平面解析几何直线练习题含答案

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平面解析几何经典题含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围000180α≤<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。

特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。

二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 k 为斜率，b 是直线在y轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式 A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(直线与方程)练习(附答案)

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（直线与方程）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为p =（）A ．1B ．2C ．D ．44．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A．1BC D ．25．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（）A ．2B ．5C D6．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=7．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2 C ．2D ．9．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65二、多选题11．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒三、填空题12．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 16．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.四、解答题17．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.18．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．19．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小．．于圆．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．五、双空题20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知双曲线22:163x yC-=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．D【要点分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【答案详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 3．B【要点分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【答案详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B. 4．B【要点分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【答案详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5．D【要点分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【答案详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 6．D【要点分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【答案详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=. 故选：D.7．D【要点分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【答案详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.8．D【答案详解】要点分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．答案详解：e c a === 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d== 故选D名师点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．9．C【要点分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【答案详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．D【要点分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【答案详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.11．ACD【要点分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB∠为钝角即可判断D 选项.【答案详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3()42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2px y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =2123p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得13p x =，则(,)33p B ，则2p OB OF =≠=，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确；对于D，2333(,(,0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确. 故选：ACD.12．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【要点分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【答案详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．22(1)(1)5x y -++=【要点分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【答案详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R ， ∴==R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R=M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210xy +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= 14【要点分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【答案详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15．()0,1【要点分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 16．4.【要点分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【答案详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.17．（1）AM的方程为2y x =-2y x =（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为=1x ，代入椭圆方程求得点A的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程；（2）方法一：分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【答案详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为=1x .由已知可得，点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =+2y x =. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=．由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++．点A 关于x 轴的对称点()11,N x y -，则直线BN 的方程为()()()()121121y y x x y y x x +-=+-．令=0y ，()()221211212122111212122122222222mm y x x my y y y x y x y m m x x m y y y y y y m -⋅--+++++=+====-++++，则直线BN 过点M ，OMA OMB ∠=∠．［方法三］：直线参数方程的应用设直线l 的参数方程为=1+cos =sin x t y t αα⎧⎨⎩（t 为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程2212x y +=中，整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=．则12211sin t t α-⋅=+，1222cos 1sin t t αα+=-+．又()()11221cos ,sin ,1cos ,sin A t t B t t αααα++，则MA MB k k +=1212sin sin 1cos 21cos 2t t t t αααα+=+-+-1212sin sin cos 1cos 1t t t t αααα+=--()(()()122112sin cos 1+sin cos=cos 1cos 1t t t t t t αα-αα-α-()()()1212122sin cos sin cos 1cos 1t t t t t t ααααα-+=--()()22122sin cos 2sin cos 1sin 1sin 0cos 1cos 1t t αααααααα-+++=--，即MA MB k k =-．所以OMA OMB ∠=∠．［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用当直线l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当直线l 与x 轴不重合时，如图6，过点A ，B 分别作准线=2x 的垂线，垂足分别为C ，D ，则有AC BD x ∥∥轴．由椭圆的第二定义，有e AF AC=，||e ||BF BD =，得||||||||AF BF AC BD =，即||||||||AF AC BF BD =．由AC BD x ∥∥轴，有||||||||AF BF CM DM =，即||||||||AF CM BF DM =，于是||||||||AC CM BD DM =，且90ACM BDM ∠=∠=︒．可得AMC BMD ∠=∠，即有∠=∠AMO BMO ．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用椭圆22:12x C y +=以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得ρ=设()()12,,,A B ρθρθπ+．22221122||12cos ,||12cos AM BM ρρθρρθ=+-=++．所以1||||AM AF ==2||||BM BF ==由角平分线定理的逆定理可知，命题得证．［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O （也可选点F ）到直线,MA MB 的距离分别为12,d d ，根据角平分线定理的逆定理，要证OMA OMB ∠=∠，只需证12d d =．当直线l 的斜率为0时，易得120d d ==．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+．由方程组22+=1,2=+1,x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210,Δ0m y my ++-=>恒成立，12222m y y m +=-+．12212y y m =-+．直线MA 的方程为：()1111220,y x x y y d ---==因为点A 在直线l 上，所以111x my =+，故1d =同理，2d =()()()()12121222122222112242121121y y y y my y d d m y my m y my -+-⎡⎤⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦．因为()121222222022m m y y my y m m +-=-+=++，所以22120d d -=，即12d d =．综上，OMA OMB ∠=∠．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=．由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++．所以()()()1212121212121220221111MA MB my y y y y y y y k k x x my my my my -++=+=+==------，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. ［方法八］：定比点差法设()0,1AF FB λλ=≠± ，()()1122,,,A x y B x y ，所以1212+1=1++0=1+x x y y λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由22112222222+=12+=2x y x y λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差可得，()12121212112111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⨯+⨯=+-+-，所以， ()1221x x λλ-=-，又121x x λλ+=+，所以，()121113,322x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()1222120111221122MA MB y y y y k k x x λλλ-+=+=+=--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.当1λ=时，l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 故OMA OMB ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点A 关于x 轴的对称点N 在直线BM 上，证直线AN 过点M 即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M 是椭圆的右准线=2x 与x 轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择；方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用；方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样；方法八：定比点差法的应用．18．（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【要点分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【答案详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-．所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x ⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-．直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =- ，()22222,2AN t t =- ．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 19．（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+. 【要点分析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识要点分析和解决实际问题的能力.20． ()3,0【要点分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【答案详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C.故答案为：()3,0【名师点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.。

