。
这个值能告诉我们这个子式的“质量”。
想象一下，挑选水果，挑出那些最新鲜、最诱人的，咱们要的就是这种感觉。
咱们要说的就是如何找到这个最高阶非零子式。
第一步，先从矩阵的每一个子矩阵开始试试。
这就像在大海里钓鱼，得先把网撒下去，才能看看有什么好东西上钩。
你可以从左上角开始，一点一点地扩大范围，逐渐尝试各种组合。
每尝试一个组合，就计算一次行列式，看看到底哪个是最棒的。
这就像是在玩拼图，拼出一块完美的形状，越拼越有成就感。
咱们要特别关注“阶”的概念。
阶越高，说明子矩阵的数字越多，这就像吃自助餐，能选的菜越多，越让人开心。
不过，别忘了，挑的菜一定要新鲜，最高阶非零子式就是我们追求的“最佳菜单”。
可能你会发现，选了很多“菜”，最后却没有一道菜好，这时候就要及时调整策略，重新选择，让自己的“餐桌”丰盛起来。
运用一些技巧也是很有帮助的。
比如，咱们可以利用一些线性变换，把矩阵变得更简洁。
这就像把一堆水果清理干净，挑出那些烂掉的，让剩下的看起来更诱人。
通过一些数学操作，可能会让你更容易找到非零子式。
这些变换就像是魔法，能够让复杂的事情变得简单，瞬间让你觉得眼前一亮。
哦，对了，别忘了行列式的计算方法。
行列式就像是一个秘密配方，越懂越能做出美味的菜。
分治算法举例范文
分治算法举例范文分治算法是一种很重要的算法思想，它将一个大的问题划分成较小的子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
下面我将详细介绍分治算法的几个经典例子。
1. 快速排序（Quick Sort）快速排序是一种经典的使用分治算法的排序算法。
它首先选择一个基准元素，然后将数组划分成两个子数组：小于基准元素的和大于基准元素的。
然后对这两个子数组分别递归地进行快速排序，最后将两个子数组合并起来即可得到有序的数组。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 归并排序（Merge Sort）归并排序也是一种利用分治思想的排序算法。
它将待排序的数组划分成两个子数组，然后分别对这两个子数组进行归并排序，最后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。
归并排序的时间复杂度也是O(nlogn)。
3. 汉诺塔问题（Tower of Hanoi）汉诺塔问题是数学领域中一个经典的问题，也可以通过分治算法来解决。
问题的规模是将n个圆盘从一个柱子移动到另一个柱子上，移动时需要遵守以下规则：每次只能移动一个盘子，移动过程中不能将较大的盘子放在较小的盘子上。
可以将问题划分成三个子问题：将前n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子上，将最后一个盘子从起始柱子移动到目标柱子上，最后将前n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子上。
这样就可以递归地求解子问题，最后合并起来得到原问题的解。
4. 最大子数组和问题（Maximum Subarray）最大子数组和问题是求解给定数组中连续子数组的最大和的问题。
可以使用分治算法来解决这个问题。
首先将数组划分成两个子数组，然后分别求解这两个子数组中的最大子数组和。
接下来，需要考虑跨越中点的情况，即包含中点的子数组的最大和。
最后，将这三种情况中的最大值作为最终的结果。
最大子数组和问题的时间复杂度为O(nlogn)。
5. 矩阵乘法（Matrix Multiplication）矩阵乘法也可以通过分治算法来实现。
矩阵各阶主子式
矩阵各阶主子式矩阵各阶主子式矩阵是线性代数中的重要概念，主子式是矩阵中的一个重要概念。
主子式是指从矩阵的左上角开始，依次取出前k行和前k列所组成的k 阶子矩阵的行列式，其中k为正整数。
这些行列式就是矩阵的各阶主子式。
矩阵的各阶主子式在线性代数中有着重要的应用。
下面我们来详细介绍一下各阶主子式的性质和应用。
1. 一阶主子式一阶主子式就是矩阵的第一个元素。
它的值为a11。
一阶主子式的值可以用来判断矩阵是否可逆。
如果一阶主子式不等于0，则矩阵可逆；否则矩阵不可逆。
2. 二阶主子式二阶主子式是由矩阵的前两行和前两列组成的2阶行列式。
它的值为a11a22-a12a21。
二阶主子式的值可以用来判断矩阵是否正定。
如果二阶主子式大于0，则矩阵正定；如果二阶主子式小于0，则矩阵负定；如果二阶主子式等于0，则矩阵不定。
3. 三阶主子式三阶主子式是由矩阵的前三行和前三列组成的3阶行列式。
它的值为a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31。
三阶主子式的值可以用来判断矩阵是否正定。
如果三阶主子式大于0，则矩阵正定；如果三阶主子式小于0，则矩阵负定；如果三阶主子式等于0，则矩阵不定。
4. 高阶主子式高阶主子式的性质和应用与二阶和三阶主子式类似。
高阶主子式的值可以用来判断矩阵是否正定、负定或不定。
如果高阶主子式的值都大于0，则矩阵正定；如果高阶主子式的值都小于0，则矩阵负定；如果高阶主子式的值有正有负，则矩阵不定。
总之，矩阵的各阶主子式在线性代数中有着重要的应用。
它们可以用来判断矩阵的性质，如可逆性、正定性、负定性和不定性。
在实际应用中，我们可以通过计算矩阵的各阶主子式来判断矩阵的性质，从而更好地解决问题。
子矩阵（NOIP2014T4）
⼦矩阵（NOIP2014T4）⼦矩阵：（题⽬右转）这道题题意很简单，意思是在n⾏中选r⾏，在m列中选c列，这样⾏和列交叉的点就形成了⼀个r⾏c列的矩阵。
问在所有这样的矩阵中，上矩阵中相邻每两数之差的绝对值和的最⼩值是多少。
贴⼀个样例的说明图：看到这题第⼀反应就是暴⼒！在n⾏中取r个进⾏组合，在从m列中取c个进⾏组合，然后计算出所得矩阵的值，再求最⼩值即可。
那么这样的时间复杂度是多少呢？本⼈粗略算了⼀下，最差⼤概是C(16,8)^2=165,636,900 很明显超时了......所以考虑优化：问题来了，如何优化？枚举⾏，然后贪⼼列吗？但只要细⼼思考⼀下，就会发现贪⼼是不可⾏的。
那么怎么办？贪⼼不⾏，⾃然考虑是动态规划啦！能不能动态规划⾸先要考虑的是有没有后效性。
如果我们枚举⾏(hang)，那么动态规划要解决的问题就是在m列中选c列，使组成的⼦矩阵值最⼤。
设 f[i][j] 表⽰在 i 列中选了（过去式） j 列（第 i 列必须选）的最⼤值，这我们需预处理⼀些值：lc[i]（原谅我英⽂不好lie'cha）表⽰第 i 列中的（每个数之差的绝对值） 之和，hc[i][j] （hang'cha）表⽰第 i 列的每个数与 第 j 列每个数之差的绝对值之和。
