浙江省绍兴一中2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科) Word版含解析
绍兴一中高三数学文科模拟卷
绍兴一中2015年高三数学文科模拟卷本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
考试时间为120分钟，试卷总分为150分。
请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集为R U =,集合2{230}M x x x =--≤,2{1}N y y x ==+，则(C )U M N ⋂ 为 ( A )A. {11}x x -≤<B. {11}x x -≤≤C. {13}x x ≤≤D. {13}x x <≤ 2. 已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则p ⌝是q 成立的 ( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3．已知两条互不重合的直线,m n ，两个不同的平面,αβ，下列命题中正确的是（ C ） A ．若//,//,//m n m n αβ，则//αβ B. 若,//,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ C ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D. 若,//,//m n m n αβ⊥，则//αβ4.实数x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 （ D ） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-5.已知函数2sin()cos()22y x x =+-p p 与直线12y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M ，L ，则113M M u u u u u u u r等于（ A ） A ．π6B ．π7C ．π12D ．π136.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点1F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于点P ，若线段1PF 的中点在y 轴上，则此双曲线的离心率为（ D ）A.3C.37. 若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为（ B ）A ．60B ．50C ． 45D ．408．定义在),1(+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：⑴对任意的),1(+∞∈x 恒有(2)2()f x f x =成立； ⑵当(1,2]x ∈ 时，()2f x x =-；记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 ( C )A ． [)2,1B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。
浙江省绍兴市第一中学2017-2018学年高三9月回头考数学(文)试题 Word版含答案
绍兴一中2017-2018学年第一学期回头考试卷高三数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共100分，考试时间120分钟.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为向量，则“0>⋅”是“,a b的夹角是锐角”的（ ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要2．在ABC ∆中，13a b C ===，则ABC ∆的面积为( ) A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 33已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．2 C ． 错误！未找到引用源。
D ． 错误！未找到引用源。
4.已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-5．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ）A ．78B ．91C ． 39D ．20156．已知几何体的三视图（如右图），则该几何体的体积为 （ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
7．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A 、7B 、17 C 、7- D 、17- 8. 已知错误！未找到引用源。
是双曲线的两个焦点，错误！未找到引用源。
是经过错误！未找到引用源。
最新浙江省绍兴市高考数学一模试卷(解析版)
精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ）A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．16．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于 A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ） A．2 B． C． D．与 p 有关 8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），精品文档精品文档则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．169．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）二、填空题（本大题共 7 小题，共 36 分） 11．双曲线 ﹣ =1 的焦点坐标为 ，离心率为 ． 12 ． 已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 为，体积精品文档精品文档为．13．已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前 n 项和为 Sn，T（n n∈N*），若 Sn= n2+ n， b1=a1，b2=a3，则 an= ，Tn= ． 14．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A= ，b= ，△ABC 的面积为，则 c= ，B= ．15．将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻， 则不同的排法种数为 ．（用具体的数字作答） 16．已知正实数 x，y 满足 xy+2x+3y=42，则 xy+5x+4y 的最小值为 ．17．已知 a，b∈R 且 0≤a+b≤1，函数 f（x）=x2+ax+b 在[﹣ ，0]上至少存在一个零点，则 a﹣2b 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分） 18．已知函数 f（x）=2sin2x+cos（2x﹣ ）． （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求 f（x）在（0， ）上的单调递增区间． 19．如图，已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥平面 ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC， M 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：PC⊥BC． （Ⅱ）求二面角 M﹣AC﹣B 的大小．精品文档精品文档20．已知函数 f（x）= x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当 a=2，b=0 时，求 f（x）在[0，3]上的值域． （Ⅱ）对任意的 b，函数 g（x）=|f（x）|﹣ 的零点不超过 4 个，求 a 的取值范 围． 21．已知点 A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆 C： + =1（a＞b＞0）上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）P 是线段 AB 上的点，直线 y= x+m（m≥0）交椭圆 C 于 M、N 两点，若 △MNP 是斜边长为 的直角三角形，求直线 MN 的方程．22．已知数列{an}满足 an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）． （Ⅰ）证明：an＞1； （Ⅱ）证明： + +…+ ＜ （n≥2）．精品文档精品文档2017 年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|x+1≥0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣2，1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，+∞） D．（﹣2，+∞） 【考点】交集及其运算． 【分析】由绝对值不等式的解法求出 A，由交集的运算求出 A∩B． 【解答】解：由题意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2）， B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞）， 则 A∩B=[﹣1，2）， 故选 B2．已知 i 是虚数单位，复数 z= ，则 z• =（ ）A．25 B．5 C． D． 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由【解答】解：∵z= =，∴z• =．故选：D．求解．3．已知 a，b 为实数，则“a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．精品文档精品文档【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分必要条件判断即可． 【解答】解：a=0 时，f（x）=x2+b 为偶函数，是充分条件， 由 f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+b=f（x），得 f（x）是偶函数， 故 a=0”是“f（x）=x2+a|x|+b 为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A．4．已知 a＞0，且 a≠1，若 ab＞1，则（ ） A．ab＞b B．ab＜b C．a＞b D．a＜b 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】对 a 进行分类讨论，结合不等式的基本性质及指数函数的单调性判断四 个不等式关系成立与否可得答案． 【解答】解：当 a∈（0，1）时，若 ab＞1，则 b＜0， 则 a＜b 不成立， 当 a∈（1，+∞）时，若 ab＞1，则 b＞0， 则 ab＜b 不成立，a＞b 不一定成立， 故选：A．5．已知 p＞0，q＞0，随机变量 ξ 的分布列如下：ξpqPqp若 E（ξ）= ．则 p2+q2=（ ）A． B． C． D．1 【考点】离散型随机变量及其分布列． 【分析】由随机变量 ξ 的分布列的性质列出方程组，能求出结果． 【解答】解：∵p＞0，q＞0，E（ξ）= ． ∴由随机变量 ξ 的分布列的性质得：，精品文档精品文档∴p2+q2=（q+p）2﹣2pq=1﹣ = ． 故选：C．6．已知实数 x，y 满足不等式组，若 z=y﹣2x 的最大值为 7，则实数a=（ ） A．﹣1 B．1 C． D． 【考点】简单线性规划． 【分析】根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几 何意义，通过目标函数的最值，得到最优解，代入方程即可求解 a 值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：令 z=y﹣2x，则 z 表示直线 z=y﹣2x 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大， 结合图象可知，当 z=y﹣2x 经过点 A 时 z 最大，由可知 A（﹣4，﹣1），A（﹣4，﹣1）在直线 y+a=0 上，可得 a=1． 故选：B．7．已知抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，过点 M（p，0）的直线交抛物线于精品文档精品文档A，B 两点，若 =2 ，则 =（ ）A．2 B． C． D．与 p 有关 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0，利用向量 条件，求出 A，B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为 x=my+p，代入 y2=2px，可得 y2﹣2pmy﹣2p2=0 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2=2pm，y1y2=﹣2p2， ∵ =2 ，∴（p﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣p，y2）， ∴x1=﹣2x2+p，y1=﹣2y2， 可得 y2=p，y1=﹣2p， ∴x2= p，x1=2p，∴==，故选 B．8．向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，若|λ ﹣ |的最小值为 2（λ∈R），则 • =（ ） A．0 B．4 C．8 D．16 【考点】平面向量数量积的运算． 【 分 析 】 向 量 ， 满 足 | |=4 ， • （ ﹣ ） =0 ， 即= ． |λ ﹣|==≥ 2 （ λ ∈ R ）， 化 为 ： 16λ2 ﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量 ， 满足| |=4， •（ ﹣ ）=0，即 = ．若|λ ﹣ |==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+ ﹣4≥0 对于 λ∈R 恒成立，精品文档精品文档∴△=﹣64（ ﹣4）≤0，化为∴ • =8． 故选：C．≤0，9．记 min{x，y}=设 f（x）=min{x2，x3}，则（ ）A．存在 t＞0，|f（t）+f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） B．存在 t＞0，|f（t）﹣f（﹣t）|＞f（t）﹣f（﹣t） C．存在 t＞0，|f（1+t）+f（1﹣t）|＞f（1+t）+f（1﹣t） D．存在 t＞0，|f（1+t）﹣f（1﹣t）|＞f（1+t）﹣f（1﹣t） 【考点】分段函数的应用；函数与方程的综合运用． 【分析】求出 f（x）的解析式，对 t 的范围进行讨论，依次判断各选项左右两侧 函数的单调性和值域，从而得出答案． 【解答】解：x2﹣x3=x2（1﹣x）， ∴当 x≤1 时，x2﹣x3≥0，当 x＞1 时，x2﹣x3＜0，∴f（x）=．若 t＞1，则|f（t）+f（﹣t）|=|t2+（﹣t）3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t2+t3|=t2+t3， f（t）﹣f（﹣t）=t2﹣（﹣t）3=t2+t3， 若 0＜t＜1，|f（t）+f（﹣t）|=|t3+（﹣t）3|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|t3+t3|=2t3， f（t）﹣f（﹣t）=t3﹣（﹣t）3=2t3， 当 t=1 时，|f（t）+f（﹣t）|=|1+（﹣1）|=0， |f（t）﹣f（﹣t）|=|1﹣（﹣1）|=2， f（t）﹣f（﹣t）=1﹣（﹣1）=2， ∴当 t＞0 时，|f（t）+f（﹣t）|＜f（t）﹣f（﹣t），|f（t）﹣f（﹣t）|=f（t） ﹣f（﹣t）， 故 A 错误，B 错误；精品文档精品文档当 t＞0 时，令 g（t）=f（1+t）+f（1﹣t）=（1+t）2+（1﹣t）3=﹣t3+4t2﹣t+2， 则 g′（t）=﹣3t2+8t﹣1，令 g′（t）=0 得﹣3t2+8t﹣1=0， ∴△=64﹣12=52，∴g（t）有两个极值点 t1，t2， ∴g（t）在（t2，+∞）上为减函数， ∴存在 t0＞t2，使得 g（t0）＜0， ∴|g（t0）|＞g（t0）， 故 C 正确； 令 h（t）=（1+t）﹣f（1﹣t）=（1+t）2﹣（1﹣t）3=t3﹣2t2+5t， 则 h′（t）=3t2﹣4t+5=3（t﹣ ）2+ ＞0， ∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（0）=0， ∴|h（t）|=h（t），即|f（1+t）﹣f（1﹣t）|=f（1+t）﹣f（1﹣t）， 故 D 错误． 故选 C．10．如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，棱 AB 的中点为 P，若光线从点 P 出发， 依次经三个侧面 BCC1B1，DCC1D1，ADD1A1 反射后，落到侧面 ABB1A1（不包括边 界），则入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是（ ）A．（ ， ） B．（，4） C．（ ， ） D．（ ， ）【考点】直线与平面所成的角． 【分析】作点 P 关于平面 BCC1B1 的对称点 P1，采用极限分析法． 【解答】解：根据线面角的定义，当入射光线在面 BCC1B1 的入射点离点 B 距离 越近，入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值越大，精品文档如图所示，此时tan∠PHB=，结合选项，可得入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是（，），故选：C．二、填空题（本大题共7小题，共36分）11．双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程和离心率即可求出答案．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴c2=a2+b2=4+12=16，∴c=4，∴双曲线﹣=1的焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），离心率e===2，故答案为：（﹣4，0），（4，0），212．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为2+2，体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，P﹣ABC，其中PA⊥底面ABC，AC ⊥BC，PA=2，AC=1，BC=2．∴该几何体的表面积S=++=2+2，体积V==．故答案为：2+2，．13．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}的前n项和为S n，T n（n∈N*），若S n=n2+n，b1=a1，b2=a3，则a n=3n﹣1，T n=．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】利用a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a1=2=b1，n≥2时，a n=S n﹣S n=n2+n﹣=3n﹣1．﹣1n=1时也成立，∴a n=3n﹣1．b2=a3=8，公比q==4．∴T n==．故答案为：3n﹣1，．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面积为，则c=1+，B=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，利用余弦定理可求a，进而可求cosB 的值，结合B的范围即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面积为=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：1+，．15．将3个男同学和3个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为288．（用具体的数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，用插空法分析可得此时的排法数目，②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，用捆绑法分析可得此时的排法数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、3个男同学均不相邻，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选3个，安排3个男同学，有A43=24种安排方法，此时共有6×24=144种不同的排法；②、另外两个男同学相邻，将这两个男同学看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22=2种情况，将三名女同学全排列，有A33=6种排法，排好后有4个空位，在4个空位中，任选2个，安排甲和这2个男同学，有A42=12种安排方法，此时共有2×6×12=144种不同的排法；则共有144+144=288种不同的排法；故答案为：288．16．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55．【考点】基本不等式．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．17．已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函数f（x）=x2+ax+b在[﹣，0]上至少存在一个零点，则a﹣2b的取值范围为[0，3] ．【考点】二次函数的性质．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）=x2+ax+b在区间[﹣，0]有零点，只要，或，其对应的平面区域如下图所示：则当a=1，b=﹣1时，a﹣2b取最大值3，当a=0，b=0时，a﹣2b取最小值0，所以a﹣2b的取值范围为[0，3]；故答案为：[0，3]．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin2x+cos（2x﹣）．化简可得：f（x）=1﹣cos2x+cos2x+sin2x=1+sin（2x﹣）∴函数的最小正周期T=（Ⅱ）由，k∈Z，得≤x≤．∴f（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，]．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO 即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB 的中点，所以MO∥PA，又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在Rt△MHO中，tan∠MHO=．二面角M﹣AC﹣B的大小为300．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．