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角的范围000180（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1//l2k1k2。

特别地，当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行。

（2）两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则l1l2k1k21注：两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直。

二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式不包括垂直于x轴的直线为直线上一定点，k为斜率斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式不包括垂直于x轴和y轴的是直线上两定点直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直不包括垂直于x轴和y轴或线在y轴上的非零截距过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式3.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

4.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x,y),B(x,y),C(x,y),若x1x2x3或k AB k AC，则有A、B、C三点共112233线。

高中平面解析几何直线与圆、圆与圆位置关系练习含答案

1．已知圆C 与直线x －y ＝0及直线x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为________________．2．直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是________．3．圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________．4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．5．已知P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝2}，那么P ∩Q ＝________.6．M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)内异于圆心的一点，则直线x ·x 0＋y ·y 0＝a 2与该圆的位置关系为________．7．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为________． 8．圆C 1：x 2＋y 2＝16与C 2：(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝________.9．能够把圆O ：x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f (x )称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是________．①f (x )＝4x 3＋x 2；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝e x ＋e －x 2；④f (x )＝tan x 5. 10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________．11．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有________个．12．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________．14．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________．答案解析1．(x －1)2＋(y ＋1)2＝22.相交3．1023解析因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为点P (2，－1)是该圆内一点，所以经过点P 的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023. 4．相交解析圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2.故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．5．{(1,1)}解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1. 6．相离解析 ∵点M 在圆内，∴x 20＋y 20<a 2(a >0)．圆心到直线的距离d ＝a 2x 20＋y 20>a ，即d >r ，故直线与圆相离． 7．9解析 ∵圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，∴两圆内切，|C 1C 2|＝2－1＝1，即4a 2＋b 2＝1.1a 2＋1b 2＝(4a 2＋b 2)(1a 2＋1b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥9，当且仅当b 2＝2a 2，即a 2＝16，b 2＝13时取等号． 8．3解析设其中一个交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)3＝r 2 可得r 2＝41－8x 0＋6y 0，∵两切线互相垂直，∴过交点的两半径也互相垂直，即y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1， ∴3y 0－4x 0＝－16，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0＝41＋2(3y 0－4x 0)＝41－32＝9，∴r ＝3.9．③解析若函数f (x )是圆O 的“亲和函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称．圆O ：x 2＋y 2＝9的圆心为坐标原点，①中f (x )＝4x 3＋x 2，②中f (x )＝ln 5－x 5＋x ， ④中f (x )＝tan x 5的图象均过圆心O (0,0)，在③中，f (x )＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求． 10．x －y ＋3＝0解析易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0，1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.11．3解析圆的方程化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心为(－1，－2)，圆的半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝ 2.因此和l 平行的圆的直径的两端点及与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为 2.12．2 2解析圆的标准方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C (1，－2)，半径为1，且直线与圆相离，如图所示，四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ，而S △P AC ＝12P A ·AC ＝12P A ＝12PC 2－1，又 PC min ＝|3－8－10|5＝3，所以(S △P AC )min ＝129－1＝2，故四边形P ACB 面积的最小值为2 2.13．[0，125]解析设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2.化简，得x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤CD ≤3.∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴设C (a,2a －4)，∴CD ＝a 2＋(2a －3)2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤3，解得0≤a ≤125.14．[3，7)解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心坐标为(1，－m)，半径r＝22，S△ABC＝12r2sin∠ACB＝4sin∠ACB，当∠ACB＝90°时，△ABC的面积取得最大值4，此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝2r＝4，则点C到直线AB的距离等于2，故2≤PC＜22，即2≤1＋m2＜22，所以4≤1＋m2＜8，即3≤m2＜7，因为m＞0，所以3≤m＜7.。

