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矩阵论_精品文档

矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。

在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。

一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。

在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。

如矩阵的转置、加法、乘法等。

矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。

矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。

矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。

矩阵还有一些重要的性质。

如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。

对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。

零矩阵是每个元素都为0的矩阵。

单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。

单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。

二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。

即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。

这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。

2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。

即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。

3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。

即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。

这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。

4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。

即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。

伴随矩阵-专业文档

伴随矩阵伴随矩阵是一种特殊的矩阵，它与原矩阵有着密切的关系。

在介绍伴随矩阵之前，我们首先需要了解什么是逆矩阵。

逆矩阵是矩阵的一种重要概念。

在矩阵运算中，如果有一个矩阵A，存在另一个矩阵B，使得AB=BA=E（其中E是单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵。

在这种情况下，A也被称为可逆矩阵。

如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵是唯一的。

然而，如果A不是可逆的，那么它仍然有一个唯一的伴随矩阵。

这个伴随矩阵可以通过以下方式计算：假设A是一个n x n的矩阵，它的元素是a_{ij}(1 <= i, j <= n)。

那么A 的伴随矩阵A*可以通过以下方式计算：A的元素是a_{ji}(1 <= i, j <= n)，其中i是行索引，j是列索引。

换句话说，A的元素是A的元素在行列索引交换后的值。

例如，考虑一个3x3的矩阵A：A=[[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]]那么A的伴随矩阵A*是：A*=[[a11,a21,a31],[a12,a22,a32],[a13,a23,a33]]在数学上，伴随矩阵有着重要的性质。

