初数学平行线分线段成比例定理

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平行线分线段成比例定理证明方法

平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。

本文将通过证明该定理，来展示其严谨的数学推导过程。

我们先来描述一下该定理的内容：设有两条平行线l和m，它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。

如果在l上任取一点D，并且连接BD和AC，那么我们有以下结论：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来，我们将通过严格的证明来验证这一结论。

证明过程如下：假设在平行线l上任取一点D，并连接BD和AC。

根据平行线的性质，我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系：∠ACB = ∠DBC （对应角相等）∠ADC = ∠BCD （对应角相等）由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等，根据三角形的基本性质，我们可以得到这两个三角形是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出，平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的，而等角关系是由平行线的性质所决定的。

因此，该定理的证明是严谨而准确的。

值得注意的是，平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值，而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。

因此，该定理具有普适性，适用于任意情况下的平行线。

通过平行线分线段成比例定理，我们可以解决很多实际问题。

例如，在建筑工程中，我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。

通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。

在几何学的研究中，平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。

通过应用该定理，我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质，进而推导出更多的几何定理。

总结起来，平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。

初中数学导学案：平行线分线段成比例

平行线分线段成比例学习目标1．理解平行线分线段成比例定理．2．灵活运用定理解答题目．学习重点：平行线等分线段成比例定理及其应用．学习难点：平行线等分线段成比例的推导．学习过程：一、问题引入1．比例的基本性质是什么？还有其它什么性质？2．什么叫成比例线段？二、问题探究探究一：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1，BB1，CC1，DD1，互相平行，且若AB=BC，则A1B1=B1C1，由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等吗？交流展示：探究点拨：设直线a∥b∥c,直线l1,l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB，BC和A1B1,B1C1，且AB=BC．过点Ｂ作直线l3∥l2,分别交直线a,c于点A2，C2，由于a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线之间的平行线段相等”可知A2B=A1B1，BC2=B1C1，再证明△BAA2≌△BCC2，从而得到A1B1=B1C1.归纳总结：平行线等分线段定理：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相还等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．探究二：任意画两条直线l1,l2，再画三条与l1,l2相交的平行直线a,b,c，分别度量l1,l2被直线a,b,c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度，相等吗？任意平移直线 c ,再度量AB，BC，A1B1，B1C1的长度，与还相等吗？交流展示：探究点拨：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例．探究三：如图，在△ABC中，已知DE∥BC，则和成立吗？为什么？交流展示：探究点拨：过点A作直线MN，使MN∥DE，利用平行线截线段成比例可得出结论．结论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例．三、实践交流例1．如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3，A1B1=,求B1C1的长．学生解答：交流汇报：教师点拨规范解答：思路点拨：由平行线分线段成比例可知：=，再将已知线段的值代入就可求出B1C1的长．例2．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：学生解答：交流汇报：教师点拨规范解答：思路点拨：过C点作CE∥AD，交BA的延长线于点E，易得，再证明AE=AC．四、课堂小结1．本节课你有什么收获？2．平行线等分线段定理的内容是什么？3．平行线分线段成比例定理的内容是什么？4．平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段有什么关系？五、达标检测必做题1．在ABCD中，AE交BC的延长线于点E，交DC于点F，若BC：CE=3：2，则CF：FD= ．2．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，下列比例式正确的是（）3．如图，EF∥BC，AB∥DC，AE=9，BE=12，FD=10，则BF= ．4．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA=3：2，BF=6cm,则EF= ，EC= ．5．在ABCD中，E是AB延长线上一点，且13BEAE，若BC=6，求BF的长度．选做题如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD=2DE，求证：AP=3AB.。

平行线分线段成比例结论

平行线分线段成比例结论
平行线分线段成比例的结论可以用以下两个定理来描述：
1. 三角形法则：如果在两条平行线上有两个相交线段，那么这两条线段被平行线切分的部分成比例。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，并且有两个交叉
线段EF和GH，那么EF/GH = AB/CD。