解析几何经典练习题(含答案)

解析几何经典练习题(含答案)题目一：已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直线AB的斜率和方程。

解答：直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。

斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4直线AB的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - 4 = (-3/4)(x + 3)化简得到直线AB的方程为：4y - 16 = -3x - 9整理得到标准形式方程：3x + 4y = 7答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。

题目二：已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。

解答：直线L的方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = 2(x - 3)化简得到直线L的方程为：y + 1 = 2x - 6整理得到标准形式方程：2x - y = 7答案：直线L的方程为 2x - y = 7。

题目三：已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。

解答：直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：3x + y = 5将方程转化成斜截式形式：y = -3x + 5可以看出直线L的斜率为-3。

经过点A（2，-1）的直线方程可以使用点斜式来表示：y - y1 = m(x - x1)其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。

将斜率和点A的坐标代入得到方程：y - (-1) = -3(x - 2)化简得到通过点A的直线方程为：y + 1 = -3x + 6整理得到标准形式方程：3x + y = 5答案：直线L的斜率为-3，经过点A（2，-1）的方程为 3x + y = 5。

高职高考数学第八章平面解析几何8-1直线的方程练习课件

D.x+y+7=0
5.经过点(3,2),且平行于直线3x+2y+5=0的直线方程是 ( )
A.3x-2y-13=0
B.2x-3y=0
C.3x+2y-13=0
D.2x+3y=0
【答案】C
6.经过点(3,1),且与直线x+y=1垂直的直线方程是 ( )
A.x+y+2=0
B.3x-y-8=0
C.x-3y+2=0
.
12.过点P(2,1),且斜率为-3的直线的斜截式方程是
.
【答案】y=-3x+7
三、解答题 13.求过原点,且倾斜角是直线y=3x-2倾斜角的2倍的直线方程.
第一部分节练习
第八章平面解析几何
8.1 直线的方程
【答案】C 【答案】A
3.直线x-y+2=0的倾斜角是 (
A.30°
B.45°
【答案】B
) C.60°
D.135°
4.过点P(2,5),倾斜角α=45°的直线方程是 ( )
A.x-y+3=0
B.x-y-7=0
C.x+y-7=0 【答案】A
【答案】A
9.过点(-1,2),且垂直于x轴的直线方程是 (
A.x=-1
B.x=2
C.y=-1
【答案】A
) D.y=2
10.已知点A(-1,0)和B(0,1),则直线AB的方程是 ( )
A.x+y+1=0
B.x-y+1=0
C.x-y-1=0
D.x+y-1=0
【答案】B
二、填空题
11.过点(0,2)和(-3,0)的直线的截距式方程是