首先，伴随矩阵与原矩阵有着紧密的关系。

如果A是可逆的，那么AA*=A*A=E，其中E是单位矩阵。

这意味着伴随矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，反之亦然。

其次，伴随矩阵可以用来计算行列式的值。

行列式是矩阵的一种重要属性，它表示为一个值的代数表达式。

对于一个n x n的方阵A，其行列式定义为：|A|=det(A)=∏(i=1 to n) a_{ii}。

如果A是可逆的，那么其行列式的值可以通过伴随矩阵来计算：|A|=(-1)^n * det(A*)。

这是因为行列式的定义可以看作是对角线元素的乘积减去其他元素的乘积，而在计算伴随矩阵时，我们将元素的位置进行了交换，因此需要引入一个负号。

在实际应用中，伴随矩阵可以用于求解线性方程组、求解逆矩阵、进行矩阵分解等操作。

转置矩阵_精品文档

转置矩阵转置矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和向量计算中有广泛的应用。

本文将首先介绍矩阵和转置矩阵的基本概念，然后详细探讨转置矩阵的性质和应用。

1. 矩阵的定义矩阵是一个按照行和列排列的矩形阵列，它由数字组成。

一个常见的矩阵记作A，其中有m行和n列。

每个元素a(i, j)都表示矩阵A 中第i行第j列的数值，i和j都是矩阵中元素的索引。

2. 转置矩阵的定义矩阵的转置是指将原矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

如果矩阵A 的转置记作A^T，则A^T中的元素a(j, i)等于A中的元素a(i, j)。

换句话说，A^T的第i行就是A的第i列。

3. 转置矩阵的计算法则转置矩阵满足以下计算法则：- (A^T)^T = A，即转置矩阵的转置等于原矩阵。

- (A + B)^T = A^T + B^T，即矩阵加法的转置等于转置矩阵的加法。

- (kA)^T = k(A^T)，即常数与矩阵的乘积的转置等于常数与转置矩阵的乘积。

4. 转置矩阵的性质转置矩阵具有以下性质：- 如果矩阵A是一个n×m矩阵，则其转置矩阵记作A^T，为一个m×n矩阵。

- 如果A和B是两个相同阶数的矩阵，则(A + B)^T = A^T + B^T。

- 如果A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，则(AB)^T =B^TA^T。

- 如果A是一个n×n方阵，则(A^T)^-1 = (A^-1)^T。

5. 转置矩阵的应用转置矩阵在矩阵运算和向量计算中有广泛的应用。

- 转置矩阵可以用于求解线性方程组。

通过将线性方程组的系数矩阵转置，可以方便地进行矩阵的运算和求解，以得到方程组的解析解。

- 转置矩阵也可以用于矩阵的乘法运算。

两个矩阵的乘积的转置等于右边矩阵的转置乘以左边矩阵的转置。

- 在机器学习和数据分析领域，转置矩阵常常用于数据处理和特征提取。

通过将数据矩阵转置，可以重新排列数据的维度，从而方便进行进一步的处理和分析。

有关矩阵的文档

有关类名：TMatrix（矩阵类）。

数据结构：TAtom ** val; 指针数组，用来表示矩阵中的元素。

int v_dim, h_dim; 整型变量，分别用来表示矩阵的行数和列数。

1、矩阵的构造和析构TMatrix(int v=1,int h=1);TMatrix的构造函数，缺省情况下构造一个1行1列的矩阵；TMatrix(int v,int h,TList * l);TMatrix的构造函数，用列表中的元素来构造一个v行h列的矩阵；TMatrix(TMatrix * tm);TMatrix的构造函数（复制构造函数），用一个矩阵来构造另外一个矩阵；TMatrix(TList* list,int direction);TMatrix的构造函数，用一个列表来构造一个1维的矩阵，direction用来表示矩阵的方向；~TMatrix();TMatrix的析构函数；2、获取矩阵信息的基本操作TAtom * GetVal(int i,int j);取得该矩阵第i行第j列的元素，操作之后这个元素本身也会变化；TAtom * CopyVal(int i,int j);复制该矩阵第i行第j列的元素，操作之后这个元素本身不会变化；void SetVal(int i,int j,TAtom * value);把value这个元素赋值到该矩阵第i行第j列；int VSize() const;求该矩阵的行数；int HSize() const;求该矩阵的列数；int rowdim();求该矩阵的行数；int coldim();求该矩阵的列数；3、其它基本操作复制：TAtom * Copy();复制该矩阵；TAtom * Clone();克隆该矩阵；赋值：TAtom *eval();对矩阵进行赋值；TMatrix* operator=(TMatrix* m); 矩阵的赋值运算符；转置：TMatrix* Tran();说明：求该矩阵的转置；行列式：TAtom* det();求该矩阵的行列式；删除矩阵中的行/列：TMatrix* delrow(int v1);删除该矩阵的第v1行；TMatrix* delcol(int h1);删除该矩阵的第h1列；交换矩阵中的行/列：void swaprow(int v1,int v2);把该矩阵的第v1行和v2行进行交换；void swapcol(int h1,int h2);把该矩阵的第h1列和h2列进行交换；比较：int SameSize(TMatrix *m);判断两个矩阵的大小（即行数和列数）是否相等；矩阵转化为列表：TList * TranList();把一个矩阵转化成为一个列表；4、取子矩阵TMatrix* row(int v1);说明：取该矩阵的第vl行，组成一个行数为1的子矩阵；TMatrix* row(int v1,int v2);说明：取该矩阵的第vl行与第v2行之间的部分，组成一个行数为v2-v1的子矩阵；TMatrix* col(int h1);取该矩阵的第hl列，组成一个列数为1的子矩阵；TMatrix* col(int h1,int h2);取该矩阵的第hl列与第h2列之间的部分，组成一个列数为h2-h1的子矩阵；TMatrix* SubMatrix(int v1,int v2,int h1,int h2);求该矩阵的v1行到v2行，h1列到h2列之间的子矩阵，该矩阵的行数为v2-v1，列数为h2-h1；TMatrix* SubMatrix(TList* Vlist,TList* Hlist);求该矩阵的Vlist中的元素所组成的行，Hlist中的元素所组成的列所交叉的元素所组成的子矩阵，该子矩阵的行数为Vlist中元素的个数，列数为Hlist中元素的个数；TMatrix* SubMatrix(TList* Vlist,int h1,int h2);求该矩阵的Vlist中的元素所组成的行与h1列到h2列所交叉的元素所组成的子矩阵，该子矩阵的行数为Vlist中元素的个数，列数为h2-h1；TMatrix* SubMatrix(int v1,int v2,TList* Hlist);求该矩阵的v1行到v2行与Hlist中的元素所组成的列所交叉的元素所组成的子矩阵，该子矩阵的行数为v2-v1，列数为Vlist中元素的个数；5、矩阵的运算TMatrix* add(TMatrix *m);说明：两个矩阵进行加法操作；TMatrix* minus(TMatrix *m);说明：两个矩阵进行减法操作；TMatrix* mul(TMatrix *m);说明：两个矩阵进行乘法操作；TMatrix* uminus();说明：矩阵的取负操作；TMatrix* exp(int p);说明：求该矩阵的p次方；TMatrix* mdiff(int n = 1,TVariable * v = 0);说明：对矩阵中的每一个元素都进行微分；6、矩阵的显示virtual void display(outtype& out =wout) const;显示这个矩阵；virtual void show(outtype& out =wout) const;显示这个矩阵；virtual void print(outtype& out =wout) const;显示这个矩阵；7、求解线性方程组void lsolve_m();求以该矩阵为增广矩阵的线性方程组的根；TList* lsolve(TList * ps,TList * var);求解以多项式列表ps和变量列表var所定义的线性方程组的根。