21．已知点A（﹣2，0），B（0，1）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）P是线段AB上的点，直线y=x+m（m≥0）交椭圆C于M、N两点，若△MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由直线可知：椭圆的焦点在x轴上，又过点A，B，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，分类，当MN为斜边时，=，即可求得m=0，满足题意，当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由点A（﹣2，0），B（0，1），则a=2，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消去y，整理得x2+mx﹣1=0，则△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，则丨MN丨=丨x1﹣x2丨=，①当MN为斜边时，=，解得：m=0，满足△＞0，此时直线MN为直径的圆方程为x2+y2=，点A（﹣2，0）B（0，1）分别在圆外和圆内，即在线段AB上存在点P．此时直线MN的方程诶y=x，满足题意，②当MN为直角边时，两平行线AB与MN的距离d=丨m﹣1丨，∴d2+丨MN丨2=丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，即21m2+8m﹣4=0，解得：m=，m=﹣（舍），由△＞0，则m=，过点A作直线MN：y=x+的垂线，可得满足坐标为（﹣，﹣），垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，∴直线MN的方程为y=x+，符合题意，综上可知：直线MN的方程为：y=x或y=x+．2=na n2+a n（n∈N*）．22．已知数列{a n}满足a n＞0，a1=2，且（n+1）a n+1（Ⅰ）证明：a n＞1；（Ⅱ）证明： ++…+＜（n≥2）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系可得（n+1）（a n+1）（a n+1﹣1）=（a n﹣1）+1（na n+n+1），再根据a n＞0，可得a n+1﹣1与a n﹣1同号，问题得以证明，（Ⅱ）先判断出1＜a n≤2，再得到a n2≤，n≥2，利用放缩法得到≤2（精品文档﹣ ）+（ ﹣ + ），再分别取 n=2，3，以及 n≥4 即可证明． 【解答】证明：（Ⅰ）由题意得（n+1）an+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1，∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），由 an＞0，n∈N*，∴（n+1）（an+1+1）＞0，nan+n+1＞0，∴an+1﹣1 与 an﹣1 同号，∵a1﹣1=1＞0， ∴an＞1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）an+12=nan2+an＜（n+1）an2， ∴an+1＜an，1＜an≤2， 又由题意可得 an=（n+1）an+12﹣nan2， ∴a1=2a22﹣a12，a2=3a32﹣2a22，…，an=（n+1）an+12﹣nan2， 相加可得 a1+a2+…+an=（n+1）an+12﹣4＜2n，∴an+12≤，即 an2≤，n≥2，∴ ≤2（ + ）≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），n≥2，当 n=2 时， = ＜ ，当 n=3 时， + ≤＜ ＜，当 n ≥ 4 时 ， + +…+ ＜ 2 （ + + + ） + （ + + ﹣ ） =1+ + + + + ＜ ，精品文档精品文档从而，原命题得证精品文档精品文档2017 年 3 月 30 日精品文档。
2017—2018年度第二学期高二年级期末考试数学文科试卷及答案1
绍兴一中2017学年第二学期期末考试高二数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.复数i z -=1，则21z z+对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设()2log ,2sin lg ,2331.0==⎪⎭⎫⎝⎛=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 3.已知函数2)(2+-=x x f ，||log )(2x x g =，则函数)()()(x g x f x F ⋅=的大致图象为（ ）A ． B. C. D.4.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）A ．2617海里/时 B ．634海里/时C ．2217海里/时 D ．234海里/时5.已知函数)2sin(2)(ϕ+-=x x f )|(|πϕ<，若2)8(-=πf ，则)(x f 的一个单调递增区间可以是（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-83,8ππ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡89,85ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-8,83ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ6.已知点F 是双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的右焦点，点E 是左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于点A ，若1t a n <∠AEF ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(1,1+C ．()1,2D ．(2,27.若函数)(x f y =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称)(x f y =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A.ln y x =B. sin y x =C. xy e =D. 3y x =8．已知函数()f x ()x ∈R 是以4为周期的奇函数，当()0,2x ∈时，()()2ln f x x x b =-+.若函数()f x 在区间[]2,2-内有5个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A.11b -<≤ B.1544b ≤≤ C. 114b <≤或54b = D.11b -<<或54b =二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．9.函数2cos cos y x x x =+的最小正周期是 ▲ ，最小值是 ▲ .10.若抛物线px y C 2:2=的焦点在直线03=-+y x 上，则实数=p ▲ ；抛物线C 的准线方程为 ▲ .11.在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果2a =，b =，60B =，则ABC ∆的面积等于 ▲ .12.已知θ是第四象限角，且53)4sin(=+πθ，则=θs i n ▲ ，=-)4tan(πθ ▲ . 13.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.若点P )0,1(- 在直线20ax y a ---=上的投影是Q ，则Q 的轨迹方程是 ▲ . 14.已知120()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，，≤，则=)2016(f ▲ .15.x ∈R 时，如果函数)()(x g x f >恒成立，那么称函数)(x f 是函数)(x g 的“优越函数”．若函数|12|22)(2+-++=x x x x f 是函数||)(m x x g -=的“优越函数”，则实数m 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分8分）设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B .（Ⅰ）当2m =时，求A B ；（Ⅱ）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.(本题满分8分)设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()C a A c b cos cos 2=-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若1=a ，求c b +的取值范围．18.（本小题满分10分）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.19. （本小题满分10分）已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）设函数)42(log )(2a a x g x-⋅=，其中0a >．若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围．20. (本小题满分12分）已知函数x x m x g x x x f +-=-=2221)(,21ln )(，m ∈R ，令)()()(x g x f x F +=.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数．．m 的最小值；（Ⅲ）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求证：1321-≥+x x .绍兴一中高二期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z -=1，则21z z+对应的点所在象限为(D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设()2log ,2sin lg ,2331.0==⎪⎭⎫⎝⎛=c b a ，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a3．已知函数()()222,log f x x g x x =-+=，则函数()()()F x f x g x =⋅的大致图象为（ B ）4．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ A ）A ．海里/时B ．34海里/时C ．海里/时D ．34海里/时5. 已知函数)2sin(2)(ϕ+-=x x f )|(|πϕ<，若2)8(-=πf ，则)(x f 的一个单调递增区间可以是(D )3.,88A ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 59.,88B ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.,88C ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5.,88D ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知点F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，点E 是左顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于点A ，若tan∠AEF＜1，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．（1，+∞）B ．（1，1+）C ．（1，2）D ．（2，2+）【解答】解：由题意可得E （﹣a ，0），F （c ，0），|EF|=a+c ，令x=c ，代入双曲线的方程可得y=±b =±，在直角三角形AEF 中，tan∠AEF==＜1，可得b 2＜a （c+a ），由b 2=c 2﹣a 2=（c ﹣a ）（c+a ），可得c ﹣a ＜a ，即c ＜2a ，可得e=＜2，但e ＞1，可得1＜e ＜2．故选：C ．7．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( B) （A ）ln y x = （B ） sin y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】B试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故B 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选B.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.8．已知函数f （x ）（x ∈R ）是以4为周期的奇函数，当x ∈（0，2）时，()()2ln f x x x b =-+若函数f （x ）在区间[-2，2]内有5个零点，则实数b 的取值范围是（ C ） A.11b -<≤ B.1544b ≤≤ C.114b <≤或b=54 D.11b -<<或b=54∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （0）=0，即0是函数f （x ）的零点，又由f （x ）是定义在R 上且以4为周期的周期函数，故f （-2）=f （2），且f （-2）=-f （2），故f （-2）=f （2）=0， 即±2也是函数f （x ）的零点，若函数f （x ）在区间[-2，2]上的零点个数为5， 则当x ∈（0，2）时，f （x ）=ln （x 2-x+b ）， 故当x ∈（0，2）时，x 2-x+b ＞0恒成立， 且x 2-x+b=1在（0，2）有一解，1140b ∆=-<，所以14b >①令()21f x x x b =-+-，所以20∆=或()()1020f f ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，即54b =或11b -<≤ ②由①②得15,144b ⎛⎤⎧⎫∈⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭. 二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．9.函数2cos cos y x x x =+的最小正周期是 π ，最小值是 . 21-10. 若抛物线px y C 2:2=的焦点在直线03=-+y x 上，则实数=p ；抛物线C 的准线方程为 .6 ; 3x =-11. 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果2a =，b ，60B =，那么ABC ∆的面积等于12.已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则sin θ= .tan(θ–π4)= . 【答案】 102- 43- 【解析】试题分析：由题意，π3π4sin(),cos(),4545θθ+=+=ππ3sin sin cos cos ,445ππ4cos cos sin sin ,445θθθθ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1tan 7θ=-，1π1tan tan π474tan().π1431tan tan 1147θθθ----===-+-⨯13.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.若点P )0,1(-在直线20ax y a ---=上的投影是Q ，则Q 的轨迹方程是 x 2+（y+1）2=2 ．解：直线20ax y a ---=恒过定点M （1，﹣2） ∵点P （﹣1，0）在直线20ax y a ---=上的射影是Q ∴PQ⊥直线l故△PQM 为直角三角形，Q 的轨迹是以PM 为直径的圆．∴Q 的轨迹方程是x 2+（y+1）2=2．14．已知120()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩，，≤，则f (2016) = ▲ ．12解析：6),3()(=--=T x f x f15．x ∈R 时，如果函数f(x)>g(x)恒成立，那么称函数f(x)是函数g （x ）的“优越函数”．若函数f(x)=2x 2+x+2-|2x+1|是函数g （x ）=|x-m|的“优越函数”，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 15.1(,1)2-解析： 题设条件等价于22221x x x x m++-+>-对x R ∈恒成立.分别作出函数2()2221F x x x x =++-+和()G x x m=-.由数形结合知，112m -<<三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本题满分8分)设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2,(0,)1y x m x =∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：（1）由2430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =，又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(,2)1y m ∈+，即2(,2)1B m =+，当2m =时，2(,2)3B =，所以(1,2)A B =. …………4分 （2）首先要求0m > ()1G x x =-而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以A B ≠⊂，即)3,1()2,12(≠⊂+m…6分从而211m ≥+， 解得01m <≤. ……8分 17.（本小题满分8分）设△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()C a A c b cos cos 2=-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若1=a ，求c b +的取值范围． 解：（Ⅰ）由()C a A c b cos cos 2=-得： C A A C B cos sin cos sin sin 2=-）（2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=，∴1cos 2A =，故3π=A ； -------------------------------4分（Ⅱ）由3π,1==A a ，根据余弦定理得：221b c bc +-=，∴2()31b c bc +-=，---------------------------------6分∴22()1332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，∴2()4b c +≤，得2b c +≤， 又由题意知：1b c a +>=，故：12b c <+≤． ------------------------8分18．（本小题满分10分）已知椭圆:E 22221x y a b+=(0)a b >>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.19．(本题满分10分)已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(I)求k 的值；(II)设函数)42(log )(2a a x g x-⋅=，其中0a >．若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围．19.经验证，当k=-1时，f(-x)=f(x)成立，所以k=-1.……………………2分法二：由()()0f x f x --=得()220k x +=恒成立，所以1k =-20 （本小题满分12分）已知函数x x m x g x x x f +-=-=2221)(,21ln )(，R m ∈，令)()()(x g x f x F +=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数．．m 的最小值；（Ⅲ）若1-=m ，且正实数21,x x 满足)()(21x F x F -=，求证：1321-≥+x x .20（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为)0(11)(},0|{2>-=-='>x xx x x x f x x ，由0)(>'x f ，得10<<x ，所以f （x ）的单调递增区间为（0，1）.-----------2分 （Ⅱ）0,21ln )()()(2>+-=+=x x mx x x g x f x F . 令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ， 则不等式1)(-≤mx x F 恒成立，即0)(≤x G 恒成立.xx m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='.--------4分 ①当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G所以)(x G 在),0(+∞上是单调递增函数， 又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ， 所以关于x 的不等式0)(≤x G 不能恒成立. --------6分②当0>m 时，x x m x m xx m mx x G )1)(1(1)1()(2+--=+-+-=' 令0)(='x G ，因为0>x ，得m x 1=， 所以当)1,0(m x ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈mx 时，0)(<'x G .[ 因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈m x 是减函数.---- 7分 故函数)(x G 的最大值为m mm m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=.---- 8分 令m mm h ln 21)(-=，因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数， 又因为021)1(>=h ，02ln 41)2(<-=h ，所以当2≥m 时，0)(<m h . 所以整数m 的最小值为2.----10分（Ⅲ）1-=m 时，0,21ln )(2>++=x x x x x F 由)()(21x F x F -=，得0)()(21=+x F x F ，即021ln 21ln 22221211=+++++x x x x x x ， 整理得，)ln()()(21212121221x x x x x x x x -=+++ ---- 11分 令021>⋅=x x t ，则由t t t ln )(-=ϕ得，tt t 1)(-='ϕ，可知)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增.所以1)1()(=≥ϕϕt ， 所以1)()(2121221≥+++x x x x ，解得13132121-≥+--≤+x x x x ，因为21,x x 为正实数，所以1321-≥+x x 成立. ----12分。