那么就有：f[i][j] = max( f[i][j] , f[k][j-1] + hc[i][k] + lc[i] )初始化：f[1][1] = lc[1]注意边界：f[i][1] = lc[i] and (i==j) f[i][j] = f[i-1][j-1] + hc[i][j-1] + lc[i]注：认真思考就很容易懂得（这是⼀个线性DP!）那我们再来算算时间复杂度：最差情况⼤概是 C(16,8) * m^3 ⼤概是52,715,520（emmm......卡卡常就卡过啦）下⾯你懂得（不负责任地贴代码......）：1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3const int maxn=20;4const int INF=2147483647;5int a[maxn][maxn];6int n,m,r,c,ans;7int vish[maxn],hc[maxn][maxn],lc[maxn],f[maxn][maxn];8void Memset() //预处理9{10for(int i=1; i<=m; i++)11 lc[i]=0;12for(int i=1; i<=m; i++)13for(int j=1; j<=m; j++)14 hc[i][j]=0;15for(int i=1; i<=m; i++)16for(int j=1; j<r; j++)17 lc[i]+=abs(a[vish[j]][i]-a[vish[j+1]][i]);18for(int i=2; i<=m; i++)19for(int j=1; j<i; j++)20for(int k=1; k<=r; k++)21 hc[i][j]+=abs(a[vish[k]][i]-a[vish[k]][j]);22}23void makeans()24{25 f[1][1]=lc[1];26for(int i=2; i<=m; i++)27 {28for(int j=1; j<=(i<c?i:c); j++)29 {30 f[i][j]=INF;31if(j==1) f[i][j]=lc[i]; //边界32else if(i==j) f[i][j]=f[i-1][j-1]+hc[i][j-1]+lc[i]; //边界*233else34 {35for(int k=i-1; k>=j-1; k--)36 f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+hc[i][k]+lc[i]); //状态转移⽅程37 }38if(j==c) ans=min(ans,f[i][c]); //记录最⼩值39 }40 }41return ;42}43void dfs(int k,int j) //回溯法求组合数44{45if(k==r+1) {Memset();makeans();return ;} 46for(int i=j+1; i<=n; i++)47 {48 vish[k]=i;49 dfs(k+1,i);50 }51}52int main()53{54 ans=INF;55 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);56for(int i=1; i<=n; i++)57for(int j=1; j<=m; j++)58 scanf("%d",&a[i][j]);59 dfs(1,0);60 printf("%d",ans);61return0;62 }。
矩阵和子矩阵的秩的关系
矩阵和子矩阵的秩的关系矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，而矩阵的秩又是矩阵理论中一个重要的性质。
通过研究矩阵和子矩阵的秩的关系，可以深入理解矩阵的性质和运算规律。
我们先来了解一下矩阵的秩是什么。
矩阵的秩是指矩阵中的线性无关行（列）的最大个数，也可以理解为矩阵中非零行（列）的最大个数。
矩阵的秩可以表示矩阵的维度，也能反映出矩阵的行（列）空间的维度。
接下来我们来探讨一下矩阵和子矩阵的秩的关系。
对于一个矩阵A，它的任意一个子矩阵B的秩是小于等于A的秩的。
也就是说，子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
这是因为子矩阵是从原矩阵中选取的一部分行和列，而行和列的选择是有限制的，因此子矩阵的维度不会超过原矩阵的维度。
举个例子来说明这个关系。
假设我们有一个3x3的矩阵A，其中的元素为：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]我们可以选取矩阵A的任意一个子矩阵B，假设B是一个2x2的子矩阵，选取的元素为：B = [[1, 2],[4, 5]]我们可以计算矩阵A和子矩阵B的秩，发现子矩阵B的秩为2，而矩阵A的秩也为2。
这符合我们之前的结论，子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
除了子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩之外，还有一个重要的性质是，矩阵A的秩等于它的转置矩阵A^T的秩。
也就是说，矩阵的秩不受到行和列的交换的影响。
这个性质在实际应用中非常有用，可以简化计算过程和提高计算效率。
进一步地，我们可以通过矩阵和子矩阵的秩的关系来推导出一些重要的结论。
例如，如果一个矩阵A的秩等于它的行数（或列数），那么矩阵A就是一个满秩矩阵。
满秩矩阵在线性代数和矩阵计算中有着重要的应用，可以用来表示线性无关的向量组，求解线性方程组等。
我们还可以利用矩阵和子矩阵的秩的关系来进行矩阵的分解和求逆等运算。
例如，对于一个矩阵A，如果它的秩等于它的行数（或列数），那么可以将矩阵A分解成两个非零矩阵的乘积，即 A = BC，其中B是一个m×r的矩阵，C是一个r×n的矩阵，m、n和r分别是矩阵A的行数、列数和秩。
矩阵最高阶非零子式的求法
矩阵最高阶非零子式的求法矩阵最高阶非零子式的求法是线性代数中的一个重要问题。
在矩阵理论中，矩阵的子式是指从矩阵中任意选取若干行和若干列所组成的新矩阵的行列式。
矩阵的最高阶非零子式是指所有非零子式中行列数最大的那个子式。
求解矩阵的最高阶非零子式是矩阵理论中的一个基本问题，对于矩阵的性质分析和应用具有重要意义。
求解矩阵的最高阶非零子式的方法有很多种，其中比较常用的方法有以下几种：1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，也可以用来求解矩阵的最高阶非零子式。
具体方法是将矩阵进行初等变换，使得矩阵的某些行或列变为零，然后计算变换后的矩阵的行列式。
如果变换后的矩阵的某个子式不为零，则该子式就是原矩阵的一个非零子式。
重复进行初等变换，直到无法再进行初等变换为止，得到的最高阶非零子式就是原矩阵的最高阶非零子式。
2. LU分解法LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积的方法。
具体方法是先对矩阵进行初等变换，将其变为一个上三角矩阵，然后再将其变为一个下三角矩阵。
在这个过程中，可以计算出每一步变换后的矩阵的行列式，从而得到原矩阵的所有非零子式。
最后，取行列数最大的非零子式作为原矩阵的最高阶非零子式。