平面解析几何中的轨迹方程求解练习题

平面解析几何中的轨迹方程求解练习题1. 直线的轨迹方程求解1.1 已知两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，求过这两点的直线的轨迹方程设直线的斜率为k，根据直线的斜截式方程可得： y - y1 = k(x - x1) (1)将点P2(x2, y2)代入方程(1)，得：y2 - y1 = k(x2 - x1) (2)整理方程(2)可得：y = kx - kx1 + y1 (3)所以轨迹方程为y = kx - kx1 + y11.2 已知直线方程Ax + By + C = 0，求直线的轨迹方程将直线方程改写为斜截式方程可得：y = -A/B * x - C/B (4)所以轨迹方程为y = -A/B * x - C/B2. 圆的轨迹方程求解2.1 已知圆的圆心坐标为O(a, b)，半径为r，求圆的轨迹方程设圆上任意一点P(x, y)，根据点到圆心的距离公式可得：OP² = (x - a)² + (y - b)² (5)OP² = r² (6)将方程(6)代入方程(5)可得：(x - a)² + (y - b)² = r² (7)所以轨迹方程为(x - a)² + (y - b)² = r²2.2 已知圆的直径的两个端点分别为P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，求圆的轨迹方程设圆的圆心为O(x, y)，半径为r，根据圆心到直径的中点的距离等于半径可得：((x + x1)/2 - x)² + ((y + y1)/2 - y)² = r² (8)((x + x2)/2 - x)² + ((y + y2)/2 - y)² = r² (9)将方程(8)和方程(9)进行化简，可得：(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)/4 (10)所以轨迹方程为(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)/43. 抛物线的轨迹方程求解3.1 已知抛物线的焦点为F(p, q)，准线为直线y = -p，且焦距为4a，求抛物线的轨迹方程设抛物线上任意一点P(x, y)，根据焦点到准线的距离等于焦距可得：PF² = (x - p)² + (y - q)² (11)y + p = 2a (12)PF = 4a (13)将方程(12)代入方程(11)和方程(13)，可得：(x - p)² + (y - q)² = (y + p - 2a)² (14)所以轨迹方程为(x - p)² + (y - q)² = (y + p - 2a)²3.2 已知抛物线的顶点为V(h, k)，对称轴为直线x = h，求抛物线的轨迹方程设抛物线上任意一点P(x, y)，根据顶点到抛物线上任意一点的距离公式可得：PV² = (x - h)² + (y - k)² (15)PX = PH (16)将方程(16)代入方程(15)，可得：(x - h)² + (y - k)² = (x - h) (17)所以轨迹方程为(x - h)² + (y - k)² = x - h综上所述，平面解析几何中直线、圆和抛物线的轨迹方程求解方法分别为以上所示。

平面解析几何练习题

平面解析几何练习题平面解析几何练习题平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、线、圆等几何对象的性质和相互关系。

通过解析几何的学习，我们可以更好地理解和应用几何知识，解决实际问题。

在这篇文章中，我将为大家提供一些平面解析几何的练习题，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。