2. 价恩斯定理：两条平行线被一组相交线段切割所形成的任意两条线段之间的比值，等于这两条线段所在平行线之间的比值。

具体表述为：如果AB和CD是两条平行线，其中EF和GH
是这两条平行线上的两个交叉线段，那么EF/GH = AB/CD。

这些定理指出，在平行线上切割的线段之间存在比例关系，这使得我们可以通过已知线段的比例来推导未知线段的长度。

人教版初一数学上册《平行线分线段成比例定理》

1．知识层面(1)理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；(2)掌握判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．能力层面(1)经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力；(2)通过相似多边形和三角形全等的条件类比，体会类比的教学思想，领会特殊与一般的关系．【学习重难点】1．重点：掌握相似三角形的概念及判定两个三角形相似的预备定理，会运用预备定理判定两个三角形相似．2．难点：会准确的运用判定两个三角形相似的预备定理来判断两个三角形是否相似.课前延伸【知识梳理】1．相似多边形的性质：__对应角相等__，__对应边成比例__．2. 如图27－2－24，已知△ADE∽△ABC，AD＝6 cm，DB＝3 cm，BC＝9.9 cm，∠B＝50°，则∠ADE＝__50°__，DE＝__6.6__ cm.图27－2－243．已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则∠ADE＝__∠B__，∠AED＝__∠C__，DE BC__12__．课内探究一、课堂探究1(a问题探究，自主学习)1．问题解决：如图27－2－25，在△ABC中，D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC 于点E，△ADE与△ABC有什么关系？图27－2－25二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)在课堂探究1问题的基础上，改变点D在AB上的位置，先自己画图、测量验证、猜想△ADE与△ABC是否仍相似．(1)若点D为线段AB上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？(2)若点D为AB延长线上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？归纳：__平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，_所构成的三角形与原三角形相似__．几何语言：如图27－2－26，在△ABC中，∵__DE∥BC__，∴__△ADE∽△ABC__．图27－2－26三、反馈训练(可以设计成必做题与选做题两类，分层要求)1．如图27－2－27，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.图27－2－27图27－2－282．如图27－2－28，已知在△ABC中，DE∥BC.(1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．3．如图27－2－29，在△ABC中，DE∥AB，BD＝8，CD＝6，AE＝4，则CE的长为(B)A. 6B. 163C. 4D. 3图27－2－29图27－2－304．如图27－2－30，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC 上．若AB＝15 cm, BC＝12 cm，求菱形的边长．课后提升一、课后练习题(1－6为必做题，7、8为选做题)：1．如图27－2－31，AB∥CD, AE∥FD，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中与△CEG 相似的三角形有( B )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个图27－2－31图27－2－32图27－2－33图27－2－34 2．如图27－2－32，DE∥BC，EO＝6，OC＝15，则△OED∽__△OCB__，相似比为__2∶5__．3．如图27－2－33，已知在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图3中相似三角形共有__6__对．4．如图27－2－34，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求CD的长.5．如图27－2－35，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，DB＝1 cm，AE＝4 cm，BC＝5 cm，求DE的长．图27－2－35图27－2－366．如图27－2－36，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，求BF∶FD.7．如图27－2－37，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三角形中有一内接正方形DEFC，连接AF交DE于点G，AC＝15，BC＝10，求GE.8．如图27－2－38，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP∶PQ∶QR.。

平行线分线段成比例定理

D
E
C B B F C F C AB AC AC BC AB AC BC = = = = AD AE AE BF AD AE DE
推论2.平行于三角形一边，推论平行于三角形一边，并且和其他两边平行于三角形一边或两边延长线）（或两边延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 角形的三边与原三角形的三边对应成比例
DB EC
AD AE = AB AC
……
平行线分三角形两边成比例定理: 平行线分三角形两边成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边, 平行于三角形一边的直线截其他两边, 所得的对应线段成比例. 所得的对应线段成比例.
A D E
B
C
思考：平行于三角形一边 E 的直线截其他两边 A 的延长线,所得的的延长线, B 对应线段成比例. 对应线段成比例. C D
l1 AP = P B = BP = P P = P C. 1 1 2 2 3 3 ' l1 ' ' DP1' = P' E = EP2 = P2P3' = P3' F 1 l2 ' ' 因为 DE = 2DP EF = 3DP1' 1 l2 ' ' AB DE l3 DE 2DP1 2 = = = ∴ ' BC EF l3 EF 3DP1 3
EF n = DE m源自l1 l2EF + DE n + m = DE m
l3
即
DF m+ n = DE m
∴
DE m = DF m + n
AB BC AC = = 已知：如图，求证：。已知：如图，1 // l2 // l3 ，求证： l DE EF DF 证明：证明：因为 l1 // l2 // l3 AB DE （平行线分线段成 A D = 比例定理）。 BC EF 比例定理）。 AB BC B E = DE EF F C BC EF （平行线分线段成因为 = 比例定理）。 AC DF 比例定理）。 BC AC = EF DF 上下全

