高等数学第3章第3节函数极限存在条件

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1-3【精品】高等数学函数的极限

几何解释
( x0 , x0 )
任意给定的，作以A为中心平行于 x 轴的两条直线：y=A+ ε 和 y=A-ε，介于这两条直线之间是一横条区域. (表示不等式 f ( x) A ) 对于给定的 ε ，存在着点 x0 的一个去心δ邻域 U ( x0 , ， )
定理： lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x x
几何解释:
y
A
sin x x
y A
恒有 f ( x) A 成立，称A为函数f ( x)当x x0时的右极限, 记作
x x0 lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
左右极限统称单侧极限.
定理函数左、右极限存在且相等是函数极限存在的充分必要条件.
lim f ( x) A f ( x0 ) f ( x0 ) A. x x0
单侧极限例：
y 1 x
y
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x) 1.
x 0
x0 x0
1
y x2 1
o
x
分x 0 和x 0 两种情况分别讨论
x , x 从左侧无限趋于 0 记作x x0
x 从右侧无限趋于 x0 , 记作x x0
1. 自变量趋于有限值时函数的极限
这个函数虽在x=1 处无定义，但从它的图形上可见，当点从1 的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1 时f(x)的极限.
2( x 2 1) 考察x 1时, 函数f ( x) 的变化趋势 x 1

高等数学同济第七版上册附录

高等数学同济第七版上册附录第一章函数与极限第一节映射与函数第二节数列的极限第三节函数的极限第四节无穷小与无穷大第五节极限运算法则第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较第八节函数的连续性与间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质总习题一第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率第五节函数的微分总习题二第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节泰勒公式第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第五节函数的极值与最大值最小值第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节方程的近似解总习题三第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节换元积分法第三节分部积分法第四节有理函数的积分第五节积分表的使用总习题四第五章定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分*第五节反常积分的审敛法Γ函数总习题五第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用第三节定积分在物理学上的应用总习题六第七章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节可分离变量的微分方程第三节齐次方程第四节一阶线性微分方程第五节可降阶的高阶微分方程第六节高阶线性微分方程第七节常系数齐次线性微分方程第八节常系数非齐次线性微分方程*第九节欧拉方程总习题七附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介附录Ⅱ基本初等函数的图形附录Ⅲ几种常用的曲线附录Ⅳ积分表习题答案与提示。

高等数学极限存在准则-PPT

lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
1 (x)
)
(
x
)
e,
则
原式
lim (1
x
1 x
)
x
1
e1
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例7. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
2x) 2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
机动目录上页下页返回结束
二、两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有显然有
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
注目录上页下页返回结束
例2. 求
解:
lim tan x0 x
且
(xn )
xn x0 , f (xn ) 有定义
有 lim
n
f
(xn )
A.
说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .
法1 找一个数列
xn x0 ,
使
lim

高等数学(2017高教五版)课件函数的极限函数极限存在的条件(工科类)

但 { f ( zn )} 发散，矛盾 .
f ( xn ) A, f ( yn ) B, B A ,
这样就证明了对于任意的 { xn }, xn , lim f ( xn )
n
存在且相等. 由归结原则, lim f ( x ) 存在.
x
柯西收敛准则
注由柯西准则可知, lim f ( x ) 不存在的充要条件是
A f ( x ) f ( x) A A .
*
这就证明了
x x0
lim f ( x ) A.
对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多.
单调有界定理
例3 设 f ( x ) 在U ( x0 , )上单调，则 lim f ( x ) x x0

归结原则
定理3.9
设 f ( x ) 在 x0 的某空心右邻域 U ( x0 ) 有定义, 则
任给 { x } U n ( x0 ), xn x0 , lim f ( x ) A x x0 必有 lim f ( xn ) A. n
x
证
U 不妨设 f 在 ( x0 ) 递减 . 因为 f (x) 有界, 故
xU ( x0 )
sup f ( x ) 存在, 设为A . 由确界定义,对于 0,
x* U ( x0 ), 使
A f ( x ) A.
*
单调有界定理
令 x* x0 , 当 0 x x0 时, 由 f (x) 的递减性,
n
lim f ( xn ) A .
现分别取
| f ( x ) A | 0 .
1 , 2 , , n

第3节函数的极限.