题目一：已知直线L1的方程为y = 2x + 1，直线L2经过点A(1, 3)且与L1垂直，求直线L2的方程。

解析：首先，我们知道两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。

由于L1的斜率为2，所以L2的斜率为-1/2。

又知道L2经过点A(1, 3)，代入斜率截距公式y - y1 = k(x - x1)，即可得到直线L2的方程为y - 3 = -1/2(x - 1)。

题目二：已知直线L1的方程为2x + 3y = 6，点A(1, 2)在直线L1上，求直线L2经过点A且平行于L1的方程。

解析：由于L2与L1平行，所以它们的斜率相等。

我们可以通过将L1的方程化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。

将L1的方程化简，得到y = -2/3x + 2。

由此可知L1的斜率为-2/3，所以直线L2的斜率也为-2/3。

又知道L2经过点A(1, 2)，代入斜截式方程即可得到直线L2的方程为y -2 = -2/3(x - 1)。

题目三：已知圆C的圆心为O(2, 3)，半径为5，点A(6, 3)在圆C上，求点A关于圆C的对称点的坐标。

解析：对于圆C上的任意一点P(x, y)，如果点P关于圆C的对称点为P'，那么OP与OP'的中点一定在圆C的直径上。

所以，我们可以先求出点A与圆心O的中点M的坐标，然后利用中点公式求出点A'的坐标。

点M的坐标为((6+2)/2, (3+3)/2)，即(4, 3)。

利用中点公式，我们可以得到点A'的坐标为(2 × 4 - 6, 2 × 3 - 3)，即(-2, 3)。

平面解析几何的直线方程与位置关系练习题

平面解析几何的直线方程与位置关系练习题在平面解析几何中，直线是研究的重要对象之一。

直线的方程和位置关系是解析几何的基础知识，掌握这些内容对于理解和应用解析几何技巧至关重要。

本文将针对平面解析几何中的直线方程与位置关系进行练习题的讨论。

1. 设直线L1的方程为2x - y + 3 = 0，直线L2平行于L1且过点(1,2)，求直线L2的方程。

解析：由于直线L1的方程为2x - y + 3 = 0，可以转换为y = 2x + 3的斜截式方程。

由此可知直线L1的斜率为2。

由于直线L2与L1平行，所以直线L2的斜率也为2。

又因为直线L2过点(1, 2)，代入点斜式公式y - y1 = k(x - x1)，其中k为斜率，代入可得直线L2的方程为y - 2 = 2(x - 1)。

整理得到直线L2的方程为y = 2x。

2. 设直线L1的方程为3x + 4y - 5 = 0，直线L2垂直于L1且过点(2, -1)，求直线L2的方程。

解析：首先将直线L1的方程转换为斜截式方程，得到y = -(3/4)x +5/4。

由此可知直线L1的斜率为-(3/4)。

由于直线L2与L1垂直，所以直线L2的斜率为直线L1斜率的负倒数，即4/3。

根据点斜式公式y - y1 = k(x - x1)，将直线L2过点(2, -1)代入，可得直线L2的方程为y - (-1) = (4/3)(x - 2)。

整理得到直线L2的方程为y = (4/3)x - (5/3)。

3. 已知直线L1过点(-2, 3)和(-1, 5)，直线L2过点(-1, 2)且与L1垂直，求直线L2的方程。

解析：首先计算直线L1的斜率，斜率公式为y2 - y1 / x2 - x1，代入得到斜率为2。

由于直线L2与L1垂直，所以直线L2的斜率为直线L1斜率的负倒数，即-1/2。

根据点斜式公式y - y1 = k(x - x1)，将直线L2过点(-1, 2)代入，可得直线L2的方程为y - 2 = -1/2(x - (-1))。

平面解析几何-多选题练习

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9.(2024·石家庄调研)已知双曲线 C：x42－y52＝1，F1，F2 为 C 的左、右焦点，则( BC )
A.双曲线4＋x2m－5＋y2m＝1(m＞0)和 C 的离心率相等
B.若 P 为 C 上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2 的周长为 6＋2 14
C.若
C
上存在四个点
P
使得
PF1⊥PF2，则
C
的离心率的取值范围是0，
2 2
D.若|PF1|≤2b 恒成立，则 C 的离心率的取值范围为0，53
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
解析对于 A，设 P(x0，y0)，则xa202＋by202＝1， ∵e＝ac＝12，∴a＝2c，∴a2＝34b2， ∴∴43kxbP20A21＋·kbyPA202＝2＝1y，0x－∴0 b3·yx020x＋＋0 b4＝y20＝y20－x420bb22，＝b2－34xx2020－b2＝－34，故 A 错误；对于 B，若 PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2， ∴|PF1|·|PF2|＝2b2，则△PF1F2 的面积为12·|PF1|·|PF2|＝b2，故 B 正确；对于 C，若 C 上存在四个点 P 使得 PF1⊥PF2，
则a2≥2b2，所以选项AC满足.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.已知 F1，F2 分别是双曲线 C：y2－x2＝1 的上、下焦点，点 P 是其一条渐近线
上一点，且以线段 F1F2 为直径的圆经过点 P，则( ACD )
A.双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x B.以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝1 C.点 P 的横坐标为±1 D.△PF1F2 的面积为 2 解析等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2 2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；设点P(x0，y0)，因为点P是双曲线C的一条渐近线上一点，

解析几何试题及答案

解析几何试题及答案1、试题分析本文将为大家解析几个典型的解析几何试题，并给出详细的答案解析。

这些试题涵盖了解析几何的基本概念和常见解题方法，有助于提高解析几何的应用能力。

2、试题一已知平面直角坐标系中，直线L的方程为2x+3y=6，直线L与x轴、y轴分别交于点A、B。

求证：点A、B和原点O构成等边三角形。

解答：首先，求直线L与x轴的交点，令y=0，得到x=3。

所以，点A的坐标为(3,0)。

然后，求直线L与y轴的交点，令x=0，得到y=2。

所以，点B的坐标为(0,2)。

接着，计算OA的长度，用两点间距离公式可得：OA = √[(3-0)²+(0-0)²] = 3同理，计算OB的长度得到OB = √[(0-0)²+(2-0)²] = 2最后，计算AB的长度得到AB = √[(3-0)²+(2-0)²] = √13由于OA = OB = AB，所以点A、B和原点O构成等边三角形。