平行线分线段成比例定理证明过程

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

平行线分线段成比例定理

左左 = 右右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC

初二数学教案：平行线分线段成比例定理(二)

初二数学教案：平行线分线段成比例定理(二) (第二课时)一、教学目标1.使学生在明白得的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2.使学生把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培养识图能力和推理论证能力.5.通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时安排1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】叙述平行线分线段成比例定理(要求：结合图形，做出六个比例式).【讲解新课】在黑板上画出图，观看其特点：与的交点A在直线上，依照平行线分线段成比例定理有：……(六个比例式)然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，如此即可得到：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.在黑板上画出左图，观看其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：(六个比例式)，然后擦掉图中有关线，得到右图，如此即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，因此对应线段成比例.综上所述，能够得到：推论：(三角形一边平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图，(六个比例式).此推论是判定三角形相似的基础.注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，假如已知，DE是截线，那个推论包含了下图的各种情形.那个推论不包含下图的情形.后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待.(考虑改用投影仪或小黑板)例3 已知：如图，，求：AE.教材上采纳了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.让学生摸索，是否可直截了当未出AE(找学生板演).【小结】1.明白推论的探究方法.2.重点是推论的正确运用七、布置作业(1)教材P215中2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

初三数学第5讲：平行线分线段成比例定理

教学内容一、知识要点：1、平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线的直线所截，截得的对应线段成比例。

2、平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。

FED C B A FEDCBA问题：如果两条直线被三条直线所截，截得的线段成比例，那么这三条线段互相平行吗？牛刀小试：1、如图AB ∥CD ∥EF ，AC=3，AE=8，BF=10。

求BD 、DF 的长。

A BC DE F2、如图，1L ∥2L ∥3L ，AB=2，AC=5，DF=10，则DE=_________L 3L 2L 1FEDCBA3、在（1）题中，AB ∥CD ∥EF ，AB=2，CD=3，EF=5，BD=2，AE=8。

求BF 、CE 的长。

第 1 页共 9 页4、已知如图，AD ∥CF ∥EB ，AB=3，AC=5，DF=9，DA=2，CF=8，求DE 、EF 、BE 的长。

FCED B A二、典型例题：1、如图，已知：AB 、CD 、EF 都垂直于L,AB=12，EF=7，BD ：DF=2：3，求CD 的长。

LFCEDBA巩固练习： 1、已知abcx,求作x,则下列作图正确的是（） Axc ba Bxc b aCxcba Dx c ba2、如图，1L ∥2L ∥3L ，两直线AC 、DF 与1L 、2L 、3L 分别交于A 、B 、C 和D 、E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（） A 、AB DE =BC EF B 、AB DE =AC DF C 、EF BC =FD CA D 、AD BE=BE CF2L 3L 2L 1FED CB A4、如图已知a ∥b ∥c ，AC=2，CG=4，BF=9，DH=10，EM=1，FH=3。

求BE 、AH 、DE 、MH 、AB 的值。

A BC D E M NF G H思维拓展：1、如图，已知：平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，21BF FC =，求CO ：AO 的值。

平行线分线段成比例定理的逆命题正确吗

平行线分线段成比例定理的逆命题正确吗平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，它描述了平行线和分线段成比例的关系。