浙江省绍兴市2017-2018学年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知x∈R，则“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．等比数列{a n}的公比为2，前n项和为S n，若1+2a2=S3，则a1=（）A．B．C．D．13．某快递公司快递一件物品的收费规定：物品不超过5千克，每件收费12元，超过5千克且不超过10千克，则超出部分每千克加收1.2元；…，现某人快递一件8千克物品需要的费用为（）A．9.6元B．12元C．15.6元D．21.6元4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣1，则f（log2）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．3 D． 45．已知直线l，m和平面α，β（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β6．已知sin（）=，则sin（）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、解答题（共5小题，满分65分）8．当且仅当x∈（a，b）∪（c，+∞）（其中b≤c）时，函数f（x）=2|x+1|的图象在g（x）=|2x﹣t|+x图象的下方，则c+b﹣a的取值范围为．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小（2）若a+b=4，c=3，求△ABC的面积．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a6=S3=6（1）求a n和S n（2）数列{b n}满足b n=，若b1，b2，b5成等比数列，求实数λ的值．11．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．12．已知a，b，c均为实数，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=bx+c}，B={x|f （x）=cx+a}，C={x|f（x）=ax+b}．（1）若A∩B≠∅，求证：a=c（2）当c=1时，若集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，求2a+b的最小值．2015年浙江省绍兴市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）1．已知x∈R，则“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由x2＞x得x＞1或x＜0，则“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．2．等比数列{a n}的公比为2，前n项和为S n，若1+2a2=S3，则a1=（）A．B．C．D．1考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的通项公式可得a1的方程，解方程可得．解答：解：∵等比数列{a n}的公比为2，1+2a2=S3，∴1+4a1=，即1+4a1=7a1，解得a1=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．3．某快递公司快递一件物品的收费规定：物品不超过5千克，每件收费12元，超过5千克且不超过10千克，则超出部分每千克加收1.2元；…，现某人快递一件8千克物品需要的费用为（）A．9.6元B．12元C．15.6元D．21.6元考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：将8千克分为5千克加3千克，从而求费用即可．解答：解：由题意得，某人快递一件8千克物品需要的费用为12+（8﹣5）×1.2=15.6（元）；故选C．点评：本题考查了函数实际问题中的应用，属于基础题．4．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣1，则f（log2）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．3 D． 4考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先观察到，所以需要求x＜0时的f（x）解析式：可设x＜0，﹣x＞0，根据x＞0时的f（x）解析式及f（x）为奇函数即可求得x＜0时f（x）解析式f（x）=﹣2﹣x+1，从而根据对数与指数的运算即可求出f（）．解答：解：设x＜0，﹣x＞0，根据已知条件有：f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x）；∴x＜0时，f（x）=﹣2﹣x+1；；∴+1=﹣2．故选B．点评：考查奇函数的定义，掌握已知奇函数f（x）在x＞0（或x＜0）时的解析式，求其对称区间上的解析式的方法和过程，对数与指数的互化．5．已知直线l，m和平面α，β（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m⊥β，则l∥m D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；若l∥α，m∥α，则l与m平行，异面或相交，可判断B；若l⊥α，m⊥β，α∥β，则l∥m，可判断C；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l∥α，m∥α，则l与m平行，异面或相交，故B错误；若l⊥α，m⊥β，α∥β，则l∥m，故C错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得D正确，故选：D．点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．6．已知sin（）=，则sin（）=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的诱导公式，结合余弦函数的倍角公式进行化简即可．解答：解：sin（）=cos[﹣（）]=cos（）=cos2（）=1﹣2sin2（）=1﹣2×（）2=1﹣=，故选：D．点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的诱导公式以及余弦函数的倍角公式是解决本题的关键．7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，可得∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，可得|AF2|=c，|AF1|=c．再利用椭圆的定义即可得出．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．点评：本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（共5小题，满分65分）8．当且仅当x∈（a，b）∪（c，+∞）（其中b≤c）时，函数f（x）=2|x+1|的图象在g（x）=|2x﹣t|+x图象的下方，则c+b﹣a的取值范围为（﹣，+∞）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：化简函数的解析式，再画出f（x）、g（x）的图象，结合题意可得＞﹣1，求出a、b、c的值，可得c+b﹣a的范围．解答：解：由于函数f（x）=2|x+1|=，g（x）=|2x﹣t|+x=，如图所示：由题意可得，＞﹣1，t＞﹣2．由题意可得，＞﹣1，即t＞﹣2．由求得c=t+2；由求得b=；由求得a=﹣2﹣t，∴c+b﹣a=+＞+=﹣，即c+b﹣a的范围是（﹣，+∞），故答案为：（﹣，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A的大小（2）若a+b=4，c=3，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由已知及正弦定理整理可得：sin（A﹣B）=sin（C﹣A），结合三角形内角和定理即可求得A的值．（2）结合已知由余弦定理可得：b2+9﹣3b=16+b2﹣8b，从而解得b，由三角形面积公式即可求值．解答：解：（1）三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c且，由正弦定理可得：=，整理可得：sin（A﹣B）=sin（C﹣A），则：B+C=2A又A+B+C=180°得A=60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵a=4﹣b，c=3，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，即b2+9﹣3b=16+b2﹣8b，解得b=，∴bc=，∴S△ABC=bcsinA==．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a6=S3=6（1）求a n和S n（2）数列{b n}满足b n=，若b1，b2，b5成等比数列，求实数λ的值．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b5．由b1，b2，b5成等比数列，可得=b1•b5，解出即可．解答：解：（1）设等差数列的公差为d，∵a6=S3=6，∴，解得，∴a n=1+（n﹣1）=n，．（2）∵数列{b n}满足b n=，∴b1=S1=a1=1，b2=S3﹣λS1=﹣λ=6﹣λ；b5=S9﹣λS7=﹣=45﹣28λ．∵b1，b2，b5成等比数列，∴=b1•b5，∴（6﹣λ）2=1×（45﹣28λ），化为λ2+16λ﹣9=0，解得λ=．点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据已知条件，取AD中点E，连接CE，容易得到CE⊥AD，从而便可得到CD=AC=，AD=2，所以AC⊥CD，同样通过已知条件PA=，PC=1，AC=，从而得到AC⊥PC，从而得出AC⊥平面PCD；（2）容易说明PD⊥平面PAC，从而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，连接DN，从而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求这个角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面积相等即可求出CN，CD前面已求出，从而可得出．解答：解：（1）证明：AB⊥BC，AB=BC=1；∴；AD=2，PD=1，∠APD=90°；∴AP=，又PC=1；∴AC2+PC2=AP2；∴AC⊥PC；如图，取AD中点E，连接CE；AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；∴CD=，AD=2；∴AC⊥CD，CD∩PC=C；∴AC⊥平面PCD；（2）PC=PD=1，CD=；∴PD⊥PC；∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；∴PD⊥平面PAC，PD⊂平面PAD；∴平面PAC⊥平面PAD；∴过C作CN⊥PA，并交PA于N，连接DN，则：CN⊥平面PAD，∠CDN便是直线CD与平面APD所成角；在Rt△PAC中，AC=，PC=1，PA=；∴；∴，CD=；∴sin∠CDN=；∴CD与平面APD所成角的正弦值为．点评：考查直角三角形边的关系，等腰三角形底边上的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线与平面所成角的概念及找法．12．已知a，b，c均为实数，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=bx+c}，B={x|f （x）=cx+a}，C={x|f（x）=ax+b}．（1）若A∩B≠∅，求证：a=c（2）当c=1时，若集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，求2a+b的最小值．考点：二次函数的性质；元素与集合关系的判断；并集及其运算．专题：分类讨论；函数的性质及应用；集合．分析：（1）求出A={0}，由A∩B≠∅，得出0∈B，把x=0代入方程f（x）=cx+a，得出a=c；（2）c=1时，化简A、B、C，集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，得出A={0}，讨论B、C 的情况，求出对应2a+b的值，比较得出最小值．解答：解：（1）证明：∵方程ax2+bx+c=bx+c，∴ax2=0，解得x=0，即A={0}；又∵A∩B≠∅，∴0∈B；把x=0代入方程f（x）=cx+a，即得a=c；（2）当c=1时，A={x|ax2=0}，B={x|ax2+（b﹣1）x+（1﹣a）=0}，C={x|ax2+（b﹣a）x+（1﹣b）=0}，∵集合T=A∪B∪C中恰有3个元素，∴a≠0，A={0}，∴0∈A∪B∪C；当0∈B时，1﹣a=0，解得a=1；∴B={x|x2+（b﹣1）x=0}={0，1﹣b}；∴C={x|x2+（b﹣1）x+1﹣b=0}={x|x=﹣}={}，且1﹣b≠0，△=（b﹣1）2﹣4（1﹣b）=0，解得b=﹣3，∴2a+b=2﹣3=﹣1；当0∈C时，1﹣b=0，解得b=1，∴C={0}；∴B={x|ax2+1﹣a=0}={，﹣}，此时a＞1或a＜0，∴2a+b=2a+1无最小值；当0∉B∪C时，若B=∅，则△=（b﹣1）2﹣4a（1﹣a）＜0，即（b﹣1）2＜4a（1﹣a）①；∴C={x|ax2+（b﹣a）x+（1﹣b）=0}，△=（b﹣a）2﹣4a（1﹣b）＞0，即（a+b）2＞4a②；∴2ab+2b﹣3a2＞1；若C=∅，则△=（b﹣a）2﹣4a（1﹣b）＜0，即（b﹣a）2＜4a（1﹣b）③；∴B={x|ax2+（b﹣1）x+（1﹣a）=0}，△=（b﹣1）2﹣4a（1﹣a）＞0，即（b﹣1）2＞4a（1﹣a）④；∴3a2﹣2ab﹣2b＞﹣1；若B≠∅且C≠∅时，则△=（b﹣1）2﹣4a（1﹣a）=0，即（b﹣1）2=4a（1﹣a）⑤；△=（b﹣a）2﹣4a（1﹣b）=0，即（a+b）2=4a⑥；∴2ab+2b﹣3a2=0；综上，2a+b的最小值是﹣1．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了集合的运算问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。
浙江省绍兴市2017年高考数学一模试卷
浙江省绍兴市2017年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，集合P={x|x2﹣2x≤0}，Q={y|y=x2﹣2x}，则P∩Q为（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[0，+∞）D．[﹣1，+∞）2．设x＞0，则“a=1”是“x+≥2恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．为了得到函数的图象y=sin（3x+1），只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α B．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊α D．若a∥α，α⊥β，则a⊥β5．设{a n}是等比数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞06．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（）A．两段圆弧B．两段椭圆弧C．两段双曲线弧D．两段抛物线弧7．如图，焦点在x轴上的椭圆+=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|=4，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）与g（x）的定义域为R，且f（x）单调递增，F（x）=f（x）+g（x），G （x）=f（x）﹣g（x）．若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），不等式[f（x1）﹣f（x2）]2＞[g（x1）﹣g（x2）]2恒成立．则（）A．F（x），G（x）都是增函数B．F（x），G（x）都是减函数C．F（x）是增函数，G（x）是减函数D．F（x）是减函数，G（x）是增函数二、填空题(本大题共7小题，第9,10,11,12题每空3分。
2018年浙江省绍兴市高考一模数学试卷【解析版】
2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，1] 2．（4分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝i，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（4分）如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（4分）已知a∈R，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）若x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为（）A．04B．3C．D．26．（4分）在△ABC中，内角C为钝角，，AC＝5，，则BC＝（）A．2B．3C．5D．107．（4分）如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点．若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且（t∈R），则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．8．（4分）已知a∈R，函数f（x）满足：存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．则f（x）可以为（）A．f（x）＝lgx B．f（x）＝﹣x2+2xC．f（x）＝2x D．f（x）＝sin x9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝θ，M为AB的中点．将△ACM沿着CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A．B．C．D．10．（4分）已知x∈（0，），y∈（0，），且x tan y＝2（1﹣cos x），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，＝，＝．（用数字作答）12．（6分）若离散型随机变量X的分布列为则常数a＝，X的数学期望E（X）＝．13．（6分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2＝S6，，则a1＝，公差d＝．14．（6分）已知正数x，y满足2x+y＝2，则当x＝时，取得最小值为．15．（4分）某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有种不同值班方案．（用数字作答）16．（4分）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB＝，则的最大值为．17．（4分）已知a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，，．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求直线P A与平面ABC所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝4ax3+3|a﹣1|x2+2ax﹣a（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，恒有|f（x）|≤f（1），求a的取值范围．21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．22．已知数列{a n}满足：，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设b n＝1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．（1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，1]【解答】解：集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：B．2．（4分）已知i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝i，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+i）z＝i，得z＝，则|z|＝||＝．故选：C．3．（4分）如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体左侧是半球，右侧是圆柱，几何体的体积V＝π×13+π×12×2＝．故选：B．4．（4分）已知a∈R，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，当a＝0时，f（x）＝x2，为偶函数，则“a＝0”是“f （x）＝x2+ax是偶函数”的充分条件，若“f（x）＝x2+ax是偶函数”，则有f（﹣x）＝f（x），即x2﹣ax＝x2+ax，解可得a＝0，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的必要条件，则“a＝0”是“f（x）＝x2+ax是偶函数”的充分必要条件，故选：C．5．（4分）若x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为（）A．04B．3C．D．2【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域：将目标函数变形为y＝﹣3x+z，作出目标函数对应的直线，当直线过（1，0）时，直线的纵截距最小，z最大最大值为3+0＝3，故选：B．6．（4分）在△ABC中，内角C为钝角，，AC＝5，，则BC＝（）A．2B．3C．5D．10【解答】解：内角C为钝角，，可得cos C＝﹣＝﹣，在△ABC中，AC＝5，，由余弦定理可得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即45＝25+BC2﹣10•BC•（﹣），即BC2+8BC﹣20＝0，解得BC＝2（﹣10舍去），故选：A．7．（4分）如图，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，A为虚轴的一端点．若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且（t∈R），则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵（t∈R），由题意BF垂直于双曲线的渐近线y＝x，∵k BF＝﹣，∴﹣•＝﹣1，∴b2﹣ac＝0，∴c2﹣a2﹣ac＝0，∴e2﹣e﹣1＝0，∵e＞1，∴e＝．故选：D．8．（4分）已知a∈R，函数f（x）满足：存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．则f（x）可以为（）A．f（x）＝lgx B．f（x）＝﹣x2+2xC．f（x）＝2x D．