九下 4.1 成比例线段(1)

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北师大版九年级数学上册_名师教学设计：4。1_成比例线段(第1课时)

成比例线段郑州市第七中学方敏一、学情分析相似图形是现实生活中广泛存在的现象，在小学时学生就接触过比例的知识，在七年级下册时学生已学习了全等图形（其实全等图形就是相似图形的一个特例）. 所以学生已经具备一些知识基础、活动经验基础等，学生在学习线段的比时不会感到很困难.二、教学目标1.结合现实情境，感受学习线段的比的必要性，了解线段的比和成比例线段.2.借助几何直观，了解比例的基本性质及其简单应用.3.通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系.三、教学重、难点重点：理解线段的比和成比例线段的概念及比例的基本性质.难点：判断四条线段是否成比例.四、教学方法探索法、发现法五、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新知探究；第三环节：应用新知；第四环节：巩固新知；第五环节：回顾新知；第六环节：布置作业.第一环节设置情境，引入新课（1）通过用幻灯片展示生活的的图片，并提出问题：观察下列图形，每一组图形有什么特点？（设计目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣.）（2）请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？（设计目的：从生活图片过渡到平面图形，引导学生寻找表示方法，引出线段的比.）利用多媒体技术，通过放大或缩小得到形状相同、大小不同的图形，引导学生观察放大、缩小的过程中图形上的相应线段也被放大或缩小，从而发现结论.对于形状相同、大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.第二环节：探究新知（一）线段的比1. 活动：同桌之间用不同的长度单位测量课本的长和宽（精确到0.1 cm），并求出这两条线段的长度比.问题：你们的结论相同吗？两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（设计目的：让学生对这个问题有了一定的认识：两条线段长度的比与所采用的长度单位无关. 但要采用同一个长度单位.）概念：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比AB :CD =m :n ，或写成AB m CD n=，其中，AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项. 如果把m n 表示成比值k ，那么AB k CD =或AB =k ·CD . 2. 问题：如图，五边形 ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′形状相同，AB =5 cm ，A ′B ′=3 cm . 请问：线段AB 与线段A ′B ′的比是多少？这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.3. 问题：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算,,,AB AD AB EF EF EH AD EH的值，你发现了什么？（提问目的：学生观察发现有两组线段的比相同，引入成比例线段.）（二）成比例线段1. 概念四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.（讲评要点：四条线段成比例，与四条线段的顺序有关，不能变动. 例如，上图中的AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段，但是AB，AD，EH，EF就不是成比例线段.）2.练习（1）判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：①a=2 cm，b=4 cm，c=3 m，d=6 m；②a=0.8，b=1，c=3，d=2.4 .（2）a、b、c、d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=9 cm，求线段d的长.（设计目的：通过练习加深学生对成比例线段概念的理解.）（三）比例的基本性质1.小组合作如果a，b，c，d四个数成比例，即a cb d=，那么ad=bc吗？追问：反过来如果ad=bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗？即a cb d=成立吗？（设计目的：通过提问复习回顾小学学过的比例的基本性质，让学生了解新旧知识之间的联系.）第三环节：应用新知例1. 如图，一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即AE:AD=AD:AB，那么a的值应当是多少？第四环节：巩固新知（平板推送检测内容）1、下列各组中的四条线段成比例的是（ C ）A、a=1、b=3、c=2、d=4；B、a=4、b=6、c=5、d=10；C、a=2、b=4、c=3、d=6 ；D、a=2、b=3、c=4、d=1.2、已知a、b、c、d成比例线段，且a=2、b=4、c=9，则d=（C）A、10B、15C、18D、203、在比例尺为1：500000的平面地图上，A、B两地的距离是6 cm，则A、B两地的实际距离是（ D ）A、60 kmB、1.2 kmC、20 kmD、30 km4、已知2a=3b（b≠0），则下列比例式成立的是（D）A、32ab=B、23a b=C、23ab=D、32a b=（设计目的：让学生利用平板完成课堂检测，便于及时反馈学生的学习效果.）能力提升已知线段AB，如图，按下列要求进行尺规作图，①过点B作BD⊥AB，使BD=12 AB；②连接AD，在AD上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE.试判断：线段AC、AB、BC、AC是否是成比例线段？（设计目的：学生完成后利用平板拍照上传到作品库，便于反馈并及时纠正.）第五环节：回顾新知这节课我们学习了哪些知识？生活中还有哪些利用线段比的事例？你能举例吗？（设计目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人. 同时，也体现数学来源于生活并应用于生活.）第六环节：布置作业（A、B层）必做题：课本79页习题4.1第1题、第2题.（A层）选做题：课本79页习题4.1第3题.教学反思：教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽（精确到0.1 cm），并求出这两条线段的长度之比. 添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的长度单位无关”的结论埋下伏笔. 提问时问题不够准确，学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆的放手让学生自己去动手操作、动脑思考，老师可以在适当的时候给予帮助和补充.。

