最大子矩阵问题总结
最大子矩阵问题
最大子矩阵问题最大子矩阵问题最优子矩阵是建立在数列连续最大和的基础上的。
所谓最优子矩阵，就是指在一个n*m二维的矩阵中，确定一个小的矩阵，使这个小矩阵中所有元素的和最大。
思考一下最优子矩阵和连续最大和的异同：1、所求的和都具有连续性；2、连续最大和是一维问题，最优子矩阵是二维问题另外，对于一个矩阵而言，如果我们将连续k行的元素纵向相加，并对相加后所得的数列求连续最大和，则此连续最大和就是一个行数为k的最优子矩阵！由此，我们可以将二维的矩阵压缩成一维矩阵，转换为线性问题，从而求解。
其实就是将二维的问题,换成一维#include#include#include#define N 4 //matrix N*Nint getrand()int num = rand()%11-5;return num;void print_matrix(int A[N][N])for(i=0;ifor(j=0;jprintf("%d\t",A[i][j]);printf("\n");int max_sub_array(int B[], int n)int i = 0;int sum = 0;int max = 0;sum += B[i];if(sum>max)max = sum;else if(sumsum = 0;return max;int max_sub_matrix(int A[N][N])int last_i = 0;int last_j = 0;int max = 0;int tmp = 0;int array[N];/*i=0,表示包含第一行的最大子矩阵 i=1...类推*/ for(i=0;ifor(k=0;karray[k] = 0;for(j=i;jfor(k=0;karray[k] += A[j][k];tmp = max_sub_array(array, N);if(tmp>max)last_i = i;last_j = j;max = tmp;/*最大子矩阵开始和结束的行*/printf("last_i is %d, last_j is %d\n",last_i+1, last_j+1); return max;int main(int argc, char *argv[])int ret;int A[N][N];srand((unsigned int)time(NULL));for(i=0;ifor(j=0;jA[i][j] = getrand();print_matrix(A);ret = max_sub_matrix(A);printf("max is %d\n",ret);system("PAUSE");return 0;。
最大子矩阵问题
学习材料：王知昆《浅谈用极大化思想解决最大子矩阵问题》【最大子矩阵问题】在一个给定的矩形中有一些障碍点，找出内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的最大子矩形。
【定义子矩形】有效子矩形：内部不包含障碍点的、轮廓与整个矩形平行或重合的子矩形。
极大子矩形：每条边都不能向外扩展的有效子矩形。
最大子矩形：所有有效子矩形中最大的一个（或多个）。
【极大化思想】在一个有障碍点的矩形中最大子矩形一定是极大子矩形。
设计算法的思路：枚举所有的极大子矩形，找到最大子矩形。
设NM分别为整个矩形的长和宽，S为内部的障碍点数。
【算法1】时间复杂度：O（S^2）空间复杂度：O（S）由于极大子矩形的每一条边都不能向外扩展，那么极大子矩阵的每条边要么覆盖了障碍点，要么与整个矩形的边界重合基本算法：枚举上下左右四个边界，然后判断组成的矩形是否是有效子矩形。
复杂度：O（S^5）可以改进的地方：产生了大量的无效子矩形。
初步改进的算法：枚举左右边界，然后对处在边界内的点排序，每两个相邻的点和左右边界组成一个矩形。
复杂度：O（S^3）可以改进的地方：枚举了部分不是极大子矩形的情况。
综上，设计算法的方向：1、保证每一个枚举的矩形都是有效的。
2、保证每一个枚举的矩形都是极大的。
算法的过程：枚举极大子矩形的左边界——>根据确定的左边界，找出相关的极大子矩形——>检查和处理遗漏的情况(1)按照横坐标从小到大的顺序将所有的点编号为1，2，3...(2)首先选取1号点作为要枚举的极大子矩形的左边界，设定上下边界为矩形的上下边界(3)从左到右扫描，第一次到2号点，确定一个极大子矩形，修改上下边界；第二次找到3号点，以此类推。
(4)将左边界移动到2号点，3号点，，，以同样的方法枚举遗漏的情况：1、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合。
解决方法：用类似的方法从左到右扫一遍2、矩形的左边界与整个矩形的左边界重合，且矩形的右边界与整个矩形的右边界重合。
大数据面试题
1、给定a、b两个文件，各存放50亿个url，每个url各占64字节，内存限制是4G，让你找出a、b文件共同的url？方案1：可以估计每个文件安的大小为50G×64=320G，远远大于内存限制的4G。
所以不可能将其完全加载到内存中处理。
考虑采取分而治之的方法。
s 遍历文件a，对每个url求取，然后根据所取得的值将url分别存储到1000个小文件（记为）中。
这样每个小文件的大约为300M。
s 遍历文件b，采取和a相同的方式将url分别存储到1000个小文件（记为）。
这样处理后，所有可能相同的url都在对应的小文件（）中，不对应的小文件不可能有相同的url。
然后我们只要求出1000对小文件中相同的url即可。
s 求每对小文件中相同的url时，可以把其中一个小文件的url存储到hash_set中。
然后遍历另一个小文件的每个url，看其是否在刚才构建的hash_set中，如果是，那么就是共同的url，存到文件里面就可以了。
方案2：如果允许有一定的错误率，可以使用Bloom filter，4G内存大概可以表示340亿bit。
将其中一个文件中的url使用Bloom filter映射为这340亿bit，然后挨个读取另外一个文件的url，检查是否与Bloom filter，如果是，那么该url应该是共同的url（注意会有一定的错误率）。
2、有10个文件，每个文件1G，每个文件的每一行存放的都是用户的query，每个文件的query都可能重复。
要求你按照query的频度排序。
方案1：s、顺序读取10个文件，按照hash(query)的结果将query写入到另外10个文件（记为）中。
这样新生成的文件每个的大小大约也1G（假设hash函数是随机的）。
s、找一台内存在2G左右的机器，依次对用hash_map(query, query_count)来统计每个query出现的次数。
利用快速/堆/归并排序按照出现次数进行排序。
最大字段和问题描述
最大字段和问题描述一、什么是最大字段和哎呀，最大字段和这个东西呢，其实还挺有趣的。
简单来说呀，就是在一组数里面，找到一个连续的子序列，让这个子序列里的数加起来的和最大。
就像是在一堆宝藏里，找出一块最大价值的宝藏堆一样。
比如说，有这么一组数，1， -3， 5， -2， 4。
我们就得想办法从这里面找出连续的几个数，加起来得到最大的和。
这可不是随便乱找就行的哦。
二、最大字段和的计算方法这里面有好几种计算的方法呢。
有一种比较简单的想法，就是暴力破解法。
啥叫暴力破解法呢？就是把所有可能的连续子序列都找出来，然后一个一个计算它们的和，最后找出最大的那个和。
但是这种方法可有点笨笨的，要是数很多的话，那得计算好久好久呢。
还有一种聪明点的方法，就是动态规划的方法。
这个动态规划可就有点高大上啦。
我们可以定义一个数组，这个数组的每个元素都表示以这个位置结尾的最大子段和。
然后通过一定的规律去计算这个数组里的元素。
比如说，对于一个数a[i]，它的最大子段和要么就是它自己，要么就是包含前面的数的最大子段和加上它自己。
这样一步一步算下来，就能很快地找到整个序列的最大子段和啦。
三、最大字段和在生活中的应用你可别小看这个最大字段和哦，它在生活中有好多用处呢。
比如说，在投资领域。
假如你有一支股票，它每天的涨跌幅度就可以看作是一组数。
那你想找到哪一段时间内你的收益最大，这就可以用最大字段和的方法来计算啦。
再比如说，在安排工作任务的时候。
每个任务都有一个收益值，但是任务之间有先后顺序，而且有些任务必须要在其他任务完成之后才能开始。
这时候，我们可以把每个阶段完成任务的收益看作是一组数，然后用最大字段和的方法来找出最优的任务安排顺序，让总的收益最大。
四、最大字段和的一些变化和扩展最大字段和还有一些变化呢。
比如说，二维的最大字段和。
就像是一个矩阵一样，我们要在这个矩阵里找出一个矩形区域，让这个矩形区域里的数加起来的和最大。
这个可比一维的要复杂多啦。
矩阵和子矩阵的秩的关系
矩阵和子矩阵的秩的关系矩阵是线性代数中非常重要的概念之一，而矩阵的秩又是矩阵理论中一个重要的性质。
通过研究矩阵和子矩阵的秩的关系，可以深入理解矩阵的性质和运算规律。
我们先来了解一下矩阵的秩是什么。
矩阵的秩是指矩阵中的线性无关行（列）的最大个数，也可以理解为矩阵中非零行（列）的最大个数。
矩阵的秩可以表示矩阵的维度，也能反映出矩阵的行（列）空间的维度。