琼斯矩阵文档

琼斯矩阵琼斯矩阵（Jones matrix）是光学中一种常用的数学工具，用于描述光的传播过程以及光在各种光学元件中的作用。

琼斯矩阵通过将光学元件的传输性质表示为一个二维线性变换矩阵，可以非常方便地进行光学元件的分析与计算。

1. 琼斯向量在了解琼斯矩阵之前，我们首先要介绍琼斯向量（Jones vector）。

琼斯向量是一个二维复数向量，用于表示光的电场的振动状态。

一个琼斯向量可以表示为：J = [Ex, Ey]^T其中Ex和Ey分别表示光电场在x轴和y轴的分量。

琼斯向量的模长表示光的强度，相位表示光的相位。

通过琼斯向量，我们可以描述光的偏振状态，包括线偏振、圆偏振和椭圆偏振等。

2. 琼斯矩阵的定义琼斯矩阵是一个2x2的复数矩阵，用于描述光学元件对光的传输性质的影响。

琼斯矩阵可以表示为：J = | A B | | C D |其中A、B、C和D均为复数。

琼斯矩阵可以通过测量输入和输出光的琼斯向量，并进行数学处理得到。

琼斯矩阵可以描述光在偏振器、波片、波导等光学元件中的行为。

通过与琼斯向量相乘，可以得到输出光的偏振态。

3. 琼斯矩阵的性质琼斯矩阵具有以下几个重要的性质：3.1 线性性质给定两个光学元件的琼斯矩阵J1和J2，它们的复合琼斯矩阵J可以表示为：J = J2 \* J1这意味着，当光经过多个光学元件时，可以通过将各个元件的琼斯矩阵相乘的方式来计算总体的琼斯矩阵。

3.2 逆矩阵如果一个光学元件的琼斯矩阵可逆，那么它可以表示为一个逆矩阵J^-1。

逆矩阵表示光的传输方向可以反向。

即，可以通过逆矩阵来表示光从输出端向输入端传播的过程。

3.3 共轭转置一个光学元件的琼斯矩阵的共轭转置表示光通过该元件时的相位补偿。

3.4 传递性当光通过多个光学元件时，可以将各个元件的琼斯矩阵按照线性性质相乘，最终得到整个系统的琼斯矩阵。

这样，我们就可以方便地描述光通过复杂系统的传递过程。

4. 计算琼斯矩阵计算光学元件的琼斯矩阵需要测量输入光和输出光的琼斯向量，并进行一系列的计算。

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成都信息工程学院课程设计题目：魔方矩阵作者姓名：班级：学号：指导教师：日期：年月日作者签名摘要我的实践题目是对C语言程序设计——魔方矩阵，主要的要求：采用菜单形式，至少包含输入矩阵、保存矩阵、载入矩阵、退出；输入整数N，输出N*N 的二阶矩阵；每一行，每一列以及两条对角线之和相等；程序中应能判断N的合法性及合理性；N最大值不得小于20；并指定行的排序，排序方法不限，排序后且能按排序后的结果保存到文件中，并且能够下一次载入；每次输出一个矩阵，同时在下面输出素数、水仙花数。

此次的系统我还添加了一个注册模块。

本实践能够充分的考核我们对C语言的熟悉度以及实践能力，对我们更多学习与了解C语言有极大的帮助，因此这次实践是十分有必要的。

我的设计内容就是利用if条件语句、for循环语句以及条件判断语句等函数及指针的合理使用，通过不断的运行，调试，输出，对本程序进行合理的解决，对魔方矩阵，文件，素数，水仙花数的算法进一步的了解掌握。