九年级数学北师大版上册第4章《4.1 成比例线段》教学设计教案

课题 4.1.1 线段的比和成比例线段单元第四单元学科数学年级九学习目标1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.2.知道成比例线段的定义.3.熟记比例的性质并会应用.重点会求两条线段的比，成比例线段的定义，比例的性质.难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课教师课件出示图片师：观察下面几幅图片，你能发现什么？学生观察图片，回答问题。

相同点：形状相同不同点：大小不相同通过用幻灯片展示生活的的图片,引入本章的学习内容——相似图形,初步感知相似图形,引发学生思考相似图形的特征,激发学生的求知欲及学习兴趣.为新课的学习做好情感铺垫.讲授新课你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？学生先自主观察这些图形的特点,然后在小组内交流自己的看法,交通过以上引导性问题引导学生共同总结出:对于形状相同而大小不同的两个图形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。

在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.两条线段的比A B C Dm n两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD＝m：n也可以表示为：AB m= CD n如果把mn表示成比值k，那么ABCD＝k，或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．ABC D EA'B'C'D'E'如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm，AB：A′B′=5 :3，53就是线段AB与A′B′的比，这个比值刻画流后借助多媒体展示自己的成果。

教师利用多媒体出示两条线段的比的定义,强调相关要点,明确两条线段的比实际上就是两个数的比,接着出示下面实例进一步加深学生对两条线段的比的认识.教师引导学生结合图形分析形,可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系，适时引出两条线段的比的概念.通过两个五边形对应边的比,具体说明线段的比的意义,进一步巩固对概念的理解.通过方格纸上两个四边形对应边了这两个五边形的大小关系.【做一做】如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB, AD, EF, EH的长度分别是多少？教师出示答案：AB=8 AD=210EF=4 EH=10分别计算AB AD AB EF,,,EF EH AD EH的值，你发现了什么？AB8==2 EF4AD210==2 EH10AB8210==AD5210EF4210==EH510总结归纳四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a c=b d，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段. AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.【议一议】题意,明确图中两四边形的四条边的长度可以通过观察或勾股定理得出.给学生充足的时间计算.学生在教师的引导下总结归纳.的比值的计算,引导学生发现这四组对应线段的比相等,进而引出比例线段的概念.课堂练习 1.在1：1 000 000的地图上，A ，B 两地之间的距离是5 cm ，则A ，B 两地之间的实际距离是( B ) A ．5 km B ．50 km C ．500 km D ．5 000 km2.已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 的比为( A ) A ．3：4 B ．2：3 C ．3：5 D ．1：23.下列四组线段中，是成比例线段的是( C ) A ．3 cm ，4 cm ，5 cm ，6 cm B ．4 cm ，8 cm ，3 cm ，5 cm C ．5 cm ，15 cm ，2 cm ，6 cm D ．8 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cm4.已知a b =23(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是( B ) A.a 2=b 3B ．2a ＝3b C.b 3=a 2D ．3a ＝2b 5.如图，在□ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F.（1）AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．解：AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段成比例． ∵在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥AD ， ∴S ▱ABCD ＝AB ·DE ＝AD ·BF.∵BC ＝AD ，∴AB ·DE ＝BC ·BF ，即AB BC ＝BFDE.学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．解：∵AB·DE＝BC·BF，∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.6.【2020·金昌】生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2 m，则a约为( A )A．1.24 mB．1.38 mC．1.42 mD．1.62 m课堂小结本节课你学到了什么？1.线段的比如果选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n.2.成比例线段四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即a c=b d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.3.基本性质如果a c=b d，那么ad=bc.如果ad=bc (a, b, c, d都不等于0)，那么a c=b d 课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.板书课题：4.1.1 线段的比和成比例线段一、线段的比二、成比例线段三、基本性质。