f（x）＝sin x【解答】解：若存在x0＞0，对任意的x＞0，恒有|f（x）﹣a|≤|f（x0）﹣a|．即函数f（x）在（0，+∞）上存在最大值，分析给定的四个函数，A，B，C均不满足条件，故选：D．9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝θ，M为AB的中点．将△ACM沿着CM翻折至△A'CM，使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，把△A′CM继续旋转，一直旋转到平面ABC里面，这时A′在A″位置，这时∠AMN＝＝∠A″MN，，此时，∠A″MB是直线A′M和BM所成的最小角，∵＞不成立，∴θ的取值不可能为．故选：A．10．（4分）已知x∈（0，），y∈（0，），且x tan y＝2（1﹣cos x），则（）A．y＜B．＜y＜C．＜y＜x D．y＞x【解答】解：x∈（0，），y∈（0，），且x tan y＝2（1﹣cos x），可得x tan y＝4sin2＜4•＝x2，即tan y＜x，又x＜tan x，可得tan y＜tan x，即y＜x；由x tan y＝4sin2＞x tan⇔2sin x sin＞x sin⇔2sin x＞x，由y＝2sin x﹣x的导数为y′＝2cos x﹣1，x∈（0，），cos x∈（，1），则2cos x﹣1＞0，即函数y＝2sin x﹣x在x∈（0，）递增，可得2sin x＞x，即有y＞，可得＜y＜x，故选：C．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，＝20，＝35．（用数字作答）【解答】解：由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，故＝20，＝35故答案为：20，3512．（6分）若离散型随机变量X的分布列为则常数a＝，X的数学期望E（X）＝．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：2a+a＝1，解得a＝，E（X）＝＝．故答案为：，13．（6分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2＝S6，，则a1＝﹣14，公差d＝4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2＝S6，，∴2a1+d＝6a1+d，a1+2d﹣（a1+d）＝2，联立解得a1＝﹣14，d＝4．故答案为：﹣14，4．14．（6分）已知正数x，y满足2x+y＝2，则当x＝时，取得最小值为．【解答】解：根据题意，正数x，y满足2x+y＝2，则y＝2﹣2x，则＝+2x﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当2x2＝1，即x＝时，等号成立，则当x＝时，取得最小值2﹣2，故答案为：，．15．（4分）某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有1800种不同值班方案．（用数字作答）【解答】解：根据题意，5个人中必须有1人值2天班，据此分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，有C51C62＝75种安排方法，②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，有A44＝24种情况，则一共有75×24＝1800种不同值班方案；故答案为：1800．16．（4分）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB＝，则的最大值为．【解答】解：设△ABC的外接圆为⊙O′，则⊙O′的直径2R＝＝，∴R＝．以O′为圆心，以O′C为y轴建立平面坐标系如图所示：则＝（4，0）．∵∠AOB＝∠ACB＝，∴O的轨迹为优弧．设＝（a，b），显然当O为圆O′与x轴负半轴的交点时，a取得最大值，∴＝4a≤．故答案为：．17．（4分）已知a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，则a＝3或．【解答】解：a＞0，函数f（x）＝|x2+|x﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，可得f（0）≤2，即|a﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f（x）＝|x2﹣x+a﹣3|，﹣1≤x≤1，由f（x）的最大值在顶点或端点处取得，即f（﹣1）＝2，即|a﹣1|＝2，解得a＝3或﹣1（舍去）；f（1）＝2，即|a﹣3|＝2，解得a＝5或a＝1；f（）＝2，即|a﹣|＝2，解得a＝或（舍去）．当a＝1时，f（x）＝|x2﹣x﹣2|，当x＝时，f（x）＝＞2，不符题意；当a＝5时，f（x）＝|x2﹣x+2|，显然当x＝﹣1时，取得最大值4，不符题意；当a＝3时，f（x）＝|x2﹣x|，显然当x＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；当a＝时，f（x）＝|x2﹣x﹣|，f（1）＝，f（﹣1）＝，f（）＝2，符合题意．故答案为：3或．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若，且，求f（2x0）的值．【解答】解：（Ⅰ）＝．即．所以f（x）的最小正周期T＝π．（Ⅱ）由，得，又因为＝，所以，即．所以＝＝．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝CA＝2，，．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求直线P A与平面ABC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AC的中点O，连结PO，BO．因为△ABC为正三角形，所以AC⊥BO；因为P A＝PC，所以AC⊥PO．又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面BOP，所以AC⊥平面BOP．因为PB⊂平面BOP，所以AC⊥PB．解：（Ⅱ）解法一：过点P作BO的垂线，垂足为H，连结AH．因为AC⊥平面BOP，AC⊂平面ABC，所以平面BOP⊥平面ABC，又平面BOP∩平面ABC＝BO，PH⊂平面BOP，故PH⊥平面ABC．所以直线P A与平面ABC所成角为∠P AH．在△BOP中，PO＝1，，，由余弦定理得＝，所以∠POB＝150°．所以∠POH＝30°，．又，故＝，即直线P A与平面ABC所成角的正弦值为．解法二：如图，以O原点，以OA，OB为x，y轴建立空间直角坐标系．可求得∠BOP＝150°，则A（1，0，0），，C（﹣1，0，0），．平面ABC的一个法向量为，．设直线P A与平面ABC所成角为θ，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为．20．已知函数f（x）＝4ax3+3|a﹣1|x2+2ax﹣a（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，恒有|f（x）|≤f（1），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝4x3+2x﹣1，f'（x）＝12x2+2＞0．故f（x）在R上单调递增．（Ⅱ）由于|f（0）|≤f（1），即|a|≤5a+3|a﹣1|，解得a≥﹣1．①当a≥0时，f'（x）＝12ax2+6|a﹣1|x+2a，当x∈[0，1]时，f'（x）≥0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，符合题意．②当时，f'（0）＝2a＜0，f'（1）＝8a+6＞0，存在x0∈（0，1），使得f'（x0）＝0，故f（x）在（0，x0）单调递减，f（x）在（x0，1）单调递增．因为+6（1﹣a）x0+2a＝0，所以，+2ax0﹣a＝＝．由单调性知|f（x0）|＝f（x0）＜f（1）．符合题意．③当时，，，f（x）在上递减，在上递增，且．符合题意．④当时，f'（x）＝12ax2+6（1﹣a）x+2a，△＝﹣60a2﹣72a+36＞0，f'（0）＜0，f'（1）＜0，对称轴．故f'（x）＝0在（0，1）内有两个不同的实根x1，x2，设x1＜x2，则f（x）在（0，x1）单调递减，f（x）在（x1，x2）单调递增，f（x）在（x2，1）单调递减．必有f（x2）＞f（1），不符合题意．综合①②③④，所以a的取值范围是．21．已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则e＝，即a＝2b．又，所以b＝1，a＝2．所以椭圆M的方程为．（Ⅱ）设P（x0，y0），C（s，0），D（0，t），其中s＜0，t＜0．因为A（2，0），B（0，1），所以，，得，．又四边形ABCD的面积为2，得（2﹣s）（1﹣t）＝4，代入得，即＝4（x0﹣2）（y0﹣1），整理得．可知点P在第三象限的椭圆弧上．设与AB平行的直线（m＜0）与椭圆M相切．由消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2＝0，△＝8﹣4m2＝0，．所以点P到直线AB的距离的最大值为＝．22．已知数列{a n}满足：，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设b n＝1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）设f（x）＝e x﹣x﹣1，令f'（x）＝e x﹣1＝0，得到x＝0．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．故f（x）≥f（0）＝0，即e x≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）．故，所以a n+1＞a n．解：（Ⅱ）先用数学归纳法证明．①当n＝1时，．②假设当n＝k时，不等式成立，那么当n＝k+1时，＝，也成立．故对n∈N*都有．所以．取n＝2t﹣1（t∈N*），b1+b2+…+b n＝．即b1+b2+…+b n．所以，对任意实数M＞0，取t＞2M，且t∈N*，n＝2t﹣1，则b1+b2+…+b n＞M．故不存在满足条件的实数M．。
高考绍兴一中高三数学(文科)模拟试卷(二模文)
绍兴一中高三数学〔文科〕模拟试卷本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,共150分,测试时间120分钟. 参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 (1)k k n kn n P C P P -=-()()()P A B P A P B +=+ 球的外表积公式 如果事件A 、B 相互独立,那么 24R S π=()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那 334R V π=么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径第一卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．直线013=-+y x 的倾斜角为〔 C 〕A ．030 B ．060 C ．0120 D ． 01502、集合A={2,a －1,a 2},B={9,－4,1－a }.如果A ∩B={9},那么a 的值为〔 C 〕 A ． 3 B ．—3 C ．10 D ．—103．奇函数)(x f 的定义域为[—2,a],假设3)2(=-f ,那么)(a f 的值为〔 B 〕A ．3B ．—3C ．31D ．31- 4．函数)0()21(1>+=x y x的反函数是〔 B 〕A ．)21()1(log 2<<-=x x yB ．)21(11log 2<<-=x x yC ．)2()1(log 2>-=x x yD ．)2(11log 2>-=x x y5．向量)2,1(-=a ,),2(x b =,)3,(-=x c ,假设b a //,那么||c 等于〔 D 〕 A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 6．二项式7)1(x -的展开式中,系数最大的项是〔 C 〕A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第四项或第五项7．平面βα,都垂直于平面γ,且.,b a ==γβγα 给出以下四个命题：①假设βα⊥⊥则,b a；②假设βα//,//则b a ；③假设b a ⊥⊥则,βα；④假设b a //,//则βα.其中真命题的个数为 〔 A 〕 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8. 在如下图的表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数列,每一列成等比数列,那么a ＋b ＋c 的值为 ( D ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．19. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2224a x y -=有相同的焦点,那么椭圆的离心率为( A )A.22 B. 12C. 63D.6610 x y 满足y ax z x y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-若306的最大值为93+a ,最小值为,33-a 那么a 的范围为〔 C 〕A 1≥aB 1-≤aC 11≤≤-aD 11-≤≥a a 或第二卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题,每题4分,共16分. 11．二项式6)2(xx +的展开式中常数项的值为____60____. 12．椭圆⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x 的左焦点到右准线的距离为33713．如图,线段AB 在平面α内,线段AC α⊥,线段BD AB ⊥,线段DD α'⊥,3,4,AB AC BD ===5CD =那么BD 与平面α所成的角的大小为30︒;14．某单位有六个科室,现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生,现要将这四名大学生安排到其中的两个科室且每科室2名,那么不同的安排方案种数为 90 (用数字作答). 三、解做题：本大题共6小题,每题14分,共84分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤. 15．函数()sin()cos 6f x x x π=+,〔1〕求)(πf 的值；〔2〕求函数()f x 的最大值及相应的x 的集合；xy O12π-11 2 0.5 1 a bc〔3〕画出函数)(x f 在]1211,12[ππ-内的图像; 解：〔1〕21)(=πf ； 〔2〕231()sin()cos sin cos cos 622f x x x x x x π=+=+ 311sin 2cos 2444x x =++11sin(2)264x π=++…………………………………4分 当22()62x k k Z πππ+=+∈时,()f x 的最大值为34,此时x 的集合为{()}6x x k k Z ππ=+∈…8分 〔3〕列表：26x π+2π π32π 2πx12π-6π 512π 23π 1112π()f x14341414- 14描点：连线：〔略〕……………………………………………………14分 16设S n 是首项为4, 公差d ≠0的等差数列{ a n }的前n 项和,假设31S 3和41S 4的等比中项为51S 5. 求: 〔1〕{ a n }的通项公式a n ； 〔2〕使S n > 0的最大n 值.解：由条件得: 25122543S S S =, …………4分 ∵S n = a 1n +21n 〔n – 1〕d,∴0)512(=+d d , ∵d ≠ 0 ,得512-=d ,∴a n = 53212+-n . ………………9分〔2〕由a n = 53212+-n ≥0,得n ≤38, ∴n = 2时, S n 取最大值,∴使S n > 0的最大n 的值为4. ……………… 14分17．正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1底面边长为2,AA 1=4,点E 在AA 1上,AC 与BD 交于点O ；〔1〕假设EA=2,求证：A 1C//平面EBD ；〔2〕假设EA=3,求二面角A —DE —B 的正切值；〔3〕在AA 1上是否存在点E,使异面直线EB 与AC 所成的角为300？假设存在,试确定E 点的位置,否那么说明理由. 解：〔1〕证实A 1C//EO 即可；〔2〕313 〔3〕不存在,可用向量法；18.经统计,(1) 每天不超过20(2) 一周7天中,假设有3天以上〔含3天〕出现超过15人排队结算的概率大于0.75,医院就需要增加结算窗口,请问该医院是否需要增加结算窗口？ 解：〔1〕每天不超过20人排队结算的概率为:P=0.1+0.5+0.25+0.25=0.75,即不超过20人排队结算的概率为0.75.------------4分〔2〕每天超过15人排队结算的概率为:0.25+0.2+0.25=21,-------------8分 一周7天中,没有出现超过15人排队结算的概率为C 07〔21〕7；一周7天中,有一天出现超过15人排队结算的概率为C 17〔21〕〔21〕7；一周7天中,有二天出现超过15人排队结算的概率为C 27〔21〕2〔21〕5；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：1-［C 07(21)7+C 17(21)(21)6+C 27(21)2(21)5］=12899＞0.75,---------13分 所以,该医院需要增加结算窗口.--------------14分19．函数0)(23=+++=x d cx bx ax x f 在处取得极值,曲线)(x f y =过原点O 〔0,0〕和点P 〔－1,2〕,假设曲线)(x f y =在点P 处的切线l 与直线x y 2=的夹角为45°,且l 的倾斜角为钝角. 〔Ⅰ〕求)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕假设)(x f 在区间[2m －1,m+1]上是增函数,求m 的取值范围. 解：〔I 〕∵曲线)(x f y =过原点,所以d=0； ,)(0,23)(2的极值点是且x f x c bx ax x f =++=' .0,0)0(=∴='∴c f∵过点P 〔－1,2〕的切线l 的斜率为,23)1(b a f -=-'⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+-⎩⎨⎧-=-'=-=-'∴=-'-=-'∴=-'+-'-.3,1323,2,3)1(,2)1(.31)1(,31)1(,3)1(,1|)1(21)1(2|b a b a b a f f f l f f f f 得由舍去的倾斜角为钝角由夹角公式得233)(x x x f +=∴ 〔a,b,c,d 每求对一个得2分,共8分〕〔II 〕),2(363)(2+=+='x x x x x f .20,0)2(3,0)(-<>∴>+>'x x x x x f 或即令⎩⎨⎧+<-≥-⎩⎨⎧+<--≤+∴-----+∞⊆+---∞⊆+-∴+--------+∞--∞∴1120121122112);,0[]1,12[]2,(]1,12[,]1,12[)(10);,0[]2.()(m m m m m m m m m m m m x f x f 或分或上是增函数在分和的增区间为.2213<≤-≤∴m m 或 ——————————14分20．在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(1,3)M -,(5,1)N ,假设点C 满足(1)()OC tOM t ON t R =+-∈,点C 的轨迹与抛物线24y x =交于A 、B 两点； 〔1〕求点C 的轨迹方程； 〔2〕求证：OA OB ⊥；〔3〕在x 轴正半轴上是否存在一定点(,0)P m ,使得过点P 的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍,假设存在,求出m 的值；假设不存在,请说明理由.解：〔1〕设(,)C x y ,由(1)OC tOM t ON =+-知,点C 的轨迹为4y x =-…2分〔2〕由244y x y x=-⎧⎨=⎩消y 得：212160x x -+=设11(,)A x y ,22(,)B x y ,那么1216x x =,1212x x +=………………………………5分 所以1212(4)(4)16y y x x =--=-,所以12120x x y y +=,于是OA OB ⊥………………7分〔3〕假设存在过点P 的弦EF 符合题意,那么此弦的斜率不为零,设此弦所在直线的方程为x ky m =+由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩消x 得：2440y ky m --=,设33(,)E x y ,44(,)F x y , 那么344y y k +=,344y y m =-……………………10分由于过点P 作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍,所以OE OF ⊥即34340x x y y +=所以223434016y y y y +=得4m =,所以存在4m =……………………………………14分。
浙江省绍兴市鲁迅中学2017届高考数学模拟试卷及解析