关键字：C语言for循环if条件魔方矩阵素数水仙花数目录1引言 (3)1.1课题背景 (3)1.2本课题的主要工作 (4)2魔方矩阵系统需求分析及开发工具 (4)2.1系统应具备的基本功能 (4)2.2开发环境及工具 (5)2.2.1 运行环境 (5)2.2.2 c语言简介 (5)2.2.3 for循环语句介绍 (5)2.2.4 if条件语句介绍 (6)3系统总体结构设计 (6)3.1 基本简介 (6)3.2 算法设计 (6)3.3 系统功能模块设计简介 (9)3.3.1 魔方矩阵模块 (9)3.3.2文件的读与写 (15)4系统测试与分析 (17)4.1 测试 (17)4.2 测试过程中遇到的问题 (17)5 结论 (18)6参考文献 (18)1引言1.1课题背景魔方又称幻方、纵横图、九宫图，最早记录于我国古代的洛书。

据说夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。

后人称之为"洛书"或"河图"，又叫河洛图。

N 为奇数时(1) 将1放在第一行中间一列;(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如向右上每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样减1;(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

N为4的倍数时采用对称元素交换法。

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上的数关于大方阵中心作中心对称交换（注意是各各子矩阵对角线上面的数），即a(i,j)与a(n+1-i,n+1-j)交换，所有其它位置上的数不变。

(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)N 为其它偶数时当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

按上述奇数阶魔方给分解的4个子方阵对应赋值上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)即4个子方阵对应元素相差v，其中v=n*n/41.2本课题的主要工作采用菜单形式，至少包含输入矩阵、保存矩阵、载入矩阵、退出；输入整数N，输出N*N的二阶矩阵；每一行，每一列以及两条对角线之和相等；程序中应能判断N的合法性及合理性；N最大值不得小于20；并指定行的排序，排序方法不限，排序后且能按排序后的结果保存到文件中，并且能够下一次载入；每次输出一个矩阵，同时在下面输出素数、水仙花数。

2魔方矩阵系统需求分析及开发工具2.1系统应具备的基本功能实现每一行，每一列以及对角线的相加结果相同，并指定行的排序，排序方法不限，排序后且能按排序后的结果保存到文件中，并且能够下一次载入，每次输出一个矩阵，同时在下面输出素数、水仙花数。

2.2开发环境及工具2.2.1 运行环境本课题在ＶＣ6.0下运行,在这个平台上进行程序的调试。

2.2.2 c语言简介C语言，是一种通用的、过程式的编程语言，广泛用于系统与应用软件的开发。

具有高效、灵活、功能丰富、表达力强和较高的可移植性等特点，在程序员中备受青睐。

最近25年是使用最为广泛的编程语言。

2.2.3 for循环语句介绍C语言中的For语句使用最为灵活，不仅可以用于循环次数已经确定的情况，而且可以用于循环次数不确定而只给出循环结束的条件的情况下，它可以完全替代while语句。

for语句的一般表达式for(<初始化>; <条件表达式>; <增量>)语句For语句的执行过程如下：（1）最先求解初始化.（2）求解条件表达式，若其值为真，则执行for语句中指定的内嵌语句，然后执行下面第（3）步。

若为假，则结束循环。

（3）求解增量。

（4）转回上面第（2）步骤继续执行。

（5）循环结束，执行for语句下面的一个语句。

2.2.4 if条件语句介绍if语句是用来判定所给定的条件是否满足，根据判定的结果（真或假）决定执行给出的两种操作之一。

C语言提供了3种形式的if语句。

if（表达式）语句if（表达式）语句1 else语句2if（表达式1）语句1else if（表达式2）语句2…else 语句n3系统总体结构设计3.1 基本简介就是使用模块化思维方法分析课题，画出模块结构图。