接下来我们来探讨一下矩阵和子矩阵的秩的关系。
对于一个矩阵A，它的任意一个子矩阵B的秩是小于等于A的秩的。
也就是说，子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
这是因为子矩阵是从原矩阵中选取的一部分行和列，而行和列的选择是有限制的，因此子矩阵的维度不会超过原矩阵的维度。
举个例子来说明这个关系。
假设我们有一个3x3的矩阵A，其中的元素为：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]我们可以选取矩阵A的任意一个子矩阵B，假设B是一个2x2的子矩阵，选取的元素为：B = [[1, 2],[4, 5]]我们可以计算矩阵A和子矩阵B的秩，发现子矩阵B的秩为2，而矩阵A的秩也为2。
这符合我们之前的结论，子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
除了子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩之外，还有一个重要的性质是，矩阵A的秩等于它的转置矩阵A^T的秩。
也就是说，矩阵的秩不受到行和列的交换的影响。
这个性质在实际应用中非常有用，可以简化计算过程和提高计算效率。
进一步地，我们可以通过矩阵和子矩阵的秩的关系来推导出一些重要的结论。
例如，如果一个矩阵A的秩等于它的行数（或列数），那么矩阵A就是一个满秩矩阵。
满秩矩阵在线性代数和矩阵计算中有着重要的应用，可以用来表示线性无关的向量组，求解线性方程组等。
我们还可以利用矩阵和子矩阵的秩的关系来进行矩阵的分解和求逆等运算。
例如，对于一个矩阵A，如果它的秩等于它的行数（或列数），那么可以将矩阵A分解成两个非零矩阵的乘积，即 A = BC，其中B是一个m×r的矩阵，C是一个r×n的矩阵，m、n和r分别是矩阵A的行数、列数和秩。
矩阵分块法问题回答
矩阵分块法矩阵分块法是一种常用的矩阵计算方法，它将大规模的矩阵分割成若干个小块，然后对每个小块进行计算，最终将结果合并得到原始矩阵的计算结果。
这种方法可以有效地提高计算速度和减少内存占用。
一、矩阵分块法的基本思想矩阵分块法的基本思想是将大规模的矩阵划分成若干个小块，然后对每个小块进行计算。
这种方法可以有效地减少内存占用和提高计算速度。
具体来说，可以将一个 $n \times n$ 的矩阵划分成 $\sqrt{p} \times \sqrt{p}$ 个大小为 $\frac{n}{\sqrt{p}} \times\frac{n}{\sqrt{p}}$ 的子矩阵。
其中 $p$ 表示处理器数量。
二、矩阵乘法的分块实现对于两个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积 $C = AB$，可以采用如下的分块实现：1. 将 $A$ 和 $B$ 分别划分为 $\sqrt{p} \times \sqrt{p}$ 个子矩阵：$$\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1\sqrt{p}} \\A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2\sqrt{p}} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\A_{\sqrt{p}1} & A_{\sqrt{p}2} & \cdots & A_{\sqrt{p}\sqrt{p}} \end{bmatrix},B =\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1\sqrt{p}} \\B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2\sqrt{p}} \\\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\B_{\sqrt{p}1}& B_{\sqrt{p}2}& \cdots& B_{\sqrt{p}\sqrt{p}}\end{bmatrix}.$$其中 $A_{ij}$ 和 $B_{ij}$ 分别表示 $A$ 和 $B$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的子矩阵。
矩阵最高阶非零子式的求法
矩阵最高阶非零子式的求法矩阵最高阶非零子式的求法是线性代数中的一个重要问题。
在矩阵理论中，矩阵的子式是指从矩阵中任意选取若干行和若干列所组成的新矩阵的行列式。
矩阵的最高阶非零子式是指所有非零子式中行列数最大的那个子式。
求解矩阵的最高阶非零子式是矩阵理论中的一个基本问题，对于矩阵的性质分析和应用具有重要意义。
求解矩阵的最高阶非零子式的方法有很多种，其中比较常用的方法有以下几种：1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，也可以用来求解矩阵的最高阶非零子式。
具体方法是将矩阵进行初等变换，使得矩阵的某些行或列变为零，然后计算变换后的矩阵的行列式。
如果变换后的矩阵的某个子式不为零，则该子式就是原矩阵的一个非零子式。
重复进行初等变换，直到无法再进行初等变换为止，得到的最高阶非零子式就是原矩阵的最高阶非零子式。
2. LU分解法LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积的方法。
具体方法是先对矩阵进行初等变换，将其变为一个上三角矩阵，然后再将其变为一个下三角矩阵。
在这个过程中，可以计算出每一步变换后的矩阵的行列式，从而得到原矩阵的所有非零子式。
最后，取行列数最大的非零子式作为原矩阵的最高阶非零子式。
3. 特征值法特征值法是求解矩阵特征值和特征向量的方法，也可以用来求解矩阵的最高阶非零子式。
具体方法是先求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成的矩阵进行初等变换，得到一个上三角矩阵。
最后，取上三角矩阵的对角线上的元素的乘积作为原矩阵的最高阶非零子式。
总之，求解矩阵的最高阶非零子式是线性代数中的一个基本问题，有多种求解方法。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
【java】矩阵的最大子矩阵（动态规划）
【java】矩阵的最⼤⼦矩阵（动态规划）⼀、实验⽬的练习使⽤动态规划算法解决实际问题（使⽤Java语⾔实现）。
⼆、实验内容【问题描述】有⼀个包含正数和负数的⼆维数组。
⼀个⼦矩阵是指在该⼆维数组⾥，任意相邻的下标是1*1或更⼤的⼦数组。
⼀个⼦矩阵的和是指该⼦矩阵中所有元素的和。
本题中，把具有最⼤和的⼦矩阵称为最⼤⼦矩阵。
【⽰例】给出以下⼆维数组：0 -2 -7 09 2 -6 2-4 1 -4 1-1 8 0 -2这个数组的最⼤⼦矩阵为：9 2-4 1-1 8其和为15。
【输⼊】输⼊包含多组测试数据。
每组输⼊的第⼀⾏是⼀个正整数N（1<=N<=100），表⽰⼆维⽅阵的⼤⼩。
接下来N⾏每⾏输⼊N个整数，表⽰数组元素，范围为[-127，127]。
【输出】输出最⼤⼦矩阵和。
【思路提⽰】求最⼤⼦矩阵和问题是求最⼤⼦段和问题在⼆维空间上的推⼴，可参考求最⼤⼦段和问题。
三、 程序代码（1）maxSumList1package maxSumList;2import java.util.Scanner;34public class maxList{5 //public static int[][] list=new int[10][10];6 static int n;7 private maxSingleList maxSingleList=new maxSingleList();8 private final maxSingleList[] maxSingleLists;9 private int numberOfmaxSingleLists;1011 public maxList() {12 //创建计算每个⼦段和的类的数组13 maxSingleLists=new maxSingleList[100];14 }15161617 public void InputList(int[][] list){1819 System.out.println("请输⼊⽅阵⼤⼩：");20 Scanner scanner=new Scanner(System.in);21 n=scanner.nextInt();22 for (int y=0;y<n;y++){23 System.out.println("请输⼊⽅阵第"+(y+1)+"⾏数据：");24 for (int x=0;x<n;x++)25 list[y][x]=scanner.nextInt();26 }27 }28 public void OutputMaxSumList(int[][] list){29 int m=0;30 int max=0;31 int max1=0;32 