而它的逆命题，即如果一条线两侧的角相等，那么这两条线就平行，也是数学中一个经典的命题。

今天我们就来探讨一下平行线分线段成比例定理的逆命题是否正确。

首先我们来回顾一下平行线分线段成比例定理的内容。

根据这个定理，如果一条直线被两条平行线所截断，那么它们所截取的对应线段成比例。

具体来说，如果直线AB被平行线CD和EF所截断，那么AB/AC=DE/DF。

这个定理在解决数学问题或证明几何定理时经常会被用到。

接下来我们来探讨一下平行线分线段成比例定理的逆命题。

逆命题是对原命题进行否定并交换前提和结论得到的命题。

即原命题如果p→q，那么它的逆命题是¬q→¬p。

在平行线分线段成比例定理中，原命题是如果AB/AC=DE/DF，那么CD//EF，那么它的逆命题是如果CD不//EF，那么AB/AC≠DE/DF。

在实际情况下，我们可以通过几何图形来进行证明。

假设在平行线CD 和EF截取的直线AB上，我们找到了一点G，使得CG=DE，BG=DF。

下面我们通过反证法来证明如果CD不//EF，那么AB/AC≠DE/DF。

假设CD不//EF，但是AB/AC=DE/DF成立。

根据平行线分线段成比例定理，我们可以得出AB//EF。

那么根据平行线的性质，对应角相等，我们可以得出∠GDE=∠CAB，∠GBF=∠ACB。

然而，根据已知条件，CG=DE，BG=DF，结合角边相等，根据三角形全等条件，我们可以得出三角形ADC全等于三角形GDE，三角形BFA全等于三角形GDF。

但是，我们知道全等三角形的对应边是相等的，结合AB/AC=DE/DF，得出AB=EF。

这与已知条件矛盾，因此假设不成立。

平行线分线段成比例定理的逆命题是正确的。

如果CD不//EF，那么AB/AC≠DE/DF。

这个定理在解决一些几何问题时同样有着重要的作用。

(完整版)平行线分线段成比例

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明：过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高，则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开，难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例

初中八年级下册数学基础习题练习：21平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理【知识要点】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理及其推论定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或（两边的延长线），所得的对应线段成比例。

注意：（1）平行线截得的线段注意三类对应关系：全下全下全上全上下上下上===,, （均为同一直线上两线段之比）（2）根据比例的性质：l 1∥l 2∥l 3DFACEF BC DE AB ==⇒，此为两直线上对应线段之比，即左比右等左比右。

2．截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

如图：∵DE ∥BC∴ECACBD AB EC AE DB AD AC AE AB AD ===,,A B CDE F l 1 l 2 l 3ACBDAE3．平行于三角形一边，并且和两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

4．平行线的判定：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

∵EC AE DB AD = ∵AC AE AB AD = ∵ECACBD AD =∴DE ∥BC ∴DE ∥BC ∴DE ∥BC典型例题例1、如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF∥BC 分别交AB 、AD 于E 、F 、P ，求证：PE ＝PF.C例2.如图，四边形BDFE是菱形，DC＝BD，且DC＝4，求AE.例3.如图，□ABCD中，AE交BC延长线于E交CD于F，BC∶CE＝3∶2，求CF∶FD.例3 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.例4 已知，如图，D 为BC 三等分点，且DC<BD ，EF=DF 时，求AFAB的值.平行线分线段成比例定理练习1．在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，DE ：BC=2：3，则AD ：BD=__________。

初二下第7讲--平行线分线段成比例定理及应用1

初二（下）数学第7讲平行线分线段成比例定理及其应用(1)一、考点定位：平行线分线段成比例定理及其应用；二、主干梳理：1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例。

3、如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

三、基本图形：1、平行线分线段成比例定理的基本图形：（A 型、X 型）A B CDEFEDCB A一招制胜：基本图形分离法，分离出基本图形，或者通过辅助线，构造基本图形！四、考点聚焦：考点题型一：三角形中直接观察寻找基本图形解决问题例1、已知：如图，BC DE //，7:3:=OC EO ，求BC ED ,AB AE ,DCAD例2、已知：在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，与AC 相交于点D ;BC DE //，交AB 于点E ，9=AE ，12=BC ，求BE 的长。

例3、（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，a AD =，b BC =，E ,F分别是AD ,BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

