高考数第一轮基础复习同步9-1 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图

9-1 空间几何体的结构特征及其直观图、三视图1.(文)(2011·广东佛山质检)若一个圆台的正视图如下图所示，则其侧面积等于( )A．6 B．6πC．35πD．65π[答案] C[解析]由正视图可知，该圆台的上、下底面半径分别是1、2，圆台的高为2，故其母线长为－2＋22＝5，其侧面积等于π·(1＋2)·5＝35π.(理)(2011·合肥市质检)下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A．6πB．12πC．18πD．24π[答案] B[解析]由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S＝π(1＋2)×4＝12π.2．(文)(2011·广东惠州一模)已知△ABC 的斜二侧直观图是边长为2的等边△A 1B 1C 1，那么原△ABC 的面积为( )A ．2 3 B. 3 C ．2 6 D. 6[答案] C [解析] 如图：在△A 1D 1C 1中，由正弦定理asin 2π3＝2sinπ4，得a ＝6， 故S △ABC ＝12×2×26＝2 6.(理)如下图所示是水平放置三角形的直观图，D 是△ABC 的BC 边中点，AB 、BC 分别与y ′轴、x ′轴平行，则三条线段AB 、AD 、AC 中()A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AC ，最短的是AD[答案] B[解析]由条件知，原平面图形中AB⊥AC，从而AB<AD<AC.3．(文)(2011·北京西城模拟)一个简单几何体的主视图、左视图如下图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析]根据三视图画法规则“长对正，高平齐、宽相等”，俯视图应与主视图同长为3，与左视图同宽为2，故一定不可能是圆和正方形．(理)(2011·新课标全国理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )[答案] D[解析] 由正视图知该几何体是锥体，由俯视图知，该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角形，故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的，两锥体有公共顶点，圆锥的两条母线为棱锥的两侧棱，其直观图如下图，在左视图中，O 、A 与C 的射影重合，左视图是一个三角形△PBD ，OB ＝OD ，PO ⊥BD ，PO 为实线，故应选D.4．(2011·广东文，7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20B ．15C ．12D ．10[答案] D[解析] 从正五棱柱的上底面1个顶点与下底面不与此点在同一侧面上的两个顶点相连可得2条对角线，故共有5×2＝10条对角线．5．(文)(2011·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] C[解析] 根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体，圆柱的底半径为2，高为x ，四棱锥的底面正方形对角线长为4，四棱锥的高h ＝32－22＝5，其体积为V ＝13×8×5＋π×22×x ＝12π＋853，解得x ＝3.(理)(2011·广东文，9)如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2[答案] C[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，底面是菱形，其面积S ＝12×23×2＝23，高h ＝3，所以V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.6．(2011·北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如下图所示，则它的体积是( )A.332＋3225πB ．33＋3225πC ．93＋3225πD ．93＋12825π [答案] C[解析] 由三视图知，该螺栓的上部是一个底半径为0.8，高为2的圆柱，下部是底面为边长为2，高为1.5的正六棱柱，故体积V ＝π×0.82×2＋6×34×22×1.5＝93＋32π25，故选C.7．(文)(2011·天津文，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为____________m3.[答案] 4[解析]由几何体的三视图知，原几何体是两个长方体的组合体．上面的长方体的底面边长为1,1，高为2，体积为2；下面长方体底面边长为2,1，高为1，体积为2.∴该几何体的体积为4.(理)(2010·山东聊城、邹平模考)已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm3.[答案] 32[解析] 依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如下图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，其体积V ＝S 梯形ABCD ·AA 1＝＋2×1＝32cm 3.8．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与左视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图面积为________．[答案] 2[解析] 由条件知，该三棱锥底面为正三角形，边长为2，一条侧棱与底面垂直，该侧棱长为2，故主视图为一直角三角形，两直角边的长都是2，故其面积S ＝12×2×2＝2.9．(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号)[答案] ②③④⑤[解析]∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BFD1E∩平面ADD1A1＝D1E，平面BFD1E∩平面BCC1B1＝BF，∴D1E∥BF；同理BE∥FD1，∴四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立；当E、F分别为AA1、CC1的中点时，易证BF＝FD1＝D1E＝BE，∴EF⊥BD1，又EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥平面BB1D1D，∴平面BFD1E⊥平面BB1D1E，∴②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为62.10．(文)(2010·山东文，20)在如下图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA ⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．[解析](1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD为正方形，∴BC⊥DC.∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.(2)不妨设MA ＝1，∵ABCD 为正方形，∴PD ＝AD ＝2， 又∵PD ⊥平面ABCD ，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥V P －MAB ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝23.