九年级上册数学 4.1线段的比和比例的基本性质

（2）已知线段a、b、c满足关式
a b

b c
，
且b＝5，那么ac＝__2_5___．
如果线段a、b、c满足关式
ab bc
，
那么b是a、c的比例中项，且b2=ac.
• 2、反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d
四个数成比例，即 a c 吗？
bd
由ad=bc,得出
ac bd
是有条件的,
1、如果a,b,c,d四个数成比例，即 a c ， bd
那么ad=bc吗？
由等式的基本性质：
在 a c 两边同乘以bd，得ad＝bc.
bd
两外项之积＝两内项之积。交叉相乘积相等
(1)a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 ， b = 2 ，c = 9 ，则d 的长____6_____.
即a,b,c,d都不等于0
解： a, b, c, d都不等于0，
两边同时除以bd得：
ad bc bd bd
整理得：a c bd
两边同时除以dc得到
的比例式是什么？a b cd
d c或d b ba ca 或b d或b a
ac dc 或c d或c a
ab db
1.如果2x=5y，那么
n
CD
五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。请问：线段AB与线段 A’B’的比是多少？
◎这个比值刻画了两个五边形大小关系
注： 1、线段的比要统一单位长度。 2、线段的比是一个正数，无单位
已知线段a=30cm，b=60cm，c=0. 15m ，d=30cm. (1)求线段a与线段b的比； (2)求线段c与线段d的比；

4.1 成比例线段(一)

3 5
，
3.已知a、b、c、d是成比例线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
x 4、如果2 x 5 y, 那么 y
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，且AB=13，BC=12．求CD： AB的值。
6、已知线段x,y
x 5y 1 x (1)当时, 求的值。 x y 2 y
CD n
m 表示成比值 n k,那么
AB m .其中，线段 AB,CD分别叫做这个线段比的前项、
，或
AB k 两条线段的比实际上就是两个数的 AB=k×CD. CD
例：五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形
状相同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:A’B’=5 : 3，
5 3
注意：成比例的四条线段是有顺序的
练习二
• 若b,c, • A , b d
b d • C , c a
B D
a b , c d b c , a d
练习三
判断下列四条线段是否成比例
1.a 2, b 5, c 15, d 2 3; 2.a 2, b 3, c 2, d 3; 3.a 4, b 6, c 5, d 10; 4.a 12, b 8, c 15, d 10. 答: 1.a,b,c,d不成比例,但a,d,b,c成比例. 2.不成比例. 3.不成比例. 4. a,b,c,d成比例.
就是线段AB与线段A‘B’的比。
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
练习一
（1）：叫比例尺；（2）若实际距离是图上距离的600 000倍，这幅图的比例尺是．（3）若实际距离是120公里，比例尺是 1:2000000，则图上距离为（）

4.1成比例线段

得出结论
(1) a c
b d (2) a c b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
做一做
ac a c k ，那么（1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
.
第一环节情景引入在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
x y z x y 3z 2.已知 : , 求的值. 2 3 4 3x 2 y
3、已知a : b : c 3 : 4 : 2, 且a 2b c 18, 求3a b 2c的值。
学以致用
1. x+y 5 x 已知 3y = 4 ，求 y .
学以致用
3.在
称比例线段．
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = ，或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
成比例的四条线段是有次序的!
随堂练习
1．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．