浙江省绍兴市鲁迅中学2017届高考数学模拟试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）设集合A={﹣1，0，2}，集合B={﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，则B=（）A．{1} B．{﹣2} C．{﹣1，﹣2} D．{﹣1，0}2．（4分）已知复数z=，i为虚数单位，则|z|=（）A．9 B．3 C．D．93．（4分）已知平面α⊥平面β，α∩β=b，a⊂α，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知直线l是函数f（x）=2ln x+x2图象的切线，当l的斜率最小时，直线l的方程是（）A．4x﹣y+3=0 B．4x﹣y﹣3=0 C．4x+y+3=0 D．4x+y﹣3=05．（4分）函数y=sin x||（0＜x＜π）的图象大致是（）A．B．C． D．6．（4分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）7．（4分）设ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1＜x2，现已知：Eξ=，Dξ=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．8．（4分）设f（x）的定义域是R，则下列命题中不正确的是（）A．若f（x）是奇函数，则f（f（x））也是奇函数B．若f（x）是周期函数，则f（f（x））也是周期函数C．若f（x）是单调递减函数，则f（f（x））也是单调递减函数D．若方程f（x）=x有实根，则方程f（f（x））=x也有实根9．（4分）已知单位向量，，且•=0，若t∈[0，1]，则|t（﹣）+|+|+（1﹣t）（﹣）|的最小值为（）A．B．C．D．110．（4分）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面有（）A．6个B．12个C．16个D．18个二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．（6分）抛物线y2=mx（m＜0）的焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则m=，抛物线的准线方程为．12．（6分）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A+sin2A=2，b=1，S△ABC=，则A=，=．13．（6分）从一个正方形中截去部分几何体，得到一个以原正方形的部分顶点的多面体，其三视图如图，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）已知数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，若a1=1，a2=2，且数列{a n}的前10项和S10=75，则d1=，a8=．15．（4分）学校5月1号至5月3号拟安排6位老师值班，要求每人值班1天，每天安排2人，若6位老师中，甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班方法数为．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为．17．（4分）设函数f（x）=|log2x+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最大值为M t（a，b），若{b|M t（a，b）≥1+a}=R，则实数t的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（14分）已知函数，（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）若f（x）＜m+2在上恒成立，求实数m的取值范围．19．（15分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB 的中点，P A⊥平面ABCD，PC与平面P AD所成的角的正弦值为．（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（15分）已知函数f（x）=ln x﹣．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设m＞n＞0，求证：ln m﹣ln n＞．21．（15分）已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P （﹣1，0）．（1）证明线段AB的中点M在定直线上；（2）求线段AB长度的最大值．22．（15分）已知数列{a n}满足，a1=1，a n=﹣．（1）求证：a n≥；（2）求证：|a n+1﹣a n|≤；（3）求证：|a2n﹣a n|≤．参考答案及解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A【解析】∵集合A={﹣1，0，2}，集合B={﹣x|x∈A，且2﹣x∉A}，﹣1∈A，且2﹣（﹣1）=3∉A，故1∈B；0∈A，但2﹣0=2∈A，不满足题意；2∈A，但2﹣2=0∈A，不满足题意；故B={1}，故选A．2．B【解析】∵z==，∴|z|=．故选B．3．C【解析】由平面α⊥平面β，α∩β=b，a⊂α，则a⊥b能推出a⊥β，由平面α⊥平面β，α∩β=b，a⊂α，则a⊥β能推出a⊥b，故“a⊥b”是“a⊥β”的充要条件，故选C.4．B【解析】函数f（x）=2ln x+x2，x＞0，可得f′（x）=+2x≥2=4，当且仅当x=1时取等号，直线l是函数f（x）=2ln x+x2图象的切线，l的斜率最小值为4，切点坐标（1，1），直线l的方程是：y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0．故选B．5．B【解析】∵函数y=sin x||（0＜x＜π），∴函数y=，∴根据余弦函数的图象可得其图象为：故选B．6．A【解析】∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选A．7．C【解析】∵Eξ=，Dξ=，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，∴①2×3 ②由①②可得x1+x2=3故选C．8．C【解析】函数f（x）的定义域是R．对于A，若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），∴f（f（﹣x））=f（﹣f（x））=﹣f（f（x）），则f（f（x））也是奇函数，故A正确；对于B，若f（x）是周期函数，不妨设正确为T，则f（T+x）=f（x），∴f（f（T+x））=f（f（x）），则f（f（x））也是周期函数，故B正确；对于C，若f（x）是单调递减函数，则f（f（x））也是单调递减函数不正确，如f（x）=﹣x，则f（f（x））=f（﹣x）=x；对于D，若方程f（x）=x有实根，不妨设其实根为x0，则f（x0）=x0，∴f（f（x0））=f（x0）=x0，即x0也是方程f（f（x））=x得实根．∴不正确的命题是C，故选C．9．B【解析】如图，设，，∴，，∴t（﹣）+=t（﹣1，1）+（1，0）=（1﹣t，t），+（1﹣t）（﹣）==（0，）+（1﹣t，t﹣1）=（1﹣t，t﹣），∴|t（﹣）+|+|+（1﹣t）（﹣）|=．其几何意义为动点P（t，t）到两定点C（1，0）与D（1，）距离的和，如图，点D关于直线y=x的对称点为G（），其最小值为|GC|==．故选B．10．D【解析】作正四面体A﹣BCD的高AO，连接BO交CD于E，连接AE．则E为CD的中点，O为等边三角形BCD的中心．∴BE⊥CD，AE⊥CD，∴∠AEB为二面角A﹣CD﹣B的平面角．设AB=2，则BE=，∴OE=BE=，OB=BE=．∴AO=，则tan∠AEB==．∵tan75°=tan（45°+30°）=2+＞2，∴∠AEB＜75°．在平面BCD内，以O为圆心，以OA•tan75°为半径作圆O，则圆O在△BCD内部．∴若截面AMN与底面BCD所成角为75°，则截面AMN与平面BCD的交线为圆O的切线．（1）若圆O的切线与△BCD的一边平行，如图1所示：则存在6个符合条件的截面三角形AMN．（2）若圆O的切线过三角形的顶点，不妨设过点B，交CD于M，如图2所示：则由△ACM≌△BCM可得AM=BM，故截面ABM为符合条件的截面三角形，显然存在6个这样的截面三角形．（3）若圆O的切线MN与三角形BCD的两边相交，不妨设与NC交于M，与CD交于N，且BM=CN，如图3所示：显然△ABM≌△ACN，故而AM=AN，∴截面AMN为符合条件的截面三角形．显然这样的截面也有6个．综上，符合条件的截面共有18个．故选D．二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．﹣12x=3【解析】双曲线﹣=1的左焦点（﹣3，0），抛物线y2=mx（m＜0）的焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，可得抛物线的焦点坐标（﹣3，0），可得m=﹣12．抛物线方程为：y2=﹣12x．抛物线的准线方程为x=3．故答案为：﹣12；x=3．12． 2【解析】∵2cos2A+sin2A=2，可得：cos2A+sin2A=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，可得：2A+∈（，），∴2A+=，可得：A=．∵b=1，S△ABC==bc sin A=，∴c=2，∴由余弦定理可得：a===，∴===2．故答案为：，2．13．9【解析】由三视图还原原几何体如图，原几何体是把正方体AC1截去三棱柱A1AB﹣D1DC，再把剩余的三棱柱A1B1B﹣D1C1C截去三棱锥C1﹣D1B1C得到．其体积为V=；表面积S=3×+3×+=．故答案为：9，．14．311【解析】（1）∵数列{a n}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列，且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，a1=1，a2=2，且数列{a n}的前10项和S10=75，∴5×1+d1+×d2=75，化为：d1+d2=6．且对任意n∈N*，都有a n＜a n+1，其中d1，d2为整数．a2k﹣1＜a2k＜a2k+1，1+（k﹣1）d1＜2+（k﹣1）d2＜1+kd1，取k=2时，可得1+d1＜2+d2＜1+2d1．∴d1=3=d2．∴a8=a2+3d2=2+3×3=11．故答案分别为：3，11．15．42【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、若甲乙同组，则甲乙只能安排在5月1号，此时在剩下的4人中任选2人安排在5月2号，最后2人安排在5月3号即可，有C42=6种安排方法；②、若甲乙不同组，需要在4人中任选一人与甲同组，在剩下3人中选取1人与乙同组，有C41C31=12种情况，最后2人组成1组，若甲所在的组分在5月3号，则乙所在的组有2种情况，最后2人组成的1组有1种情况，此时有2种情况，若甲所在的组分在5月1号，则乙所在的组有1种情况，最后2人组成的1组有1种情况，此时有2种情况，则此时有12×（2+1）=36种安排方法；则不同的安排值班方法数为6+36=42种；故答案为：42．16．[0，]【解析】设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故答案为：[0，]．17．【解析】由题意：f（x）=|log2x+ax+b|（a＞0）在区间[t，t+2]（t为正数）上的最大值为M t （a，b），转化为f（x）max={f（t），f（t+2）}，当f（t）=f（t+2）时，则有：﹣（log2t+at+b）=log2（t+2）+a（t+2）+b那么：b=…①当t＞x0或t＜x0时，f（x）max＞f（t）或f（x）max＞f（t+2）.∴只需要f（t）≥1+a，即：﹣（log2t+at+b）≥1+a得：b≤﹣log2t﹣at﹣1﹣a…②把①式代入②，得：≤﹣log2t﹣at﹣1﹣a，化为：≥2，∴≥4，解得．∴t的最大值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．解：（1）=1﹣cos（﹣2x）﹣cos2x=1﹣sin2x﹣cos2x=1﹣2sin（2x+），故最小正周期T==π，由﹣+2kπ≤2x++2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），所以函数f（x）的最小正周期为π，单调减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）x∈[0，]，则2x+∈[，]，则sin（2x+）∈[，1]，则f（x）∈[﹣1，1﹣]，即f（x）在上的值域为[﹣1，1﹣]．因为f（x）＜m+2在上恒成立，所以m+2＞1﹣，解得m＞﹣1﹣．所以实数m的取值范围为（﹣1﹣，+∞）．19．解：（1）分别取PD，PC的中点F，G，则FG∥CD∥AB，，∴四边形AEGF为平行四边形，则AF∥EG，又FG⊂平面PEC，∴AF∥平面PEC，∴PD的中点F即为所求；（2）由P A⊥平面ABCD，可得平面P AB⊥平面ABCD，∵E为AB中点，且BC=2BE=2，∠CBE=60°，∴CE⊥AB．∴∠CPE即为PC与平面P AB所成的角，在Rt△PEC中，，即，解得：P A=2，过D作BA的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DH，又DH⊥BA，∴DH⊥平面PBA，∴DH⊥PE，则PE⊥平面DHK，得PE⊥DH，∴∠DKH即为所求的二面角的平面角，在Rt△DHK中，，由于PE•HK=EH•P A，∴，从而，∴，即二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．解：（1）函数f（x）=ln x﹣，可得，…（2分）因为f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，…（5分）即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）恒成立，所以在（0，+∞）恒成立，因为，当且仅当x=1等号成立，所以2a﹣2≤2，解得：a≤2．…（8分）（2），…（10分）设，由（1）可知h（x）在（0，+∞）单调递增，因为，所以h（m）＞h（1）=0，…（13分）即，所以原等式成立．…（15分）21．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（﹣2，0），在直线y=0，…（2分）当AB与x轴不垂直时，两式相减，得，即，…（6分）所以x0=﹣2，即M在直线x=﹣2上．…（7分）（2）当AB与x轴垂直时，，…（9分），∴x1+x2=﹣4，，∴=…（14分）∴．…（15分）22．证明：（1）∵a1=1，a n=﹣．∴a2=，a3=，a4=，猜想：≤a n≤1．下面用数学归纳法证明．（i）当n=1时，命题显然成立；（ii）假设n=k时，≤1成立，则当n=k+1时，a k+1=≤＜1．，即当n=k+1时也成立，所以对任意n∈N*，都有．（2）当n=1时，，当n≥2时，∵，∴．（3）当n=1时，|a2﹣a1|=＜；当n≥2时，|a2n﹣a n|≤|a2n﹣a2n﹣1|+|a2n﹣1﹣a2n﹣2|+…+|a n+1﹣a n|．。
2018年浙江省高考文科数学模拟考试试卷 (3)
2018年浙江省高考文科数学模拟考试试卷一．填空题 (本大题满分50分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得5分，否则一律得零分.1．函数x y 5.0log =的定义域为___________. 2．若21cot -=α，则tan2α的值为 ． 3．增广矩阵为⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛851231 的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．4．若9)12(-x 展开式的第9项的值为12，则)(lim 2nn x x x +++∞→ = ．5、函数|ln ||1|x y ex =--的图象大致是 …………………………（ ）6、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点， 则MN 的最大值为 …………………………（ ） A ．1B ．2 CD7．设圆C 与双曲线221916x y -=的渐近线相切，且圆心在双曲线的右焦点，则圆C 的标准方程为 .8．设,,x y z 为正实数，满足02=+-z y x ，则2y xz的最小值是 ．9．方程1312sin-=x xπ的实数解的个数为 10．如图是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是_________．第10题图 二．选择题（本大题满分15分）本大题共有3题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错一律得零分．11．已知复数1z i =-，则=--122z zz …………………………………………………（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-12．已知向量a 和的夹角为︒120，2||=a ，且a b a ⊥+)2(，则=||b ……………( ) A ．6 B ．7C ．8D ．913．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是………………………………………（ ）A ．10πB ．11πC ．12πD ．π13三．解答题 (本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.14．（本小题满分14分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ABCD ⊥底面，2OA =，M 为OA 的中点．（Ⅰ）求四棱锥O ABCD -的体积； （Ⅱ）求异面直线OB 与MD 所成角的大小．15．（本小题满分15分） 如图，AB 是山顶一铁塔，C 是地面上一点．若已知塔高为h ，在A处测得C 点的俯角为α，在B处测得C 点的俯角为β． 求证：山高βαβtan tan tan -=h H ．[解]俯视图 正(主)视图 侧(左)视图16．（满分18分）设xx a x f 212)(+-=，其中实常数1->a ． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域和值域；（Ⅱ）试研究函数)(x f 的基本性质，并证明你的结论．17．（本小题满分18分） 已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且l AB //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．17．（本小题满分20分）将数列{}n a 中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a……记表中的第一列数1a ，4a ，8a ，… ，构成数列{}n b ． （Ⅰ）设m a b =8，求m 的值；（Ⅱ）若11=b ，对于任何*∈N n ，都有0>n b ，且0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n ．求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{}n b ，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(>q q 的等比数列，且5266=a ，求上表中第k （*∈N k ）行所有项的和)(k S ．高三数学（文）学科模拟考试参考答案与评分标准一．填空题：1．]1,0(； 2．43； 3．)1,3(- 4．2； 5．4； 6．45； 7．16)5(22=+-y x ； 8．8； 9．3； 10．)316,0(．二．选择题：11．B ； 12. C ； 13. C ．三．解答题： 15．解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD 的面积4=S ，……………………………2分所以，求棱锥ABCD O -的体积382431=⨯⨯=V ………………………………………4分 （Ⅱ）方法一（综合法）设线段AC 的中点为E ，连接ME ，则EMD ∠为异面直线OC 与MD 所成的角（或其补角） ………………………………..1分 由已知，可得5,3,2===MD EM DE ，222)5()3()2(=+DEM ∆∴为直角三角形 ……………………………………………………………….2分 32tan ==∠∴EMDEEMD ， ……………………………………………………………….4分323arctan=∠∴EMD ． 所以，异面直线OC 与MD 所成角的大小323arctan ． …………………………..1分方法二(向量法)以AB,AD,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，则)0,2,0(),1,0,0(),0,2,2(),2,0,0(D M C O , ……………………………………………………2分)2,2,2(-=，)1,2,0(-=MD ， (2)分设异面直线OC 与MD 所成角为θ，515||||cos =⋅=MD OC θ．……………………………….. …………………………3分∴OC 与MD 所成角的大小为515arccos ．…………………………………………………1分16．[解一]由已知，在ABC ∆中，βα-=∠C ，απ-=∠2A ， (2)分由正弦定理，得⇒-=-)sin()2sin(βααπABBC )sin(cos βαα-=h BC ……………………………6分因此，)s i ns i nc o s βαβα-=h H βαβαβαs ic o c o s i ns ic o -=h …………………………………………5分βαβtan tan tan -=h ． (2)分[解二] 延长AB 交地平线与D ，…………………………………………………………………3分 由已知，得222)sin ()cot ()(αβh H H h H +=++…………………………………………………4分 整理，得βαβtan tan tan -=h H ………………………………………………………………………8分17．[解]（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R …………………………………………………………2分121121221)(+++-=++--=x x x a x f ，当1->a 时，因为02>x，所以112>+x ，11210+<++<a a x，从而a x f <<-)(1，……………………………………………………..4分所以函数)(x f 的值域为),1(a -．………………………………………………………………..1分（Ⅱ）假设函数)(x f 是奇函数，则，对于任意的R x ∈，有)()(x f x f -=-成立，即10)12)(1(212212=⇔=+-⇔+--=+---a a a a xxx x x ∴当1=a 时，函数)(x f 是奇函数． (3)分当1->a ，且1≠a 时，函数)(x f 是非奇非偶函数．………………………………………….1分对于任意的R x x ∈21,，且21x x <，-)(1x f )(2x f 0)21)(21()12(2)1(21121>++-+=-x x x x x a ……………………………………………..4分∴当1->a 时，函数)(x f 是递减函数． (1)分18．[解]（Ⅰ）因为l AB //，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．1分设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=． ……………………………………………..4分 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． ……………………………………….3分（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+， ……………………………………………..1分由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． …………………………………..2分 因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>． ………………….. …………..1分设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．……………………………………………..3分又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =……………..2分所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．…………………..2分 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． ……………………………………………..1分17．[解]（Ⅰ）由题意，4319876543=+++++++=m ……………………………6分（Ⅱ）解法1：由11=b 且0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n 知012222=-+b b ，02>b ，212=∴b 012323=-+b b ，03>b ，213=∴b因此，可猜测nb n 1=（*∈N n ） (4)分 将n b n 1=，111+=+n b n 代入原式左端得 左端11+=n n 1-0)1(1=++n n 即原式成立，故nb n 1=为数列的通项．……………………………………………………….3分用数学归纳法证明得3分解法2：由 0)1(1221=+-+++n n n n b b nb b n ，0>n b令nn a a t 1+=得0>t ，且0)1(2=-++n t t n 即0])1)[(1(=-++n t n t ，……… ……………………………………………………………..4分 所以11+=+n nb b n n 因此2112=b b ，3223=b b ，．．．，nn b b n n 11-=- 将各式相乘得nb n 1=………………………………………………………………………………3分 （Ⅲ）设上表中每行的公比都为q ，且0q >．因为6311543=+⋅⋅⋅+++，所以表中第1行至第9行共含有数列{}n b 的前63项，故66a 在表中第10行第三列，………2分因此5221066=⋅=q b a ．又10110=b ，所以2q =．…………………………………..3分则)12(11)1()(22-=--=++k k k kq q b k S ．*∈N k …………………………………………2分。