3. 特征值法特征值法是求解矩阵特征值和特征向量的方法，也可以用来求解矩阵的最高阶非零子式。
具体方法是先求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成的矩阵进行初等变换，得到一个上三角矩阵。
最后，取上三角矩阵的对角线上的元素的乘积作为原矩阵的最高阶非零子式。
总之，求解矩阵的最高阶非零子式是线性代数中的一个基本问题，有多种求解方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
【java】矩阵的最大子矩阵（动态规划）
【java】矩阵的最⼤⼦矩阵（动态规划）⼀、实验⽬的练习使⽤动态规划算法解决实际问题（使⽤Java语⾔实现）。
⼆、实验内容【问题描述】有⼀个包含正数和负数的⼆维数组。
⼀个⼦矩阵是指在该⼆维数组⾥，任意相邻的下标是1*1或更⼤的⼦数组。
⼀个⼦矩阵的和是指该⼦矩阵中所有元素的和。
本题中，把具有最⼤和的⼦矩阵称为最⼤⼦矩阵。
【⽰例】给出以下⼆维数组：0 -2 -7 09 2 -6 2-4 1 -4 1-1 8 0 -2这个数组的最⼤⼦矩阵为：9 2-4 1-1 8其和为15。
【输⼊】输⼊包含多组测试数据。
每组输⼊的第⼀⾏是⼀个正整数N（1<=N<=100），表⽰⼆维⽅阵的⼤⼩。
接下来N⾏每⾏输⼊N个整数，表⽰数组元素，范围为[-127，127]。
【输出】输出最⼤⼦矩阵和。
【思路提⽰】求最⼤⼦矩阵和问题是求最⼤⼦段和问题在⼆维空间上的推⼴，可参考求最⼤⼦段和问题。
三、 程序代码（1）maxSumList1package maxSumList;2import java.util.Scanner;34public class maxList{5 //public static int[][] list=new int[10][10];6 static int n;7 private maxSingleList maxSingleList=new maxSingleList();8 private final maxSingleList[] maxSingleLists;9 private int numberOfmaxSingleLists;1011 public maxList() {12 //创建计算每个⼦段和的类的数组13 maxSingleLists=new maxSingleList[100];14 }15161617 public void InputList(int[][] list){1819 System.out.println("请输⼊⽅阵⼤⼩：");20 Scanner scanner=new Scanner(System.in);21 n=scanner.nextInt();22 for (int y=0;y<n;y++){23 System.out.println("请输⼊⽅阵第"+(y+1)+"⾏数据：");24 for (int x=0;x<n;x++)25 list[y][x]=scanner.nextInt();26 }27 }28 public void OutputMaxSumList(int[][] list){29 int m=0;30 int max=0;31 int max1=0;32 int maxnum=0;3334 for (m=0;m<=numberOfmaxSingleLists;m++) {35 max1=maxSingleLists[m].getSum();36 if (max1 > max) {37 max = max1;38 maxnum = m;39 }40 }41 System.out.println("请输出最⼤⼦段和："+maxSingleLists[maxnum].getSum());42 System.out.println("请输出最⼤⼦段：");43 for(int i=maxSingleLists[maxnum].getY1();i<=maxSingleLists[maxnum].getY2();i++){44 for (int j=maxSingleLists[maxnum].getNum1();j<=maxSingleLists[maxnum].getNum2();j++){45 System.out.print(list[i][j]+" ");46 }47 System.out.println("\n");48 }49 }5051 public void subMaxList(int[][] matrix) {52 int m=0;53 int[][] total = new int[10][10];54 for (int y=0;y<n;y++){55 for (int x=0;x<n;x++)56 total[y][x]=matrix[y][x];57 }585960 for (int i = 1; i < n; i++) {61 for (int j = 0; j < n; j++) {62 total[i][j] += total[i-1][j];63 }64 }6566 int maximum = 0;//Integer.MIN_VALUE;67 for (int i = 0; i < n; i++) {//所在的list⾏68 for (int j = i; j <n; j++) {//相差的69 //result 保存的是从 i ⾏到第 j ⾏所对应的矩阵上下值的和70 int[] result = new int[matrix[0].length];//每次都重新定义存放⼦段和的结果数组71 for (int f = 0; f < n; f++) {72 if (i == 0) {73 result[f] = total[j][f];74 } else {75 result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];76 }77 }78 maxSingleList maxSingleList=new maxSingleList();79 int maximal=maxSingleList.MaxListNum(result,i,j);80 numberOfmaxSingleLists=m;81 maxSingleLists[m++]= maxSingleList;81 maxSingleLists[m++]= maxSingleList;82 if (maximal > maximum) {83 maximum = maximal;84 }85 }86 }87 }8889}（2）maxSingleList4 private int num1;5 private int num2;6 private int y1;7 private int y2;8 private int sum;9 public int getNum1(){10 return num1;11 }12 public int getNum2(){13 return