4.1成比例线段(第2课时)

4.1成比例线段（第2课时）【学习目标】1.进一步巩固成比例线段的概念.2.理解并掌握成比例线段、比例的等比性质以及其简单应用．【学习过程】一. 课前准备1.已知a=5,b=3,c=15，若a ，b ，c ，x 是成比例线段，则x= .2.已知bc ad =，则把它改写成比例式后准确的是（） A d a b c = B c b d a = C a d c b = D dc b a = 3.已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10cm （2）a=1mm b=0.8cm c=0.02cm d=4cm二.探索活动1.如图，AB HE ，BC EF ，CD FG ，AD HG 的值相等吗？AB+BC+CD+AD HE+EF+FG+HG 的值又是多少？由此你得到了什么结论？2.已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数.如果a b =c d =e f (b +d +f ≠0)，那么a+c+e b+d+f =ab 成立吗？为什么？3.如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？你能写出推理过程吗？4.在△ABC 与△DEF 中，已知AB DE =BC EF =CA FD =34，且△ABC 的周长为18cm ，求△DEF 的周长.三.巩固练习1.填空：（1）若=y x 25 则=xy ；=-y y x ； =+y y x 2 ；（2）已知23=a b 则=+b a b ；=-b a b 2 . （3）已知a b =c d =23(b +d ≠0)，则a+c b+d = .2.如图，已知23===DE BC AE AC AD AB ,且△ABC 的周长为36cm ，求△ADE 的周长.3.已知：d c b a ==fe =5（b+d+f ≠0），求：（1）f d b e c a +-+- ；（2）f b e a 55--.四.课堂小结：这节课你有哪些收获呢？五.自我检测1.若=y x 3，则=xy ； =y x 2 ；=-y y x 2 . 2.已知a b =c d =ef =23(b +d +f ≠0)，则a+c+e b+d+f = .3.如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB,DE,BC,DC,AC,EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比.4.已知345c b a ==，求=+--+c b a c b a 32的值.5.如果a b =c d ，那么a+b b =c+dd ，a−bb =c−dd ，你认为这个结论准确吗？为什么？6.已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且a−bb =b−cc =c−aa ，试判断△ABC 的形状，并说明理由.。

4.1 成比例线段第2课时等比性质

例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求与； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ，理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三章
图形的相似
第2课时等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎的值吗？如果 , 那么与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么成立吗？为什么？ bd f b

4.1第1课时线段的比和比例的基本性质-北师大版九年级数学上册习题课件

ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.∴AB＝5.∵S ＝ AB·CD＝ BC·AC，∴CD＝＝ 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
△ABC
2 2 AB 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时线段的比和比例的基本性质
2.4，∴在 Rt△ADC 中，AD＝试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
17．【核心素养题】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，已知AC＝3，BC＝4.
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
第一课时线段的比和比例的基本性质
AC2－CD2＝1.8，∴BD＝AB－AD＝3.2，∴AD∶CD
试判断线段AD、BE、AC、BC是否成比例，并说明理由．
＝CD∶BD＝3∶4，即线段 15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC.
注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
AD、CD、CD、BD
是成比例线段．
(2)比例尺在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通
常称为比例尺．比例尺是两条线段的比的一种．注意：求两条线段的比时，长度单位必须统一．
知识点 2 比例线段的定义四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即ab＝dc，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段． (1)a、b、c、d 分别叫做比例的第一、二、三、四比例项； (2)a、d 叫做比例外项，b、c 叫做比例内项．提示：判断给定的四条线段是否成比例的方法：先将四条线段统一单位，再按大小顺序排列好，看前两条线段之比与后两条线段之比是否相等；也可看最长线段与最短线段长度的乘积与剩余两条线段长度的乘积是否相等，若相等则成比例，否则不成比例．