int maxnum=0;3334 for (m=0;m<=numberOfmaxSingleLists;m++) {35 max1=maxSingleLists[m].getSum();36 if (max1 > max) {37 max = max1;38 maxnum = m;39 }40 }41 System.out.println("请输出最⼤⼦段和："+maxSingleLists[maxnum].getSum());42 System.out.println("请输出最⼤⼦段：");43 for(int i=maxSingleLists[maxnum].getY1();i<=maxSingleLists[maxnum].getY2();i++){44 for (int j=maxSingleLists[maxnum].getNum1();j<=maxSingleLists[maxnum].getNum2();j++){45 System.out.print(list[i][j]+" ");46 }47 System.out.println("\n");48 }49 }5051 public void subMaxList(int[][] matrix) {52 int m=0;53 int[][] total = new int[10][10];54 for (int y=0;y<n;y++){55 for (int x=0;x<n;x++)56 total[y][x]=matrix[y][x];57 }585960 for (int i = 1; i < n; i++) {61 for (int j = 0; j < n; j++) {62 total[i][j] += total[i-1][j];63 }64 }6566 int maximum = 0;//Integer.MIN_VALUE;67 for (int i = 0; i < n; i++) {//所在的list⾏68 for (int j = i; j <n; j++) {//相差的69 //result 保存的是从 i ⾏到第 j ⾏所对应的矩阵上下值的和70 int[] result = new int[matrix[0].length];//每次都重新定义存放⼦段和的结果数组71 for (int f = 0; f < n; f++) {72 if (i == 0) {73 result[f] = total[j][f];74 } else {75 result[f] = total[j][f] - total[i - 1][f];76 }77 }78 maxSingleList maxSingleList=new maxSingleList();79 int maximal=maxSingleList.MaxListNum(result,i,j);80 numberOfmaxSingleLists=m;81 maxSingleLists[m++]= maxSingleList;81 maxSingleLists[m++]= maxSingleList;82 if (maximal > maximum) {83 maximum = maximal;84 }85 }86 }87 }8889}（2）maxSingleList4 private int num1;5 private int num2;6 private int y1;7 private int y2;8 private int sum;9 public int getNum1(){10 return num1;11 }12 public int getNum2(){13 return num2;14 }15 public void setY1(int y11){16 y1=y11;17 }18 public void setY2(int y22){19 y2=y22;20 }21 public int getY1(){22 return y1;23 }24 public int getY2(){25 return y2;26 }27 public void setSum(int sum){28 this.sum=sum;29 }30 public int getSum(){31 return sum;32 }33 public int MaxListNum(int[] array,int i,int j){34 int number,b=0,begin=0,bestmin=0,bestmax=0;35 sum=0;36 for (number = 0; number < array.length; number++) {//sum没清零37 if (b >= 0)//去掉等号38 b += array[number];39 else {40 b = array[number];41 begin = number;42 }43 if (b > sum) {//加个+44 sum = b;45 bestmin = begin;46 bestmax = number;47 }4849 }50 num1 = bestmin;51 num2= bestmax;52 setSum(sum);53 setY1(i);54 setY2(j);55 return sum;56 // if (sum==0)和为0的⾏数组要去掉那⼀⾏5758 }5960 }（3）TestmMaxList4 public static int[][] list=new int[10][10];5 public static void main(String[] arg){6 maxList maxlist=new maxList();7 maxlist.InputList(list);8 maxlist.subMaxList(list);9 maxlist.OutputMaxSumList(list); 1011 }12}四、 实验结果（含程序运⾏截图）五、 出现问题及解决⽅法（⼀）出现的问题在于算法的设计上，⼀开始我认为最⼤⼦矩阵就是每⾏所构成的最⼤⼦段的⾏列的序号交集，后来发现不是这样的，这样没办法正确输出最⼤⼦矩阵，得到的结果不对，然后推翻⾃⼰写了⼀天的代码以及想法。
矩阵最高阶非零子式的求法
矩阵最高阶非零子式的求法介绍在线性代数中，矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵可以用于表示一组线性方程的系数矩阵，或者用于描述空间中的向量和线性变换。
在矩阵的运算和分析中，矩阵的最高阶非零子式是一个重要的概念，它可以帮助我们分析和解决一些问题。
本文将详细介绍矩阵最高阶非零子式的定义、性质和求法。
定义矩阵的最高阶非零子式指的是矩阵中某个阶数的子矩阵，它的行和列的选取都是连续的，并且该子矩阵的行列式不为零。
换句话说，矩阵的最高阶非零子式是指矩阵中非零元素按照一定规律排列形成的子矩阵，其中子矩阵的行和列都是连续的，并且该子矩阵的行列式不为零。
性质矩阵的最高阶非零子式具有以下性质：1.矩阵的最高阶非零子式的阶数是有限的。
对于一个n阶方阵，它的最高阶非零子式的阶数最大为n。
2.矩阵的最高阶非零子式的行列式值不为零。
如果一个矩阵的最高阶非零子式的行列式值为零，那么该矩阵的行列式值也为零。
求法为了求解矩阵的最高阶非零子式，我们可以采用以下方法：1. 全排列法全排列法是一种比较直观的求解矩阵最高阶非零子式的方法。
它的基本思想是，对于一个给定的n阶矩阵，我们可以通过遍历所有可能的子矩阵来找到最高阶非零子式。
具体步骤如下：1.首先确定子矩阵的阶数k，其中1≤k≤n。
2.然后遍历所有可能的子矩阵，其中子矩阵的行和列都是连续的，并且行列式不为零。
3.对于每个子矩阵，计算它的行列式值，并与之前找到的最高阶非零子式的行列式值进行比较。
4.最后找到行列式值不为零的子矩阵中，阶数最大的子矩阵即为矩阵的最高阶非零子式。
全排列法的时间复杂度较高，在计算过程中需要遍历大量的子矩阵，如果矩阵的阶数较大，可能会导致计算时间过长。
2. 递推法递推法是一种较为高效的求解矩阵最高阶非零子式的方法。
它的基本思想是，利用矩阵的性质进行递推，从而找到最高阶非零子式。
具体步骤如下：1.首先我们可以观察和分析矩阵的性质，找到一些规律和特点。
2.然后我们可以利用这些规律和特点，通过递推的方式求解矩阵的最高阶非零子式。
最大最小算子矩阵
最大最小算子矩阵一、引言最大最小算子矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和广泛的应用。
最大最小算子矩阵主要应用于解决优化问题、控制系统分析和图像处理等领域。
本文将详细介绍最大最小算子矩阵的基本概念、性质、应用和未来展望。
二、最大最小算子矩阵的基本概念最大最小算子矩阵通常表示为M，它是一个由多个线性算子组成的矩阵。
每个线性算子都有一定的输入和输出，并且可以执行特定的操作。
最大最小算子矩阵中的每个算子都可以独立地执行其操作，但它们之间也存在一定的相互影响和依赖关系。
最大最小算子矩阵的一个重要特性是它的稳定性和可控性。