解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
y x 1
x
lim - f ( x) lim - ( x - 1) -1
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
17
显然 f (0 - ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不x0
lim
x x0
o
x
x0
x
15
高等数学 ● 戴本忠
左极限与右极限
f ( x 左极限 : 0 ) lim - f ( x) A
e 0 , d 0 , 当 x ( x0 - d , x0 )
时, 有
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
2）0 x - x0 表示 x x0 , x x0 时f ( x ) 有无极限与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
3）e 任意给定后，才能找到 d ， d 依赖于e ，且d e (d )
e 越小， d
31
越小.
高等数学 ● 戴本忠
11
x x0
d( > 当 0<|x-x0|<d 有|f(x)-A|<e 或 fe (>0 x ) A x0 x0)。 lim f(x)A
31
上
高等数学 ● 戴本忠
27
定理 4 . 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且
时, 有
e 0 , X 0 , 当 x - X 时, 有 f ( x) - A e
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，

高等数学第七版1-3函数极限

解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x 0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
4x 1 9 , lim4x 1 9 x2
13
3. 左、右极限(单侧极限)
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
y 1 x y
x0
x0
1
lim f ( x) 1.
O
x0
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
x从左侧无限趋近 x0 , 记作 x x0—-;
x从右侧无限趋近 x0 ,
记作
x
x+. 0
y x2 1 x
14
左极限 0, 0, 使得 x0 x x0时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A x x0
或
f ( x0 ) A.
右极限 0, 0,使得 x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A x x0
lim(3x 1) 5 x2
10
例3 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
分析：函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点
是否有极限并无关系．
证
x2 1 f (x) A x 1 2 x 1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
成立 ,
故
lim
xx0
x
x0
.
这是证明吗？
非常非常

高等数学教案(极限部分)3 函数极限的性质与计算

.
2
12
于是对 0, 只要取 min{ 1 , 2 } 0, 则当 0 | x x0 | , 恒有
| B g( x ) | | B g( x ) | 1 1 g( x ) B | g( x ) | | B | (| B | / 2) | B |
22
例
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
解当 n 时，这是无穷个无穷小的和，
不能直接用 “和的运算法则 ”，
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim (1 ) . lim 2 n 2 n 2 n n
3
x2
17
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0, 除法法则不能用, x 1
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 3 4x 1
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
23 1 7 x 1 x2 lim 2 x2 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3
3
lim x lim1
23
例解
sin x 求 lim . x x
y
sin x x
当 x 时，
1 0, x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x

高等数学极限存在准则

x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
A
A
A
（（ 1 x0
y h( x) y f (x) y g(x)
x0
）） 2
x0
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 问题: 1. 怎样使用数列夹逼准则？
回答：关键是构造数列 yn和 zn，使得对于一切正整
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 x 时,
2
0 cos x 1 1 cos x
2sin2 x 2
2( x)2
x2 ,
22
lim x 2 0, lim(1 cos x) 0,
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
第七节目录上页下页返回结束
xn
存在.
xn1
3 xn ,
xn21 3 xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
lim n
xn
1
2
13 .
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x

高等数学第3章

f (x) 2 33 x
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的极值：
（1）写出函数的定义域；（2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点；（3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形，以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论；（4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，

高等数学第七版教材目录

高等数学第七版教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章：积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章：多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章：重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章：曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章：无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章：常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章：数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录，我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。