所以V P －MAB V P －ABCD ＝(理)(2010·青岛市质检)如下图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如下图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ； (3)求证：平面BDE ⊥平面BCD .[解析] (1)由题意可知，四棱锥B －ACDE 中，平面ABC ⊥平面ACDE ，AB ⊥AC ，所以，AB ⊥平面ACDE ， 又AC ＝AB ＝AE ＝2，CD ＝4， 则四棱锥B －ACDE 的体积为V ＝13S ACDE ·AB ＝13×＋2×2＝4.(2)连接MN ，则MN ∥CD ，AE ∥CD ，又MN ＝AE ＝12CD ，所以四边形ANME 为平行四边形，∴AN ∥EM ，∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ， 所以，AN ∥平面CME .(3)∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，∴AN ⊥BC ， 又在直三棱柱中可知，平面ABC ⊥平面BCD ， ∴AN ⊥平面BCD ，由(2)知，AN ∥EM ，∴EM ⊥平面BCD ， 又EM ⊂平面BDE ，所以，平面BDE ⊥平面BCD .11.(2011·湖南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，其中主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为( )A.32B.12 C ．1D ．2[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是正六棱锥，底面正六边形的边长为1，侧棱长为2，故左视图为一等腰三角形，底边长3，高为正六棱锥的高3，故其面积为S ＝12×3×3＝32. 12．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )[答案] B[解析] 由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B.[点评] 由题设条件及正视图、俯视图可知，此三棱锥P －ABC 的底面是正△ABC ，侧棱PB ⊥平面ABC ，AB ＝2，PB ＝2.13．(文)(2011·北京文，5)某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的表面积是( )A．32 B．16＋16 2C．48 D．16＋32 2[答案] B[解析] 由三视图知原几何体是一个底面边长为4，高是2的正四棱锥．如图：∵AO＝2，OB＝2，∴AB＝2 2.又∵S 侧＝4×12×(4×22)＝162，S 底＝4×4＝16，∴S 表＝S 侧＋S 底＝16＋16 2.(理)(2011·宁夏银川一中检测)如下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )[答案] B[分析] 可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断． [解析] 容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.[点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视．14．(2011·南京市调研)如下图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析]如下图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.个底面半径的2倍．求两底面的半径长与两底面面积的和．且∠ASO＝30°，在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r ，在Rt △SAO 中，2rSA＝sin30°，∴SA ＝4r .∵SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.(理)(2011·青岛质检)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． [解析] (1)如图．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．1.(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)一个体积为123的正三棱柱的三视图如下图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为( )A ．12B ．8C ．8 3D ．6 3[答案] D[解析]设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知32a＝23，∴a＝4，∴123＝34×42×h，∴h＝3，∴侧(左)视图面积为23×3＝6 3.2．(2011·河源模拟)如下图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是( )[答案] B[解析]箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.3．(2011·黄冈冲刺)如下图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是( )[答案] B[解析] 由所给图形知该几何体中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，PA ＝4，EB ＝2，故左视图中，C 点的射影为D ，B 点射影为A ，E 点射影为PA 中点，故选B.4.(2011·辽宁文，8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3[答案] B[解析] 由题意可设棱柱的底面边长为a ，则其体积为34a 2·a ＝23，得a ＝2. 由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长，3为宽的矩形． ∴其面积为2 3.故选B.5．(2011·惠州模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如下图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A．6 B．7C．8 D．9[答案] A6．(2011·天津理，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案] π＋6[解析]根据三视图知该几何体是一个长方体上面放一个圆锥．因而V＝V长方体＋V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为(π＋6)m3.7．(2011·安徽皖北协作区联考)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4,4,7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是________．[答案] 81π▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌[解析]解答本题可以以互相垂直的三条侧棱为边，将几何体补成球的内接长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，即(2R)2＝42＋42＋72⇒4R2＝81，故球的表面积S＝4πR2＝81π.▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生▃▄▅▆▇██■▓。