《成比例线段(1)》教案 2022年北师大版九年级数学上

4.1.1成比例线段（1）【教学目标】知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比. 过程与方法通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。

情感、态度与价值观在获得知识的过程中培养学习的自信心．【教学重难点】教学重点：成比例线段、比例的性质教学难点：会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 【导学过程】【创设情景，引入新课】、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：（1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为：。

（2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。

【自主探究】(1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格：（1）、“比例线段”的概念：。

已知四条线段a 、b 、c 、d,如果dcb a =（或a:b=c:d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的，（2）“比例线段”和“线段的比”的区别“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？结论：（3）注意：概念的有序性线段的比有顺序性，a:b 和b:a 通常是不相等的。

比例线段也有顺序性，如dcb a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。

【课堂探究】例1如图一块矩形的绸布长AB=am ，宽AD=1m ，按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。

即那么a 的值应当是多少？判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．解：AB ADAD AE =把（1）题中a、b、c、d调换位置可以得到几种情况？哪些情形是成比例线段。

成比例线段在大小排序上有何规律？给你四个数据怎样最快的获取成比例线段排序的最大可能性？总结：如何判断成比例线段，说出你的方法并交流。

【当堂训练】1、已知m、n、p、q是成比例线段，其中m=2cm，n=6cm，q=27cm，则p=_______cm.2、（★★）已知三个数1，2、3，请你再添一个数，使它们构成的四个数成比例关系。

九年级数学比例线段1

变式练习
1、同一时刻，一竿的高为1.5m，影长为1m，某塔影长20m，求塔的高.
2、已知：如图， AD A，E AD = 15， A
DB EC
D
E
AB = 40，AC = 28，求 AE .
B
C
3、已知：如上图
AD AE 2 BD EC 3
AD AE BD CE 求: AB AC AB AC 的值.
简述成立的理由. A
AB AC AD AE ……
DB EC AB AC
D
E
B
C
例4.已知:△ABC和△A’B’C’中, 且 AB BC AC 3 ,△A’B’C’的周长为50cm
A' B' B'C' A'C' 5
求:△ABC的周长.
例5：
在平面直角坐标系中,点O,A,B,C,D的坐标分别是O(0,0),A(3,4),B(3,0),C(0,-6),
x
y
y
.
题中自行消失。当题目中
出现等比的形式时通常考
虑这种方法.
例2.已知 x : y : z 3: 4 : 6 x y z 346
2x y
求
的值.
3x z
例3.已知：如图，△ABC中,D, E分别是
AB,AC上的点,且 AD AE ,由此还可
DB EC
以得出哪些比例式?并对其中一个比例式
D(-8,-6),则在OB,OA,AB,OC,OD,CD中, 共有几组是成比例线段,请写出来.
练习 ⑴若m是2、3、8 的第四比例项，则m= 12 ；
⑵若线段x 是3和27的比例中项，则 x =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

《成比例线段》第1课时示范课教学课件【数学九年级上册北师大】

④求两条线段的比时，如果单位不同，那么必须先化成同一单位，再求它们的比.
如图，五边形 ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm.请问∶线段AB与线段A′B′的比是________.
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.
5∶3ABCDEA’
B’
C’
D’
例如：上图中AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.
先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后：方法1，判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2，判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等．若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段．
4.1 成比例线段第1课时
配套北师大版
成比例线段
准备好了吗？一起去探索吧！
1.结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段.2.会求两条线段的比，能用比值表示两条线段之间的关系；掌握比例的基本性质及其简单应用.3.能利用比例的基本性质解决有关问题.4.通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识.
1.C为线段AB上一点，AC∶CB=5∶3．则AC∶AB= ，AB∶CB= ．2.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm，则这张图的比例尺为( ) A. 5∶1 B. 1∶5 C.1∶500000 D.500000∶1
注意∶单位统一、顺序一致、结果为无单位正数(或最简分数).
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段.
教科书第79页习题4.1第1、2题