可采取自顶向下、逐层分析的方法，将课题分成若干的模块，然后对个模块重点和难点内容进行分析，最终各个击破。

3.2 算法设计在设计算法时采用了下面一些方法：图1素数的设计思路水仙花的设计思路：水仙花数是指一个三位数，其各位上的数之立方和恰好等于该数自己。

Eg：153 = 1x1x1 + 5x5x5 + 3x3x3；3.3 系统功能模块设计简介3.3.1 魔方矩阵模块void main(){int cmd;int array[NUM_MAX][NUM_MAX], N = 0;while(1){printf("1. 输入魔方矩阵\n");printf("2. 载入魔方矩阵\n");printf("3. 保存魔方矩阵\n");printf("4. 打印矩阵及素数水仙数\n");printf("0. 退出程序\n");printf("请输入对应数字:");scanf("%d", &cmd);//登录和注册界面if (cmd == 0){printf("再见!");return;}else if(cmd == 1){printf("\n输入矩阵N[3-%d]:", NUM_MAX/2);scanf("%d", &N);if(!isValidN(N)){printf("N不符合要求。

");continue;}placeMagicArray(N, array);printf("矩阵生成成功。

");}else if (cmd == 2){N = loadMagicArray(array);if (!isValidN(N)){printf("载入失败");}}else{if (!isValidN(N)){printf("矩阵不存在");continue;}else if (cmd == 3){saveMagicArray(N, array);}else if (cmd == 4){printMagicArray(N, array);printPrimeNumbers(N);printNarcissisticNumbers(N);}}}}//打印和输出魔方矩阵模块start:while(1){loop1:printf("**************************************************\n");printf(" 请输入魔方矩阵（奇数阶）N：");scanf("%d",&n);printf("\n");矩阵生成/* 魔方矩阵*/void placeMagicArray(int N, int (*array)[NUM_MAX]) {if (N % 2 == 1){placeMagicArrayOdd(N, array);}else if (N % 4 == 0){placeMagicArray4N(N, array);}else{placeMagicArray2N(N, array);}}//输出该矩阵中的素数/* 是否素数*/int isPrimeNumber(int n){int i = 2;if (n <= 2){return 1;}while (1){if (n % i == 0){return 0;}if (i * i > n){return 1;}++i;}return 0;}/* 打印素数*/void printPrimeNumbers(int N){int i, num = 0;printf("素数有：");N *= N;for (i = 1; i <= N; ++i){if (isPrimeNumber(i)){++num;printf("%d ", i);}}printf(" 共%d个\n", num);}//输出该矩阵中所包含的水仙花数/* 是否水仙数*/int isNarcissisticNumber(int n){int n1, num = 0, n0 = n;while (n0){n1 = n0 % 10;n0 = n0 / 10;num += n1 * n1 * n1;}return num == n ? 1 : 0;}/* 打印水仙数*/void printNarcissisticNumbers(int N){int i, num = 0;printf("水仙数有：");N *= N;for (i = 1; i <= N; ++i){if (isNarcissisticNumber(i)){++num;printf("%d ", i);}}printf(" 共%d个\n", num);}//界面中的选择程序v o i d m a i n(){i n t c m d;i n t a r r a y[N U M_M A X][N U M_M A X],N= 0;w h i l e(1){p r i n t f("1.输入魔方矩阵\n");p r i n t f("2.载入魔方矩阵\n");p r i n t f("3.保存魔方矩阵\n");p r i n t f("4.打印矩阵及素数水仙数\n");p r i n t f("0.退出程序\n");p r i n t f("请输入对应数字:");s c a n f("%d",&c m d);运行效果图：图3登陆注册界面图4输出魔方矩阵图5载入矩阵的效果图3.3.2文件的读与写//保存矩阵int saveMagicArray(int N, int (*array)[NUM_MAX]) {FILE *fp;if((fp = fopen("magicArray.txt", "w")) == NULL) {printf("cannot open file\n");return 0;}fprintf(fp, "%d\n", N);printOutMagicArray(fp, N, array);fclose(fp);return 1;}//载入矩阵/* 载入魔方矩阵*/int loadMagicArray(int (*array)[NUM_MAX]){int i, j, N;FILE *fp;if( (fp=fopen("magicArray.txt", "r")) == NULL) {printf("cannot open file\n");return 0;}fscanf(fp, "%d", &N);if (!isValidN(N)){N = 0;}else{for(i = 0; i < N; ++i){for(j = 0; j < N; ++j){fscanf(fp, "%d", &array[i][j]);}}}fclose(fp);return N;}4系统测试与分析4.1 测试代码使用C语言程序编写，工程编译环境为Visual C++ 6.0.代码编写过程中同步进行测试及调试，保证函数编写完整无错误发生，工程可以运行成功。