例4、如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P .求证：PS PR PN PM ⋅=⋅⇒CF 平移至过点DAEDBCOAA E ABE DC QPFED CB A lSR PNMODC BA变式训练：1、已知：BC EF //,求证：DCBDGF EG =2、已知：CD AB //，F 为AC 的中点，FG DE //.若52=CD AB ,求EDFG3、已知：CD EF AB ////，求证：CDAB EF 111+=考点题型二：三角形中构造基本图形解决问题核心辅助线：平行线例5、已知ABC ∆中，21=BE CE ，21=DB AD ，求：FDCF例6、在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2:3:=DB AD ，2:1:=EC AE ，直线ED 和CB 的延长线交于点F ，求（1）FC FB : （2）FE FD :例7、如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AB AE 41=，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则=CDBC. （2）如图（2），已知ABC ∆中，3:1:=EB AE ，1:2:=DC BD ，AD 与CE 相交于F ，则FDAFFC EF + 的值为（） A.25 B.1 C.23D.2ABCDEFACFEDBA(1)MEDCBA(2)F EDCBA例8、已知等腰直角ABC ∆中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CD CE =, 过C 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ．求证：LK BL =．课后作业1、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作BC EG //交AB 于E ，交CD 于F ，交AD 的延长线于G 。

平行线分线段成比例定理教学后记

平行线分线段成比例定理教学后记平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要定理之一，也是解决平行线和线段比例问题的重要工具。

在教学后，我对这一定理的教学进行了总结和反思，以便更好地指导学生学习和理解这一内容。

首先，我发现学生在学习平行线分线段成比例定理时，往往会出现一些困惑和错误的认识。

他们可能会混淆线段比例和长度比例的概念，也容易混淆平行线与不平行线的情况。

因此，在教学中，我需要更加细致地解释这些概念，并通过实际例题进行分析和讲解，让学生能够真正理解这些概念并做到举一反三。

其次，我认为在教学中需要更注重学生的实际操作和动手能力的培养。

平行线分线段成比例定理虽然是一个纯数学定理，但是在实际问题中的应用非常广泛。

因此在教学中，我将更多地引导学生通过实际问题的解决来理解这一定理，并且进行一定的拓展，让学生能够将所学知识与实际问题相结合，更好地理解这一内容。

另外，我还发现在教学中需要更多地运用现代化的教学手段和工具。

随着科技的发展，我们可以更好地利用电子白板、多媒体教学等手段，让学生能够更加生动、直观地理解这一内容。

同时，还可以通过一些互动教学的方式，让学生更主动地参与到课堂教学中，从而更好地理解这一定理。

最后，我认为在教学中需要更加注重对学生自主学习能力的培养。

平行线分线段成比例定理虽然是一个重要的定理，但是并不是所有学生都能够轻松理解和掌握。

因此，在教学中我要更多地引导学生通过自主学习的方式来理解这一内容，让他们通过自己的思考和探索来更好地掌握这一内容。

总的来说，平行线分线段成比例定理是一个重要的数学定理，而在教学中，我们需要更多地关注学生的实际学习情况，更多地引导学生通过实际问题的解决来理解这一内容，同时也需要更多地利用现代化的教学手段和工具，更加注重对学生自主学习能力的培养，从而更好地指导学生掌握这一内容。

