高等数学竞赛模拟试题(七)参考答案

高等数学竞赛模拟试题（七）参考答案一.填空题（每小题4分，共40分）1．=+∑∞=1)12(1n n n 22ln 2-。

2．函数)2ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为111(1)ln 212n n nn x n -∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑，收敛域为[1,1)-。

3．设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)(>x f ，则极限nn f nn f n f n f )1()1()2()1(lim-∞→ ＝ 10ln ()d e f x x⎰。

4．曲线1|ln ||ln |=+y x 所围图形的面积为1e e-。

5．设),,(z y x f 为连续函数，∑为平面05=+-+z y x 在第三卦限部分的上侧，则曲面积分[2(,,)]d d [(,,)]d d [3(,,)]d d f x y z x y z f x y z y z x f x y z z x y ∑+++++=⎰⎰1252-。

6．2222224d d 22x y x y x y x y x y +=++-+-⎰＝0。

7．幂级数∑∞=1)(sin n n x n 的收敛域为(1,1)-。

8．使得不等式αx x ≤ln 对任意的正数x 都成立的最小正常数α=1e。

9．设,0)(sin tan )sin(sin )tan(tan lim 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→a a x x x x b x x 且,0≠b 则a ＝3，b ＝1。

10．函数),0(!1,11)()(2n n fn a xx x f =--=则级数∑∞=++021n n n n a a a ＝2。

二、（每小题7分，共28分）1．设)(x f 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0,f f f t '''≠==是曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在x 轴的截距，求)()(limx tf t xf x → 。

解：截距()()f x t x f x =-'，22(0)()(),()(0)()2f f x x x f x f x x οο'''''=+=+00(0)()12lim lim 1(0)()2x x f x x t x f x x οο→→''⎛⎫+ ⎪=-= ⎪''+ ⎪⎝⎭，因此当0x →时，0t →，20()(0)lim 2x f x f x →''= 22200()()()1limlimlim()()2()2x x x xf t f t xf t xtf x xtf x tf x →→→=⋅=⋅=2．证明：3sin cos 20d d (04xxxax ax a πππ-≥>⎰⎰为常数）。

证：sin sin sin cos 220d d d d 2xxxxxax ax ax ax πππππππ===⎰⎰⎰⎰2cos cos 3sin cos cos cos 2222220d d d d d (0)4x x xxxxxax ax ax ax a a x a ππππππππ---⎛⎫=≥=> ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰3．计算曲面积分32222d d d d d d ()Sx y z y z x z x yI x y z +++=++⎰⎰，其中＋S是22(2)(1)172516z x y --=+－(0)z ≥的上侧。

解：补曲面22221:0x y z S z ε⎧++=⎨≥⎩取下侧，取正数ε足够小，使1S 在立体2277(,,)07(2)(1)2516x y z z x y ⎧⎫≤≤----⎨⎬⎩⎭的内部，2222220,,:(2)(1)12516z x y S x y ε⎧=+≥⎪⎨--+≤⎪⎩ 121212310d d d d d d d 0d d S S VS S S S S I V x y z y z x z x y x y ε+++=--=-++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰123311d 22S x y z x y z S επεπεεεεε⎛⎫=⋅+⋅+⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰ 483v πΩ≤≤⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++≤。

证：设(,,)225,10,20,20x y z f x y z x y z f f f =+-+=≠=≠=-≠，故函数f 在Ω的内部无驻点，f 必在Ω的边界上取到最值。

设()222(,,)2251,F x y z x y z x y z λ=+-++++-由120,x F x λ=+=220,y F y λ=+=220z F z λ=-+=，2221x y z ++=，求得F 的驻点为12122122,,,,,,333333P P ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12()8,()2f P f P ==，可知f 在Ω上的最大值为8，最小值为2，8d 2d 33v v v πΩΩΩ=≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰另：122212221,,333333333u x y z v x y z w x y z =+-=++=-++，1J =222:1V u v w ++≤48233Vv v ππΩ≤=≤⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰三．（7分）设40tan d nn a x x π=⎰，对任意的参数λ，讨论级数∑∞=1n n na λ的敛散性，并证明你的结论。