证毕。

3、试题二在平面直角坐标系中，一条直线L与x轴的交点为A，与y轴的交点为B。

已知A点坐标为(3,0)，且直线L与另一条直线M：2x+y=6平行。

求直线L的方程。

解答：由题可知，直线L与x轴的交点为A(3,0)，与y轴的交点为B。

设直线L的斜率为k。

由于直线L与直线M平行，所以L的斜率与M的斜率相等。

而M的斜率为2，所以L的斜率也为2。

斜率为k的直线通过点A(3,0)，即可得到直线L的方程为y=k(x-3)。

至此，直线L的方程为y=2(x-3)，即L的方程为y=2x-6。

4、试题三已知直线L1过点A(1,2)，斜率为k。

直线L2过点B(-2,3)，斜率为-2。

若直线L1与L2相互垂直，求直线L1的方程。

解答：设直线L1的方程为y=kx+b，代入点A(1,2)的坐标可得2=k+b。

由于L1与L2相互垂直，所以L1的斜率与L2的斜率之积为-1。

即k*(-2)=-1，解得k=1/2。

解析几何——直线专题(答案)

解析几何——直线专题参考答案1．D 【解析】试题分析：直线斜率2142-=-=-=B A k ．考点：直线的斜率．2．A 【解析】试题分析：∵直线经过两点(2,4)A ，(1,)B m ，∴直线AB 的斜率4421k m π-==--，又∵直线的倾斜角为045，∴1k =，∴3m =．故选：A ．考点：直线的斜率；直线的倾斜角． 3．033=-+y x 【解析】试题分析：AB 直线斜率12312k --==-，所以高线斜率为13-，高线方程为()1023303y x x y -=--∴+-= 考点：直线垂直的位置关系及直线方程 4．A 【解析】试题分析：两直线平行，系数满足()()3122,02a a a a ⨯-=⨯-∴=，0a =时两直线重合32a ∴=考点：直线平行的判定 5．A 【解析】试题分析：因为所求直线与直线220x y --=平行，所以设所求直线为20x y m -+=，又过点()1,0，代入求出1m =-，所以所求直线为210x y --=，故选A 。

考点：两直线的平行 6．C 【解析】试题分析：由两直线垂直需满足：“1212..0A A B B +=”可得()6210m m ⨯-+=，解得613m =考点：平面直线的位置关系 7．C 【解析】试题分析：由点到直线的距离公式求得，点()2,1A 及直线30x y ++=的距离是213322d ++==，则AP 的最小值是32．考点：点到直线的距离 8．A 【解析】试题分析：设圆心为C ，直线:0l x y -=，则|||||06|2222C l PQ PC r d r -≥-≥--=-=，所以选A.考点：直线与圆位置关系 9．B 【解析】试题分析：由平行直线可得364=m ，得m=8，在利用平行线间距离公式算的286|182|22=++=d ，注意计算距离时两平行线方程中x,y 前系数要一致. 考点：两直线平行的充要条件，平行线间距离. 10．B 【解析】试题分析：根据题意可知，由于直线02=-y x 与直线042=+-a y x 是平行线，那么可知，运用平行线之间的距离公式1222|C -C |d A B =+，那么将方程统一形式，得到为x-2y=0,x-2y+2a=0故可知距离为2|-0|2=5a 102+1a ∴=±,故选B. 考点：本试题考查了两平行直线的距离。

数学高二上册《平面解析几何(一)-直线方程》练习题

专题二十七平面解析几何(一)——直线方程（一）知识梳理：1、直线的倾斜角及斜率①直线的倾斜角α的定义：取值范围：_____________________②直线的斜率k 的定义：____________________________当α＝______时，斜率k 不存在过),(),,(222111y x P y x P 的直线斜率k=_____________2、直线方程的5种形式及其适用范围：(1)点斜式：(2)斜截式：____________________________________________(3)截距式：____________________________________________(4)两点式：(5)一般式：____________________________________________（二）例题讲解：考点1：直线的倾斜角和斜率例1、下列说法正确的是（）但不一定有斜率任一直线都有倾斜角，，则若直线的倾斜角是则此直线的倾斜角是直线的斜率为，则此直线的斜率为直线的倾斜角是.0sin .,tan .tan .D C k B k A >==αααααα易错笔记：_____,0cos sin 02=-=+=++b a c by ax 则，且的倾斜角为、设直线例ααα易错笔记：),2()2,4.[]4,0.[),2(]4,0.[),0.[),1(),1,2(32πππππππππ⋃⋃D C B A l m B A l （　）的倾斜角的取值范围是两点，那么直线经过、已知直线例易错笔记：考点2：直线的方程倍，求该直线的方程倾斜角的且倾斜角是直线已知直线过点、例23),3,1()1(4x y P =--（2）一条光线从点A(3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程。