平行线分线段成比例定理教学后记

平行线分线段成比例定理教学后记平行线分线段成比例定理是初中数学重要的几何定理之一，它在数学的几何部分起着至关重要的作用。

在教学学生这个定理的过程中，我深深感受到了数学的美妙和逻辑性。

通过教学这个定理，我不仅让学生认识到了数学中的规律和逻辑，还培养了学生的逻辑思维和推理能力。

下面我将结合我的教学经验，对平行线分线段成比例定理教学进行必要的总结和反思。

首先，在教学这个定理的过程中，我充分发挥了学生的主体作用，采取了让学生自主学习、自主发现和自主解决问题的教学方法。

通过引导学生观察图形、发现规律、总结定理，让学生从多个角度去理解和掌握定理的本质。

而不是单纯地让学生背诵和默写定理，这样更有利于学生深入理解和记忆定理。

在这个过程中，我注重锻炼学生的思维能力和动手能力，培养学生的观察力和推理能力，让他们在解决问题的过程中得到更多的成就感和乐趣。

其次，在教学这个定理的过程中，我重视了例题的设计和教学。

通过设计一些生动有趣的例题，可以激发学生学习的兴趣和动力，激发他们的求知欲。

这样有利于学生更好地理解和应用定理，丰富了他们的数学知识，提高了他们的数学能力。

在解题的过程中，学生会在实际问题中感受到定理的应用，更容易记忆和理解定理。

同时，我还强调了例题和习题的结合，让学生在课堂上更好地理解定理，在课下更好地巩固和复习定理。

再次，在教学这个定理的过程中，我注重了课堂的互动和讨论。

通过设计一些开放性的问题，让学生在小组内展开讨论和交流，互相启发和促进。

同时，我还通过多种方式展示定理的证明过程，让学生更好地感受到数学中的逻辑性和美妙性。

在课堂上，我鼓励学生多表达自己的观点和想法，培养他们的团队合作和沟通能力。

通过这样的课堂互动，我发现学生的学习积极性得到了极大的提高，学习效果也得到了明显的改善。

综上所述，教学平行线分线段成比例定理是一项很有挑战性的教学工作，但通过我的努力和尝试，我相信能够收到很好的教学效果。

在教学这个定理的过程中，我深刻体会到了数学的美妙和逻辑性，同时也提高了自己的教学水平。

初数学平行线分线段成比例定理

极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则
∵ BD 2 DC 3
∴ DB= 2 DC 2 7x 14 x
3
3
3
∴ BD
14 3
x
14
EG 3x 9
又 ∵EG∥BC， ∴ BF BD 14 FE EG 9
例 2 、如图 6 ， DE ∥ AB ， EF ∥ BC ， AF=5cm,
∴△ABF≌△ANF ∴BF=NF ∵BF⊥AF AM⊥AF
∴BF//AM
∴ ， BF FC
EN FC
EM EC AE CE
∴ BF FN 又∵BF=FN ∴EM=AE EM AE
点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造
等腰三角形，利用等腰三角形性质证题
8 / 12
（2）利用比例证明线段相等主要有以下形式
线段，
A
由题中图形可知，应证明 OA OF ，而由O ABB图/7F/EDD ， OC OD
BC//FE，容易得到此关系。
证明：∵AB//ED ∴ OA OB ① ∵BC//FE ∴ ② OB OC
OE OD
OF OE
由①得由②得 ∴ OAOD OB OE
OC OF OB OE
OAOD OC OF
C
E 为 AC 的中点，
（（第13题（2）—②）
A
D
E
F
M（N）
B
C
（第13题（2）—①）
D 为 BC 上的点，且 BD=AB，求证： BC AG AB GD
11．已知，C 是线段 AB 上一点，分别以 AC、BC
为边，在 AB 的同侧作两个等边 N
E
F
M

平行线分线段成比例定理

3.1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。

在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。

在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =。

当然，也可以得出AB DEAC DF=。

在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。

例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BCD F ===求,DE EF 。

解:32,//l //l l 321==∴EF DE BC AB , ∴28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC ∆中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，图 3.1-1 图3.1-2求证：AD AE DEAB AC BC==。

证明（1）//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE∆∴∽ABC ∆，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2）如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=。

过E 作//EF AB 交AB 于D ，得□BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DEAB AC BC∴== 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

初二数学教案：平行线分线段成比例定理

2.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.
3.已知线的成已知比的作图问题.
4.通过应用，培养识图能力和推理论证能力.
5.通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.
二、教学设计
观察、猜想、归纳、讲解
三、重点、难点
l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.
2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.
2.熟练掌握由定理得出的六个比例式.(对照图形，并注意变化)
七、布置作业
教材P221中3(训练学生克服图形中各线段的干扰).
要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。八、板书设计
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
【复习提问】
找学生叙述平行线等分线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：

初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习

平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评（1（3 例5 求证分析例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8．图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。

平行线分线段成比例定理

A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
QR PQ 则 . KN HK
？
H
. .
K N P Q
.
R
l1 l2
. . .
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=3，DE=2， EF=4，求BC.
A
D
l1
l2
B
3
2E 4 F
6 ?
C
l3
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=6，BC=2， EF=1，求DE.
A 6 B 2 C
A
D
集中地分析这些比例式：
AB AC 上全是 ; DE DF 上全 B
C
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
AB AC 上全是 ; DE DF 上全 B BC AC 下全是 ;C EF DF 下全
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:

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