高等数学函数极限存在的判别法则

1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x 1 x
x
x
x
x
1 1 x
1 x
1 由 lim 1 e 知 n n
0
若 xn x0 n , 则有
判别准则 II 的充分性证明要用反证法证明，证明从略．
f ( xn ) A( n ).
x 这里 0 可代表 x0 , x0 , , , 和 .
sin x 极限不存在．例4 证明 xlim
3 x 1
3 x 1
1 1 lim 1 1 x x x
x
3
e 3 1 0 e 3 .
数列极限是特殊的函数极限，由函数极限的定义，若
lim f ( x ) A, 则对任何 xn x0 ( n ), 有 x x
x 0 x 0
sin x 1. 由判别准则I,知 lim x 0 x
图1.6.1
第二个重要极限:
1 lim 1 e x x
n
x
1 第二个重要极限要通过 lim 1 e 和定理1得到， n n
有兴趣研究其证明方法可参阅有关教材，我们只给出
高等数学多媒体课件
§1.6 函数极限存在的判别法则
由于函数极限的变量取值的连续性，导致函数极限存在的判别法则和数列极限存在的判别法有相似，但又有许多不同．判别准则I (两边夹法则) 若 0 0, 使得当
x U ( x0 , 0 ) 时， h( x ) f ( x ) g ( x ), 且

高等数学-03第三章第3节泰勒公式

(n 1)2! 8
20
五、小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y x y sin x
21
习题3 3 P145
1,4,5,6,10(2)
22
2.Taylor 公式的数学思想---局部逼近.
播放 23
思考题
利用泰勒公式求极限
lim
x
e
x
sin
x
x(1 x3
x)
24
思 e x 1 x x2 x3 o( x3 )
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f ( x0 ) , ,an
1 n!
pn( n
)
(
x0
)
1 n!
f
(n)
(
x0
)
故
pn ( x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0 )
1 2!
f
(x0
)(x
x0
)2
1 n!
f
(n) (x0 )(x
x0 )n
5
三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理如果函数 f ( x)在含有 x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n 1)阶的导数,则当 x
在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个n次
多项式与一个余项 Rn( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n Rn ( x)

高等数学教材北大版本目录

高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。

《高等数学》第三节绝对收敛与条件收敛

例 1 讨论交错级数 ( 1)
n 1

n 1
1 的敛散性. n
解：由题可知 1 1 1 1 1 2 3 n n 1
1 又： lim u n lim 0 n n n
(1)
n 1 n 1 1
即：u )
n 1 n n 1
u n的部分和sn
有： lim sn s 且s u1 ,
余项rn 可以写成： rn (u n 1 u n 2 ), | rn | u n 1 u n 2
上式也是交错级数，满足收敛的两个条件 | rn | u n 1
n 1 n 1
而不能判断它必为发散.

n
n
所以故

n 1

sin n 也收敛， 2 n
sin n 绝对收敛． 2 n n 1
注意： (1)由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.

un , 如果 | un |收敛，则 un 绝对收敛. (2)任意项级数 n 1 n 1 n 1 但当 | un |发散时，我们只能判断 un非绝对收敛，
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
n
再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有
n 1
定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 u n u n 1 (n 1,2,3,); (2)级数的通项趋于零，即 lim un 0

高等数学：第三节函数的极限

21/41
例5 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 ,
x1 任给 0, 要使 f ( x) A , 只要取 ,
则当0 x 1 时,就有
x2 1 2 ,
x1
x2 1
lim
2.
x1 x 1
类比数列极限的定义，可用如下的数学语言刻画 “自变量无限增大”、 “函数无限接近于A”: x X 表示x 的过程;
f ( x) A 表示 f ( x) A 可任意小.
4/41
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
24/41
例6
证明 lim
x2
1 .
x2 x2 4 4
条件放大法
证因为x 2，故不妨假设 x 2 1,即1 x 3,
x2 1 1 x2 1 x2 x2
x2 4 4 4 x 2 4 1 2 12
第三节函数的极限
一、自变量趋向无穷时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结、思考题、作业
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数列极限：un f (n), n N un a : n 时，f (n) a 函数极限：y f ( x) y A :自变量x的某个变化过程中时，
相应函数值f ( x)无限接近于A 自变量无限变化方式的差异：
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20. x 情形 : lim f ( x) A x
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作

高等数学-第3章-3.1-洛必达法则

第3章导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。

§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。

例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。

在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。

下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。

一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足：（1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）；则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。

证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。

注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。

（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →==.例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。