num2;14 }15 public void setY1(int y11){16 y1=y11;17 }18 public void setY2(int y22){19 y2=y22;20 }21 public int getY1(){22 return y1;23 }24 public int getY2(){25 return y2;26 }27 public void setSum(int sum){28 this.sum=sum;29 }30 public int getSum(){31 return sum;32 }33 public int MaxListNum(int[] array,int i,int j){34 int number,b=0,begin=0,bestmin=0,bestmax=0;35 sum=0;36 for (number = 0; number < array.length; number++) {//sum没清零37 if (b >= 0)//去掉等号38 b += array[number];39 else {40 b = array[number];41 begin = number;42 }43 if (b > sum) {//加个+44 sum = b;45 bestmin = begin;46 bestmax = number;47 }4849 }50 num1 = bestmin;51 num2= bestmax;52 setSum(sum);53 setY1(i);54 setY2(j);55 return sum;56 // if (sum==0)和为0的⾏数组要去掉那⼀⾏5758 }5960 }（3）TestmMaxList4 public static int[][] list=new int[10][10];5 public static void main(String[] arg){6 maxList maxlist=new maxList();7 maxlist.InputList(list);8 maxlist.subMaxList(list);9 maxlist.OutputMaxSumList(list); 1011 }12}四、 实验结果（含程序运⾏截图）五、 出现问题及解决⽅法（⼀）出现的问题在于算法的设计上，⼀开始我认为最⼤⼦矩阵就是每⾏所构成的最⼤⼦段的⾏列的序号交集，后来发现不是这样的，这样没办法正确输出最⼤⼦矩阵，得到的结果不对，然后推翻⾃⼰写了⼀天的代码以及想法。
浅谈最大子矩阵
浅谈最⼤⼦矩阵浅谈最⼤⼦矩阵问题【最⼤⼦矩阵问题】最⼤⼦矩阵问题是⼀类求解某个矩阵中最⼤符合条件的⼦矩阵的问题，⼀般的条件有⼦矩阵不能覆盖障碍点、⼦矩阵的形状等。
【极⼤化思想】这⾥⾸先解释⼏个概念：有效⼦矩阵：满⾜题⽬要求的⼦矩阵。
极⼤⼦矩阵：满⾜题⽬要求的、边界⽆法再扩张的⼦矩阵。
最⼤⼦矩阵：极⼤⼦矩阵中最⼤的⼀个。
在许多问题中，我们常常见到形如“使xx⾯积最⼤”“找到最⼤的矩形”的提问，实际上就是要我们求解最⼤⼦矩阵。
所谓极⼤化思想，其实就是枚举极⼤⼦矩阵，找到其中最⼤的⼀个。
【如何求解极⼤⼦矩阵】上⾯提到要枚举极⼤⼦矩阵，那么显然，前提是我们要求解所有极⼤⼦矩阵。
⼀般⽽⾔，我们有两种算法来求解所有极⼤⼦矩阵。
我们⾸先定义⼀些符号：n表⽰矩阵的⾼，m表⽰矩形的宽，k表⽰矩形中障碍点的数量。
边界扩展法（我瞎起的名字）根据极⼤⼦矩阵的定义，其边界⽆法再扩张，那么显然其边界要么在障碍物所在⾏/列（即恰好覆盖障碍点），要么与整个矩阵的边界重合。
因此，我们不妨从障碍点⼊⼿，不断扩张极⼤⼦矩阵，扩展它的边界。
显然有⼀种做法就是枚举所有可能构成矩形的边界，找出最⼤⼦矩阵，但是复杂度感⼈。
那么如何优化呢？我们要使得这个优化尽量少的枚举不是极⼤⼦矩阵的矩阵，还要确保这些⼦矩阵是合法的。
我们不妨线性的逐⾏扩展最⼤⼦矩阵的某⼀个边界，然后根据其它障碍点的位置维护其它边界的位置。
具体⽽⾔，就是先对所有障碍点按列升序排序，然后依次枚举这些障碍点，以此次枚举的障碍点所在的列作为极⼤⼦矩阵左边界，然后将右边界向右扩展，在扩展右边界时，我们还要维护上下边界，使得这些⼦矩阵满⾜合法性。
具体如何维护上下边界，这边窝弄了⼏张⼤佬的图（不要打我）：这个已经讲的很清楚了，我就不必多⾔了。
例题 P1578 奶⽜浴场题⽬描述由于John建造了⽜场围栏，激起了奶⽜的愤怒，奶⽜的产奶量急剧减少。
为了讨好奶⽜，John决定在⽜场中建造⼀个⼤型浴场。
矩阵最高阶非零子式的求法
矩阵最高阶非零子式的求法介绍在线性代数中，矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵可以用于表示一组线性方程的系数矩阵，或者用于描述空间中的向量和线性变换。
在矩阵的运算和分析中，矩阵的最高阶非零子式是一个重要的概念，它可以帮助我们分析和解决一些问题。
本文将详细介绍矩阵最高阶非零子式的定义、性质和求法。
定义矩阵的最高阶非零子式指的是矩阵中某个阶数的子矩阵，它的行和列的选取都是连续的，并且该子矩阵的行列式不为零。
换句话说，矩阵的最高阶非零子式是指矩阵中非零元素按照一定规律排列形成的子矩阵，其中子矩阵的行和列都是连续的，并且该子矩阵的行列式不为零。
性质矩阵的最高阶非零子式具有以下性质：1.矩阵的最高阶非零子式的阶数是有限的。
对于一个n阶方阵，它的最高阶非零子式的阶数最大为n。
2.矩阵的最高阶非零子式的行列式值不为零。
如果一个矩阵的最高阶非零子式的行列式值为零，那么该矩阵的行列式值也为零。
求法为了求解矩阵的最高阶非零子式，我们可以采用以下方法：1. 全排列法全排列法是一种比较直观的求解矩阵最高阶非零子式的方法。
它的基本思想是，对于一个给定的n阶矩阵，我们可以通过遍历所有可能的子矩阵来找到最高阶非零子式。
具体步骤如下：1.首先确定子矩阵的阶数k，其中1≤k≤n。
2.然后遍历所有可能的子矩阵，其中子矩阵的行和列都是连续的，并且行列式不为零。
3.对于每个子矩阵，计算它的行列式值，并与之前找到的最高阶非零子式的行列式值进行比较。
4.最后找到行列式值不为零的子矩阵中，阶数最大的子矩阵即为矩阵的最高阶非零子式。
全排列法的时间复杂度较高，在计算过程中需要遍历大量的子矩阵，如果矩阵的阶数较大，可能会导致计算时间过长。
2. 递推法递推法是一种较为高效的求解矩阵最高阶非零子式的方法。
它的基本思想是，利用矩阵的性质进行递推，从而找到最高阶非零子式。
具体步骤如下：1.首先我们可以观察和分析矩阵的性质，找到一些规律和特点。
2.然后我们可以利用这些规律和特点，通过递推的方式求解矩阵的最高阶非零子式。
最大最小算子矩阵
最大最小算子矩阵一、引言最大最小算子矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和广泛的应用。
最大最小算子矩阵主要应用于解决优化问题、控制系统分析和图像处理等领域。
本文将详细介绍最大最小算子矩阵的基本概念、性质、应用和未来展望。