北师大版九年级数学上册说课稿：4.1成比例线段

北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。

这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。

在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。

但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。

2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。

2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。

3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。

4.1第1课时成比例线段-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调成比例线段的定义和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与成比例线段相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示成比例线段的基本原理。
其次，在新课讲授环节，我尝试通过案例分析和实验操作，让学生掌握成比例线段的判定方法。然而，在实践过程中，我发现有些学生在运用判定方法时仍然感到困惑。针对这个问题，我打算在接下来的课程中增加一些针对性的练习，以帮助学生巩固这一知识点。
此外，在小组讨论环节，学生们围绕成比例线段在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我注意到，有的小组能够很好地将所学知识运用到实际问题中，而有的小组则在这一过程中遇到了困难。这说明学生们在知识运用方面的能力存在一定差距。为了缩小这种差距，我计划在后续教学中加强对学生的个别辅导，帮助他们更好地将理论知识与实际应用结合起来。
3.成比例线段的应用
-解答与成比例线段相关的问题
-实际生活中成比例线段的运用案例
4.练习与拓展
-完成教材中的习题，巩固成比例线段的知识
-探究成比例线段与其他数学知识的联系，提高拓展能力
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究成比例线段的定义与性质，使学生能够运用逻辑推理，理解和掌握成比例线段的基本概念，提高分析问题和解决问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“成比例线段在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

4.1比例线段(1)

a c 如果 , 则以下比例式中成立的是C b d
a d A. c b
C. c d a b
c d B. b a
D.
a b d c
对比例式变形检验:
是否满例式中的x值
15 （1）4:3=5:x，则x= 4 ，
（2）3:x=6:12，则x= 6 。
外项
并写出式子吗？
下列比例式是否也具有相同的特征？比例式的
(1) (3) 0.3 0.6 ; ( 2) 2 4 3 9 6
外项之积等 2 2 于内项之积 3 10 ; (4)
6 5
2 6
1 3
外项
0.3 4 1.2
内项 2 3 6
2 0.6 1.2
3 6 18 2 (9) 18
6 1 6
2 3 5 2 15 6 10 60 2 15
a c 你能从比例式 b d 推导出 ad bc 吗？ a c 两边同乘以bd ad bc b d
两边同除以bd
反过来呢?
ad bc
a c b d
比例的基本性质
a c b d
ad bc
2.已知 :
设:
x y z x y 3z ,求的值. 2 3 4 3x 2 y
x y z k 2 3 4
则 : x 2k , y 3k , z 4k , 然后代入求值
1、比例的基本性质 a c b d 题
ad bc
2、用引入比值参数的方法解决比例中的问
∴
a c 设＝k 则：a=bk ，c=dk b d
ac bk dk k (b d ) k bd bd bd

4.1 比例线段--

(B)-7,-5,14,5 （C) 3,5,9,2
4、在一个城市建设规划图上量得该市东西方向长240cm,而城市东西方向的实际长度是18km，则规划图中的比例尺是（）（A）1:750 (B)1:7500 (C) 1:75000 (D)1:13333
例1、在直角三角形ABC中，∠ACB=Rt∠， ∠B=30度， CD⊥AB，D为垂足。
AC 3X 3 = = AB 2X 2
3x
B 1x C
例3 求正方形的边长与对角线的比
已知:正方形ABCD A BD是对角线求: AB:BD B
D C
解 : 设正方形边长为 X
∵ ABCD是正方形
A x
x
2x
D C
∴ A=90 AB=AD=X B
∴ BD= AB2+AD2 = 2X
a 2 1 = = b 30 15
对吗? 为什么? 答: 不对.根据定义, 在同一长度单位下,两条线段的长度的比叫做这两条线段的比

D E
B
C
答:AD,AB,DE,BC成比例线段 A
证明 :∵ D为 AB中点
D 1 ∴ AD= AB 2 B AD 1 ∴ = AB 2 ∵ DE为 ABC中位线 1 DE 1 ∴ DE= BC ∴ = 2 BC 2 AD DE ∴ = AB BC
E C
AD,AB,DE,BC成比例线段
例6 A
a c 1.式子 = 或a:b=c:d叫比例式 b d
2.比例式中，项的次序不可任意改变。如d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、 a的第四比例项的意义是不同的。
比例式分别是 a c b a = ， = b d c d