稳定性意味着系统在受到外部干扰时仍能保持稳定，而可控性则指系统能够通过输入信号来控制系统的输出。
最大最小算子矩阵通过优化算法和动态规划等方法可以实现系统的稳定性和可控性。
三、最大最小算子矩阵的性质最大最小算子矩阵具有许多重要的性质，这些性质决定了其在各种领域中的应用价值。
首先，最大最小算子矩阵是半正定的，这意味着矩阵中的所有元素都是非负的。
这一性质使得最大最小算子矩阵在优化问题和控制系统分析中具有广泛的应用。
其次，最大最小算子矩阵还具有优化性质，即通过一定的算法和计算方法，可以在有限步内找到最优解。
这一性质使得最大最小算子矩阵在解决复杂的优化问题时具有很高的效率和准确性。
此外，最大最小算子矩阵还具有稳定性、可控性和鲁棒性等性质。
这些性质使得最大最小算子矩阵在控制系统分析和设计、信号处理和图像处理等领域中具有重要的应用价值。
四、最大最小算子矩阵的应用最大最小算子矩阵在许多领域中都有广泛的应用。
在优化问题中，最大最小算子矩阵可以用于求解线性规划、二次规划和约束优化等问题。
通过将问题转化为最大最小问题，可以找到最优解，并实现高效的算法和计算方法。
在控制系统分析中，最大最小算子矩阵可以用于分析和设计线性时不变系统。
通过将系统状态方程转化为最大最小问题，可以确定系统的稳定性、可控性和可观性等特性，为系统设计和优化提供理论依据。
矩阵连乘问题-备忘录法求最优值
矩阵连乘问题-备忘录法求最优值矩阵连乘问题是一个很典型的动态规划问题。
在这个问题中，给定多个矩阵，我们需要将它们相乘得到一个最终的矩阵。
但是，矩阵相乘的顺序对于最终答案是有影响的，因此需要考虑如何寻找最优的矩阵相乘顺序。
备忘录法可以很好地解决这个问题，它是动态规划的一种优化方法，通过记忆已经计算过的结果来避免重复计算。
首先，我们需要定义一个状态表示，用来表示每一个子问题。
在矩阵连乘问题中，可以将子问题定义为：对于给定的一组矩阵，从第i 个矩阵到第j个矩阵进行连乘所需的最少乘法次数。
接下来，我们可以考虑如何递归地求解子问题。
具体来说，我们可以枚举每一个可能的括号位置，将原问题分解成两个子问题。
这个过程可以用递归实现。
但是，这个方法会涉及到很多重复计算，因为很多子问题会被重复使用。
为了避免这个问题，我们可以使用备忘录法对递归算法进行优化。
具体来说，在计算每一个子问题的最优值时，我们可以将结果存储在一个备忘录中，以便在之后重复使用。
备忘录法的实现过程比较简单。
我们可以定义一个二维数组memo，其中memo[i][j]表示对于给定的矩阵序列，在第i个矩阵到第j个矩阵之间进行连乘所需的最少乘法次数。
初始时，将memo中所有元素都设置为一个较大的数（比如1000000），表示这个子问题还没有被计算过。
接下来，我们可以实现一个递归函数helper(i,j)，用来计算memo[i][j]。
具体来说，函数的实现如下：```def helper(i,j):#如果已经计算过memo[i][j]，直接返回结果if memo[i][j] != 1000000:return memo[i][j]#如果只有一个矩阵，直接返回0if i == j:return 0#初始化memo[i][j]memo[i][j] = 1000000#枚举括号位置for k in range(i,j):memo[i][j] = min(memo[i][j], helper(i,k) + helper(k+1,j) + matrix[i][0] * matrix[k][1] * matrix[j][1])return memo[i][j]```在实现递归函数时，我们首先检查memo[i][j]是否已经计算过，如果是，直接返回结果。
分治法有哪些经典用途
分治法有哪些经典用途分治法是一种常见的算法思想，它的核心思想就是将一个问题分解成多个子问题，然后解决各个子问题，最后将各个子问题的结果合并，从而得到原问题的解决方案。
分治法一般可以分为三个步骤：分解问题、解决子问题、合并子问题结果。
分治法可以用来解决许多经典问题，下面将介绍一些常见的应用。
1. 排序排序可以说是计算机程序中最常见的问题之一，而分治法则是其中的一种经典算法思想。
经典的归并排序算法就是一种基于分治法的排序算法。
该算法将数组分解成两个子数组，分别进行递归排序，最后将两个子数组合并成一个有序数组。
2. 最大子序列和问题最大子序列和问题是一个在数组中寻找一个连续子序列，使得该子序列中的元素和最大的问题。
该问题可以使用分治法来解决。
将数组分成两半，分别计算左半边、右半边以及横跨两个子数组的最大子序列和。
最后将这些结果合并，找出最大的子序列和。
3. 二分搜索二分搜索是一种常见的查找算法，它可以在有序数组中快速查找指定元素。
该算法也是一个基于分治法的算法。
将数组分成两半后查看中间元素，如果中间元素等于指定元素，则查找结束。
如果中间元素大于指定元素，则在左边的子数组中查找。
如果中间元素小于指定元素，则在右边的子数组中查找。
4. 逆序对问题逆序对问题是一个在数组中寻找所有逆序对个数的问题。
逆序对指的是在一个数组中，如果i<j且a[i]>a[j]，则称(a[i], a[j])是一个逆序对。
这个问题可以利用分治法来解决，将数组分成两个子数组，分别计算左半边、右半边以及跨越两个子数组的逆序对数。
最后将这些结果合并，得到所有逆序对的个数。
5. 矩阵乘法矩阵乘法是一个重要的数学问题，也是在计算机领域中广泛应用的问题之一。
分治法可以用来加快矩阵乘法的计算。
将两个矩阵分成四个子矩阵后，可以利用递归方式对每个子矩阵进行矩阵乘法计算，最后将结果合并得到最终的乘积矩阵。
6. 凸包问题凸包问题是计算机几何学中的一个经典问题，它的主要目标是求出一个点集的凸包，即包含给定点集的最小凸多边形。
洛谷 最大子矩形问题
洛谷最大子矩形问题
最大子矩形问题是一个在计算机科学和算法领域常见的问题。
洛谷是一个知名
的在线程序设计练习平台。
在洛谷上，我们可以找到一道关于最大子矩形问题的题目。
该题目要求我们在
一个给定的二维矩阵中找到能形成的最大子矩形的面积。
解决这个问题的一种常用算法是使用动态规划。
我们可以定义一个二维数组
dp来存储每个位置上的连续1的长度。
然后使用两层循环遍历矩阵中的每个元素，并更新dp数组。
具体的算法实现如下：
1. 初始化一个与给定矩阵相同大小的二维数组dp，所有元素都设为0。
2. 遍历矩阵中的每个元素，如果当前元素为1，则将dp中对应位置的值更新为当前元素所在列之前连续1的个数加上1，否则将dp中对应位置的值设为0。
3. 对于每个位置(i, j)，以该位置为右下角的矩形的面积为dp[i][j]*k，其中k是
从i到0遍历所有行时dp对应位置的最小值。
使用一个变量max_area来记录最大
的矩形面积。
4. 返回max_area作为最终的结果。
通过这个算法，我们可以在洛谷上解决最大子矩形问题。
这个问题可以帮助我
们熟悉动态规划算法，并提供了一种处理二维矩阵的方法。
在解决这个问题的过程中，我们还能够加深对于循环遍历、数组操作和条件判断的理解和应用。
总而言之，最大子矩形问题是一个常见的算法问题，在洛谷这样的在线练习平
台上能够找到相应的题目并使用动态规划算法进行解决。
通过解决这类问题，我们能够提高自己的算法思维和编程能力。
矩阵的主子阵与秩教案
矩阵的主子阵与秩教案一、引言在线性代数领域中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的主子阵与秩是矩阵理论中非常重要的概念和性质。
本文将通过介绍矩阵的主子阵和秩的基本概念、性质以及教学案例的方式，让读者更好地理解和应用矩阵的主子阵与秩。
二、矩阵的主子阵1. 主子阵的定义和特点主子阵是指从原矩阵中选取一些行和列组成的子矩阵，且所选取的行和列是原矩阵的连续行和列。
主子阵通常用矩阵的子式表示，具有以下特点：（1）主子阵是原矩阵的一部分，保留了原矩阵的某些重要信息；（2）主子阵的行和列是原矩阵中连续的行和列，形成了矩阵的一个子块；（3）主子阵的大小可以根据具体需求进行选取。
2. 主子阵的应用主子阵在实际问题中有广泛的应用。
例如，在图像处理中，可以通过选取图像的某些行和列来提取感兴趣的部分；在网络流中，可以通过选取网络中某些节点和边来简化网络模型。
主子阵的应用可以帮助我们减少计算量、降低复杂度，并提高算法的效率。
三、矩阵的秩1. 秩的定义和性质矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行（或列）的最大个数，用r(A)表示。
秩具有以下性质：（1）秩的值小于等于矩阵的行数和列数中的较小值；（2）对于任意的矩阵A，有r(A) = r(A^T)，即矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等；（3）对于任意的矩阵A和矩阵B，有r(A+B) ≤ r(A) + r(B)，即矩阵之和的秩不大于各矩阵秩之和。
2. 秩的计算方法计算矩阵的秩可以使用多种方法，如高斯消元法、行列式方法等。
其中，高斯消元法是一种常用且有效的计算秩的方法。
通过将矩阵进行初等行变换，将矩阵化为阶梯形或行最简形矩阵，然后计算非零行的个数即可得到矩阵的秩。