证：142tan d d 1n nn ta x x t tπ==+⎰⎰，110111d d 2(1)21nnn t t a t t n n =≤≤=++⎰⎰，当0λ>时，111(1)n a nn n nλλλ+≤<+，而111n nλ∞+=∑收敛，所以1n n a nλ∞=∑收敛；当0λ≤时，12(1)n a nn n λλ≥+，而112(1)n n n λ∞=+∑发散，所以1n n a nλ∞=∑发散。

四．（7分）证明：11d xnn x x n∞--==∑⎰。

证：111ln 000(ln )d ed 1(ln )d !nxx xx x x x x x x x n --⎛⎫-==+-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰100(1)(ln )d !nnn x x x n ∞=-=∑⎰，而1111111(ln )(ln )d (ln )d (ln )d 111n nnn n n n xx nnx x x x x x x x x n n n +--=-=-+++⎰⎰⎰11(1)!(1)!d (1)(1)nnnnn n n x x n n +--===++⎰，所以111(1)(1)!d !(1)nn xnn n n n x x nn n ∞∞--+==--==+∑∑⎰五．（9分）求下列曲面：222222,,b xy a y x cz y x ±=±=-=+和平面0=z 围成的区域的体积（其中c b a ,,为正实数）。

解：体积14V V =（1V 为第一卦限部分的体积），而()2211d d V xyx y cσ=+⎰⎰，{}22222(,),,0,0x y a x y a xy b x y σ=-≤+≤≤≥≥，图略。

AB 的方程为222x y a -=，即22cos 2r a θ=，记1()a r θ=； BC的方程为221sin 22r b θ=，记2()r θ=； CD 的方程为22cos 2r a θ=-，记3()r θ=()32101d d r V r r cπθθ=⎰⎰123()()()33320001d d d d d d r r r r r r r r r c παθβθθαβθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰44422221d d d 4cos 2sin 24cos 2a abc παβαβθθθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰44421tan 2cot 2tan 2828a bac παβαβθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦4242242222222221224,82228a b b a a a b a b a b V c a b b a cc⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中：2212232222()(),tan 2,()(),tan 2b b r r r r aaαααβββ====-另：()()()2222221224414d d ,d d 2V V x yx y x y u xy vx yu v ccx yσσ==+-==++⎰⎰⎰⎰2222224d d b aaa b v u cc-==⎰⎰六．（9分）给定半径为R 的圆，问：是否存在该圆的一个外切三角形，使其面积为圆的面积的32倍？是否存在该圆的一个外切三角形，使其面积为圆的面积的2倍？证明你的结论。

解：作圆的任一外切三角形，联结圆心与三个切点，设三个圆心角分别为,,2x y x y π--，则外切三角形的面积2(,)tantan tan222x y x y S x y R +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中{}(,)0,0,D x y x y x y πππ=<<<<+>，令2222220,2cos2222S R R Sx x yxy∂∂=-==-=++∂∂，解得：200002,(,)3x y S x y π===，下面证明00(,)S x y 是(,)S x y 在区域D 内的最小值。

因2lim tan πθθ-→=+∞，故存在03πεε⎛⎫><⎪⎝⎭，使当222πεπθ-≤<时，tan θ>，记{}(,),,D x y D x y x y επεπεπε=∈≤-≤-+≥+，当(,)\x y D D ε∈时222(,)tan tan 222x y S x y R R πεπ+⎛⎫⎛⎫>->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到D ε是一个有界闭区域，(,)S x y 在D ε内必取得最小值，而在D ε的边界上200(,)(,)S x y S x y >>，故(,)S x y 在D ε上的最小值在D ε内部取得，而00(,)x y 是(,)S x y 在D ε内唯一可能的极值点，故22m in 003(,)(,)2S x y S x y R π==>，这表明面积等于圆面积32倍的外切三角形是不存在的。

下面回答第二个问题：取定圆周上两点,A B ，使劣弧 AB 对应的圆心角为23π，在优弧 AB 上取点P ，设劣弧 AP 对应的圆心角为,0x x π<<，则以,,A B P 为切点的外切三角形面积为 22(),tan tan tan 33232x x f x S x R πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22223f R ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭当x π-→时，()f x →+∞，故存在12,3x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使21()2f x R π>。