二、最大最小算子矩阵的基本概念最大最小算子矩阵通常表示为M，它是一个由多个线性算子组成的矩阵。
每个线性算子都有一定的输入和输出，并且可以执行特定的操作。
最大最小算子矩阵中的每个算子都可以独立地执行其操作，但它们之间也存在一定的相互影响和依赖关系。
最大最小算子矩阵的一个重要特性是它的稳定性和可控性。
稳定性意味着系统在受到外部干扰时仍能保持稳定，而可控性则指系统能够通过输入信号来控制系统的输出。
最大最小算子矩阵通过优化算法和动态规划等方法可以实现系统的稳定性和可控性。
三、最大最小算子矩阵的性质最大最小算子矩阵具有许多重要的性质，这些性质决定了其在各种领域中的应用价值。
首先，最大最小算子矩阵是半正定的，这意味着矩阵中的所有元素都是非负的。
这一性质使得最大最小算子矩阵在优化问题和控制系统分析中具有广泛的应用。
其次，最大最小算子矩阵还具有优化性质，即通过一定的算法和计算方法，可以在有限步内找到最优解。
这一性质使得最大最小算子矩阵在解决复杂的优化问题时具有很高的效率和准确性。
此外，最大最小算子矩阵还具有稳定性、可控性和鲁棒性等性质。
这些性质使得最大最小算子矩阵在控制系统分析和设计、信号处理和图像处理等领域中具有重要的应用价值。
四、最大最小算子矩阵的应用最大最小算子矩阵在许多领域中都有广泛的应用。
在优化问题中，最大最小算子矩阵可以用于求解线性规划、二次规划和约束优化等问题。
通过将问题转化为最大最小问题，可以找到最优解，并实现高效的算法和计算方法。
在控制系统分析中，最大最小算子矩阵可以用于分析和设计线性时不变系统。
通过将系统状态方程转化为最大最小问题，可以确定系统的稳定性、可控性和可观性等特性，为系统设计和优化提供理论依据。
动态规划算法有啥用途
动态规划算法有啥用途动态规划算法是一种常用的优化算法，可以在时间和空间上实现高效的计算。
它适用于一系列问题，包括最优化问题、决策问题和计数问题等。
动态规划算法通常用于问题具备「无后效性」（无后效性是指问题的当前状态不会受到未来状态的影响）和「最优子结构」（问题的最优解可以由子问题的最优解推导得到）的情况下。
基本思想是将原问题划分为若干子问题，逐个求解子问题，再根据子问题的最优解推导出原问题的解。
下面将介绍几个典型的应用场景：1. 最短路径问题：最短路径问题是图论中的经典问题，动态规划算法可以高效地解决。
通过构建状态转移方程，可以递推求解从起点到终点的最短路径。
2. 最长公共子序列问题：最长公共子序列问题在字符串处理中非常常见，例如求两个字符串的最长公共子序列长度。
动态规划算法可以通过构建状态转移方程来高效地求解。
3. 背包问题：背包问题是一类经典的组合优化问题，常见的有0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
动态规划算法可以用来求解背包问题的最优解。
4. 最大子数组和问题：最大子数组和问题是在一个数列中找到一个连续子数组，使得子数组元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子数组和。
5. 最长递增子序列问题：最长递增子序列问题即求解一个序列中最长的子序列，满足子序列中的元素从左到右递增。
动态规划算法可以高效地求解最长递增子序列的长度。
6. 矩阵链乘法问题：矩阵链乘法问题是矩阵计算中常见的优化问题，即给定一系列矩阵，求解它们相乘的最少次数。
动态规划算法可以用来高效地解决该问题。
7. 0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定的一组物品中，每个物品可以选择放入背包或不放入背包，目标是使得背包中物品的总价值最大，且背包的容量不能超过一个给定的值。
动态规划算法可以用来求解该问题的最优解。
8. 最大子矩阵和问题：最大子矩阵和问题是在一个二维矩阵中寻找一个子矩阵，使得子矩阵元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子矩阵和。
动态规划：最大子矩阵
动态规划：最⼤⼦矩阵 在DP问题中有⼀种叫最⼤⼦矩阵问题，刚好碰到了这⼀题，于是学习分享之。
让我们先来看⼀下题⽬：ZOJ Problem Set - 1074 题⽬分类：动态规划 题⽬⼤意：就是输⼊⼀个N*N的矩阵，找出在矩阵中，所有元素加起来之和最⼤的⼦矩阵。
例如在 0 -2 -7 0 这样⼀个4*4的矩阵中，元素之和最⼤的⼦矩阵为 9 2 ，它们之和为15。
9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -4 1 -1 8 -1 8 0 -2 这是⼀个最⼤⼦矩阵问题，我们怎么来解决这个问题呢？任何问题都会有它的简化的问题，这是⼆维的数组，与之对应的，我们可以先尝试⼀下⼀维数组。
如果有⼀个⼀维数组a[n]，如何找出连续的⼀段，使其元素之和最⼤呢？ 例如有 1 2 -3 4 -2 5 -3 -1 7 4 -6 这样⼀个数组，那么显然 4 -2 5 -3 -1 7 4 这个⼦数组元素之和最⼤，为4+(-2)+5+(-3)+(-3)+7+4=14。
为找到⼀维数组的最⼤⼦数组，我们可以有以下⽅法。
1、穷举法1for(i=0;i<n;i++)2 {3for(j=0;j<=i;j++)4 {5 sum = 0;6for(k=j;k<=i;k++)7 sum += a[k];8if(sum > max) max = sum;9 }10 } 穷举法在n很⼤的情况下，需要运⾏的次数⾮常的多，有三层循环，所以n很⼤时不能使⽤这种⽅法。
2、带记忆的递推法1 record[0] = 0;2for(i=1;i<=n;i++) //⽤下标1~n来储存n个数3 record[i] = record[i-1] + a[i]; //⽤record记录a[i]前i个的和4 max = 0;5for(i=1;i<=n;i++)6 {7for(j=0;j<i;j++)8 {9 sum = record[i] - record[j];10if(sum > max) max = sum;11 }12 } 这种⽅法的时间复杂度明显⽐上⼀种的低了很多，时间复杂度为O(n²)。
最值问题的常用解法及模型
最值问题的常用解法及模型最值问题是指在一定条件下，找出某一组数据中的最大值或最小值。
这类问题在实际生活中经常出现，比如求最大收益、最小成本、最短路程等。
常用解法：1.暴力枚举法暴力枚举法是指对于所有可能的情况都进行尝试，然后找出其中符合条件的最大值或最小值。
虽然该方法在理论上是可行的，但是在实际情况下往往需要耗费大量时间和计算资源。
2.贪心算法贪心算法是指每次选择当前状态下的最优解，然后再基于该解进一步进行优化。
该方法通常适用于具有单调性或者局部最优解等特点的问题。
3.动态规划动态规划是指将原问题拆分成若干个子问题，并将其逐步求解，直到得到原问题的解。
该方法通常适用于具有重叠子问题和无后效性等特点的问题。
4.分治算法分治算法是指将原问题拆分成若干个相互独立的子问题，并对每个子问题进行求解，然后将各个子问题的结果合并起来得到原问题的解。