浙江省绍兴市第一中学2017-2018学年高三上学期回头考试数学试卷 Word版含答案
绍兴一中2017-2018学年第一学期回头考试高三数学一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝( )A ． fB ．{2}C ．{5}D ．{2,5} 2． 计算的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设4log a p =，14log b p =，c = π4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． a ＞c ＞bB ． b ＞c ＞aC ． c ＞b ＞aD ． c ＞a ＞b 4．已知{a n }为各项都是正数的等比数列，若a 4•a 8=4，则a 5•a 6•a 7=（ ） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 645．下列各式中不能化简为AD →的是( )A. AB →＋CD →＋BC →B. AD →＋EB →＋BC →＋CE →C. MB →－MA →＋BD →D. CB →＋AD →－BC →6．若直线x+y=2与曲线（x ﹣4）2+y 2=a 2（a ＞0）有且只有一个公共点，则a 的值为（ ） A ． 1 BC ． 2D ． 47．已知p 、q 是简单，则“p ∧q 是真” 是 “¬p 是假” 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 39．已知,a b 为异面直线．对空间中任意一点P ，存在过点P 的直线（ ）A. 与,a b 都相交B. 与,a b 都垂直C. 与a 平行，与b 垂直D. 与,a b 都平行 10. 函数x ax x f +=||)(（其中R ∈a ）的图象不可能．．．是（ ）11．若实数x ，y 满足不等式组330101x y x y y ì+-?ïï-+?íï?ïî，则z=2|x|+y 的取值范围是（ ）A ． [－1，3]B ． [1，11]C ． [1，3]D ． [－1，11]俯视图(第8题图)AC12．定义在R 上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)．当x ∈[﹣3，﹣1）时，2()(2)f x x =-+，当x ∈[﹣1，3）时，f(x)=x ，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)的值为（ ）A ． 336B ． 355C ． 1676D ． 201613. 在ABC ∆中，D 在边AC 上，AB=4，AC=6，BD=，BC =A+CBD ∠∠=( ) A ．3p B ．2pC ．23pD ．512p14．已知非零向量，满足||=1，与－的夹角为120°，则||的取值范围是（ ）A. B. (1,2] C. (0,1] D. 1[2 15．已知不等式2log 0a x x -<，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1(0,]16D ．1(0,]416.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)虚轴上的端点B (0,b )，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且PF BP //，则该双曲线的离心率为( )A. 5B.2C.1+32 D. 1+5217．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0=a 0⊕a 1，h 1=h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ． 11010 B ． 01100 C ． 10111 D ． 0001118．如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．给出下列四个： ①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有2个． ③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有且仅有4个． ④若p=q ，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确的序号为（ ）． A ．①②④ B ．①②③C ．②③D ．①③④二、填空题（共四小题，每空3分，共15分）19．已知正数x ，y 满足x+y=xy ，则x+y 的最小值是 ． 20．若双曲线=1（a ＞0，b ＞0）截抛物线y 2=4x 的准线所得线段长为b ，则a 的值为 ．21．已知函数f （x ）=．则f （x ）的最大值为 ；f （x ）在（0，π）上的单调递增区间为 ．22. 如图，设正△BCD 的外接圆O 的半径为)3321(<<R R ，点A 在BD 下方的圆弧上， 则AD AB ⋅||||(的最小值为 ．三、解答题（共3小题共31分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）23．如图，三棱柱ABC ﹣DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，AB=4，∠DEB=60°，G 是DE 的中点． （Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ； （Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P ﹣GE ﹣B 为45°，若存在，求BP 的长；若不存在，说明理由．CD24．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为，且椭圆C 上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．25．已知函数x ax x f +-=1)(2，R a ∈.(Ⅰ)若2=a ，且关于x 的不等式0)(≤-m x f 在R 上有解，求m 的最小值； (Ⅱ)若函数)(x f 在区间[3,2]-上不单调，求a 的取值范围．2016年9月绍兴一中高三数学回头考 答案一、选择题（共18小题，每小题3分，共54分）1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．B 10. C 11．D 12．A13. B 222AB +AC 1636401s 226co 44BC AB A A C -+-==⋅⨯⨯=，设AD=x ，由余弦定理，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ∙ADcosA,得24=16+x 2−4 x 即x 2−4x −8=0，解得x=4或x=−2（舍），∴CD=2.∵cosA=14，∴sinA，∴AB A C sin sinC B ===CDsin 1sin 4C CBD BD ∠===， ∵CD<BD,∴CBD ∠为锐角. ∴cosA= sin =sin()2CBD A π∠-,∴A+2CBD π∠∠= 14．A 15．A 16.D 17．C 18．B二、填空题（共四小题，每空3分，共15分） 19． 4 20．a=． 21．22. 21-三、解答题 23．（10分=3+3+4） 解：（Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ．因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ， 所以CE ∥平面AGF ． （Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB 中，∠GEB=60°，BG=．因为BG 2+BE 2=GE 2，所以GB ⊥BE ．因为侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，侧面BEFC ∩侧面ADEB=BE ，GB ⊂平面ADEB ，所以GB ⊥平面BEFC ．（Ⅲ）向量法：BG ，BE ，BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B ﹣xyz ． 假设在线段BC 上存在一点P ，使二面角P ﹣GE ﹣B 为45°． 平面BGE 的法向量m=（0，0，1），设P （0，0，λ），λ∈[0，1]．，E （0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE 的法向量为n=（x ，y ，z ），则，所以令z=1，得y=λ，，所以PGE 的法向量为．因为m •n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P ﹣GE ﹣B 为45°，且．几何法：略 24．（10分=3+7）解：（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：设直线AM 的方程为：y=k （x+2），则N （0，2k ）． 由得（1+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣4=0（*）．设A （﹣2，0），M （x 1，y 1），则﹣2，x 1是方程（*）的两个根，所以．所以．=．．则．设直线OP 的方程为：y=kx ．由得（1+4k 2）x 2﹣4=0．设P （x 0，y 0），则，．所以，．所以|AM|•|AN|=2|OP|2． 25．（11分=4+7）解：（Ⅰ）当2=a时，22221||()|21|21||2x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪⎪=-+=⎨⎪-++<⎪⎩，，，易知，函数在1(,),(4-∞上单调递减，在1()4+∞上单调递增， 22)22()(min -=-=f x f ，所以2m ≥-，故m 的最小值为22-.（Ⅱ）（1）若0a =，则1)(+=x x f 在]2,3[-上单调递增，不符；（2）若0a <，则012<-ax ，所以aa x a x ax x f 411)21(1)(22++--=++-=, 在1(,)2a -∞上递减，在1(,)2a+∞上递增， 故()f x 在]2,3[-上不单调等价于：0,13,2a a<⎧⎪⎨>-⎪⎩解得61-<a ；（3）若0a >，则221,()1,ax x x x f x ax x x ⎧+-≤≥⎪⎪=⎨⎪-++<<⎪⎩结合图象，有以下三种情况：i ）当aa 121>，即410<<a 时，函数()f x 在),21[+∞-a 上单调递增，在1(,]2a -∞-上单调递减，()f x 在]2,3[-上不单调等价于10,413,2a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩解得 4161<<a ；ii ）当a a 121<，即41>a时，函数在1(,2a -∞上单调递减，在1()2a +∞上单调递增，由于32-<<恒成立，所以)(x f 在区间[]2,3-上不单调成立，即14a >符合题意； iii ）当41=a 时，()f x 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞上递增，因此在[]2,3-上不单调，符合题意.综上所述，61-<a 或61>a .。
(完整word)2017年高考文科数学模拟试题(1)(含答案),推荐文档
2017年高考文科数学模拟试题（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。
注意事项：1•答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形 码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2•第I 卷每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第n 卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答•若在试题卷上作答，答案无效。
3•考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I 卷（选择题，共60分）一. 选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1.设集合 M = { — 1，0，1}，N = {0，1，2}.若 x € M 且 x?N ，则 x 等于（ ）C . 0D . 21 ，B = {x € R|ln （1 — x ）w 0}，则“ x € A ”是“ x € B ”的（ B .既不充分也不必要条件D •必要不充分条件g （x ）= e x + e —x + |x|，则满足g （2x — 1）＜g （3）的x 的取值范围 是（B . （— 2，2）C . （— 1，2）D . （2，+s ） 6.若不等式x 2 +2x v a +谨对任意a ，b € （0，+^ ）恒成立，则实数x 的取值范围是（）b a A . （— 4，2）B . （ — 3，— 4） U （2，+^ ）C . （ — 3，— 2） U （0，+3 ）D . （— 2，0）7.点M ，N 分别是正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱A 1B 1，A 1D 1的中点，用过点 A ，M ，N 和点D ，N ，C 1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示， 则该几何体的主视图、 左视图、俯视图依次为（ ）1 2.设 A = X R —XA .充分不必要条件C •充要条件3.定义在R 上的函数 A . （ — 3 2）4.在△ ABC 所在的平面内有一点 P ，如果2R A + PC = AB — PB ，那么△ PBC 的面积与厶ABC 的面积之比5.如图所示是A . — 6个算法的程序框图，当输入B . 9x 的值为一8时，输出的结果是（A . 2B . .'3C 2D . 39 .《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾 (注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布 )，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)， 共织390尺布， 则第 2天织的布的尺数为() 161161 81 80A .BC .D . 293115110 .我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的 法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A( — 3, 4)，且法向量为n = (1,— 2)的直线(点法式)方程为1X (x + 3) + ( — 2)X (y —4) = 0,化简得x — 2y + 11= 0。
2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷
2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x 2<4}，则A ∩B =( ) A.[1, 2) B.(1, 2) C.(−2, 1) D.(−2, 1]2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足(1+i)z =i ，则|z|=( ) A.14B.12C.√22D.√23. 如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.5π3B.8π3C.10π3D.12+2π34. 已知a ∈R ，则“a =0”是“f(x)=x 2+ax 是偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 若x ，y 满足约束条件{y ≥0x +y ≤1x −2y ≥0 ，则3x +y 的最大值为（ ）A.04B.3C.73D.26. 在△ABC 中，内角C 为钝角，sinC =35，AC =5，AB =3√5，则BC =( ) A.2 B.3C.5D.107. 如图，已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，A 为虚轴的一端点．若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →=tBF →(t ∈R)，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.√5C.1+√32D.1+√528. 已知a∈R，函数f(x)满足：存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|．则f(x)可以为（）A.f(x)=lgxB.f(x)=−x2+2xC.f(x)=2xD.f(x)=sinx9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=θ，M为AB的中点．将△ACM沿着CM翻折至△A′CM，使得A′M⊥MB，则θ的取值不可能为（）A.π9B.π6C.π5D.π310. 已知x∈(0, π6)，y∈(0, π6)，且xtany=2(1−cosx)，则（）A.y<x4B.x4<y<x2C.x2<y<x D.y>x二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和．利用这一性质，C63=________，C74=________．（用数字作答）若离散型随机变量X的分布列为则常数a=，X的数学期望E(X)=．设S n为等差数列{a n}的前n项和，满足S2=S6，S55−S44=2，则a1=________，公差d=________．已知正数x，y满足2x+y=2，则当x=________时，1x−y取得最小值为________．某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有________种不同值班方案．（用数字作答）已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC上的动点，且∠AOB=π3，则OC→∗AB→的最大值为________．已知a>0，函数f(x)＝|x2+|x−a|−3|在区间[−1, 1]上的最大值是2，则a＝________54．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知函数f(x)=12sinxcosx−√32cos2x+√34．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x0∈[0,π2brack，且f(x0)=12，求f(2x0)的值．如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=CA=2，PA=PC=√2，PB=√7．(Ⅰ)求证：AC⊥PB；(Ⅱ)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值．已知函数f(x)=4ax3+3|a−1|x2+2ax−a(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，判断f(x)的单调性；(Ⅱ)当x∈[0, 1]时，恒有|f(x)|≤f(1)，求a的取值范围．已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，A，B分别为M的右顶点和上顶点，且|AB|=√5．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)若C，D分别是x轴负半轴，y轴负半轴上的点，且四边形ABCD的面积为2，设直线BC和AD的交点为P，求点P到直线AB的距离的最大值．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=e a n−1(n∈N∗)．（其中e为自然对数的底数，e=22.71828…）(Ⅰ)证明：a n+1>a n(n∈N∗)；(Ⅱ)设b n=1−a n，是否存在实数M>0，使得b1+b2+...+b n≤M对任意n∈N∗成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2018年浙江省绍兴市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，则A∩B={x|1<x<2}=(1, 2)．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】由(1+i)z=i，得z=i1+i，则|z|=|i1+i |=|i||1+i|=√2=√22．3.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】判断几何体的形状，利用圆柱与球的体积计算公式即可得出．【解答】该几何体左侧是半球，右侧是圆柱，几何体的体积V=12×43π×13+π×12×2=8π3．4.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由偶函数的定义和性质分析可得：“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分条件，且“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的必要条件，综合即可得答案．【解答】根据题意，当a=0时，f(x)=x2，为偶函数，则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分条件，若“f(x)=x2+ax是偶函数”，则有f(−x)=f(x)，即x2−ax=x2+ax，解可得a= 0，则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的必要条件，则“a=0”是“f(x)=x2+ax是偶函数”的充分必要条件，5.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过(2, 2)时，z最大．【解答】画出x，y满足约束条件{y≥0x+y≤1x−2y≥0表示的平面区域：将目标函数变形为y=−3x+z，作出目标函数对应的直线，当直线过(1, 0)时，直线的纵截距最小，z最大最大值为3+0=3，6.【答案】A【考点】三角形求面积【解析】由同角的平方关系可得cosC，再由余弦定理，解方程可得BC．