平面解析几何知识点归纳
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平面解析几何知识点归纳
◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角
规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2
(tan π
α≠
=a k ,R k ∈
斜率公式:经过两点),(111y x P ,),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1
21
22
1x x y y k P P --=
3.直线方程的几种形式
能力提升
斜率应用
例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则c
c f b b f a a f )
(,
)(,)(的大小关系
例2.已知实数y x ,满足)11(222
≤≤-+-=x x x y ,试求
2
3
++x y 的最大值和最小值
两直线位置关系 两条直线的位置关系
设两直线的方程分别为:
222111:b x k y l +=或0
:22221111=++C y B x A l ;当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们
相交,交点坐标为方程组⎩⎨
⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00
222
111C y B x A C y B x A
直线间的夹角:
①若θ为1l 到2l 的角,12121tan k k k k +-=
θ或2
1211
221tan B B A A B A B A +-=θ;
②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-=
θ或2
1211
221tan B B A A B A B A +-=θ;
③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时,o
90=θ;直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:)
2
(π
θθα≤
=或
)2
(π
θθπα>-=;
距离问题
1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=
2.点到直线距离公式
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2
2
00B
A C
By Ax d +++=
3.两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax ,
2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
4.直线系方程:若两条直线1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 有交点,则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A +++0)(222=++C y B x A λ或
)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)
对称问题
1.中点坐标公式:已知点),(),,(2
211y x B y x A ,则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=222121y y y x x x
点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --,直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问
题。
2.轴对称: 点),(b a P 关于直线)0(0≠=++B c By Ax 的对称点为),('n m P ,则有
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=++⋅++⋅-=-⨯0221)(a -m b -n C n b B m a A B
A ,直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。 (1)中心对称:
①点关于点的对称:
该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c -- ②直线关于点的对称:
Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出
直线方程;
Ⅱ、求出一个对称点,在利用21//l l 由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。
如:求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。
①点关于直线对称:
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。
如:求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称:(设b a ,关于l 对称)
Ⅰ、若b a ,相交,则a 到l 的角等于b 到l 的角;若l a //,则l b //,且b a ,与l 的距离相等。 Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点,则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a 的方程。 如:求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。
能力提升