四、教学案例分析以矩阵的主子阵与秩为主题，我们可以设计以下教学案例：在教学案例中，首先可以通过简单的实例引导学生理解主子阵的概念和特点，并帮助学生掌握主子阵的选取方法和应用技巧。
然后，引入秩的概念，通过具体的计算例子让学生了解秩的定义和性质，掌握计算秩的方法和技巧。
DP算法总结
1. 资源问题1-----机器分配问题f[i,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]);2. 资源问题2------01背包问题f[i,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]);3. 线性动态规划1-----朴素最长非降子序列f[i]:=max{f[j]+1}4. 剖分问题1-----石子合并f[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);5. 剖分问题2-----多边形剖分f[i,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]);6. 剖分问题3------乘积最大f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);7. 资源问题3-----系统可靠性(完全背包)f[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]};8. 贪心的动态规划1-----快餐问题f[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3};9. 贪心的动态规划2-----过河f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]){f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态10. 剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划F[i,j]:=max{正正f[I,k]*f[k+1,j];负负g[I,k]*f[k+1,j];正负g[I,k]*f[k+1,j];负正f[I,k]*g[k+1,j];} g为min11. 树型动态规划1-----加分二叉树(从两侧到根结点模型)F[i,j]:=max{f[i,k-1]*f[k+1,j]+c[k]};12. 树型动态规划2-----选课(多叉树转二叉树,自顶向下模型)f[i,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]};13. 计数问题1-----砝码称重f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];(1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];)14. 递推天地1------核电站问题f[-1]:=1; f[0]:=1;f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m];15. 递推天地2------数的划分f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];16. 最大子矩阵1-----一最大01子矩阵f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;ans:=maxvalue(f);17. 判定性问题1-----能否被4整除g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)18. 判定性问题2-----能否被k整除f[i,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n20. 线型动态规划2-----方块消除游戏f[i,i-1,0]:=0f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k), //dof[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0] //not do}; ans:=f[1,m,0];21. 线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题f[i,j]=0 (i=0)&(j=0);f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x[i]=y[j]);max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]);22. 最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵O(n^2*m)枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零23. 资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]);24. 数字三角形1-----朴素の数字三角形f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);25. 数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill同一阶段上暴力动态规划f[i,j]:=min(f[i,j-1],f[i,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j];26. 双向动态规划1数字三角形3-----小胖办证f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j]);27. 数字三角形4-----过河卒//边界初始化f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];28. 数字三角形5-----朴素的打砖块f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);29. 数字三角形6-----优化的打砖块f[i,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[i,k]};30. 线性动态规划3-----打鼹鼠’f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j]);31. 树形动态规划3-----贪吃的九头龙f[i,j,k]:=min(f[x1,j1,1]+f[x2,j-j1-1,k]+d[k,1]*cost[i,fa[i]]] {Small Head}, f[x1,j1,0]+f[x2,j-j1,k]+d[k,0]*cost[i,fa[i]] {Big Head});f[0,0,k]:=0; f[0,j,k]:=max(j>0)d[i,j]:=1 if (i=1) and (j=1)1 if (i=0) and (j=0) and (M=2)0 else32. 状态压缩动态规划1-----炮兵阵地Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k]);If (map[i] and plan[k]=0) and((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0);33. 递推天地3-----情书抄写员f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2];34. 递推天地4-----错位排列f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);35. 递推天地5-----直线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+n:=n*(n+1) div 2 + 1;36. 递推天地6-----折线分平面最大区域数f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;37. 