【解答】内角C为钝角，sinC=35，可得cosC=−√1−925=−45，在△ABC中，AC=5，AB=3√5，由余弦定理可得，AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cosC，即45=25+BC2−10⋅BC⋅(−45)，即BC2+8BC−20=0，解得BC=2（−10舍去），7.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=bax，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】∵AB→=tBF→(t∈R)，由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=bax，∵k BF=−bc，∴−bc ⋅ba=−1，∴b2−ac=0，∴c2−a2−ac=0，∴e2−e−1=0，∵e>1，∴e=1+√52．8.【答案】D【考点】函数的求值【解析】若存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|．即函数f(x)在(0, +∞)上存在最大值，进而得到答案．【解答】若存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|．即函数f(x)在(0, +∞)上存在最大值，分析给定的四个函数，A，B，C均不满足条件，9.【答案】A【考点】相似三角形的性质【解析】把△A′CM继续旋转一直旋转到平面ABC里面，这时A′在$A^{``}$位置，由此能推导出θ的取值不可能为π9．【解答】如图所示，把△A′CM继续旋转，一直旋转到平面ABC里面，这时A′在$A^{``}$位置，这时$\angle AMN = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{9} = \angle A^{``}MN$，$\angle A^{``}MB = \pi - \frac{4\pi}{9} = \frac{5\pi}{9}$，此时，$\angle A^{``}MB$是直线A′M和BM所成的最小角，∵5π9>π2不成立，∴θ的取值不可能为π9．10.【答案】 C【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】运用二倍角的余弦公式和不等式sinx <x <tanx （x ∈(0, π2)），结合不等式的性质，即可得到大小关系． 【解答】x ∈(0, π6)，y ∈(0, π6)，且xtany =2(1−cosx)，可得xtany =4sin 2x2<4⋅x 24=x 2，即tany <x ，又x <tanx ，可得tany <tanx ，即y <x ；由xtany =4sin 2x2>xtan x2⇔2sinxsin x2>xsin x2 ⇔2sinx >x ，由y =2sinx −x 的导数为y′=2cosx −1， x ∈(0, π6)，cosx ∈(√32, 1)，则2cosx −1>0，即函数y =2sinx −x 在x ∈(0, π6)递增， 可得2sinx >x ，即有y >x2， 可得x2<y <x ，二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 【答案】 20,35 【考点】 归纳推理 【解析】由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1，第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，问题得以解决． 【解答】由上表可知，第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 第8行的数为1，7，21，35，35，21，7，1，故C 63=20，C 74=35 【答案】13,23【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】由离散型随机变量X 的分布列，得2a +a =1，由此能求出常数a 和E(X)．【解答】由离散型随机变量X 的分布列，得： 2a +a =1，解得a =13， E(X)=1×23+0×13=23．【答案】−14,4 【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2=S 6，S55−S 44=2，可得2a 1+d =6a 1+6×52d ，a 1+2d −(a 1+32d)=2，联立解得a 1，d ．即可得出． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2=S 6，S55−S 44=2，∴ 2a 1+d =6a 1+6×52d ，a 1+2d −(a 1+32d)=2，联立解得a 1=−14，d =(4)【答案】√22,2√2−2【考点】 基本不等式 【解析】根据题意，将2x +y =2变形可得y =2−2x ，则1x −y =1x +2x −2，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】根据题意，正数x ，y 满足2x +y =2，则y =2−2x ， 则1x−y =1x+2x −2≥2√1x×2x −2=2√2−2，当且仅当2x 2=1，即x =√22时，等号成立，则当x =√22时，1x −y 取得最小值2√2−2，【答案】 1800 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】根据题意，5个人中必须有1人值2天班，据此分2步分析：①，在5人中任选1人，在6天中任选2天值班，有C 51C 62=75种安排方法， ②，将剩下的4人全排列，安排到剩下的4天中，有A 44=24种情况， 则一共有75×24=1800种不同值班方案； 【答案】16√33【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】以△ABC 的外心为坐标原点建立坐标系，求出外接圆的半径，得出O 点的轨迹为优弧ACB^，建立坐标系， 【解答】设△ABC 的外接圆为⊙O′，则⊙O′的直径2R =4sin60∘=8√33， ∴ R =4√33． 以O′为圆心，以O′C 为y 轴建立平面坐标系如图所示： 则AB →=(4, 0)．∵ ∠AOB =∠ACB =π3，∴ O 的轨迹为优弧ACB ^． 设OC →=(a, b)，显然当O 为圆O′与x 轴负半轴的交点时， a 取得最大值4√33，∴ OC →∗AB →=4a ≤16√33．故答案为：16√33．【答案】 3或【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】由题意可得f(0)≤2，求得a 的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a 的值，检验可得a 的值． 【解答】f(1)＝2，即|a −3|＝2，解得a ＝5或a ＝1(1)f(12)＝2，即|a −134|＝2，解得a =54或214（舍去）．当a ＝1时，f(x)＝|x 2−x −2|，当x =12时，f(x)=94>2，不符题意（2）当a ＝5时，f(x)＝|x 2−x +2|，显然当x ＝−1时，取得最大值4，不符题意（3）当a ＝3时，f(x)＝|x 2−x|，显然当x ＝−1时，取得最大值2，符合题意（4）当a =54时，f(x)＝|x 2−x −74|，f(1)=74，f(−1)=14，f(12)＝2，符合题意． 故答案为：3或54．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】(Ⅰ)f(x)=12sinxcosx −√32cos 2x +√34=14sin2x −√34(1+cos2x)+√34．即f(x)=12sin(2x −π3)． 所以f(x)的最小正周期T =π．(Ⅱ)由x 0∈[0,π2brack ，得2x 0−π3∈[−π3,2π3brack ，又因为f(x 0)=12sin(2x 0−π3)=12， 所以2x 0−π3=π2，即2x 0=5π6．所以f(2x 0)=f(5π6)=12sin(2∗5π6−π3)=12sin4π3=−√34． 【考点】三角函数中的恒等变换应用 【解析】(Ⅰ)利用二倍角和辅助角公式化简即可求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)根据x 0∈[0,π2brack ，f(x 0)=12，利用和与差的公式即可求解f(2x 0)的值． 【解答】(Ⅰ)f(x)=12sinxcosx −√32cos 2x +√34=14sin2x −√34(1+cos2x)+√34．即f(x)=12sin(2x −π3)． 所以f(x)的最小正周期T =π．(Ⅱ)由x 0∈[0,π2brack ，得2x 0−π3∈[−π3,2π3brack ，又因为f(x 0)=12sin(2x 0−π3)=12， 所以2x 0−π3=π2，即2x 0=5π6．所以f(2x 0)=f(5π6)=12sin(2∗5π6−π3)=12sin4π3=−√34． 【答案】证明：(Ⅰ)如图，取AC 的中点O ，连结PO ，BO ．因为△ABC 为正三角形，所以AC ⊥BO ； 因为PA =PC ，所以AC ⊥PO ．又PO ∩BO =O ，PO ，BO ⊂平面BOP ， 所以AC ⊥平面BOP ．因为PB ⊂平面BOP ，所以AC ⊥PB ．（2）解法一：过点P 作BO 的垂线，垂足为H ，连结AH ．因为AC ⊥平面BOP ，AC ⊂平面ABC ，所以平面BOP ⊥平面ABC ， 又平面BOP ∩平面ABC =BO ，PH ⊂平面BOP ，故PH ⊥平面ABC ． 所以直线PA 与平面ABC 所成角为∠PAH ． 在△BOP 中，PO =1，BO =√3，PB =√7， 由余弦定理得cos∠POB =2×1×√3=−√32，所以∠POB =150∘．所以∠POH =30∘，PH =12．又PA =√2， 故sin∠PAH =PH PA=12√2=√24，即直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为√24．解法二：如图，以O 原点，以OA ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系． 可求得∠BOP =150∘，则A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，C(−1, 0, 0)，P(0,−√32,12)．平面ABC 的一个法向量为n →=(0,0,1)，AP →=(−1,−√32,12)．设直线PA 与平面ABC 所成角为θ，则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为sinθ=|cos <n →,AP →>121×√2=√24．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面所成的角 【解析】(Ⅰ)取AC 的中点O ，连结PO ，BO 推导出AC ⊥BO ，AC ⊥PO ，从而AC ⊥平面BOP ．由此能证明AC ⊥PB ．(Ⅱ)法一：过点P 作BO 的垂线，垂足为H ，连结AH ．推导出平面BOP ⊥平面ABC ，PH ⊥平面ABC ，直线PA 与平面ABC 所成角为∠PAH ，由此能求出直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值．法二：以O 原点，以OA ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值． 【解答】证明：(Ⅰ)如图，取AC 的中点O ，连结PO ，BO ． 因为△ABC 为正三角形，所以AC ⊥BO ； 因为PA =PC ，所以AC ⊥PO ．又PO ∩BO =O ，PO ，BO ⊂平面BOP ， 所以AC ⊥平面BOP ．因为PB ⊂平面BOP ，所以AC ⊥PB ．（2）解法一：过点P 作BO 的垂线，垂足为H ，连结AH ．因为AC ⊥平面BOP ，AC ⊂平面ABC ，所以平面BOP ⊥平面ABC ， 又平面BOP ∩平面ABC =BO ，PH ⊂平面BOP ，故PH ⊥平面ABC ． 所以直线PA 与平面ABC 所成角为∠PAH ． 在△BOP 中，PO =1，BO =√3，PB =√7， 由余弦定理得cos∠POB =2×1×√3=−√32，所以∠POB =150∘．所以∠POH =30∘，PH =12．又PA =√2， 故sin∠PAH =PH PA=12√2=√24，即直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为√24．解法二：如图，以O 原点，以OA ，OB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系． 可求得∠BOP =150∘，则A(1, 0, 0)，B(0,√3,0)，C(−1, 0, 0)，P(0,−√32,12)．平面ABC 的一个法向量为n →=(0,0,1)，AP →=(−1,−√32,12)．设直线PA 与平面ABC 所成角为θ，则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为sinθ=|cos <n →,AP →>121×√2=√24．【答案】（1）当a =1时，f(x)=4x 3+2x −1， f ′(x)=12x 2+2>(0)故f(x)在R 上单调递增．（2）由于|f(0)|≤f(1)，即|a|≤5a +3|a −1|，解得a ≥−(1) ①当a ≥0时，f ′(x)=12ax 2+6|a −1|x +2a ，当x ∈[0, 1]时，f ′(x)≥0，所以f(x)在[0, 1]上单调递增，符合题意． ②当−34<a <0时，f ′(0)=2a <0，f ′(1)=8a +6>0， 存在x 0∈(0, 1)，使得f ′(x 0)=0，故f(x)在(0, x 0)单调递减，f(x)在(x 0, 1)单调递增． 因为f ′(x 0)=12ax 02+6(1−a)x 0+2a =0，所以4ax 03=−2(1−a)x 02−23ax 0，f(x 0)=4ax 03+3(1−a)x 02+2ax 0−a =(1−a)x 02+43ax 0−a =x 02−a[(x 0−23)2+59]>0． 由单调性知|f(x 0)|=f(x 0)<f(1)．符合题意． ③当a =−34时，f(x)=−3x 3+214x 2−32x +34，f ′(x)=−9(x −16)(x −1)，f(x)在(0,16)上递减，在(16,1)上递增，且|f(16)|=f(16)<f(1)．符合题意． ④当−1≤a <−34时，f ′(x)=12ax 2+6(1−a)x +2a ， △=−60a 2−72a +36>0，f ′(0)<0，f ′(1)<0，对称轴x =a−14a∈(0,1)．故f ′(x)=0在(0, 1)内有两个不同的实根x 1，x 2，设x 1<x 2，则f(x)在(0, x 1)单调递减，f(x)在(x 1, x 2)单调递增，f(x)在(x 2, 1)单调递减． 必有f(x 2)>f(1)，不符合题意．综合①②③④，所以a 的取值范围是[−34,+∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)当a =1时，f ′(x)=12x 2+2>0，从而f(x)在R 上单调递增．(Ⅱ)由于|f(0)|≤f(1)，解得a ≥−(1)根据a ≥0，−34<a <0，a =−34，−1≤a <−34，利用分类讨论思想和导数性质，能求出a 的取值范围． 【解答】（1）当a =1时，f(x)=4x 3+2x −1， f ′(x)=12x 2+2>(0) 故f(x)在R 上单调递增．（2）由于|f(0)|≤f(1)，即|a|≤5a +3|a −1|，解得a ≥−(1) ①当a ≥0时，f ′(x)=12ax 2+6|a −1|x +2a ，当x ∈[0, 1]时，f ′(x)≥0，所以f(x)在[0, 1]上单调递增，符合题意． ②当−34<a <0时，f ′(0)=2a <0，f ′(1)=8a +6>0， 存在x 0∈(0, 1)，使得f ′(x 0)=0，故f(x)在(0, x 0)单调递减，f(x)在(x 0, 1)单调递增．因为f ′(x 0)=12ax 02+6(1−a)x 0+2a =0，所以4ax 03=−2(1−a)x 02−23ax 0，f(x 0)=4ax 03+3(1−a)x 02+2ax 0−a =(1−a)x 02+43ax 0−a =x 02−a[(x 0−23)2+59]>0． 由单调性知|f(x 0)|=f(x 0)<f(1)．符合题意． ③当a =−34时，f(x)=−3x 3+214x 2−32x +34，f ′(x)=−9(x −16)(x −1)，f(x)在(0,16)上递减，在(16,1)上递增，且|f(16)|=f(16)<f(1)．符合题意． ④当−1≤a <−34时，f ′(x)=12ax 2+6(1−a)x +2a ， △=−60a 2−72a +36>0，f ′(0)<0，f ′(1)<0，对称轴x =a−14a∈(0,1)．故f ′(x)=0在(0, 1)内有两个不同的实根x 1，x 2，设x 1<x 2，则f(x)在(0, x 1)单调递减，f(x)在(x 1, x 2)单调递增，f(x)在(x 2, 1)单调递减． 必有f(x 2)>f(1)，不符合题意．综合①②③④，所以a 的取值范围是[−34,+∞)． 【答案】(Ⅰ)根据题意，椭圆的离心率为√32，则e =c a =√32，即a =2b ．又|AB|=√a 2+b 2=√5，所以b =1，a =(2) 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设P(x 0, y 0)，C(s, 0)，D(0, t)，其中s <0，t <(0)因为A(2, 0)，B(0, 1)， 所以y 0x0−2=t−2，y 0−1x 0=−1s，得t =−2y 0x−2，s =−xy 0−1． 又四边形ABCD 的面积为2，得(2−s)(1−t)=4， 代入得(2+x 0y−1)(1+2y 0x0−2)=4，即(x 0+2y 0−2)2=4(x 0−2)(y 0−1)，整理得x 02+4y 02=4． 可知点P 在第三象限的椭圆弧上．设与AB 平行的直线y =−12x +m(m <0)与椭圆M 相切．由{x 2+4y 2=4y =−12x +m 消去y 得x 2−2mx +2m 2−2=0，△=8−4m 2=0，m =−√2． 所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√2+1|√1+14=2√5+2√105． 【考点】椭圆的定义 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的离心率公式可得e =ca=√32，即a =2b ，又由|AB|=√a 2+b 2=√5，分析可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程，即可得答案； (Ⅱ)设P(x 0, y 0)，C(s, 0)，D(0, t)，结合题意分析可得(2+x 0y−1)(1+2y 0x 0−2)=4，整理可得x 02+4y 02=4，设与AB 平行的直线y =−12x +m(m <0)与椭圆M 相切，联立直线与椭圆的方程，分析可得点P 到直线AB 的距离的最大值为√2+1|√1+4，计算即可得答案．【解答】(Ⅰ)根据题意，椭圆的离心率为√32，则e =c a=√32，即a =2b ．又|AB|=√a 2+b 2=√5，所以b =1，a =(2) 所以椭圆M 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)设P(x 0, y 0)，C(s, 0)，D(0, t)，其中s <0，t <(0)因为A(2, 0)，B(0, 1)， 所以y 0x−2=t−2，y 0−1x 0=−1s，得t =−2y 0x−2，s =−xy 0−1． 又四边形ABCD 的面积为2，得(2−s)(1−t)=4， 代入得(2+x 0y−1)(1+2y 0x0−2)=4，即(x 0+2y 0−2)2=4(x 0−2)(y 0−1)，整理得x 02+4y 02=4． 可知点P 在第三象限的椭圆弧上．设与AB 平行的直线y =−12x +m(m <0)与椭圆M 相切．由{x 2+4y 2=4y =−12x +m消去y 得x 2−2mx +2m 2−2=0，△=8−4m 2=0，m =−√2． 所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√2+1|√1+14=2√5+2√105． 【答案】证明：(Ⅰ)设f(x)=e x −x −1，令f ′(x)=e x −1=0，得到x =(0) 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)≥f(0)=0，即e x ≥x +1（当且仅当x =0时取等号）． 故a n+1=e a n −1≥a n ≥a 1=12，所以a n+1>a n ． （2）先用数学归纳法证明a n ≤1−1n+1． ①当n =1时，a 1≤1−12．②假设当n =k 时，不等式a k ≤1−1k+1成立，那么当n =k +1时，a k+1=e a k −1≤e −1k+1=1e 1k+1≤11+1k+1=k+1k+2=1−1k+2，也成立．故对n ∈N ∗都有a n ≤1−1n+1． 所以b n =1−a n ≥1n+1．取n =2t −1(t ∈N ∗)，b 1+b 2+...+b n ≥12+13+⋯+1n+1=12+(13+14)+⋯+(12t−1+1+12t−1+2+⋯+12t )．即b 1+b 2+...+b n ≥12+12+⋯+12=t2．所以，对任意实数M >0，取t >2M ，且t ∈N ∗，n =2t −1， 则b 1+b 2+...+b n >M ． 故不存在满足条件的实数M ． 【考点】数列与不等式的综合 【解析】(Ⅰ)设f(x)=e x −x −1，令f ′(x)=e x −1=0，得到x =(0)利用导数性质推导出e x ≥x +1，由此能证明a n+1>a n ．(Ⅱ)先用数学归纳法证明a n ≤1−1n+1，对n ∈N ∗都有a n ≤1−1n+1，b n =1−a n ≥1n+1．取n =2t −1(t ∈N ∗)，得b 1+b 2+...+b n ≥12+12+⋯+12=t2．从而b 1+b 2+...+b n >M ．由此得到不存在满足条件的实数M ． 【解答】证明：(Ⅰ)设f(x)=e x −x −1，令f ′(x)=e x −1=0，得到x =(0) 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)≥f(0)=0，即e x ≥x +1（当且仅当x =0时取等号）． 故a n+1=e a n −1≥a n ≥a 1=12，所以a n+1>a n ． （2）先用数学归纳法证明a n ≤1−1n+1． ①当n =1时，a 1≤1−12．②假设当n =k 时，不等式a k ≤1−1k+1成立， 那么当n =k +1时，a k+1=ea k −1≤e−1k+1=1e 1k+1≤11+1k+1=k+1k+2=1−1k+2，也成立．故对n ∈N ∗都有a n ≤1−1n+1． 所以b n =1−a n ≥1n+1．取n =2t −1(t ∈N ∗)，b 1+b 2+...+b n ≥12+13+⋯+1n+1=12+(13+14)+⋯+(12t−1+1+12t−1+2+⋯+12t )．即b 1+b 2+...+b n ≥12+12+⋯+12=t2．所以，对任意实数M >0，取t >2M ，且t ∈N ∗，n =2t −1， 则b 1+b 2+...+b n >M ． 故不存在满足条件的实数M ．。