数学 4.1 成比例线段第三课时-课件

谈谈感受清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比.
5.用数学美去装点和美化生活.
十、布置作业 : 课本P102 1、3、4、5
课外作业:请同学们收集建筑、雕刻和自然界的黄金分割
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
AF BF BF AB
Ａ
Ｐ
Ｂ
如图，如果点Ｐ把线段ＡＢ分成２条线段ＡＰ和ＢＰ，使
BP AP AP AB
，那么称线段ＡＢ被点Ｐ黄金分割，线段
ＡＰ与ＡＢ的比叫黄金比，点Ｐ叫线段ＡＢ的黄金分割点
如何来求 AP 的值呢？
AB
设ＡＢ＝a, AP=x
Ａ
BP AP AP AB
AP2 BP• AB (AB AP) • AB
成比例线段
第四章图形的相似
如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例.
我们把 a、b、c、d 这四个数成比例，
a b
=
c d
，
a、d 叫做比例外项，
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
结论1：比例的基本性质： a c ad bc bd
一、动手折一折
取一张长与宽之比为 2 : 1的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这４条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式
b c
a
b
解：这四条线段成比例
a 2, b1
a b bc
b 1 2 c 21
2
这个比例式有什么特别之处吗？
定义：
一般地，如果三个数a,b,c满足比例式 a b (a : b b : c) ，则b就 bc

4.1比例线段

6.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高 B 线，求证：AD：CE=AB：BC
7.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC, 请找出一组比例线段，并说明理由。
8.如图，已知
AD AE 3 DB EC 2
,求
AB , EC , AB DB AE AD
A E
D
C
bd
ad=bc
a ____ b
c
= ____
d
ad=bc
ad=bc
…………
试一试根据下列条件，求下列相应的值.
(1) a 1 54
(3) a b 54
(2)3：4 x：5
(4) 2a 3b
3
4
(5)2a 3b (6)4x 3y
(7) x x 1 32
下列各组数能否成比例？如果能成比例，请写出一个比例式，并指出比例的内项与外项.
3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm，求各边的长。
4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的距离A1B1是6cm，求这幅图的比例尺。
5.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
拓展：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为 180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？
9︰12 = 3︰4
6︰8 =
9︰12 = 6︰8
已知:a=-2，b=6，c=3，d=-9，
3︰4
求a：b和c：d 结论：a：b=c：d或
ac bd
比例的基本性质：
比例的两个外项之积等于两个内项之积
ac

北师大版数学九年级上册成比例线段第1课时

5
3:5 .
3. a，b，c，d 是成比例线段，a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，则 d = 4 cm .
4. 判断下列四条线段是否成比例.
（）
1 a 2 , b 5 , c 15 , d 2 3 ;
（2）a 2 , b 3 , c 2 , d 3;
第四章
图形的相似
4.1 成比例线段（第1课时）
在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形.
如图，用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，汽车的形状还相同吗？
如图，几个足球的形状相同吗？他们的大小呢？
请在下面图形中找出形状相同的图形？
你发现
这些形状相
同的图形有
什么不同？
形状相同大小不同的两个平面图形，较大的图形可
比例的基本性质

如果 =

，那么 ad=bc .

如果ad=bc（a，b，c，d 都不等于0），那么 =

.

例如图3，一块矩形绸布的长 AB=a m，AD=1 m，按照图中
所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每
面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，
即

=
,那么 a 的值应当是多少？

= ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段.
例如，图2中 AB，EF，AD，EH是成比例线段，
AB，AD，EF，EH 也是成比例线段.
图2
议一议

如果 a，b，c，d 四个数成比例，即 =

，那么
ad=bc吗？反过来，如果ad=bc，那么a，b，c，d