（3）求过点A(4,1),且在两坐标轴上得截距相等的直线方程易错笔记：（三）练习巩固：一、选择题1、直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（）A. B. C. D.－2，－32、直线x=3的倾斜角（）A.是0B.是2π C.是π D.不存在3、直线x+y －2=0的倾斜角为（） A. B.C. D. 4、过点(3，2)、(2，-1)的直线的斜率是（）A ．3 B.-3 C.31 D.31- 5、直线2x + 3y - 4 =0的斜率为（） (A)23 (B) -23 (C)32 (D) -32 0,0.0,0.0,0.0,0.6<<><>><>--=bc ab D bc ab C bc ab B bc ab A bc x b a y ，则（）经过第一、二、三象限、若直线 7、直线l ：2x+3y -12=0与两坐标轴围成的三角形的面积是（）(A)3 (B)6 (C)12 (D)24表示的直线都可以用方程经过定点表示以用方程不经过原点的直线都可表示的直线都可用方程经过任意两不同点表示的直线都可以用方程经过定点题的是、下列四个命题中真命b kx y b A D by a x C y y x x x x y y y x P y x P B x x k y y y x P A +==---=---=-),0(.1.))(())((),(),,(.)(),(.)(8121121222111000009、如图，已知直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，则（）A ．321k k k <<B ．213k k k <<C ．123k k k <<D ． 231k k k <<二、填空题10、已知直线l 的倾斜角为︒135，且过点)3,(),1,4(--m B A ，则m 的值为______.11、已知直线l 的倾斜角为︒135，且过点)2,1(，则直线的方程为____________.12、设直线的斜率为k ，且11<<-k ，则直线倾斜角α的取值范围是___________________13、已知直线的斜率为4，且在x 轴上的截距为2，此直线方程为____________.14、直线042=+-y x 关于y 轴对称的直线方程为________________. ______11)0)(,0(),0,(),2,2(15=+≠ba ab b C a B A 共线，则、已知三点 16、过点)3,2(P 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程___________________________17、已知A （2，3），B （1，2），直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，直线l 斜率k 的取值是___________________三、解答题，1）连成的直线的倾斜角为120度。

平面解析几何练习题

平面解析几何练习题一、直线与圆的相交1. 已知圆的方程为：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求与直线y = 2x + 1相交的点坐标。

解析：首先将直线方程代入圆的方程，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 6(2x + 1) + 9 = 0。

将方程化简得到二次方程 5x^2 - 22x - 14 = 0。

解此二次方程，得两个不同实根：x1 ≈ 0.953 和x2 ≈ 2.337。

将x的值带入直线方程求得对应的y值，即可得到两个交点的坐标。

2. 已知直线过点A(2, 4)且与圆x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0相切，求此直线的方程。

解析：首先求圆的切线方程，在圆的方程中，将x和y的系数前的项移至另一侧得到新方程 x^2 + y^2 = 6x - 8y - 9。

然后利用点到直线的距离公式，得到圆心O(a, b)到直线的距离公式：d = |a + 2b - 8| / √(1 + 4) = |a + 2b - 8| / 2。

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径。

将距离公式代入原方程，得到二次方程 (2a + 4b - 16)^2 = 4(a^2 + b^2 - 6a + 8b + 9)。

通过求解此二次方程，得到a和b的值，即可得到直线的方程。

二、圆的切线与切点1. 已知圆C的方程为：(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16，求过点P(3,2)的圆C 的切线方程及切点。

解析：首先求得点P到圆心C(2,-1)的距离，即两点之间的线段CP 的长度r = √((3-2)^2 + (2+1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √13。

因为点P在圆C 上，所以点P到圆C的距离等于圆C的半径 r = 4。

接下来求得点P到圆C的切线斜率k，即斜率为 -1/k 的直线与圆C的切线。

切线斜率 k = (2 - (-1)) / (3 - 2) = 3。

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