该方法通常适用于具有可重复性和可并行性等特点的问题。
模型：1.最大子序列和问题最大子序列和问题是指在一个数列中找到一个连续的子序列，使得该子序列的元素之和最大。
该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。
2.最小生成树问题最小生成树问题是指在一个带权无向图中找到一棵包含所有顶点且权值之和最小的生成树。
该问题可以采用Prim算法或Kruskal算法进行求解。
3.背包问题背包问题是指在一定容量下，选择若干个物品放入背包中，使得这些物品的价值之和最大。
该问题可以采用动态规划或贪心算法进行求解。
4.矩阵链乘法矩阵链乘法是指给定若干个矩阵，将它们相乘得到一个结果矩阵，使得计算过程中所需的乘法次数最少。
该问题可以采用动态规划进行求解。
总结：最值问题是一类重要的数学计算问题，在实际生活中具有广泛应用。
针对不同类型的最值问题，我们可以采用不同的解决方法和模型进行求解。
通过深入理解这些方法和模型，并灵活运用它们，我们可以更加高效地解决各种实际问题。
动态规划动态转移方程大全
1. 资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])2. 资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2-----多边形剖分F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);6. 剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7. 资源问题3-----系统可靠性(完全背包)F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}8. 贪心的动态规划1-----快餐问题F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}9. 贪心的动态规划2-----过河f=min{{f(i-k)} (not stone){f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];负负g[I,k]*f[k+1,j];正负g[I,k]*f[k+1,j];负正f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11. 树型动态规划1-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}12. 树型动态规划2-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}13. 计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)14. 递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]15. 递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16. 最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17. 判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18. 判定性问题2-----能否被k整除f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20. 线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}ans:=f[1,m,0]21. 线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]={0(i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v]);24. 数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25. 数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]26. 双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28. 数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29. 数字三角形6-----优化的打砖块f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}30. 线性动态规划3-----打鼹鼠’f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])31. 树形动态规划3-----贪吃的九头龙32. 状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])If (map and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)33. 递推天地3-----情书抄写员f:=f[i-1]+k*f[i-2]34. 递推天地4-----错位排列f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35. 递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36. 递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37. 递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1):=sqr(n)-n+2;38 递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39 递推天地9-----Catalan数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40 递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41 线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42 线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w/w[j]-gold)};if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43 剖分问题5-----最大奖励f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t44 