递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数f[n]:=f[n-1]+2*(n-1);:=sqr(n)-n+2;38 递推天地8-----凸多边形分三角形方法数f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;对于k边形f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)39 递推天地9-----Catalan数列一般形式1,1,2,5,14,42,132f[n]:=C(2k,k) div (k+1);40 递推天地10-----彩灯布置排列组合中的环形染色问题f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);41 线性动态规划4-----找数线性扫描sum:=f[i]+g[j];(if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)42 线性动态规划5-----隐形的翅膀min:=min{abs(w[i]/w[j]-gold)};if w[i]/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);43 剖分问题5-----最大奖励f[i]:=max(f[i],f[j]+(sum[j]-sum[i])*i-t;44 最短路1-----Floydf[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];45 剖分问题6-----小H的小屋F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);46 计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);47 线性动态规划------合唱队形两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点48 资源问题------明明的预算方案：加花的动态规划f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]);49 资源问题-----化工场装箱员50 树形动态规划-----聚会的快乐f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]);51 树形动态规划-----皇宫看守f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]);f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,2]);52 递推天地-----盒子与球f[i,1]:=1;f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);53 双重动态规划-----有限的基因序列f[i]:=min{f[j]+1}g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j]);54 最大子矩阵问题-----居住空间f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1] ),f[i-1,j-1,k-1]))+1;55 线性动态规划------日程安排f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s[i])56 递推天地------组合数C[i,j]:=C[i-1,j]+C[i-1,j-1];C[i,0]:=157 树形动态规划-----有向树k中值问题F[I,r,k]:=max{max{f[l[i],I,j]+f[r[i],I,k-j-1]},f[f[l[i],r,j]+f[r[i],r,k-j]+w[I,r]]};58 树形动态规划-----CTSC 2001选课F[I,j]:=w[i](if i∈P)+f[l[i],k]+f[r[i],m-k](0≤k≤m)(if l[i]<>0);59 线性动态规划-----多重历史f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked);60 背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substractf[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]];61 线性动态规划(字符串)-----NOI 2000 古城之谜f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1};f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]};62 线性动态规划-----最少单词个数f[i,j]:=max{f[i,j],f[u-1,j-1]+l};63 线型动态规划-----APIO2007 数据备份状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]);64 树形动态规划-----APIO2007 风铃f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])};g[i]:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r]);g[l]=g[r]=1 then Halt;65 地图动态规划-----NOI 2005 adv19910F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];66 地图动态规划-----优化的NOI 2005 adv19910F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;67 目标动态规划-----CEOI98 subtraF[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]];68 目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]];69 树形动态规划-----有线电视网f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]);leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p;70 地图动态规划-----vijos某题F[i,j]:=min(f[i-1,j-1],f[i,j-1],f[i-1,j]);71 最大子矩阵问题-----最大字段和问题f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1];72 最大子矩阵问题-----最大子立方体问题枚举一组边i的起始，压缩进矩阵B[I,j]+=a[x,I,j];枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵73 括号序列-----线型动态规划f[i,j]:=min(f[i,j],f[i+1,j-1] (s[i]s[j]=”()”or(”[]”)),f[i+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ) , f[i,j-1]+1(s[j]=”)”or”]”);74 棋盘切割-----线型动态规划f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]};75 概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)x:=p[p[i,j],j];f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1;f[I,i]=0;f[x,j]=1;76 概率动态规划-----血缘关系F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2;f[i,i]=1;f[i,j]=0;(i,j无相同基因)77 线性动态规划-----决斗F[i,j]=(f[i,j] and f[k,j]) and (e[i,k] or e[j,k]); (i<k<j)78 线性动态规划-----舞蹈家F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]]);79 线性动态规划-----积木游戏F[i,a,b,k]=max(f[a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k],f[i,a+1,a+1,k]);80 树形动态规划（双次记录）-----NOI2003 逃学的小孩朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点j,k O(n^2)每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。
《计算机算法设计与分析》第三章 动态规划
计算量为A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
25
1、分析最优解的结构