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浙江省绍兴一中2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（5分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β4．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣15．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π6．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．7．（5分）若等差数列{a n}满足a12+a102=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（）A．60 B．50 C．45 D．408．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k （x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．（6分）已知函数，则f（2）=；不等式f（x）＜3的解．10．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在时的值域是；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线对称，则实数a 的最小值为．11．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是，表面积是．12．（6分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有条．13．（4分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．14．（4分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．15．（4分）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．18．（15分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=55，S20=210．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、b m、b k成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．19．（15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．20．（14分）已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3）设，对于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α）成立，求λ的取值范围．浙江省绍兴一中2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先化简集合M，再计算M∩（C U N）．解答：解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（C U N）={x|﹣1≤x＜1}故选：B．点评：本题主要考查了集合的交，补运算，属基础题型，较为简单．2．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：首先解不等式，然后再找出┐p和q的关系．解答：解：∵p：x≤1，¬p：x＞1，q：＜1⇒x＜0，或x＞1，故q是¬p成立的必要不充分条件，故选B．点评：找出¬p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单．3．（5分）已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列中正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题．分析：根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．解答：解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确故选D点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中线面、面面得位置关系，以及与其有关的判定定理与性质定理．4．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．5．（5分）已知函数与直线相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π考点：函数的零点与方程根的关系；两点间的距离公式．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求的值．解答：解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴=6π．故选A．点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，着重考查正弦函数的性质，求得M1，M13的坐标是关键，属于中档题．6．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意可求得直线PF1的方程为：y=（x+c），△MF1O为直角三角形，经分析知OM为直角三角形PF1F2的中位线，从而可求得|PF1|与|PF2|，利用双曲线定义及离心率公式即可求得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意，直线PF1的方程为：y=（x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m），∵M为线段PF1的中点，∴=0，m=．∴x0=c，∴y0=（x0+c）=c，m=c．∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°，∴|MF1|=2|OM|=2m=c；又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OM为直角三角形PF1F2的中位线，∴|PF1|=c，|PF2|=c，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=c，∴其离心率e==．故选D．点评：本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义，求得|PF1|与|PF2|是关键，考查作图、分析、与运算能力，属于中档题．7．（5分）若等差数列{a n}满足a12+a102=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（）A．60 B．50 C．45 D．40考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式得（a10﹣9d）2+a102=10，由求和公式可得a10=代入（a10﹣9d）2+a102=10整理可得关于d的方程，由△≥0可得S的不等式，解不等式可得．解答：解：设等差数列的公差为d，由a12+a102=10得，（a10﹣9d）2+a102=10，因为S=a10+a11+…+a19=10a10+45d，则a10=，代入（a10﹣9d）2+a102=10，并整理可得（1352+452）d2﹣360dS+2S2﹣1000=0，由关于d的二次方程有实根可得△=3602S2﹣4（1352+452）（2S2﹣1000）≥0，化简可得S2≤2500，解得S≤50故选：B．点评：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及二次函数方程根的存在性，考查转化思想，属中档题．8．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k （x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合．分析：根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可解答：解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f （x）=2﹣x所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．点评：解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．9．（6分）已知函数，则f（2）=﹣4；不等式f（x）＜3的解{x|x＞﹣3}．考点：分段函数的应用．专题：不等式．分析：（1）将x=2代入函数的表达式，求出f（2）即可；（2）分别解﹣x2＜3，x2+2x＜3，从而求出不等式的解．解答：解：（1）x≥0时，f（x）=﹣x2，∴f（2）=﹣4；（2）①x≥0时，﹣x2＜3，∴x≥0，②x＜0时，x2+2x＜3，解得：﹣3＜x＜0，综合①②得：x＞﹣3，故答案为：﹣4，{x|x＞﹣3}．点评：本题考察了分段函数的应用，考察不等式的解法问题，是一道基础题．10．（6分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，则f（x）在时的值域是[﹣1，]；若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于直线对称，则实数a的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数进行化简结合三角函数的性质进行求解即可．解答：解：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∵，∴2x∈[0，π]，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[，1]，sin（2x﹣）∈[﹣1，]，故函数f（x）的值域为[﹣1，]，若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到：y=sin[2（x+a）﹣]=sin（2x+2a﹣），若此时函数恰好关于直线对称，则2×+2a﹣=+kπ，即2a=+kπ，a=+，k∈Z，故当k=0时，实数a的最小值为，故答案为：；点评：本题主要考查三角函数值域以及三角函数图象平移的判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．11．（6分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是100cm3，表面积是（）cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为长方体砍去一个三棱锥，根据三视图的数据求出长方体的棱长、三棱锥的高和底面上的边长，代入体积公式和面积公式计算即可．解答：解：由三视图可得，原几何体为：一个长宽高分别为6cm、3cm、6cm的长方体砍去一个三棱锥，且三棱锥的底面为直角边分别为3cm、4cm直角三角形，高为4cm，如图：∴该几何体的体积V=3×6×6﹣=108﹣8=100（cm3），表面积S=2（6×3×2+6×6）﹣（3×4×2+4×4）+=（cm2）．故答案为：100cm3；（）cm2．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．12．（6分）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为，过其右焦点且长为4的弦有3条．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件求得双曲线方程，求弦长为4时可先寻找临界的直线，一条平行x轴，一条垂直x轴．解答：解：由双曲线与椭圆有相同的焦点，可设双曲线的方程为，以为其一条渐近线，所以，①6=a2+b2②，由①②解得：a2=4，b2=2．所以双曲线的方程为；右焦点坐标为（），当过右焦点的直系垂直x轴时，代入双曲线方程得y=，即弦长为2＜4，故过右焦点的在右支上有2条弦长为4的直线，加上过右焦点的x轴的弦长为2+2=4．故一共有3条．故答案为：；3点评：本题主要考查双曲线方程得求解方法和求定长的弦长的个数，属于中档题，在选择题填空题中常涉及．13．（4分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：转化思想．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2故答案是2点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．14．（4分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是[0，3]．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设M（x，y），利用MA2+MO2=10，可得M的轨迹方程，利用圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．解答：解：设M（x，y），∵MA2+MO2=10，∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，∴x2+（y﹣1）2=4，∵圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，∴两圆相交或相切，∴1≤≤3，∴0≤a≤3．故答案为：[0，3]点评：本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M的轨迹方程是关键．15．（4分）设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE=2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A﹣DE﹣B为90°，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围．考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：先画出折叠后的图形，根据已知条件可分别以EB，ED，EA三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并可求出图形上一些点的坐标，根据P，Q分别为线段AE、EB上的点，可设P（0，0，z），Q（x，0，0）．这时可由MQ⊥PN得到，从而可得到z=1﹣2x，从而可以得到PQ的长度|PQ|=，这时候，根据x，z的范围可求出x的范围，由x的范围即可求出|PQ|的取值范围．解答：解：如图，由条件知EB，ED，EA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：E（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），N（2，1，0），D（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1）；P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点；∴设P（0，0，z），Q（x，0，0），x，z∈[0，2]；∴，；∵MQ⊥PN；∴=0；∴z=1﹣2x；∵x，z∈[0，2]，∴0≤1﹣2x≤2；解得；∴=；∴时，|PQ|取最小值，x=0时，|PQ|取最大值；∴PQ长度的取值范围为[，1]．故答案为：[]．点评：考查二面角的大小的定义，弄清图形折叠前后的变化，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直的问题的方法，能够确定空间点的坐标，以及配方求函数最值的方法，注意正确确定变量的范围．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知=，A+3C=π．（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b=3，求△ABC的面积．考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由题意可得B=2C．又由正弦定理及已知得，即可得解．（2）由C∈（0，π），可得sinC，根据sinB=sin2C即可求值．（3）由B=2C，可得cosB，又A+B+C=π，可求sinA=sin（B+C），由，，可得C，由面积公式即可得解．解答：解：（1）因为A+B+C=π，A+3C=π，所以B=2C．…（2分）又由正弦定理，得，，，化简得，．…（5分）（2）因为C∈（0，π），所以．所以．…（8分）（3）因为B=2C，所以．…（10分）因为A+B+C=π，所以．…（12分）因为，，所以．所以△ABC的面积．…（14分）点评：本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函数关系式，三角形面积公式的应用，属于基础题．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的AA1=1，底面ABCD的周长为4．（1）当长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积最大时，求直线BA1与平面A1CD所成角；（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）先设AB=b，AD=2﹣b，分别以AB，AD，AA1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可写出空间一些点的坐标，根据条件即可求出b=1．设平面A1CD的法向量为，根据即可求出法向量，设直线BA1和平面A1CD所成角为θ，由sin即可求出θ；（2）设存在P点满足条件，设P（x，y，z），从而有，这样即可用t，b表示出P 点坐标，而根据即可求出b，t，从而能够确定出P点的位置．解答：解：设AB=b，则AD=2﹣b，分别以边AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（b，0，0），C（b，2﹣b，0），D（0，2﹣b，0），A1（0，0，1）；（1）根据条件，2（AB+AD）=4；∴2=AB+AD≥2；∴AB•AD≤1，当AB=AD=1时取“=”，∴此时b=1，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）；∴，，，设平面A1CD的法向量为，则：；取z1=1，则；设直线BA1与平面A1CD所成角为θ，则：sinθ==；∴θ=30°；即直线BA1和平面A1CD所成角为30°；（2）假设在线段A1C上存在点P满足条件，设P（x，y，z），∴存在t，使；∴（x，y，z﹣1）=t（b，2﹣b，﹣1）；∴P（bt，（2﹣b）t，1﹣t），，；∴；∴；∴；即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1P：PC=2：1处．点评：考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角，解决线面垂直问题的方法，基本不等式的运用，长方体的体积公式，以及平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式，线面垂直的性质，两向量垂直的充要条件．18．（15分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=55，S20=210．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N*），使得b1、b m、b k成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）设出其首项和公差，直接利用S10=55，S20=210求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式；（2）先求出，再代入b1、b m、b k成等比数列对应的等量关系，求出m、k之间的关系式，再利用题中k＞m≥2，k，m∈N*，即可求出对应的m、k的值．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则．（1分）由已知，得（3分）即解得（5分）所以a n=a1+（n﹣1）d=n（n∈N*）．（6分）（2）假设存在m、k（k＞m≥2，m，k∈N），使得b1、b m、b k成等比数列，则b m2=b1b k．（7分）因为，（8分）所以．所以．（9分）整理，得．（10分）因为k＞0，所以﹣m2+2m+1＞0．（11分）解得．（12分）因为m≥2，m∈N*，所以m=2，此时k=8．故存在m=2、k=8，使得b1、b m、b k成等比数列．（14分）点评：本题第一问主要考查利用等差数列的前n项和求数列{a n}的通项公式以及等比关系的确定，是对等差数列，等比数列基础知识的考查．作这一类型题目，一般是设出基本量，利用已知条件列出等量关系，再进行求解即可．19．（15分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入求得p即可；（II）因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足（λ＞0），即可得出λ的取值范围．解答：解（Ⅰ）设抛物线方程为x2=2py，由已知得：22=2p所以p=2所以抛物线的标准方程为x2=4y．（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k由得C（4kλ，（4k2+2t）λ）因为点C在抛物线x2=4y上，所以，16k2λ2=4（4k2+2t）λ因为t＞0或t＜﹣3，所以2t+4＞4或2t+4＜﹣2所以λ的取值范围为．点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线及圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．20．（14分）已知f（x）=2x2﹣tx，且|f（x）|=2有且仅有两个不同的实根α和β（α＜β）．（1）求实数t的取值范围（2）若x1、x2∈[α，β]且x1≠x2，求证：4x1x2﹣t（x1+x2）﹣4＜0；（3）设，对于任意x1、x2∈[α，β]上恒有|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α）成立，求λ的取值范围．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）根据二次函数的图象的顶点，结合条件可得，解不等式即可得到k的范围；（2）运用韦达定理和不等式的性质，结合分解因式，即可得证；（3）运用g（x）的单调性和分离参数，即可得到右边函数的最大值，进而得到所求范围．解答：解：（1）根据f（x）=2x2﹣tx图象翻折后顶点值，得﹣4＜t＜4，即有t的取值范围是（﹣4，4）；（2）证明：由韦达定理知，不妨设α＜x1＜x2＜β，由于x1、x2∈[α，β]，故（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，x1x2﹣（αx2+βx1）+αβ≤0即4x1x2﹣4（αx2+βx1）﹣4≤04x1x2﹣t（x1+x2）﹣4≤4（αx2+βx1）﹣t（x1+x2）=4（αx2+βx1）﹣2（α+β）（x1+x2）=2（αx2+βx1）﹣2（αx1+βx2）=2（x2﹣x1）（α﹣β）＜0，（3）解：任取x1、x2∈[α，β]，x1＜x2，则，所以g（x）在[α，β]上是增函数，故|g（x1）﹣g（x2）|≤λ（β﹣α）等价于==2，故λ≥2．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，同时考查韦达定理和不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．。