最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);49 资源问题-----化工场装箱员50 树形动态规划-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);51 树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);52 递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53 双重动态规划-----有限的基因序列f:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])54 最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55 线性动态规划------日程安排f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)56 递推天地------组合数C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]C[I,0]:=157 树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}58 树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)59 线性动态规划-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)60 背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]61 线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+w ords[s]}62 线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}63 线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);64 树形动态规划-----APIO2007 风铃f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])g[l]=g[r]=1 then Halt;65 地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66 地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67 目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]68 目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]69 树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])leaves>=p>=l, 1<=q<=p;70 地图动态规划-----vijos某题F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);71 最大子矩阵问题-----最大字段和问题f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]72 最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j]枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73 括号序列-----线型动态规划f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )74 棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]min{}}75 概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j]f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1f[I,i]=0f[x,j]=176 概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2f[I,i]=1f[I,j]=0(I,j无相同基因)77 线性动态规划-----决斗F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j78 线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])79 线性动态规划-----积木游戏F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])80 树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
NOIP的DP总结之经典模型
最大不重复子段和：cwx 吃面包问题。 平方做法。
子矩阵问题 *1*最大 01 子矩阵 枚举下边界，利用悬线的观点，然后有两种做法：路径压缩法和两次 单调队列法。 其实还可以将不要的一方赋值为-oo， 从而转化为*3*最大子矩阵问题。
*2*另外，最大 01 子正方形：
f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1; ans:=maxvalue(f型，船，交错匹配，最高线段 覆盖，
最大子段和 *1*一般的最大子段和：
长郡 范进
F[i]:=max{f[i-1]+a[i],a[i]} Ans:=max{f[i]} *2*元素不可重复计算的最大子段和（cwx 吃面包） ： S[a]表示 a 到 b 不重复计算的子段和， F[a]表示 s[a]出现过的最大值。 Pre[k]表示元素 k 上一次出现过的地方 For b:=1 to n do Begin For a:=pre[w[b]]+1 to b do Begin S[a]:=s[a]+w[b]; F[a]:=max(f[a],s[a]); End; End; Ans:=max{f[a]} *3*最大 M 子段和 F[i,j]表示前 i 个数，i 属于第 j 子段时的最大值。 G[I,j]表示前 i 个数，分了 j 个子段时的最大值。 F[I,j]:=max{f[i-1,j],g[i-1,j-1]}+a[i]; G[I,j]:=max{g[i-1,j],f[i,j]}. 空间可以优化。 反思：状态的巧妙设计，互补设计。
长郡 范进