特征 计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。（反证可 得）
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题 的最优解。这种性质称为最优子结构性质。
该策略与上一种策略相似，在某些情况下可得到最优解，但 在有些情况下得不到最优解。如上例的第(3)种完全加括号方 式就是采用该策略，显然它得到的是最优解。
当４个矩阵的维数改为50×10, 10×40, 40×30和30×5 时，可验证采用该策略得到的不是最优解。
以上两种策略实质都是基于某种贪心选择的贪心算法，这种算法不 一定能得到问题的全局最优解。在下一章我们将详细讨论此种策略。
动态规划是考察问题的一种途径，或是求解某类问题 的一种方法。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技 术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路 线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等 问题，用动态规划方法比其它方法求解更为方便。
5
基本概念 ①状态：表示每个阶段开始时，问题或系统所处的客观
20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
21
该递归算法的的计算时间T(n)可递归定义如下：
当n>1时， 该算法的计算时间T(n)有指数下界。 分治法是该问题的一个可行方法，但不是一个
有效算法。
22
为何分治法的效率如此低下？ recurmatrixChain(1,4)计算A[1：4]的递归树。
从图中可看出，许多子问题被重复计算。 这是分治法效率低下的根本原因。
NOIP的DP总结之经典模型
最大不重复子段和：cwx 吃面包问题。 平方做法。
子矩阵问题 *1*最大 01 子矩阵 枚举下边界，利用悬线的观点，然后有两种做法：路径压缩法和两次 单调队列法。 其实还可以将不要的一方赋值为-oo， 从而转化为*3*最大子矩阵问题。
*2*另外，最大 01 子正方形：
f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1; ans:=maxvalue(f型，船，交错匹配，最高线段 覆盖，
最大子段和 *1*一般的最大子段和：
长郡 范进
F[i]:=max{f[i-1]+a[i],a[i]} Ans:=max{f[i]} *2*元素不可重复计算的最大子段和（cwx 吃面包） ： S[a]表示 a 到 b 不重复计算的子段和， F[a]表示 s[a]出现过的最大值。 Pre[k]表示元素 k 上一次出现过的地方 For b:=1 to n do Begin For a:=pre[w[b]]+1 to b do Begin S[a]:=s[a]+w[b]; F[a]:=max(f[a],s[a]); End; End; Ans:=max{f[a]} *3*最大 M 子段和 F[i,j]表示前 i 个数，i 属于第 j 子段时的最大值。 G[I,j]表示前 i 个数，分了 j 个子段时的最大值。 F[I,j]:=max{f[i-1,j],g[i-1,j-1]}+a[i]; G[I,j]:=max{g[i-1,j],f[i,j]}. 空间可以优化。 反思：状态的巧妙设计，互补设计。
长郡 范进
状态 g(i-1,j)相同，要么和此时所得的数 f(i,j)相同。 同样的，f(i,j)=max{f(i-1,j)+a[i],g(i-1,j-1)+a[i]}中，f-a[i]要么和前 一个状态相同，要么和前一个最优解 g 相同。所以，我们可 以用一维数组来代替二维数组。 F[j]:=max{f[j],g[j-1]} +a[i]; G[j]:=max{f[j],g[j]}. 成功 AC！
求最大子矩阵的两种思路
求最大子矩阵的两种思路长沙市雅礼中学贺一骏编者：求最大子矩阵问题是很常见的一类问题，具有很强的代表性，通过这个问题，可以派生出更加复杂的问题，也可以学到很多常用的问题处理手段。
问题描述一个被分为n*m个格子的月饼盒，第i 行第j 列位置的格子里面有a [ i , j ]个月饼。
本来CCC老师打算送这盒月饼给某人的，但是就在要送出月饼盒的前一天晚上，一只极其可恶的老鼠夜袭月饼盒，有部分格子被洗劫并且穿了洞。
CCC老师必须尽快从这个月饼盒里面切割出一个矩形月饼盒，新的月饼盒不能有洞，并且CCC老师希望保留在新月饼盒内的月饼的总数尽量多。
任务：请帮CCC老师设计一个程序，计算一下新月饼盒最多能够保留多少月饼。
输入文件的第一行有两个整数n、m。
第i + 1 行的第j 个数表示 a [ i , j ]，如果这个数为0 ，则表示这个位置的格子被洗劫过。
其中：1 ≤n，m ≤300，0 ≤a [ i , j ]≤255输出在文件中写入最大月饼数。
样例Sample Input3 41 2 3 45 06 310 3 4 0Sample Output17分析该问题实际上是求在给定平面区域中找出一个最大的子矩形，要求该矩形不能包含某些限定的格子。
方法一：我们初次见到这个问题，可能最直接的想法就是枚举。
即枚举每个矩阵的左上角坐标（x1,y1）和右下角坐标(x2,y2)，然后统计这个矩阵是否满足题设条件。
我们可以先预处理从左上角（1,1）出发到任意一点（i,j）的月饼数目area(i,j)，预处理的时间复杂度为O(mn),程序如下：For i:=1 to n doFor j:=1 to m doArea[I,j]:=area[i-1,j]+area[i,j-1]-area[i-1,j-1]+mooncake[i,j];其边界条件为area[0,i]=0,area[i,0]=0Mooncake[i,j]表示(i,j)这个点的上月饼数目，如果(i,j)这个点被破坏，则设mooncake[i,j]=-30000000，那么有area[i,j]<0。
高考数学中的线性代数中的矩阵秩
高考数学中的线性代数中的矩阵秩矩阵是数学中非常重要的一个概念，它是线性代数中的基础。
在高等数学中，矩阵是一个重要的工具，广泛应用于科学和工程领域。
高考数学中的线性代数中的矩阵秩也是其中非常重要的一部分。
一、什么是矩阵秩矩阵秩是矩阵的一个重要特征，它是线性代数中的一个基本概念。
矩阵秩是指矩阵中最大的线性无关的行或列的数目。
矩阵中的行和列可以看作是向量，矩阵秩就是这些向量中线性无关的最大数量。
在高考数学中，矩阵秩是一个常常出现的考察点。
矩阵秩是一道非常简单却非常基础的题目，但正是这样的题目需要我们在考场上能够熟练掌握。
二、矩阵秩的意义矩阵秩的意义在科学和工程领域是非常重要的。
矩阵秩可以用于解决许多实际问题，例如电路分析、线性规划、最小二乘法以及图像处理等。
在电路分析中，矩阵秩可以用于解决电路中的节点分析问题。
在线性规划中，矩阵秩可以用于求解问题的最优解。
在最小二乘法中，矩阵秩可以用于求解线性回归问题。
在图像处理中，矩阵秩可以用于提取图像的特征。
在工程领域中，矩阵秩也有着广泛的应用。
例如在控制系统中，矩阵秩可以用于解决反馈和控制问题；在机器学习中，矩阵秩可以用于构建分类器和聚类器等。
三、矩阵秩的求法矩阵秩的求法是线性代数中的一个重要问题。
矩阵秩可以通过不同的方法进行求解，其中最常用的方法是高斯消元法和矩阵的行列式法。
在高考数学中，我们经常使用矩阵的行列式法来求解矩阵的秩。
矩阵的秩等于矩阵中不为零的子矩阵的阶数最大值。
例如，一个3 x 3的矩阵A的秩可以通过以下步骤进行求解：1. 构造该矩阵的所有2 x 2子矩阵。
2. 计算每个2 x 2子矩阵的行列式的值。
3. 如果所有2 x 2子矩阵的行列式的值都不为零，则该矩阵的秩为3；否则，该矩阵的秩为2或1。
四、矩阵秩的应用矩阵秩在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于解决许多问题。
例如，在图像处理中，可以利用矩阵秩来提取图像的特征，例如对比度、饱和度以及颜色等。
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Largest Rectangle in a HistogramTime Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 65536/32768K (Java/Other)Total Submission(s) : 53 Accepted Submission(s) : 8Problem DescriptionA histogram is a polygon composed of a sequence of rectangles aligned at a common base line. The rectangles have equal widths but may have different heights. For example, the figure on the left shows the histogram that consists of rectangles with the heights 2, 1, 4, 5, 1, 3, 3, measured in units where 1 is the width of the rectangles:Usually, histograms are used to represent discrete distributions, e.g., the frequencies of characters in texts. Note that the order of the rectangles, i.e., their heights, is important. Calculate the area of the largest rectangle in a histogram that is aligned at the common base line, too. The figure on the right shows the largest aligned rectangle for the depicted histogram.InputThe input contains several test cases. Each test case describes a histogram and starts with an integer n, denoting the number of rectangles it is composed of. You may assume that 1 <= n <= 100000. Then follow n integers h1, ..., hn, where 0 <= hi <= 1000000000. These numbers denote the heights of the rectangles of the histogram in left-to-right order. The width of each rectangle is 1. A zero follows the input for the last test case.OutputFor each test case output on a single line the area of the largest rectangle in the specified histogram. Remember that this rectangle must be aligned at the common base line.Sample Input7 2 1 4 5 1 3 34 1000 1000 1000 1000Sample Output84000这个题目是众多子矩阵问题的源头，所以要好好总结一下。
重点：对于每个点，记算出他所能向左和向右延伸的最大边界，该长度乘以该点高度就是该店所能呈现的最大值，最后扫描一边找出最大的。
对于某个点，如果该点的高度比左边的一个小，那么该点的左边界就是这个点左边的点的左边界。
右边界亦是如此。
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>using namespace std;const int N=100010;long long a[N],l[N],r[N];int main(){int n;while(cin>>n&&n){int i,j;for(i=1;i<=n;i++){//cin>>a[i];scanf("%I64d",&a[i]);l[i]=r[i]=i;}for(i=1;i<=n;i++){ //延伸左边界while(l[i]>1&&a[i]<=a[l[i]-1])l[i]=l[l[i]-1];}for(i=n;i>0;i--){ //延伸右边界while(r[i]<n&&a[i]<=a[r[i]+1])r[i]=r[r[i]+1];}long long ans=0;for(i=1;i<=n;i++){ans=max(ans,(r[i]-l[i]+1)*a[i]);}cout<<ans<<endl;}return 0;}City GameTime Limit : 2000/1000ms (Java/Other) Memory Limit : 65536/32768K (Java/Other)Total Submission(s) : 12 Accepted Submission(s) : 5Problem DescriptionBob is a strategy game programming specialist. In his new city building game the gaming environment is as follows: a city is built up by areas, in which there are streets, trees,factories and buildings. There is still some space in the area that is unoccupied. The strategic task of his game is to win as much rent money from these free spaces. To win rent money you must erect buildings, that can only be rectangular, as long and wide as you can. Bob is trying to find a way to build the biggest possible building in each area. But he comes across some problems – he is not allowed to destroy already existing buildings, trees, factories and streets in the area he is building in.Each area has its width and length. The area is divided into a grid of equal square units.The rent paid for each unit on which you're building stands is 3$.Your task is to help Bob solve this problem. The whole city is divided into K areas. Each one of the areas is rectangular and has a different grid size with its own length M and width N.The existing occupied units are marked with the symbol R. The unoccupied units are marked with the symbol FInputThe first line of the input contains an integer K – determining the number of datasets. Next lines contain the area descriptions. One description is defined in the following way: The first line contains two integers-area length M<=1000 and width N<=1000, separated by a blank space. The next M lines contain N symbols that mark the reserved or free grid units,separated by a blank space. The symbols used are:R – reserved unitF – free unitIn the end of each area description there is a separating line.OutputFor each data set in the input print on a separate line, on the standard output, the integer that represents the profit obtained by erecting the largest building in the area encoded by the data set.Sample Input25 6R F F F F FF F F F F FR R R F F FF F F F F FF F F F F F5 5R R R R RR R R R RR R R R RR R R R RR R R R R此题为最大01子矩阵，是上面一个题的加强版。