状态 g(i-1,j)相同，要么和此时所得的数 f(i,j)相同。 同样的，f(i,j)=max{f(i-1,j)+a[i],g(i-1,j-1)+a[i]}中，f-a[i]要么和前 一个状态相同，要么和前一个最优解 g 相同。所以，我们可 以用一维数组来代替二维数组。 F[j]:=max{f[j],g[j-1]} +a[i]; G[j]:=max{f[j],g[j]}. 成功 AC！
求最大子矩阵的两种思路
求最大子矩阵的两种思路长沙市雅礼中学贺一骏编者：求最大子矩阵问题是很常见的一类问题，具有很强的代表性，通过这个问题，可以派生出更加复杂的问题，也可以学到很多常用的问题处理手段。
问题描述一个被分为n*m个格子的月饼盒，第i 行第j 列位置的格子里面有a [ i , j ]个月饼。
本来CCC老师打算送这盒月饼给某人的，但是就在要送出月饼盒的前一天晚上，一只极其可恶的老鼠夜袭月饼盒，有部分格子被洗劫并且穿了洞。
CCC老师必须尽快从这个月饼盒里面切割出一个矩形月饼盒，新的月饼盒不能有洞，并且CCC老师希望保留在新月饼盒内的月饼的总数尽量多。
任务：请帮CCC老师设计一个程序，计算一下新月饼盒最多能够保留多少月饼。
输入文件的第一行有两个整数n、m。
第i + 1 行的第j 个数表示 a [ i , j ]，如果这个数为0 ，则表示这个位置的格子被洗劫过。
其中：1 ≤n，m ≤300，0 ≤a [ i , j ]≤255输出在文件中写入最大月饼数。
样例Sample Input3 41 2 3 45 06 310 3 4 0Sample Output17分析该问题实际上是求在给定平面区域中找出一个最大的子矩形，要求该矩形不能包含某些限定的格子。
方法一：我们初次见到这个问题，可能最直接的想法就是枚举。
即枚举每个矩阵的左上角坐标（x1,y1）和右下角坐标(x2,y2)，然后统计这个矩阵是否满足题设条件。
我们可以先预处理从左上角（1,1）出发到任意一点（i,j）的月饼数目area(i,j)，预处理的时间复杂度为O(mn),程序如下：For i:=1 to n doFor j:=1 to m doArea[I,j]:=area[i-1,j]+area[i,j-1]-area[i-1,j-1]+mooncake[i,j];其边界条件为area[0,i]=0,area[i,0]=0Mooncake[i,j]表示(i,j)这个点的上月饼数目，如果(i,j)这个点被破坏，则设mooncake[i,j]=-30000000，那么有area[i,j]<0。
分块矩阵的秩结论
分块矩阵的秩结论分块矩阵是由若干子矩阵按照一定规则排列形成的复合矩阵。
在线性代数中，矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数。
分块矩阵的秩结论可以帮助我们更好地理解和计算分块矩阵的秩。
我们来介绍分块矩阵的定义和表示方式。
分块矩阵可以根据不同的需求和特点进行分块，常见的分块方式有横向分块和纵向分块。
横向分块是指将矩阵按照行进行分块，每个分块可以是一个矩阵，也可以是一个行向量；纵向分块是指将矩阵按照列进行分块，每个分块可以是一个矩阵，也可以是一个列向量。
分块矩阵的表示方式一般用方括号表示，例如：A = [A1 A2;A3 A4]其中A1、A2、A3、A4分别表示子矩阵。
在这个例子中，A1和A2是横向分块，A3和A4是横向分块。
接下来，我们来介绍分块矩阵的秩结论。
对于一个分块矩阵A，其秩的计算可以通过以下步骤进行：1. 考虑每个子矩阵的秩。
对于横向分块的子矩阵，我们可以将它们分别记为B1、B2、...、Bk；对于纵向分块的子矩阵，我们可以将它们分别记为C1、C2、...、Ck。
则子矩阵的秩满足以下关系：rank(B1) ≤ rank(A) ≤ rank(B1) + rank(B2) + ... + rank(Bk)rank(C1) ≤ rank(A) ≤ rank(C1) + rank(C2) + ... + rank(Ck)2. 考虑子矩阵之间的关系。
对于横向分块的子矩阵，如果存在一个子矩阵Bi可以由其他子矩阵线性表示，即Bi = ∑(j≠i)PjBj，其中Pj是常数矩阵，则有rank(Bi) ≤ rank(∑(j≠i)PjBj) ≤ rank(A)。
同理，对于纵向分块的子矩阵，如果存在一个子矩阵Ci 可以由其他子矩阵线性表示，即Ci = ∑(j≠i)PjCj，其中Pj是常数矩阵，则有rank(Ci) ≤ rank(∑(j≠i)PjCj) ≤ rank(A)。
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return 0;
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,m,x,y;
scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&x,&y);
int sum=-inf;
for(int i=1;i<=m;++i){
Total Submission(s): 2414 Accepted Submission(s): 1221
Problem Description
给你一个m×n的整数矩阵，在上面找一个x×y的子矩阵，使子矩阵中所有元素的和最大。
Input
输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每一组测试数据的第一行为四个正整数m,n,x,y（0<m,n<1000 AND 0<x<=m AND 0<y<=n），表示给定的矩形有m行n列。接下来这个矩阵，有m行，每行有n个不大于1000的正整数。
if(i>=x&&j>=y)
sum=max(sum,dp[i][j]+dp[i-x][j-y]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]);
}
}
printf("%d\n",sum);
dp[i][0]=0;
int s=0;
for(int j=1,a;j<=n;++j){
scanf("%d",&a);
s+=a;
dp[i][j]=s+dp[i-1][j];
Output
对于每组数据，输出一个整数，表示子矩阵的最大和。
Sample Input
1 588
992 762 156 993 169
662 34 638 89 543
525 165 254 809 280
Sample Output
2474
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;
const int inf=0xFFFFFFF;
const int maxn = 1111;
int dp[maxn][maxn]; ///dp[i][j]:子矩阵(1,1)-->(i,j)的和
DP问题——最大子矩阵：
[**比赛日期变化**]鉴于11月10日有期中考试,11月份月赛延后2周进行(11月24日)
最大子矩阵
Time Limit: 30000/10000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)